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2 EDO de primeira ordem 2.1 Equação linear 2.3 Equação exata

2.2 Equação separável

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Uma EDO de primeira ordem

\frac{dy}{dx}=f(x,y)

(2.124)

é dita ser uma equação separável quando pode ser reescrita na seguinte forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}M(x)+N(y)\frac% {dy}{dx}=0.}

(2.125)

Exemplo 2.2.1.

Vejamos os seguintes casos.

a)

É separável a EDO

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y},$ (2.126)

pois pode ser reescrita como segue

$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$ (2.127)

$\displaystyle y\frac{dy}{dx}=x^{2}$ (2.128)

$\displaystyle\underbrace{-x^{2}}_{M(x)}+\underbrace{y}_{N(y)}\frac{dy}{dx}=0.$ (2.129)
b)

Não é separável a EDO

$e^{xy}-x\frac{dy}{dx}=0.$ (2.130)

Observe que não há como reescrever esta equação na forma (2.125).

Agora, vamos ver como podemos resolver uma EDO separável. Consideremos a equação separável

M(x)+N(y)\frac{dy}{dx}=0.

(2.131)

Sejam, também, $F=F(x)$ e $G=G(y)$ primitivas de $M$ e $N$ , respectivamente. I.e.

	$\displaystyle\frac{d}{dx}F(x)=M(x),$		(2.132)
	$\displaystyle\frac{d}{dy}G(y)=N(y).$		(2.133)

Lembrando que $y=y(x)$ , temos da regra da cadeia que

	$\displaystyle\frac{d}{dx}G(y)$	$\displaystyle=\frac{dG(y)}{dy}\frac{dy}{dx}$		(2.134)
		$\displaystyle=N(y)\frac{dy}{dx}.$		(2.135)

Ou seja, a EDO (2.131) pode ser reescrita na forma

\frac{d}{dx}F(x)+\frac{d}{dx}G(y)=0

(2.136)

ou ainda,

\frac{d}{dx}\left(F(x)+G(y)\right)=0.

(2.137)

Então, integrando em relação a $x$ , obtemos

F(x)+G(y)=c,

(2.138)

a qual é uma equação algébrica para $y$ que, com sorte, pode ser usada para explicitar a solução da EDO (2.131).

Exemplo 2.2.2.

Vamos resolver a seguinte EDO separável:

\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}.

(2.139)

a)

Método 1. Primeiramente, reescrevemos a EDO no formato (2.125):

$\underbrace{-x^{2}}_{M(x)}+\underbrace{y}_{N(y)}\frac{dy}{dx}=0.$ (2.140)

Então, calculamos as primitivas

$\displaystyle F(x)$ $\displaystyle=\int M(x)\,dx$ (2.141)

$\displaystyle=\int-x^{2}\,dx$ (2.142)

$\displaystyle=-\frac{x^{3}}{3}+c$ (2.143)

e

$\displaystyle G(y)$ $\displaystyle=\int N(y)\,dy$ (2.144)

$\displaystyle=\int y\,dy$ (2.145)

$\displaystyle=\frac{y^{2}}{2}+c.$ (2.146)

Então, segue que a EDO resume-se a seguinte equação algébrica

$\displaystyle F(x)+G(y)=c$ (2.147)

$\displaystyle-\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=c$ (2.148)

a qual é uma equação implícita da solução geral $y=y(x)$ .
b)

Método 2. A EDO separável

$\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$ (2.149)

pode ser reescrita como

$y\,dy=x^{2}\,dx.$ (2.150)

Integrando ambos os lados desta equação, obtemos

$\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{3}}{3}+c,$ (2.151)

a qual é equivalente a solução obtida em (2.148).

Na figura abaixo, temos esboços dos gráficos da solução para diferentes valores de $c$ .

Refer to caption — Figura 2.3: Esboços dos gráficos da solução da EDO do Exemplo 2.2.2 para: (azul) $c=-1$ , (vermelho) $c=0$ , (verde) $c=1$ e (preto) $c=2$ .

No Python, podemos computar a solução com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: y = symbols('y', cls=Function)

3 ...: x,C1 = symbols('x,C1')

4 ...: edo = Eq(diff(y(x),x),x**2/y(x))

5 ...: sg = dsolve(edo, y(x), simplify=False)

6 ...: sg

7 Out: Eq(y(x)**2/2, C1 + x**3/3)

Os esboços dos gráficos podem ser feitos com:

⬇

1 In : var('y')

2 ...: sg = sg.subs(y(x),y)

3 ...: p = plot_implicit(sg.subs(C1,-1), (x,-4,4), \

4 ...: (y,-4,4), line_color='blue', show=False)

5 ...: q = plot_implicit(sg.subs(C1,0), (x,-4,4), \

6 ...: (y,-4,4), line_color='red', show=False)

7 ...: p.extend(q)

8 ...: q = plot_implicit(sg.subs(C1,1), (x,-4,4), \

9 ...: (y,-4,4), line_color='green', show=False)

10 ...: p.extend(q)

11 ...: q = plot_implicit(sg.subs(C1,2), (x,-4,4), \

12 ...: (y,-4,4), line_color='black', show=False)

13 ...: p.extend(q)

14 ...: p.show()

Observação 2.2.1.

Como vimos no exemplo anterior (Exemplo 2.2.2), a solução geral de uma EDO separável nem sempre pode ser explicitada. Em muitos casos o procedimento de separar as variáveis nos leva a obter a solução da EDO na forma de uma equação algébrica implícita.

2.2.1 Equação de Verhulst

A equação de Verhulst³³endnote: ³Pierre François Verhulst, 1804-1849, matemático belga. (ou equação logística) é um clássico modelo de crescimento populacional. Trata-se da seguinte equação autônoma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{dy}{dt}=% r\left(1-\frac{y}{K}\right)y},

(2.152)

onde $y$ é a medida de tamanho da população e os parâmetros são: $r>0$ a taxa de crescimento intrínseca e $K>0$ o nível de saturação.

Antes de resolvermos esta equação, vamos fazer algumas observações que podem ser obtidas diretamente da EDO. Do cálculo, temos que se $dy/dt=0$ para todos os valores de $t$ , então $y$ é constante, i.e. a população se mantém constante. A derivada é nula quando o lado direito de (2.152) for nulo, i.e.

r\left(1-\frac{y}{K}\right)y=0.

(2.153)

Isso ocorre quando $y=0$ ou quando $y=K$ . Ou seja, se a população é nula não há crescimento populacional, bem como, não há crescimento se a população estiver em seu nível de saturação.

Agora, o que ocorre se a população for $0<y<K$ ? Neste caso, temos

\frac{dy}{dt}=r\underbrace{\left(1-\frac{y}{K}\right)}_{>0}y>0,

(2.154)

ou seja, a população cresce. Por outro lado, se $y>K$ (a população está acima de seu nível de saturação), então

\frac{dy}{dt}=r\underbrace{\left(1-\frac{y}{K}\right)}_{<0}y<0,

(2.155)

a população decresce. Estas conclusões também nos levam a inferir que

\lim_{t\to\infty}y(t)=K,

(2.156)

para qualquer população inicial não nula.

Solução da equação logística

Consideramos o seguinte PVI

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=r\left(1-\frac{y}{K}\right)y,\quad t>0,$		(2.157)
	$\displaystyle y(0)=y_{0}.$		(2.158)

A equação de Verhulst é uma EDO separável, daí segue que

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=r\left(1-\frac{y}{K}\right)y$		(2.159)
	$\displaystyle\frac{1}{\left(1-\frac{y}{K}\right)y}\,dy=r\,dt.$		(2.160)

Vamos integrar o lado esquerdo desta última equação⁴⁴endnote: ⁴Vamos usar de decomposição em frações parciais.

	$\displaystyle\int\frac{1}{\left(1-\frac{y}{K}\right)y}\,dy$	$\displaystyle=\int\left(\frac{1}{y}+\frac{1/K}{1-y/K}\right)\,dy$		(2.161)
		$\displaystyle=\ln\|y\|-\ln\left\|1-\frac{y}{K}\right\|.$		(2.162)

Logo, a solução da equação logística satisfaz a seguinte equação algébrica

\ln|y|-\ln\left|1-\frac{y}{K}\right|=rt+c,

(2.163)

onde $c$ é uma constante a determinar. Antes, observamos que esta equação é equivalente a

\ln\left|\frac{y}{1-\frac{y}{K}}\right|=rt+c.

(2.164)

Aplicando a função exponencial, obtemos

\frac{y}{1-y/K}=ce^{rt}.

(2.165)

Da condição inicial $y(0)=y_{0}$ , encontramos

c=\frac{y_{0}}{1-y_{0}/K}.

(2.166)

Agora, podemos isolar $y$ em (2.165) como segue:

	$\displaystyle y=\left(1-\frac{y}{K}\right)ce^{rt}$		(2.167)
	$\displaystyle y=ce^{rt}-y\frac{c}{K}e^{rt}$		(2.168)
	$\displaystyle\left(1+\frac{c}{K}e^{rt}\right)y=ce^{rt}$		(2.169)
	$\displaystyle y=\frac{ce^{rt}}{1+\frac{c}{K}e^{rt}}$		(2.170)

Então, multiplicando em cima e em baixo por $(K/c)e^{-rt}$ , obtemos

y=\frac{K}{\frac{K}{c}e^{-rt}+1}.

(2.171)

Por fim, de (2.166), obtemos a solução

y(t)=\frac{y_{0}K}{y_{0}+(K-y_{0})e^{-rt}}.

(2.172)

Da solução, corroboramos que a população permanece constante quando $y_{0}=0$ ou $y_{0}=K$ . Ainda, se $0<y_{0}<K$ ou $y_{0}>K$ , temos que

	$\displaystyle\lim_{t\to\infty}y(t)$	$\displaystyle=\lim_{t\to\infty}\frac{y_{0}K}{y_{0}+(K-y_{0})\cancelto{0}{e^{-% rt}}}$		(2.173)
		$\displaystyle=K.$		(2.174)

Exemplo 2.2.3.

Vamos usar a equação de Verhulst para modelar a dinâmica de uma população com taxa de crescimento intrínseca $r=0,1$ e nível de saturação $K=1$ (bilhão). Pelo que vimos nesta subsecção, temos o modelo

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=0,1\left(1-y\right)y,\quad t>0,$		(2.175)
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$		(2.176)

onde $y:\mapsto y(t)$ é a solução no tempo $t$ e $y_{0}$ é a população inicial.

De 2.172, temos a solução

y(t)=\frac{y_{0}}{y_{0}+(1-y_{0})e^{-0,1t}}.

(2.177)

A figura abaixo, mostra a dinâmica da população para $y_{0}=0,5<K$ , $y_{0}=1=K$ e $y_{0}=1,5>K$ .

Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

( $\blacktriangleright$ Vídeo disponível!)

Calcule a solução geral da EDO

y^{\prime}=2y^{2}+xy^{2}.

(2.178)

Solução.

Separando as variáveis, obtemos

	$\displaystyle y^{\prime}=2y^{2}+xy^{2}$		(2.179)
	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=y^{2}(2+x)$		(2.180)
	$\displaystyle\frac{1}{y^{2}}\,dy=(2+x)\,dx.$		(2.181)

Integrando, obtemos a solução geral

\displaystyle-\frac{1}{y}=2x+\frac{x^{2}}{2}+c.

(2.182)

ER 2.2.2.

Calcule a solução do PVI

	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y},\quad x>0,$		(2.183)
	$\displaystyle y(0)=2.$		(2.184)

Solução.

Separamos as variáveis e integramos

	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$		(2.185)
	$\displaystyle y\,dy=x^{2}\,dx$		(2.186)
	$\displaystyle\int y\,dy=\int x^{2}\,dx$		(2.187)
	$\displaystyle\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{3}}{3}+c.$		(2.188)

Determinamos a constante $c$ pela aplicação da condição inicial $y(0)=2$ . Ou seja, temos

	$\displaystyle\frac{y^{2}(0)}{2}=\frac{0^{3}}{3}+c$		(2.189)
	$\displaystyle c=2.$		(2.190)

Logo, a solução $y=y(x)$ do PVI é dada pela equação algébrica

\frac{y^{2}}{2}=\frac{x^{3}}{3}+2.

(2.191)

Buscando explicitar a solução, observamos que

	$\displaystyle y^{2}=\frac{2}{3}x^{3}+4$		(2.192)
	$\displaystyle y=\pm\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+4}.$		(2.193)

Lembrando que $y(0)=2$ , temos necessariamente que

y(x)=\sqrt{\frac{2}{3}x^{3}+4}.

(2.194)

ER 2.2.3.

(Crescimento populacional com limiar) Considere o seguinte modelo de crescimento populacional

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=-r\left(1-\frac{y}{L}\right)y,\quad t>0,$
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$

onde $y=y(t)$ é o tamanho da população, $y_{0}\geq 0$ é a população inicial e são parâmetros $r,L>0$ . Forneça os valores de $y_{0}$ para os quais a população é crescente.

Solução.

A população $y$ é crescente quando

\frac{dy}{dt}>0.

(2.195)

Logo, precisamos ter

-r\left(1-\frac{y}{L}\right)y>0.

(2.196)

Isto ocorre quando

	$\displaystyle 1-\frac{y}{L}<0$		(2.197)
	$\displaystyle y>L.$		(2.198)

Logo, concluímos que uma população inicial $y_{0}>L$ é necessária para produzir uma taxa de crescimento populacional positiva.

Exercícios

E. 2.2.1.

Calcule a solução de

	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=xe^{y},\quad x>0,$		(2.199)
	$\displaystyle y(0)=1.$		(2.200)

Resposta.

$y(x)=\ln\left(\frac{2}{2e^{-1}-x^{2}}\right)$ .

E. 2.2.2.

Resolva a EDO

y^{\prime}+y^{2}\cos x=0.

(2.201)

Resposta.

$y(x)=\frac{1}{c+\operatorname{sen}x}$

E. 2.2.3.

Resolva o PVI

e^{x+y}y^{\prime}=1,\quad x>0,\\ y(0)=0.

(2.202)

Resposta.

$y(x)=\ln\left(2-e^{-x}\right)$

E. 2.2.4.

Considere o seguinte modelo de crescimento populacional

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=-r\left(1-\frac{y}{L}\right)y,\quad t>0,$
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$

onde $y=y(t)$ é o tamanho da população, $y_{0}\geq 0$ é a população inicial e são parâmetros $r,L>0$ . Qual é a tendência da população $y=y(t)$ quando $t\to\infty$ e

a)

$y_{0}=0$ ;
b)

$0<y_{0}<L$ ;
c)

$y_{0}=L$ ;
d)

$y_{0}>L$

Resposta.

a) $y(t)\equiv 0$ ; b) $y(t)\to 0$ ; c) $y(t)\equiv L$ ; d) $y(t)\to\infty$ .

E. 2.2.5.

Resolva o seguinte modelo de crescimento populacional

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=-r\left(1-\frac{y}{L}\right)y,\quad t>0,$
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$

onde $y=y(t)$ é o tamanho da população, $y_{0}\geq 0$ é a população inicial e são parâmetros $r,L>0$ .

Resposta.

$\displaystyle y(t)=\frac{y_{0}L}{y_{0}+(L-y_{0})e^{rt}}$ .

E. 2.2.6.

Considere o seguinte modelo de crescimento populacional

	$\displaystyle\frac{dy}{dt}=-r\left(1-\frac{y}{L}\right)\left(1-\frac{y}{K}% \right)y,\quad t>0,$
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$

onde $y=y(t)$ é o tamanho da população, $y_{0}\geq 0$ é a população inicial e são parâmetros $r>0$ , $K>L>0$ . Qual é a tendência da população $y=y(t)$ quando $t\to\infty$ e

a)

$y_{0}=0$ ;
b)

$0<y_{0}<L$ ;
c)

$y_{0}=L$
d)

$L<y_{0}<K$ ;
e)

$y_{0}=K$
f)

$y_{0}>K$

Resposta.

a) $y(t)\equiv 0$ ; b) $y(t)\to 0$ ; c) $y(t)\equiv L$ ; d) $y(t)\to K$ ; e) $y(t)\equiv K$ ; f) $y(t)\to K$ .

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	$\displaystyle\frac{dy}{dx}=\frac{x^{2}}{y}$		(2.127)
	$\displaystyle y\frac{dy}{dx}=x^{2}$		(2.128)
	$\displaystyle\underbrace{-x^{2}}_{M(x)}+\underbrace{y}_{N(y)}\frac{dy}{dx}=0.$		(2.129)

$\displaystyle F(x)$	$\displaystyle=\int M(x)\,dx$	(2.141)
	$\displaystyle=\int-x^{2}\,dx$	(2.142)
	$\displaystyle=-\frac{x^{3}}{3}+c$	(2.143)

$\displaystyle G(y)$	$\displaystyle=\int N(y)\,dy$	(2.144)
	$\displaystyle=\int y\,dy$	(2.145)
	$\displaystyle=\frac{y^{2}}{2}+c.$	(2.146)

	$\displaystyle F(x)+G(y)=c$		(2.147)
	$\displaystyle-\frac{x^{3}}{3}+\frac{y^{2}}{2}=c$		(2.148)