	$\displaystyle 0=x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-\nu^{2})y$		(5.193)
	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}(n+r)(n+r-1)x^{n+r}+\sum_{n=0}^{\infty}c% _{n}(n+r)x^{n+r}$		(5.194)
	$\displaystyle+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+r+2}-\nu^{2}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n% }x^{n+r}$		(5.195)
	$\displaystyle=c_{0}(r^{2}-r+r-\nu^{2})x^{r}$		(5.196)
	$\displaystyle+x^{r}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\left[(n+r)(n+r-1)+(n+r)-\nu^{2}% \right]x^{n}+x^{r}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+2}$		(5.197)
	$\displaystyle=c_{0}(r^{2}-\nu^{2})x^{r}+x^{r}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\left[(n+% r)^{2}-\nu^{2}\right]x^{n}$		(5.198)
	$\displaystyle+x^{r}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+2}$		(5.199)

Do primeiro termo, obtemos a chamada equação indicial

r^{2}-\nu^{2}=0

(5.200)

donde

r_{1}=\nu,\qquad r_{2}=-\nu.

(5.201)

Ou seja, somente podemos esperar encontrar soluções para (5.189) da forma (5.190) para estes valores de $r$ .

Substituindo $r=r_{1}=\nu$ em (5.199), obtemos

	$\displaystyle 0=x^{\nu}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}\left[(n+\nu)^{2}-\nu^{2}\right% ]x^{n}+x^{\nu}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+2}$		(5.202)
	$\displaystyle=x^{\nu}\sum_{n=1}^{\infty}c_{n}n(n+2\nu)x^{n}+x^{\nu}\sum_{n=0}^% {\infty}c_{n}x^{n+2}$		(5.203)
	$\displaystyle=x^{\nu}\left[c_{1}(1+2\nu)x+\underbrace{\sum_{n=2}^{\infty}c_{n}% n(n+2\nu)x^{n}}_{m=n-2}+\underbrace{x^{\nu}\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}x^{n+2}}_{m% =n}\right]$		(5.204)
	$\displaystyle=x^{\nu}\left[c_{1}(1+2\nu)x\right.$		(5.205)
	$\displaystyle\left.+\sum_{m=0}^{\infty}c_{m+2}(m+2)(m+2+2\nu)x^{m+2}+x^{\nu}% \sum_{m=0}^{\infty}c_{m}x^{m+2}\right]$		(5.206)
	$\displaystyle=x^{\nu}\left\{c_{1}(1+2\nu)x+\sum_{m=0}^{\infty}\left[c_{m+2}(m+% 2)(m+2+2\nu)+c_{m}\right]x^{m+2}\right\}$		(5.207)

Logo,

c_{1}(1+2\nu)=0

(5.208)

e, para $m=0,1,2,\infty$ ,

(m+2)(m+2+2\nu)c_{m+2}+c_{m}=0

(5.209)

ou, equivalentemente,

c_{m+2}=\frac{-c_{m}}{(m+2)(m+2+2\nu)}

(5.210)

Escolhendo $c_{1}=0$ , temos

c_{3}=c_{5}=c_{7}=\cdots=0.

(5.211)

Agora, para $m+2=2n$ , $n=1,2,3,\ldots$ , temos

c_{2n}=-\frac{c_{2n-2}}{2^{2}n(n+\nu)}.

(5.212)

Daí, segue que

$\displaystyle c_{2}$	$\displaystyle=-\frac{c_{0}}{2^{2}\cdot 1\cdot(1+\nu)}$	(5.213)
$\displaystyle c_{4}$	$\displaystyle=-\frac{c_{2}}{2^{2}\cdot 2\cdot(2+\nu)}$	(5.214)
	$\displaystyle=\frac{c_{0}}{2^{4}\cdot 2!\cdot(1+\nu)(2+\nu)}$	(5.215)
$\displaystyle c_{6}$	$\displaystyle=-\frac{c_{4}}{2^{2}\cdot 3\cdot(3+\nu)}$	(5.216)
	$\displaystyle=-\frac{c_{0}}{2^{6}\cdot 3!\cdot(1+\nu)(2+\nu)(3+\nu)}$	(5.217)
	$\displaystyle\vdots$	(5.218)
$\displaystyle c_{2n}$	$\displaystyle=\frac{(-1)^{n}c_{0}}{2^{2n}n!(1+\nu)(2+\nu)\cdots(n+\nu)}$	(5.219)

Da propriedade da função gama

\Gamma(x+1)=x\Gamma(x)

(5.220)

temos que

$\displaystyle\Gamma(1+\nu+1)$	$\displaystyle=(1+\nu)\Gamma(1+\nu)$	(5.221)
$\displaystyle\Gamma(1+\nu+2)$	$\displaystyle=(2+\nu)\Gamma(2+\nu)=(1+\nu)(2+\nu)\Gamma(1+\nu)$	(5.222)
	$\displaystyle\vdots$	(5.223)
$\displaystyle\Gamma(1+\nu+n)$	$\displaystyle=(1+\nu)(2+\nu)\cdots(n+\nu)\Gamma(1+\nu).$	(5.224)

Com isso, escolhendo

c_{0}=\frac{1}{2^{\nu}\Gamma(1+\nu)}

(5.225)

concluímos que

c_{2n}=\frac{(-1)^{n}}{2^{2n+\nu}n!\Gamma(1+\nu+n)}

(5.226)

c_{2n-1}=0

(5.227)

para $n=1,2,3,\ldots$ .

Com tudo isso, obtivemos a seguinte solução para a equação de Bessel

y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{2^{2n+\nu}n!\Gamma(1+\nu+n)}x^{2n+\nu}

(5.228)

ou, equivalentemente,

y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(1+\nu+n)}\left(\frac{x}{2}% \right)^{2n+\nu}.

(5.229)

Esta é conhecida como função de Bessel de primeira espécie de ordem $\nu$ e é usualmente denotada por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}J_{\nu}(x)=% \sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(1+\nu+n)}\left(\frac{x}{2}\right)^% {2n+\nu}}.

(5.230)

Pode-se mostrar que se $\nu\geq 0$ , a série converge para $x\in[0,\infty)$ .

Outra solução da equação de Bessel é obtida tomando $r=r_{2}=-\nu$ . Procedendo de forma análoga, obtemos a solução

	$\displaystyle y(x)$	$\displaystyle=J_{-\nu}(x)$		(5.231)
		$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma(1-\nu+n)}\left(\frac% {x}{2}\right)^{2n-\nu},$		(5.232)

a qual é chamada de função de Bessel de primeira espécie de ordem $-\nu$ .

Agora, vamos discutir sobre a solução geral da equação de Bessel. Pode-se mostrar se $\nu$ não é um número inteiro, então $J_{\nu}(x)$ e $J_{-\nu}(x)$ são soluções linearmente independentes. Logo, temos a solução geral

y(x)=c_{1}J_{\nu}(x)+c_{2}J_{-\nu}(x),\quad\nu\not\in\mathbb{Z}.

(5.233)

Exemplo 5.3.1.

A solução geral da equação de Bessel de ordem $\nu=1/3$

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+\left(x^{2}-\frac{1}{9}\right)y=0

(5.234)

y(x)=c_{1}J_{\frac{1}{3}}(x)+c_{2}J_{-\frac{1}{3}}(x).

(5.235)

5.3.1 Função de Bessel de segunda espécie

A função de Bessel de segunda espécie de ordem $\nu$ é dada por

Y_{\nu}(x)=\frac{J_{\nu}(x)\cos(\nu\pi)-J_{-\nu}(x)}{\operatorname{sen}(\nu\pi)}

(5.236)

Para $\nu$ não inteiro, $Y_{\nu}(x)$ e $J_{\nu}(x)$ são soluções linearmente independentes da equação de Bessel. Agora, pode-se mostrar que quando $\nu\to m$ número inteiro, o seguinte limite está bem definido

Y_{m}(x)=\lim_{\nu\to m}Y_{\nu}(x).

(5.237)

Além disso, para $m$ número inteiro, $Y_{m}(x)$ e $J_{m}(x)$ são linearmente independentes. Logo, a solução geral da equação de Bessel de ordem $m$ é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(x)=c_{1}J_{m% }(x)+c_{2}Y_{m}(x)},

(5.238)

onde $Y_{\nu}(x)$ é chamada de função de Bessel de segunda espécie de ordem $\nu$ .

Exemplo 5.3.2.

A solução geral da equação de Bessel de ordem $\nu=3$

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+\left(x^{2}-9\right)y=0

(5.239)

y(x)=c_{1}J_{3}(x)+c_{2}Y_{3}(x).

(5.240)

Exercícios resolvidos

ER 5.3.1.

Forneça a solução geral da equação

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+x^{2}y=0

(5.241)

Solução.

Esta é a equação de Bessel de ordem $\nu=0$ . A solução geral é combinação linear da função de Bessel de primeira espécie $J_{0}(x)$ com a função de Bessel de segunda espécie $Y_{0}(x)$ , i.e.

y(x)=c_{1}J_{0}(x)+c_{2}Y_{0}(x).

(5.242)

ER 5.3.2.

Verifique se

J_{\frac{1}{2}}(x)=\left(\frac{2}{\pi x}\right)^{\frac{1}{2}}\operatorname{sen% }x,\quad x>0.

(5.243)

Dica:

\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi}.

(5.244)

Solução.

Da definição da função de Bessel de primeira espécie de ordem $\nu$ (5.230), temos

J_{\frac{1}{2}}(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\Gamma\left(1+\frac{1}% {2}+n\right)}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+\frac{1}{2}}.

(5.245)

Usando (5.244), temos

	$\displaystyle\Gamma\left(1+\frac{1}{2}+n\right)$	$\displaystyle=\frac{[2(n+1)]!}{4^{n+1}(n+1)!}\sqrt{\pi}$		(5.246)
		$\displaystyle=\frac{[2(n+1)]!}{2^{2n+2}(n+1)!}\sqrt{\pi}.$		(5.247)

Substituindo na função de Bessel, obtemos

$\displaystyle J_{\frac{1}{2}}(x)$	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n!\frac{[2(n+1)]!}{2^{2n+2}(n% +1)!}\sqrt{\pi}}\left(\frac{x}{2}\right)^{2n+\frac{1}{2}}$	(5.248)
	$\displaystyle=\left(\frac{x}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{\pi}}\sum_{% n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}2^{2n+2}(n+1)!}{n![2(n+1)]!2^{2n}}x^{2n}$	(5.249)
	$\displaystyle=\left(\frac{x}{2\pi}\right)^{\frac{1}{2}}\sum_{n=0}^{\infty}% \frac{(-1)^{n}2^{2}(n+1)}{[2(n+1)]!}x^{2n}$	(5.250)
	$\displaystyle=\left(\frac{x}{2\pi}\right)^{\frac{1}{2}}2\sum_{n=0}^{\infty}% \frac{(-1)^{n}(2n+2)}{(2n+2)(2n+1)!}x^{2n}$	(5.251)
	$\displaystyle=\frac{2\sqrt{x}}{x\sqrt{2}\sqrt{\pi}}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-% 1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}$	(5.252)
	$\displaystyle=\sqrt{\frac{2}{\pi x}}\operatorname{sen}x,$	(5.253)

lembrando que a expansão em série de MacLaurin

\operatorname{sen}x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}x^{2n+1}.

(5.254)

Exercícios

E. 5.3.1.

Forneça a solução da equação de Bessel

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-\frac{1}{16})y=0.

(5.255)

Resposta.

$y(x)=c_{1}J_{\frac{1}{4}}(x)+c_{2}J_{-\frac{1}{4}}(x)$

E. 5.3.2.

Forneça a solução da equação de Bessel de ordem um

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+(x^{2}-1)y=0.

(5.256)

Resposta.

$y(x)=c_{1}J_{1}(x)+c_{2}Y_{1}(x)$

E. 5.3.3.

Forneça a solução da equação

4x^{2}(y^{\prime\prime}+y)+4xy^{\prime}-9y=0.

(5.257)

Resposta.

$y(x)=c_{1}J_{\frac{3}{2}}(x)+c_{2}J_{-\frac{3}{2}}(x)$

E. 5.3.4.

Calcule $J_{0}^{\prime}(x)$ para $x>0$ ²⁸²⁸endnote: ²⁸Pode-se mostrar que $J_{0}$ é uma função analítica em $x=0$ . Veja, por exemplo, [Boyce2020, Capítulo 5., Seção 5.7.].

Resposta.

$J_{0}^{\prime}(x)=-J_{1}(x)$

E. 5.3.5.

Verifique se

J_{-\frac{1}{2}}(x)=\left(\frac{2}{\pi x}\right)^{\frac{1}{2}}\cos x,\quad x>0.

(5.258)

Resposta.

Dicas:

\Gamma\left(\frac{1}{2}+n\right)=\frac{(2n)!}{4^{n}n!}\sqrt{\pi}.

(5.259)

\cos x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}.

(5.260)

E. 5.3.6.

Calcule a solução geral da equação de Bessel de ordem um meio

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+\left(x^{2}-\frac{1}{4}\right)y=0.

(5.261)

Resposta.

$y(x)=c_{1}\frac{\operatorname{sen}x}{x^{1/2}}+c_{2}\frac{\cos x}{x^{1/2}}$

Notas

1 Lembre-se que $\displaystyle y^{\prime}=\frac{dy}{dt}$ , $y^{\prime\prime}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$ e assim por diante.
2 Em várias situações o domínio de interesse de $t$ é também informado junto com a equação. Veremos isso mais adiante.
3 Pierre François Verhulst, 1804-1849, matemático belga.
4 Vamos usar de decomposição em frações parciais.
5 $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}f(y(x))=\frac{\partial f}{\partial y}% \frac{dy}{dx}$
6 Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço.
7 Embora não tenha sido apresentada aqui, a unicidade de solução pode ser demonstrada.
8 Leonhard Euler, 1707-1783, matemático suíço. Fonte: Wikipedia.
9 Lembre-se que seno é uma função ímpar, i.e. $\operatorname{sen}(-x)=-\operatorname{sen}(x)$ .
10 $b^{2}-4ac=0$
11 São soluções da equação homogênea associada e $W(y_{1},y_{2};t)\neq 0$ .
12 Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço. Fonte: Wikipedia.
13 Józef Maria Hoene-Wroński, 1776 - 1853, matemático polonês. Fonte: Wikipedia.
14 Observando que $r=1$ é solução da equação, podemos usar o método de redução do grau utilizado no exemplo anterior.
15 Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço. Fonte: Wikipedia.
16 $\underline{0}=(0,0,\cdots 0)$ .
17 Veja mais informações em SymPy: Matrices.
18 Leonhard Euler, 1707-1783, matemático suíço. Fonte: Wikipedia.
19 Veja a Observação 3.3.2.
20 Os autovalores de uma matriz triangular são iguais aos elementos de sua diagonal.
21 Veja a Observação 3.3.2.
22 Leonhard Euler, 1707-1783, matemático suíço. Fonte: Wikipedia.
23 Veja Observação
24 Veja Observação
25 Veja Observação
26 Sir George Biddell Airy, 1801 - 1892, matemático inglês. Fonte: Wikipedia.
27 Por definição, $0!=1$ .
28 Pode-se mostrar que $J_{0}$ é uma função analítica em $x=0$ . Veja, por exemplo, [Boyce2020, Capítulo 5., Seção 5.7.]

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