Colabore! Saiba mais screen_rotation

Ao navegar por este site , você concorda com a Política de Uso de Dados.

| | | | |

3 EDO linear de ordem 2 ou mais alta 3.3 EDO de ordem 2 não homogênea 4 Sistema de EDOs lineares de ordem 1

3.4 EDO de ordem mais alta

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

Os métodos aplicados para EDOs lineares de segunda ordem podem ser estendidos para tratarmos EDOs lineares de ordem mais alta. Aqui, vamos nos restringir ao caso de tais EDOs com coeficientes constantes, i.e. equações da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a_{n}y^{(n)}+a% _{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{0}y=g(x)},

(3.314)

onde $y=y(t)$ , $a_{0}$ , $a_{1}$ , $\dotsc$ , $a_{n}$ são constantes dadas e $a_{n}\neq 0$ .

3.4.1 EDO homogênea

Assista no YouTube

Assista no archive.org!

Escute a audioleitura!

A solução geral de uma EDO homogênea da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a_{n}y^{(n)}+a% _{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{0}y=0},

(3.315)

é dada por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(t)=c_{1}y_{1% }(t)+c_{2}y_{2}(t)+\cdots+c_{n}y_{n}(t)},

(3.316)

sendo que $y_{1}$ , $y_{2}$ , $\dotsc$ , $y_{n}$ formam um conjunto fundamental de soluções, i.e. são soluções tais que o wronskiano¹³¹³endnote: ¹³Józef Maria Hoene-Wroński, 1776 - 1853, matemático polonês. Fonte: Wikipedia.

W(y_{1},y_{2},\dotsc,y_{n};t)=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots&y_{n}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}&\cdots&y_{n}^{\prime}\\ \vdots&\vdots&\vdots&\vdots\\ y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots&y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}\neq 0.

(3.317)

Podemos obter soluções particulares da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(t)=e^{rt}}.

(3.318)

Substituindo na EDO, vemos que $r$ deve satisfazer a equação característica

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}a_{n}r^{n}+a_{% n-1}r^{n-1}+\cdots+a_{0}=0}.

(3.319)

Cada raiz nos fornece uma solução particular $y_{p}=y_{p}(t)$ :

a)

se $r=r_{p}$ é raiz simples, então $y_{p}(t)=e^{r_{p}t}$
b)

se $r=r_{p}$ raiz de multiplicidade $m$ , então

$\displaystyle y_{p+1}(t)$ $\displaystyle=e^{r_{p}t}$ (3.320)

$\displaystyle y_{p+2}(t)$ $\displaystyle=te^{r_{p}t}$ (3.321)

$\displaystyle\vdots$ (3.322)

$\displaystyle y_{p+m}$ $\displaystyle=t^{m-1}e^{r_{p}t}$ (3.323)
c)

se $r=\lambda_{p}\pm i\mu_{p}$ é raiz complexa, então

$\displaystyle y_{p+1}$ $\displaystyle=e^{\lambda_{p}t}\cos(\mu_{p}t)$ (3.324)

$\displaystyle y_{p+2}$ $\displaystyle=e^{\lambda_{p}t}\operatorname{sen}(\mu_{p}t).$ (3.325)

Exemplo 3.4.1.

Vamos calcular a solução geral de

y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=0.

(3.326)

A equação característica associada é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}r^{3}+2r^{2}-r% -2}=0.

(3.327)

Queremos calcular as raízes do polinômio característico. Para tanto, começamos observando que ${\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}r=1}$ é raiz, pois $1^{3}+2\cdot 1^{2}-1-2=0$ . Logo, o polinômio é divisível pelo monômio ${\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}(r-1)}$ . Calculando a divisão

	$\displaystyle\;\;{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}r^{3}+2r% ^{2}-r-2}\,\|\underline{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}r-1% }\quad}$		(3.328)
	$\displaystyle\underline{-r^{3}+r^{2}}\quad\quad\quad\quad\;{\color[rgb]{0,1,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,1}\pgfsys@color@cmyk@stroke{1}{0}% {0}{0}\pgfsys@color@cmyk@fill{1}{0}{0}{0}r^{2}+3r+2}$		(3.329)
	$\displaystyle\quad\quad\;3r^{2}-r$		(3.330)
	$\displaystyle\quad\;\underline{-3r^{2}+3r}$		(3.331)
	$\displaystyle\quad\quad\quad\quad 2r-2$		(3.332)
	$\displaystyle\quad\quad\quad\underline{-2r+2}$		(3.333)
	$\displaystyle\quad\quad\quad\quad\quad\quad 0$		(3.334)

obtemos, para $r\neq 1$ ,

\frac{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}r^{3}+2r^{2}-r% -2}}{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}r-1}}={\color[% rgb]{0,1,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,1}% \pgfsys@color@cmyk@stroke{1}{0}{0}{0}\pgfsys@color@cmyk@fill{1}{0}{0}{0}r^{2}+% 3r+2}

(3.335)

ou, equivalentemente,

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}r^{3}+2r^{2}-r% -2}={\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}(r-1)}{\color[% rgb]{0,1,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,1,1}% \pgfsys@color@cmyk@stroke{1}{0}{0}{0}\pgfsys@color@cmyk@fill{1}{0}{0}{0}(r^{2}% +3r+2)}

(3.336)

Portanto, as outras raízes do polinômio característico ocorrem quando

	$\displaystyle r^{2}+3r+2=0$		(3.337)
	$\displaystyle r=\frac{-3\pm\cancelto{1}{\sqrt{9-4\cdot 1\cdot 2}}}{2}$		(3.338)
	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}r=-2},\quad% \text{ou}\quad{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}r=-1}.$		(3.339)

Concluímos que as soluções da equação característica são ${\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}r_{1}=-2}$ , ${\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}r_{2}=-1}$ e ${\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}r_{3}=1}$ . Logo, a solução geral é

y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{-t}+c_{3}e^{t}.

(3.340)

Vamos, ainda, verificar se $y_{1}(t)=e^{-2t}$ , $y_{2}(t)=e^{-t}$ e $y_{3}(t)=e^{t}$ formam um conjunto fundamental de soluções. Por construção, sabemos que estas são soluções particulares. Resta, portanto, verificar que o wronskiano é não nulo. De fato, temos

$\displaystyle W(y_{1},y_{2},y_{3};t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&y_{3}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}&y_{3}^{\prime}\\ y_{1}^{\prime\prime}&y_{2}^{\prime\prime}&y_{3}^{\prime\prime}\end{vmatrix}$	(3.344)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}e^{-2t}&e^{-t}&e^{t}\\ -2e^{-2t}&-e^{-t}&e^{t}\\ 4e^{-2t}&e^{-t}&e^{t}\end{vmatrix}$	(3.348)
	$\displaystyle=6e^{-2t}\neq 0,\quad\forall t.$	(3.349)

No Python, podemos computar a solução geral com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : t,r = symbols('t,r')

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

5 In : edo = y(t).diff(t,3) + 2*y(t).diff(t,2) \

6 ...: - y(t).diff(t) - 2*y(t)

7 In : dsolve(edo,y(t))

8 Out: Eq(y(t), C1*exp(-2*t) + C2*exp(-t) + C3*exp(t))

Então, para computarmos o wronskiano, podemos usar os seguintes comandos:

⬇

1 In : y1 = exp(-2*t)

2 In : y2 = exp(-t)

3 In : y3 = exp(t)

4 In : W = Matrix([[y1,y2,y3], \

5 [y1.diff(t),y2.diff(t),y3.diff(t)], \

6 [y1.diff(t,2),y2.diff(t,2),y3.diff(t,2)]])

7 In : W.det()

8 Out: 6*exp(-2*t)

Exemplo 3.4.2.

Vamos encontrar a solução geral de

y^{(4)}+2y^{\prime\prime}-8y^{\prime}+5y=0.

(3.350)

As raízes da equação característica associada¹⁴¹⁴endnote: ¹⁴Observando que $r=1$ é solução da equação, podemos usar o método de redução do grau utilizado no exemplo anterior.

r^{4}+2r^{2}-8r+5=0

(3.351)

são $r_{1},r_{2}=1$ ou $r_{3},r_{4}=-1\pm 2i$ . Logo, temos as seguintes soluções particulares

	$\displaystyle y_{1}(t)=e^{t},\quad y_{2}(t)=te^{t},$		(3.352)
	$\displaystyle y_{3}(t)=e^{-t}\cos(2t),\quad y_{4}(t)=e^{-t}\operatorname{sen}(% 2t).$		(3.353)

Calculando o wronskiano, temos

	$\displaystyle W(y_{1},y_{2},y_{3},y_{4};t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&y_{3}&y_{4}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}&y_{3}^{\prime}&y_{4}^{\prime}\\ y_{1}^{\prime\prime}&y_{2}^{\prime\prime}&y_{3}^{\prime\prime}&y_{4}^{\prime% \prime}\\ y_{1}^{\prime\prime\prime}&y_{2}^{\prime\prime\prime}&y_{3}^{\prime\prime% \prime}&y_{4}^{\prime\prime\prime}\\ \end{vmatrix}$		(3.358)
		$\displaystyle=128\neq 0.$		(3.359)

Logo, concluímos que a solução geral é

y(t)=(c_{1}+c_{2}t)e^{t}+e^{-t}[c_{3}\cos(2t)+c_{4}\operatorname{sen}(2t)].

(3.360)

3.4.2 Equação não homogênea

Ambos os métodos da variação dos parâmetros e dos coeficientes a determinar podem ser generalizados para EDOs lineares de ordem mais altas, com coeficientes constantes e não homogêneas. Tais equações têm a forma

y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{0}y=g(t),

(3.361)

com $n\geq 1$ e $g(t)\not\equiv 0$ . A solução geral pode ser escrita na forma

y(t)=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)+\cdots+c_{n}y_{n}(t)+y_{p}(t),

(3.362)

onde $y_{1}$ , $y_{2}$ , $\dotsc$ , $y_{n}$ formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea associada e $y_{p}$ é uma solução particular qualquer da equação não homogênea.

Método da variação dos parâmetros

Assista no YouTube

Assista no archive.org!

Escute a audioleitura!

Seja a equação diferencial ordinária

y^{(n)}+a_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots+a_{0}y=g(t),

(3.363)

com $n\geq 1$ e $g(t)\not\equiv 0$ . Seja, também, $y_{1}$ , $y_{2}$ , $\dotsc$ , $y_{n}$ um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada. O método da variação dos parâmetros consiste em buscar uma solução particular para (3.363) com o seguinte formato

y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)+\cdots+u_{n}(t)y_{n}(t),

(3.364)

onde $u_{1}$ , $u_{2}$ , $\dotsc$ , $u_{n}$ são funções parâmetros a determinar.

Os parâmetros $u_{1}$ , $u_{2}$ , $\dotsc$ , $u_{n}$ devem ser escolhidos de forma que $y_{p}$ satisfaça (3.363). Quando $n>1$ , temos um problema subdeterminado (mais variáveis que equações). Para fechar o problema, exigimos que os parâmetros sejam tais que

$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}+\cdots+u_{n}^{\prime}y_{n}$	$\displaystyle=0$	(3.365)
$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}+\cdots% +u_{n}^{\prime}y_{n}^{\prime}$	$\displaystyle=0$	(3.366)
	$\displaystyle\vdots$	(3.367)
$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}^{(n-2)}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{(n-2)}+\cdots+u% _{n}^{\prime}y_{n}^{(n-2)}$	$\displaystyle=0.$	(3.368)

Com isso, ao substituirmos $y_{p}$ em (3.363), obtemos

$\displaystyle g(t)$	$\displaystyle=a_{0}y_{p}+a_{1}y_{p}^{\prime}+a_{2}y_{p}^{\prime\prime}+\cdots+% y_{p}^{(n)}$	(3.369)
	$\displaystyle=a_{0}(u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}+\cdots+u_{n}y_{n})$	(3.370)
	$\displaystyle+a_{1}(u_{1}y_{1}^{\prime}+u_{2}y_{2}^{\prime}+\cdots+u_{n}y_{n}^% {\prime})$	(3.371)
	$\displaystyle+a_{2}(u_{1}y_{1}^{\prime\prime}+u_{2}y_{2}^{\prime\prime}+\cdots% +u_{n}y_{n}^{\prime\prime})$	(3.372)
	$\displaystyle+\cdots+$	(3.373)
	$\displaystyle+(u_{1}y_{1}^{(n)}+u_{2}y_{2}^{(n)}+\cdots+u_{n}y_{n}^{(n)})$	(3.374)
	$\displaystyle+(u_{1}^{\prime}y_{1}^{(n-1)}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{(n-1)}+\cdots+% u_{n}^{\prime}y_{n}^{(n-1)}).$	(3.375)

Lembrando que $y_{1}$ , $y_{2}$ , $\dotsc$ , $y_{n}$ são soluções da equação homogênea associada, esta última equação é equivalente a

u_{1}^{\prime}y_{1}^{(n-1)}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{(n-1)}+\cdots+u_{n}^{\prime}y% _{n}^{(n-1)}=g(t).

(3.376)

Desta forma, concluímos que os parâmetros podem ser escolhidos de forma a satisfazerem o sistema de equações (3.365)-(3.368) e (3.376), i.e.

$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}+\cdots+u_{n}^{\prime}y_{n}$	$\displaystyle=0$	(3.377)
$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}+\cdots% +u_{n}^{\prime}y_{n}^{\prime}$	$\displaystyle=0$	(3.378)
	$\displaystyle\vdots$	(3.379)
$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}^{(n-2)}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{(n-2)}+\cdots+u% _{n}^{\prime}y_{n}^{(n-2)}$	$\displaystyle=0$	(3.380)
$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}^{(n-1)}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{(n-1)}+\cdots+u% _{n}^{\prime}y_{n}^{(n-1)}$	$\displaystyle=g.$	(3.381)

Usando o método de Cramer¹⁵¹⁵endnote: ¹⁵Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço. Fonte: Wikipedia. temos

u_{m}^{\prime}(t)=\frac{g(t)W_{m}(t)}{W(t)},

(3.382)

onde $m=1,2,\dotsc,n$ , $W(t)$ denota o wronskiano

W(y_{1},y_{2},\cdots,y_{n};t)=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&\cdots&y_{n}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}&\cdots&y_{n}^{\prime}\\ \vdots&\vdots&\cdots&\vdots\\ y_{1}^{(n-1)}&y_{2}^{(n-1)}&\cdots&y_{n}^{(n-1)}\end{vmatrix}

(3.383)

e $W_{m}(t)$ é o determinante obtido de $W$ substituindo a $m$ -ésima coluna por vetor $(0,0,\dotsc,1)$ .

Por fim, integrando (3.382), obtemos os parâmetros

u_{m}(t)=\int\frac{g(t)W_{m}(t)}{W(t)}\,dt,

(3.384)

com $m=1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 3.4.3.

Vamos calcular a solução geral de

y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=e^{2t}.

(3.385)

No Exemplo 3.4.1, vimos que

y_{1}(t)=e^{-2t},\quad y_{2}(t)=e^{-t},\quad y_{3}(t)=e^{t}

(3.386)

formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea associada. Com isso, nos resta calcular uma solução particular $y_{p}=y_{p}(t)$ para a equação não homogênea.

Pelo método da variação dos parâmetros, podemos calcular como

y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)+u_{3}(t)y_{3}(t),

(3.387)

onde

u_{m}(t)=\int\frac{g(t)W_{m}(t)}{W(t)}\,dt,

(3.388)

sendo $g(t)=e^{2t}$ e $m=1,2,3$ . Ainda, temos

$\displaystyle W(t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&y_{3}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}&y_{3}^{\prime}\\ y_{1}^{\prime\prime}&y_{2}^{\prime\prime}&y_{3}^{\prime\prime}\end{vmatrix}$	(3.392)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}e^{-2t}&e^{-t}&e^{t}\\ -2e^{-2t}&-e^{-t}&e^{t}\\ 4e^{-2t}&e^{-t}&e^{t}\end{vmatrix}$	(3.396)
	$\displaystyle=6e^{-2t}$	(3.397)

$\displaystyle W_{1}(t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}0&y_{2}&y_{3}\\ 0&y_{2}^{\prime}&y_{3}^{\prime}\\ 1&y_{2}^{\prime\prime}&y_{3}^{\prime\prime}\end{vmatrix}$	(3.401)
	$\displaystyle=(-1)^{3+1}\begin{vmatrix}y_{2}&y_{3}\\ y_{2}^{\prime}&y_{3}^{\prime}\end{vmatrix}$	(3.404)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}e^{-t}&e^{t}\\ -e^{-t}&e^{t}\end{vmatrix}$	(3.407)
	$\displaystyle=2$	(3.408)

$\displaystyle W_{2}(t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}y_{1}&0&y_{3}\\ y_{1}^{\prime}&0&y_{3}^{\prime}\\ y_{1}^{\prime\prime}&1&y_{3}^{\prime\prime}\end{vmatrix}$	(3.412)
	$\displaystyle=(-1)^{3+2}\begin{vmatrix}y_{1}&y_{3}\\ y_{1}^{\prime}&y_{3}^{\prime}\end{vmatrix}$	(3.415)
	$\displaystyle=-\begin{vmatrix}e^{-2t}&e^{t}\\ -2e^{-2t}&e^{t}\end{vmatrix}$	(3.418)
	$\displaystyle=-3e^{-t}$	(3.419)

$\displaystyle W_{3}(t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&0\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}&0\\ y_{1}^{\prime\prime}&y_{2}^{\prime\prime}&1\end{vmatrix}$	(3.423)
	$\displaystyle=(-1)^{3+3}\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}$	(3.426)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}e^{-2t}&e^{-t}\\ -2e^{-2t}&-e^{-t}\end{vmatrix}$	(3.429)
	$\displaystyle=e^{-3t}$	(3.430)

Logo,

$\displaystyle u_{1}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{g(t)W_{1}(t)}{W(t)}\,dt$	(3.431)
	$\displaystyle=\int\frac{2e^{2t}}{6e^{-2t}}\,dt$	(3.432)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}\int e^{4t}\,dt$	(3.433)
	$\displaystyle=\frac{1}{12}e^{4t}$	(3.434)

$\displaystyle u_{2}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{g(t)W_{2}(t)}{W(t)}\,dt$	(3.435)
	$\displaystyle=\int\frac{e^{2t}\cdot(-3)\cdot e^{-t}}{6e^{-2t}}\,dt$	(3.436)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int e^{3t}\,dt$	(3.437)
	$\displaystyle=-\frac{1}{6}e^{3t}$	(3.438)

$\displaystyle u_{3}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{g(t)W_{3}(t)}{W(t)}\,dt$	(3.439)
	$\displaystyle=\int\frac{e^{2t}e^{-3t}}{6e^{-2t}}\,dt$	(3.440)
	$\displaystyle=\frac{1}{6}\int e^{t}\,dt$	(3.441)
	$\displaystyle=\frac{1}{6}e^{t}$	(3.442)

Com isso,

$\displaystyle y_{p}$	$\displaystyle=u_{1}y_{1}+u_{2}y_{2}+u_{3}y_{3}$	(3.443)
	$\displaystyle=\frac{1}{12}e^{4t}e^{-2t}-\frac{1}{6}e^{3t}e^{-t}+\frac{1}{6}e^{% t}e^{t}$	(3.444)
	$\displaystyle=\frac{1}{12}e^{2t}.$	(3.445)

Concluímos que a solução geral de (3.385) é

y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{-t}+c_{3}e^{t}+\frac{1}{12}e^{2t}.

(3.446)

No Python, podemos computar a solução geral com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : t = symbols('t')

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

5 In : eq = Eq(diff(y(t),t,3) + 2*diff(y(t),t,2) \

6 ...: - diff(y(t),t)-2*y(t), exp(2*t))

7 In : dsolve(eq,y(t))

8 Out: Eq(y(t), C1*exp(-2*t) + C2*exp(-t) + C3*exp(t) \

9 + exp(2*t)/12)

Método dos coeficientes a determinar

Assista no YouTube

Assista no archive.org!

Escute a audioleitura!

A aplicação na resolução de EDOs de ordem mais alta do método dos coeficientes a determinar é análoga ao caso de EDOs de segunda ordem (veja a Subseção 3.3.2).

Exemplo 3.4.4.

Vamos calcular a solução geral de

y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-y^{\prime}-2y=e^{2t}.

(3.447)

No Exemplo 3.4.1, vimos que

y_{1}(t)=e^{-2t},\quad y_{2}(t)=e^{-t},\quad y_{3}(t)=e^{t}

(3.448)

formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea associada. Com isso, nos resta calcular uma solução particular $y_{p}=y_{p}(t)$ para a equação não homogênea.

Com base no termo fonte $g(t)=e^{2t}$ , buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=Ae^{2t},

(3.449)

onde $A$ é um coeficiente a determinar.

Para determinar $A$ , substituímos $y_{p}$ na (3.447), donde

$\displaystyle e^{2t}$	$\displaystyle=y_{p}^{\prime\prime\prime}+2y_{p}^{\prime\prime}-y_{p}^{\prime}-% 2y_{p}$	(3.450)
	$\displaystyle=8Ae^{2t}+8Ae^{2t}-2Ae^{2t}-2Ae^{2t}$	(3.451)
	$\displaystyle=12Ae^{2t}.$	(3.452)

Com isso, temos $A=1/12$ e

y_{p}(t)=\frac{1}{12}e^{2t}.

(3.453)

Concluímos que a solução geral é

y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{-t}+c_{3}e^{t}+\frac{1}{12}e^{2t}.

(3.454)

Exercícios resolvidos

ER 3.4.1.

Resolva o PVI

	$\displaystyle y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+y=0,\quad t% >0,$		(3.455)
	$\displaystyle y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0,\quad y^{\prime\prime}(0)=0.$		(3.456)

Solução.

A equação característica associada

r^{3}+3r^{2}+3r+1=0

(3.457)

tem raiz tripla $r=-1$ . Logo, a solução geral é

y(t)=(c_{1}+c_{2}t+c_{3}t^{2})e^{-t}.

(3.458)

Vamos agora aplicar as condições iniciais. Começamos com $y(0)=1$ . Substituindo $t=0$ na solução geral, obtemos

y(0)=c_{1},

(3.459)

logo, ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}c_{1}=1}$ . Para usarmos a condição inicial $y^{\prime}(0)=0$ , usamos a derivada da solução geral, i.e.

y^{\prime}(t)=(-c_{1}+c_{2}+(2c_{3}-c_{2})t-c_{3}t^{2})e^{-t}.

(3.460)

Então, temos

	$\displaystyle 0=y^{\prime}(0)$		(3.461)
	$\displaystyle 0=-c_{1}+c_{2}$		(3.462)
	$\displaystyle 0=-1+c_{2}$		(3.463)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}c_{2}=1}.$		(3.464)

Por fim, para usarmos a condição inicial $y^{\prime\prime}(0)=0$ , usamos a segunda derivada da solução geral como segue.

	$\displaystyle y^{\prime\prime}(t)=(2c_{3}-2c_{2}+c_{1}+(c_{2}-4c_{3})t+c_{3}t^% {2})e^{-t}$		(3.465)
	$\displaystyle 0=y^{\prime\prime}(0)=2c_{3}-2c_{2}+c_{1}$		(3.466)
	$\displaystyle 0=2c_{3}-2+1$		(3.467)
	$\displaystyle 2c_{3}=1$		(3.468)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}c_{3}=\frac{1% }{2}}.$		(3.469)

Logo, a solução do PVI é

y(t)=\left(1+t+\frac{1}{2}t^{2}\right)e^{-t}.

(3.470)

ER 3.4.2.

Use o método da variação dos parâmetros para calcular a solução geral de

y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+y=2t

(3.471)

Solução.

No ER 3.4.1, vimos que

	$\displaystyle y_{1}(t)=e^{-t},$		(3.472)
	$\displaystyle y_{2}(t)=te^{-t},$		(3.473)
	$\displaystyle y_{3}(t)=t^{2}e^{-t}$		(3.474)

formam um conjunto fundamental de soluções para a equação homogênea associada a (3.471).

A aplicação do método da variação dos parâmetros consiste em calcular uma solução particular para (3.471) da forma

y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)+u_{3}(t)y_{3}(t).

(3.475)

Para calcularmos os parâmetros $u_{1}$ , $u_{2}$ e $u_{3}$ , precisamos dos seguintes determinantes:

	$\displaystyle W(y_{1},y_{2},y_{3};t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&y_{3}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}&y_{3}^{\prime}\\ y_{1}^{\prime\prime}&y_{2}^{\prime\prime}&y_{3}^{\prime\prime}\end{vmatrix}$		(3.479)
		$\displaystyle=2e^{-3t}$		(3.480)

	$\displaystyle W_{1}(t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}0&y_{2}&y_{3}\\ 0&y_{2}^{\prime}&y_{3}^{\prime}\\ 1&y_{2}^{\prime\prime}&y_{3}^{\prime\prime}\end{vmatrix}$		(3.484)
		$\displaystyle=t^{2}e^{-2t}$		(3.485)

	$\displaystyle W_{2}(t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}y_{1}&0&y_{3}\\ y_{1}^{\prime}&0&y_{3}^{\prime}\\ y_{1}^{\prime\prime}&1&y_{3}^{\prime\prime}\end{vmatrix}$		(3.489)
		$\displaystyle=-2te^{-2t}$		(3.490)

	$\displaystyle W_{3}(t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}&0\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}&0\\ y_{1}^{\prime\prime}&y_{2}^{\prime\prime}&1\end{vmatrix}$		(3.494)
		$\displaystyle=e^{-2t}$		(3.495)

Com isso, temos

$\displaystyle u_{1}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{g(t)W_{1}(t)}{W(t)}\,dt$	(3.496)
	$\displaystyle=\int\frac{2t\cdot t^{2}e^{-2t}}{2e^{-3t}}\,dt$	(3.497)
	$\displaystyle=(t^{3}-3t^{2}+6t-6)e^{t}$	(3.498)

$\displaystyle u_{2}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{g(t)W_{2}(t)}{W(t)}\,dt$	(3.499)
	$\displaystyle=-\int\frac{2t\cdot 2te^{-2t}}{2e^{-3t}}\,dt$	(3.500)
	$\displaystyle=(-2t^{2}+4t-4)e^{t}$	(3.501)

$\displaystyle u_{3}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{g(t)W_{3}(t)}{W(t)}\,dt$	(3.502)
	$\displaystyle=\int\frac{2t\cdot e^{-2t}}{2e^{-3t}}\,dt$	(3.503)
	$\displaystyle=(t-1)e^{t}$	(3.504)

Logo, obtemos a seguinte solução particular para (3.471)

y_{p}(t)=2t-6.

(3.505)

Concluímos que

y(t)=(c_{1}+c_{2}t+c_{3}t^{2})e^{-t}+2t-6

(3.506)

é solução geral de (3.471).

No Python, podemos resolver este exercício com o seguinte código:

⬇

1 from sympy import *

3 # def. das variaveis

4 t = symbols('t')

5 y = symbols('y', cls=Function)

7 # solucoes fundamentais

8 y1 = exp(-t)

9 y2 = t*exp(-t)

10 y3 = t**2*exp(-t)

12 # wronskiano

13 WM = Matrix([[y1,y2,y3], \

14 [diff(y1,t),diff(y2,t),diff(y3,t)], \

15 [diff(y1,t,2),diff(y2,t,2),diff(y3,t,2)]])

16 W = simplify(WM.det())

17 print('W = ', W)

19 WM1 = Matrix([[0,y2,y3], \

20 [0,diff(y2,t),diff(y3,t)], \

21 [1,diff(y2,t,2),diff(y3,t,2)]])

22 W1 = simplify(WM1.det())

23 print('W1 = ', W1)

25 WM2 = Matrix([[y1,0,y3], \

26 [diff(y1,t),0,diff(y3,t)], \

27 [diff(y1,t,2),1,diff(y3,t,2)]])

28 W2 = simplify(WM2.det())

29 print('W2 = ', W2)

31 WM3 = Matrix([[y1,y2,0], \

32 [diff(y1,t),diff(y2,t),0], \

33 [diff(y1,t,2),diff(y2,t,2),1]])

34 W3 = simplify(WM3.det())

35 print('W3 = ', W3)

37 # fonte

38 g = 2*t

40 # parametros

41 u1 = integrate(g*W1/W,t)

42 print('u1(t) = ', u1)

44 u2 = integrate(g*W2/W,t)

45 print('u2(t) = ', u2)

47 u3 = integrate(g*W3/W,t)

48 print('u3(t) = ', u3)

50 # solucao particular

51 yp = simplify(u1*y1 + u2*y2 + u3*y3)

52 print('yp(t) = ', yp)

54 # constantes indeterminadas

55 C1,C2,C3 = symbols('C1,C2,C3')

57 # sol. geral

58 y = simplify(C1*y1 + C2*y2 + C3*y3 + yp)

59 print('y(t) = ', y)

ER 3.4.3.

Use o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução particular de

y^{\prime\prime\prime}+3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+y=\cos(t)

(3.507)

Solução.

Tendo em vista o fonte $g(t)=\cos(t)$ , as soluções fundamentais obtidas no ER 3.4.1 e a Observação 3.3.2, a aplicação do método dos coeficientes a determinar consiste em calcular uma solução particular da forma

y_{p}(t)=A\cos(t)+B\operatorname{sen}(t),

(3.508)

onde $A$ e $B$ são coeficientes a determinar.

Substituindo $y_{p}$ em (3.507), obtemos

	$\displaystyle\cos(t)$	$\displaystyle=y_{p}^{\prime\prime\prime}+3y_{p}^{\prime\prime}+3y_{p}^{\prime}% +y_{p}$		(3.509)
		$\displaystyle=(2B-2A)\cos(t)-(2A+2B)\operatorname{sen}(t).$		(3.510)

Segue que

	$\displaystyle 2B-2A$	$\displaystyle=1$		(3.511)
	$\displaystyle 2B+2A$	$\displaystyle=0.$		(3.512)

Resolvendo, obtemos $A=-1/4$ e $B=1/4$ . Concluímos que uma solução particular para (3.507) é

y_{p}(t)=-\frac{1}{4}\cos(t)+\frac{1}{4}\operatorname{sen}(t).

(3.513)

No Python, podemos resolver este exercício com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : # def. das variaveis

3 In : t,A,B = symbols('t,A,B')

4 In : y = symbols('y', cls=Function)

5 In : # sol. particular

6 In : yp = A*cos(t) + B*sin(t)

7 In : # subs. na EDO

8 In : Eq(diff(yp,t,3)+3*diff(yp,t,2)+3*diff(yp,t)+yp,cos(t))

9 Out: Eq(-2*A*sin(t) + A*cos(t) + B*sin(t) + 2*B*cos(t) \

10 - 3*(A*cos(t) + B*sin(t)), cos(t))

12 In : factor(_,[cos(t),sin(t)])

13 Out: Eq(-2*((A - B)*cos(t) + (A + B)*sin(t)), cos(t))

15 In : # resolve o sistema

16 In : solve([Eq(-2*(A-B),1),Eq(-2*(A+B),0)])

17 Out: {A: -1/4, B: 1/4}

Exercícios

E. 3.4.1.

Calcule a solução geral de

y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-5y^{\prime}-6y=0.

(3.514)

Resposta.

$y(t)=c_{1}e^{-3t}+c_{2}e^{-t}+c_{3}e^{2t}$

E. 3.4.2.

Calcule a solução geral de

y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime}-2y=0.

(3.515)

Resposta.

$y(t)=(c_{1}+c_{2}t)e^{-t}+c_{3}e^{2t}$

E. 3.4.3.

Calcule a solução geral de

y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+2y=0.

(3.516)

Resposta.

$y(t)=c_{1}e^{-t}+e^{t}[c_{2}\cos(t)+c_{3}\operatorname{sen}(t)]$

E. 3.4.4.

Calcule a solução geral de

y^{(4)}-2y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+8y^{\prime}-4y=0

(3.517)

Resposta.

$y(t)=c_{1}e^{-2t}+(c_{2}+c_{3}t)e^{t}+c_{4}e^{2t}$

E. 3.4.5.

Calcule a solução do PVI

	$\displaystyle y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-5y^{\prime}-6y=0,t>0$		(3.518)
	$\displaystyle y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=-2,\quad y^{\prime\prime}(0)=0.$		(3.519)

Resposta.

$y(t)=\frac{4}{3}e^{-t}-\frac{1}{3}e^{2t}$

E. 3.4.6.

Calcule uma solução particular de

y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-5y^{\prime}-6y=2e^{t}

(3.520)

a)

pelo método da variação dos parâmetros.
b)

pelo método dos coeficientes a determinar.

Resposta.

$y_{p}(t)=-\frac{1}{4}e^{t}$ .

E. 3.4.7.

Calcule uma solução particular de

y^{\prime\prime\prime}+2y^{\prime\prime}-5y^{\prime}-6y=2e^{-t}

(3.521)

a)

pelo método da variação dos parâmetros.
b)

pelo método dos coeficientes a determinar.

Resposta.

$y_{p}(t)=-\frac{t}{3}e^{-t}$ .

E. 3.4.8.

Calcule uma solução particular de

y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+2y=10\operatorname{sen}(t).

(3.522)

a)

pelo método da variação dos parâmetros.
b)

pelo método dos coeficientes a determinar.

Resposta.

$y_{p}(t)=3\operatorname{sen}(t)+\cos(t)$ .

E. 3.4.9.

Calcule uma solução particular de

y^{\prime\prime\prime}-y^{\prime\prime}+2y=10(1+e^{t})\operatorname{sen}(t).

(3.523)

a)

pelo método da variação dos parâmetros.
b)

pelo método dos coeficientes a determinar.

Resposta.

$y_{p}(t)=3\operatorname{sen}(t)+\cos(t)-te^{t}(2\cos(t)+\operatorname{sen}(t))$

Envie seu comentário

As informações preenchidas são enviadas por e-mail para o desenvolvedor do site e tratadas de forma privada. Consulte a Política de Uso de Dados para mais informações. Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

| | | |

$\displaystyle y_{p+1}(t)$	$\displaystyle=e^{r_{p}t}$	(3.320)
$\displaystyle y_{p+2}(t)$	$\displaystyle=te^{r_{p}t}$	(3.321)
	$\displaystyle\vdots$	(3.322)
$\displaystyle y_{p+m}$	$\displaystyle=t^{m-1}e^{r_{p}t}$	(3.323)

	$\displaystyle y_{p+1}$	$\displaystyle=e^{\lambda_{p}t}\cos(\mu_{p}t)$		(3.324)
	$\displaystyle y_{p+2}$	$\displaystyle=e^{\lambda_{p}t}\operatorname{sen}(\mu_{p}t).$		(3.325)