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3 EDO linear de ordem 2 ou mais alta 3.2 EDO de ordem 2: raízes complexas ou repetidas 3.4 EDO de ordem mais alta

3.3 EDO de ordem 2 não homogênea

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Nesta seção, vamos discutir o caso de EDOs lineares de segunda ordem, não-homogêneas e com coeficientes constantes. Tais EDOs têm a forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y^{\prime% \prime}+ay^{\prime}+by=g(t)},

(3.171)

e pode-se mostrar que sua solução geral é dada como

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(t)=c_{1}y_{1% }(t)+c_{2}y_{2}(t)+y_{p}(t)},

(3.172)

onde $y_{1}$ e $y_{2}$ formam um conjunto fundamental de soluções¹¹¹¹endnote: ¹¹São soluções da equação homogênea associada e $W(y_{1},y_{2};t)\neq 0$ . da equação homogênea associada

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0

(3.173)

e $y_{p}$ é uma solução particular qualquer de (3.171).

3.3.1 Método da variação dos parâmetros

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O método da variação dos parâmetros consiste em calcular uma solução particular de (3.171) da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y_{p}(t)=u_{1}% (t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)},

(3.174)

onde $y_{1}$ e $y_{2}$ é um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada, enquanto $u_{1}$ e $u_{2}$ são funções a serem determinadas.

Observamos que a única condição que temos para determinar $u_{1}$ e $u_{2}$ é a equação (3.171). Ou seja, temos uma equação e duas incógnitas. Para fechar o problema, impomos a seguinte condição extra

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u_{1}^{\prime}% y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}=0}.

(3.175)

Com isso, temos

	$\displaystyle y_{p}^{\prime}(t)$	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{1}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}+u_{2% }y_{2}^{\prime}$		(3.176)
		$\displaystyle=u_{1}y_{1}^{\prime}+u_{2}y_{2}^{\prime}$		(3.177)

	$\displaystyle y_{p}^{\prime\prime}(t)$	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{1}y_{1}^{\prime\prime}$		(3.178)
		$\displaystyle+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}+u_{2}y_{2}^{\prime\prime}.$		(3.179)

Substituindo $y_{p}$ em (3.171), temos

$\displaystyle g(t)$	$\displaystyle=y_{p}^{\prime\prime}+ay_{p}^{\prime}+by_{p}$	(3.180)
	$\displaystyle=\left(u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{% 1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u_{1}y_{1}^{\prime\prime}}+u_{2}^{\prime}y_{2% }^{\prime}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}u_{2}y_{2}^{% \prime\prime}}\right)$	(3.181)
	$\displaystyle+a({\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u_{1}y_{% 1}^{\prime}}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}u_{2}y_{2}^{% \prime}})$	(3.182)
	$\displaystyle+b({\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u_{1}y_{% 1}}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}u_{2}y_{2}})$	(3.183)
	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}$	(3.184)
	$\displaystyle+\underbrace{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u_{1}(y_{1}^{\prime\prime}+ay_{1}^{\prime}+by_{% 1})}}_{=0}$	(3.185)
	$\displaystyle+\underbrace{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}% \pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}u_{2}(y_{2}^{\prime\prime}+ay_{2}^{\prime}+by_{% 2})}}_{=0}$	(3.186)
	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}.$	(3.187)

Ou seja, (3.175) e (3.187) formam o seguinte sistema de equações

	$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}$	$\displaystyle=0$		(3.188)
	$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}$	$\displaystyle=g(t)$		(3.189)

que têm $u_{1}^{\prime}$ e $u_{2}^{\prime}$ como incógnitas. Aplicando o método de Cramer¹²¹²endnote: ¹²Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço. Fonte: Wikipedia., obtemos

	$\displaystyle u_{1}^{\prime}$	$\displaystyle=\frac{\begin{vmatrix}0&y_{2}\\ g(t)&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}}$		(3.194)
		$\displaystyle=-\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}$		(3.195)

	$\displaystyle u_{2}^{\prime}$	$\displaystyle=\frac{\begin{vmatrix}y_{1}&0\\ y_{1}^{\prime}&g(t)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}}$		(3.200)
		$\displaystyle=\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}.$		(3.201)

Ou, ainda, por integração temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u_{1}(t)=-\int% \frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt}

(3.202)

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u_{2}(t)=\int% \frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt}.

(3.203)

Por tudo isso, concluímos que uma solução particular de (3.171) é dada por

	$\displaystyle y_{p}(t)$	$\displaystyle=-y_{1}(t)\int\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$		(3.204)
		$\displaystyle+y_{2}(t)\int\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt.$		(3.205)

Exemplo 3.3.1.

Vamos calcular a solução geral de

y^{\prime\prime}-y=e^{2t}.

(3.206)

Começamos determinando um conjunto fundamental de soluções $y_{1}=y_{1}(t)$ e $y_{2}=y_{2}(t)$ da equação homogênea associada

y^{\prime\prime}-y=0.

(3.207)

A equação característica associada é

r^{2}-1=0,

(3.208)

cujas raízes são $r_{1}=-1$ e $r_{2}=1$ . Segue que

y_{1}(t)=e^{-t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=e^{t}.

(3.209)

Agora, buscamos por uma solução particular de (3.206) da forma

y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t),

(3.210)

onde $u_{1}$ é dada em (3.202) e $u_{2}$ por (3.203). Ambas expressões requer o cálculo do wronskiano

$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)$	$\displaystyle=\left\|\begin{matrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{matrix}\right\|$	(3.213)
	$\displaystyle=y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{2}y_{1}^{\prime}$	(3.214)
	$\displaystyle=e^{-t}e^{t}+e^{t}e^{-t}$	(3.215)
	$\displaystyle=2.$	(3.216)

Com isso, temos

$\displaystyle u_{1}(t)$	$\displaystyle=-\int\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$	(3.217)
	$\displaystyle=-\int\frac{e^{t}e^{2t}}{2}\,dt$	(3.218)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int e^{3t}\,dt$	(3.219)
	$\displaystyle=-\frac{1}{6}e^{3t}$	(3.220)

$\displaystyle u_{2}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$	(3.221)
	$\displaystyle=\int\frac{e^{-t}e^{2t}}{2}\,dt$	(3.222)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int e^{t}\,dt$	(3.223)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}e^{t}$	(3.224)

Desta forma, obtemos a solução particular

$\displaystyle y_{p}(t)$	$\displaystyle=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)$	(3.225)
	$\displaystyle=-\frac{1}{6}e^{3t}e^{-t}+\frac{1}{2}e^{t}e^{t}$	(3.226)
	$\displaystyle=-\frac{1}{6}e^{2t}+\frac{1}{2}e^{2t}$	(3.227)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}e^{2t}.$	(3.228)

Observamos que a solução particular é um múltiplo do termo não homogêneo da EDO (3.206). Isso não é apenas um acaso e vamos explorar isso mais adiante no texto.

Por fim, concluímos que a solução geral de (3.206) é

	$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)+y_{p}(t)$		(3.229)
		$\displaystyle=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{t}+\frac{1}{3}e^{2t}.$		(3.230)

3.3.2 Método dos coeficientes a determinar

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O métodos dos coeficientes a determinar consiste em buscar por uma solução particular na forma de uma combinação linear de funções elementares apropriadas. Tais funções são inferidas a partir do termo não homogêneo da equação.

$\boldsymbol{g(t)=ce^{st}}$

Uma equação da forma

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=ce^{st}

(3.231)

com $s\neq r_{1},r_{2}$ , onde $r_{1}$ e $r_{2}$ são raízes da equação característica, admite solução particular

y_{p}(t)=Ae^{st},

(3.232)

onde $A$ é uma constante a determinar.

Exemplo 3.3.2.

Vamos calcular uma solução particular para

y^{\prime\prime}-y=e^{2t}.

(3.233)

Pelo método dos coeficientes a determinar, buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=Ae^{2t},

(3.234)

observando que $r_{1}=-1$ e $r_{2}=1$ são raízes da equação característica associada.

Substituindo $y_{p}$ na EDO, obtemos

$\displaystyle e^{2t}$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}-y$	(3.235)
	$\displaystyle=\left(Ae^{2t}\right)^{\prime\prime}-Ae^{2t}$	(3.236)
	$\displaystyle=(4A-A)e^{2t}$	(3.237)
	$\displaystyle=3Ae^{2t}.$	(3.238)

Segue que

3A=1\Rightarrow A=\frac{1}{3}.

(3.239)

Daí, concluímos que

y_{p}(t)=\frac{1}{3}e^{2t}

(3.240)

é solução particular da EDO.

Observação 3.3.1.

a)

$s=r_{1}$ . Uma equação da forma

$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=ce^{r_{1}t},$ (3.241)

onde $r_{1}$ é raiz simples da equação característica associada, admite solução particular

$y_{p}(t)=Ate^{r_{1}t}.$ (3.242)
b)

$s=r$ . Uma equação da forma

$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=ce^{rt},$ (3.243)

onde $r$ é raiz dupla da equação característica associada, admite solução particular

$y_{p}(t)=At^{2}e^{rt}.$ (3.244)

$\boldsymbol{g(t)=c_{n}t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_{0}}$

Uma equação da forma

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=c_{n}t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_{0}

(3.245)

admite solução particular

y_{p}(t)=A_{n}t^{n}+A_{n-1}t^{n-1}+\cdots+A_{0},

(3.246)

onde $A_{n}$ , $A_{n-1}$ , $\dotsc$ , $A_{0}$ são constantes a determinar.

Exemplo 3.3.3.

Vamos calcular uma solução particular para

y^{\prime\prime}-4y=t.

(3.247)

Pelo método dos coeficientes a determinar, buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=A_{1}t+A_{0}.

(3.248)

Substituindo $y_{p}$ na EDO, obtemos

$\displaystyle t$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}-4y$	(3.249)
	$\displaystyle=\left(A_{1}t+A_{0}\right)^{\prime\prime}-4(A_{1}t+A_{0})$	(3.250)
	$\displaystyle=-4A_{1}t-4A_{0}.$	(3.251)

Segue que

	$\displaystyle-4A_{1}=1$	$\displaystyle\Rightarrow A_{1}=-\frac{1}{4},$		(3.252)
	$\displaystyle-4A_{0}=0$	$\displaystyle\Rightarrow A_{0}=0.$		(3.253)

Daí, concluímos que

y_{p}(t)=-\frac{1}{4}t

(3.254)

é solução particular da EDO.

$\boldsymbol{g(t)=c_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+c_{2}\cos(\beta t)}$

Uma equação da forma

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=c_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+c_{2}\cos(% \beta t)

(3.255)

admite solução particular

y_{p}(t)=t^{s}[A_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+A_{2}\cos(\beta t)],

(3.256)

onde $s$ é o menor inteiro tal que $y_{p}$ não seja solução da equação homogênea associada e $A_{1}$ e $A_{2}$ são constantes a determinar.

Exemplo 3.3.4.

Vamos calcular uma solução particular para

y^{\prime\prime}+4y=\cos(2t).

(3.257)

Pelo método dos coeficientes a determinar, buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=t[A_{1}\operatorname{sen}(2t)+A_{2}\cos(2t)],

(3.258)

observando que $y_{1}(t)=\cos(2t)$ e $y_{2}(t)=\operatorname{sen}(2t)$ formam um conjunto fundamental de solução para a equação homogênea associada.

Substituindo $y_{p}$ na EDO, obtemos

$\displaystyle\cos(2t)$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}+4y$	(3.259)
	$\displaystyle=[A_{1}t\operatorname{sen}(2t)+A_{2}t\cos(2t)]^{\prime\prime}$	(3.260)
	$\displaystyle+4[A_{1}t\operatorname{sen}(2t)+A_{2}t\cos(2t)]$	(3.261)
	$\displaystyle=4A_{1}\cos(2t)-4A_{2}\operatorname{sen}(2t)$	(3.262)

Segue que

	$\displaystyle 4A_{1}=1$	$\displaystyle\Rightarrow A_{1}=\frac{1}{4},$		(3.263)
	$\displaystyle-4A_{2}=0$	$\displaystyle\Rightarrow A_{2}=0.$		(3.264)

Daí, concluímos que

y_{p}(t)=\frac{1}{4}t\operatorname{sen}(2t).

(3.265)

é solução particular da EDO.

Observação 3.3.2.

(Resumo)

$g(t)$	$y_{p}(t)$
$e^{\alpha t}(c_{n}t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_{0})$	$t^{s}e^{\alpha t}(A_{n}t^{n}+\cdots+A_{0})$
$e^{\alpha t}[c_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+c_{2}\cos(\beta t)]$	$t^{s}e^{\alpha t}[A_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+A_{2}\cos(\beta t)]$

$s=0,1,2$ , sendo o menor valor que garanta que $y_{p}$ não seja solução da equação homogênea associada.

Exercícios resolvidos

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ER 3.3.1.

Use o método da variação dos parâmetros para obter uma solução geral de

y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=e^{-t}+\operatorname{sen}(t).

(3.266)

Solução.

Primeiramente, resolvemos a equação homogênea associada

y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=0.

(3.267)

Para tanto, buscamos as raízes da equação característica associada

r^{2}-2r-3=0,

(3.268)

as quais são

r=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot 1\cdot(-3)}}{2},

(3.269)

i.e. $r_{1}=-1$ e $r_{2}=3$ . Logo,

y_{1}(t)=e^{-t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=e^{3t}

(3.270)

formam um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea.

Agora, buscamos por uma solução particular

y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)

(3.271)

para a equação não homogênea. Os parâmetros variáveis $u_{1}=u_{1}(t)$ e $u_{2}=u_{2}(t)$ dependem do wronskiano

$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)$	$\displaystyle=\left\|\begin{matrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{matrix}\right\|$	(3.274)
	$\displaystyle=\left\|\begin{matrix}e^{-t}&e^{3t}\\ -e^{-t}&3e^{3t}\end{matrix}\right\|$	(3.277)
	$\displaystyle=4e^{2t}.$	(3.278)

Mais especificamente, eles são dados por

$\displaystyle u_{1}(t)$	$\displaystyle=-\int\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$	(3.279)
	$\displaystyle=-\int\frac{e^{3t}[e^{-t}+\operatorname{sen}(t)]}{4e^{2t}}\,dt$	(3.280)
	$\displaystyle=-\frac{1}{4}t-\frac{1}{8}e^{t}[\operatorname{sen}(t)-\cos(t)]$	(3.281)

$\displaystyle u_{2}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$	(3.282)
	$\displaystyle=\int\frac{e^{-t}[e^{-t}+\operatorname{sen}(t)]}{4e^{2t}}\,dt$	(3.283)
	$\displaystyle=-\frac{1}{16}e^{-4t}-\frac{3}{40}e^{-3t}[\operatorname{sen}(t)+% \cos(t)]$	(3.284)

Com isso, temos que a solução particular é

$\displaystyle y_{p}(t)$	$\displaystyle=\left\{-\frac{1}{4}t-\frac{1}{8}e^{t}[\operatorname{sen}(t)-\cos% (t)]\right\}e^{-t}$	(3.285)
	$\displaystyle+\left\{-\frac{1}{16}e^{-4t}-\frac{3}{40}e^{-3t}[\operatorname{% sen}(t)+\cos(t)]\right\}e^{3t}$	(3.286)
	$\displaystyle=-\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{4}t\right)e^{-t}+\frac{1}{10}\cos(t% )-\frac{1}{5}\operatorname{sen}(t).$	(3.287)

Concluímos que a solução geral é

$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{3t}$	(3.288)
	$\displaystyle-\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{4}t\right)e^{-t}+\frac{1}{10}\cos(t)% -\frac{1}{5}\operatorname{sen}(t)$	(3.289)
	$\displaystyle=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{3t}$	(3.290)
	$\displaystyle-\frac{t}{4}e^{-t}+\frac{1}{10}\cos(t)-\frac{1}{5}\operatorname{% sen}(t).$	(3.291)

ER 3.3.2.

Use o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução geral de

y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=e^{-t}+\operatorname{sen}(t).

(3.292)

Solução.

Esta é a mesma equação (3.3.1) que foi resolvida no ER. 3.3.1. Das contas realizadas, sabemos que

y_{1}(t)=e^{-t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=e^{3t}

(3.293)

são soluções fundamentais da equação homogênea associada.

Disso e com base no termo não homogêneo

g(t)=e^{-t}+\operatorname{sen}(t),

(3.294)

buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=Ate^{-t}+B\operatorname{sen}(t)+C\cos(t).

(3.295)

Substituindo na EDO, obtemos

	$\displaystyle e^{-t}+\operatorname{sen}(t)$	$\displaystyle=y_{p}^{\prime\prime}-2y_{p}^{\prime}-3y_{p}$		(3.296)
		$\displaystyle=-4Ae^{-t}+(2C-4B)\operatorname{sen}(t)-(2B+4C)\cos(t).$		(3.297)

Logo, devemos ter

-4A=1\Rightarrow A=-\frac{1}{4}

(3.298)

	$\displaystyle-4B+2C$	$\displaystyle=1$		(3.299)
	$\displaystyle-2B-4C$	$\displaystyle=0$		(3.300)

o que nos leva a $C=1/10$ e $B=-1/5$ .

Com tudo isso, concluímos que a solução geral é

	$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{3t}$		(3.301)
		$\displaystyle-\frac{t}{4}e^{-t}-\frac{1}{5}\operatorname{sen}(t)+\frac{1}{10}% \cos(t).$		(3.302)

Exercício

E. 3.3.1.

Resolva

y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=e^{2t}

(3.303)

usando

a)

o método da variação dos parâmetros.
b)

o método dos coeficientes a determinar.

Resposta.

$y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{t}+\frac{1}{4}e^{2t}$

E. 3.3.2.

Resolva

y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=e^{-2t}.

(3.304)

Resposta.

$y(t)=\left(c_{1}-\frac{t}{3}\right)e^{-2t}+c_{2}e^{t}$

E. 3.3.3.

Resolva

y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=e^{-t}

(3.305)

usando o método dos coeficientes a determinar.

Resposta.

$y(t)=\left(c_{1}+c_{2}t+\frac{t^{2}}{2}\right)e^{-t}$

E. 3.3.4.

Resolva

y^{\prime\prime}+4y=t\cos(2t).

(3.306)

Resposta.

$y(t)=\left(c_{1}+\frac{t}{16}\right)\cos(2t)+\left(c_{2}+\frac{t^{2}}{8}\right% )\operatorname{sen}(2t)$

E. 3.3.5.

Mostre que se $y_{1}=y_{1}(t)$ é solução de

y^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=g_{1}(t)

(3.307)

e $y_{2}=y_{2}(t)$ é solução de

y^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=g_{2}(t),

(3.308)

então $y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$ é solução de

y^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=g_{1}(t)+g_{2}(t).

(3.309)

Resposta.

Dica: Basta usar que $y_{1}^{\prime\prime}+by_{1}^{\prime}+cy_{1}=g_{1}(t)$ e que $y_{2}^{\prime\prime}+by_{2}^{\prime}+cy_{2}=g_{2}(t)$ .

E. 3.3.6.

Resolva

	$\displaystyle y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=t,\quad t>0,$		(3.310)
	$\displaystyle y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=0.$		(3.311)

Resposta.

$y(t)=-\frac{1}{4}e^{-2t}+e^{-t}+\frac{t}{2}-\frac{3}{4}$

E. 3.3.7.

Considere um sistema massa-mola modelado por

	$\displaystyle ms^{\prime\prime}+\gamma s^{\prime}+ks=\cos(t),\quad t>0,$		(3.312)
	$\displaystyle s(0)=s_{0},\quad s^{\prime}(0)=v_{0},$		(3.313)

onde $m>0$ é a massa, $\gamma>0$ é o coeficiente de resistência do meio, $k>0$ é a constante da mola, $s=s(t)$ é posição da massa ( $s=0$ posição de repouso, $s>0$ mola esticada, $s<0$ mola contraída), $s_{0}$ é a posição inicial e $v_{0}$ é a velocidade inicial da massa.

Supondo que $\gamma^{2}-4mk=0$ , o que pode se dizer sobre o comportamento de $s=s(t)$ para valores de $t$ muito grandes.

Resposta.

$s(t)\approx\displaystyle\frac{1}{\gamma^{2}+(k-m)^{2}}\left(\frac{k-m}{\gamma}% \cos(t)+\operatorname{sen}(t)\right)$

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3.3 EDO de ordem 2 não homogênea

3.3.1 Método da variação dos parâmetros

Exemplo 3.3.1.

3.3.2 Método dos coeficientes a determinar

𝒈⁢(𝒕)=𝒄⁢𝒆𝒔⁢𝒕

Exemplo 3.3.2.

Observação 3.3.1.

𝒈⁢(𝒕)=𝒄𝒏⁢𝒕𝒏+𝒄𝒏−𝟏⁢𝒕𝒏−𝟏+⋯+𝒄𝟎

Exemplo 3.3.3.

𝒈⁢(𝒕)=𝒄𝟏⁢𝐬𝐞𝐧⁡(𝜷⁢𝒕)+𝒄𝟐⁢𝐜𝐨𝐬⁡(𝜷⁢𝒕)

Exemplo 3.3.4.

Observação 3.3.2.

Exercícios resolvidos

ER 3.3.1.

Solução.

ER 3.3.2.

Solução.

Exercício

E. 3.3.1.

Resposta.

E. 3.3.2.

Resposta.

E. 3.3.3.

Resposta.

E. 3.3.4.

Resposta.

E. 3.3.5.

Resposta.

E. 3.3.6.

Resposta.

E. 3.3.7.

Resposta.

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$\boldsymbol{g(t)=ce^{st}}$

$\boldsymbol{g(t)=c_{n}t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_{0}}$

$\boldsymbol{g(t)=c_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+c_{2}\cos(\beta t)}$