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1 Introdução 1 Introdução 1.2 Problemas de Valores Iniciais e de Valores de Contorno

1.1 Equações diferenciais

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Equação Diferencial (ED) é o nome dado a qualquer equação que tenha pelo menos um termo envolvendo a diferenciação (derivação) de uma incógnita.

Exemplo 1.1.1.

São exemplos de equações diferenciais:

a)

Modelo de queda de um corpo com resistência do ar.

$\frac{dv}{dt}=g-\frac{k}{m}v^{2}.$ (1.1)

Nesta equação, temos a velocidade $v=v(t)$ ( $v$ função de $t$ ) como incógnita. O tempo é descrito por $t$ como uma variável independente. As demais letras correspondem a parâmetros dados (constantes). Mais especificamente, $g$ corresponde à gravidade, $k$ à resistência do ar e $m$ à massa do corpo.
b)

Equação de Verhulst (Equação Logística)

$\frac{dy}{dt}=r\left(1-\frac{y}{K}\right)y.$ (1.2)

Esta equação é um clássico modelo de crescimento populacional. Aqui, $y=y(t)$ é o tamanho da população (incógnita) no tempo $t$ (variável independente). As demais letras correspondem a parâmetros dados.
c)

Equação de Schrödinger.

$-\frac{\hbar}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+\frac{kx^{2}}{2}\psi=E\psi.$ (1.3)

Esta equação modela a função de onda $\psi$ (incógnita) de uma partícula em função de sua posição $x$ (modelo unidimensional). Neste modelo quântico, $\hbar$ , $m$ , $k$ e $E$ são parâmetros.
d)

Modelagem da corrente em um circuito elétrico.

$L\frac{d^{2}I}{dt^{2}}+R\frac{dI}{dt}+\frac{1}{C}I=E.$ (1.4)

Aqui, a incógnita é função corrente $I$ em função do tempo. O modelo refere-se a um circuito elétrico com os seguintes parâmetros: $L$ indutância, $R$ resistência, $C$ capacitância e $E$ voltagem do gerador.
e)

Equação do calor.

$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}.$ (1.5)

Esta equação modela a distribuição de temperatura (incógnita) $u=u(t,x)$ como função do tempo e da posição (variáveis independentes). O parâmetro é o coeficiente de difusão térmica $\alpha$ .

Equação Diferencial Ordinária (EDO) é aquela em que a incógnita é função apenas de uma variável independente. Desta forma, todas as derivadas que aparecem na equação são ordinárias. No Exemplo 1.1.1, as equações diferenciais a), b), c) e d) são ordinárias. A equação e) não é ordinária, pois a incógnita $u=u(t,x)$ é função das varáveis independentes $t$ e $x$ , portanto, os termos diferenciais são parciais (derivadas parciais). Equações como esta são chamadas de equações diferenciais parciais.

Toda EDO pode ser escrita na seguinte forma geral

F(t,y,y^{\prime},y^{\prime\prime},\cdots,y^{(n)})=0.

(1.6)

Aqui, $F$ é uma função envolvendo a variável independente $t$ e a variável dependente $y=y(t)$ (incógnita, função de $t$ ) e pelo menos uma derivada ordinária de $y$ em relação a $t$ ¹¹endnote: ¹Lembre-se que $\displaystyle y^{\prime}=\frac{dy}{dt}$ , $y^{\prime\prime}=\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$ e assim por diante.. O índice $n$ corresponde a ordem da derivada de maior ordem que aparece na equação, sendo $n\geq 1$ . Quando $F$ é função linear das variáveis $y$ , $y^{\prime}$ , $\cdots$ , $y^{(n)}$ , então a EDO é dita ser linear, caso contrário, é não linear. Quando $F$ não dependente explicitamente de $t$ , a equação é dita ser autônoma.

Exemplo 1.1.2.

Vejamos os seguintes casos:

a)

A equação

$y^{\prime\prime}+y=0$ (1.7)

é uma EDO de ordem $2$ , linear e autônoma. Aqui, temos $F(y,y^{\prime\prime})=y^{\prime\prime}+y$ .
b)

As equações (1.1) e (1.2) são EDOs de primeira ordem (de ordem $1$ ), autônomas e não lineares.
c)

A Equação de Schrödinger (1.3) é uma EDO de segunda ordem, linear e não autônoma.

Uma solução de uma EDO (1.6) é uma função $y=y(t)$ que satisfaça a equação para todos os valores de $t$ ²²endnote: ²Em várias situações o domínio de interesse de $t$ é também informado junto com a equação. Veremos isso mais adiante..

Exemplo 1.1.3.

As funções $y_{1}(t)=e^{t}$ e $y_{2}(t)=e^{-t}$ são soluções da equação diferencial ordinária

y^{\prime\prime}-y=0.

(1.8)

De fato, tomando $y=y_{1}(t)=e^{t}$ , temos $y^{\prime}=e^{t}$ e $y^{\prime\prime}=e^{t}$ . Substituindo na EDO, obtemos

y^{\prime\prime}-y=e^{t}-e^{t}=0,

(1.9)

para todo $t$ . Logo, $y=e^{t}$ satisfaz a equação.

Também, tomando $y=y_{2}(t)=e^{-t}$ , temos $y^{\prime}=-e^{-t}$ e $y^{\prime\prime}=e^{-t}$ . Substituindo na EDO, calculamos

y^{\prime\prime}-y=e^{-t}-e^{-t}=0,\quad\forall t.

(1.10)

Ou seja, $y=e^{-t}$ também satisfaz a equação.

No Python, podemos usar:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : t = symbols('t')

3 In : y = symbols('y', cls=Function)

4 In : de = Eq(Derivative(y(t),t,t)-y(t) ,0)

5 In : y1 = exp(t)

6 In : checkodesol(de,y1)

7 Out: (True, 0)

8 In : y2 = exp(-t)

9 In : checkodesol(de,y2)

10 Out: (True, 0)

Exercícios resolvidos

ER 1.1.1.

Determine a ordem e diga se a seguinte EDO é linear ou autônoma. Justifique suas respostas.

t^{2}\frac{dy}{dt}+(1+y^{2})\frac{d^{2}y}{dt^{2}}+y=e^{t}.

(1.11)

Solução.

a)

Ordem 2.

A equação tem ordem 2, pois o termo diferencial de maior ordem é uma derivada de segunda ordem.
b)

EDO é não linear.

A equação tem um termo $\displaystyle y^{2}\frac{d^{2}y}{dt^{2}}$ , o qual não é linear em $y$ .
c)

EDO não é autônoma.

A equação não é autônoma, pois a variável independente $t$ aparece explicitamente. A saber, no primeiro termo do lado esquerdo e no termo fonte da equação.

ER 1.1.2.

Determine os valores de $r$ para os quais $y=e^{rt}$ é solução da equação

y^{\prime\prime}-y=0.

(1.12)

Solução.

Para que $y=e^{rt}$ seja solução da equação dada, devemos ter

$\displaystyle y^{\prime\prime}-y=0$	$\displaystyle\Rightarrow\left(e^{rt}\right)^{\prime\prime}-e^{rt}=0$	(1.13)
	$\displaystyle\Rightarrow r^{2}e^{rt}-e^{rt}=0$	(1.14)
	$\displaystyle\Rightarrow(r^{2}-1)\cdot\underbrace{e^{rt}}_{>0}=0$	(1.15)
	$\displaystyle\Rightarrow r^{2}-1=0$	(1.16)
	$\displaystyle\Rightarrow r=\pm 1.$	(1.17)

No Python, podemos computar a solução deste problema com os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : r,t = symbols('r,t')

3 In : eq = diff(exp(r*t),t,2)-exp(r*t)

4 In : solve(eq,r)

5 Out: [-1, 1]

Exercícios

E. 1.1.1.

Determine quais das seguintes são EDOs. Justifique sua resposta.

a)

$\displaystyle y=y^{\prime\prime}$ .
b)

$\displaystyle\frac{\partial y}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{\partial y}{% \partial x}$ .
c)

$\displaystyle y\cdot\frac{d^{5}y}{dx^{5}}=x\ln(y)+\frac{d}{dx}e^{x^{2}}$ .
d)

$u_{tt}=\alpha^{2}u_{xx}$ , sendo $\alpha$ um parâmetro.

Resposta.

a), c)

E. 1.1.2.

Determine a ordem das seguintes EDOs. Justifique sua resposta.

a)

$\displaystyle t^{2}y^{\prime}=e^{t}$ .
b)

$\displaystyle\frac{d^{2}y}{dt^{2}}=\frac{d^{3}y}{dt^{3}}$ .
c)

$\displaystyle y\cdot y^{\prime\prime}-3y^{\prime\prime}=y-y^{\prime}$ .
d)

$\displaystyle\left(\frac{d^{2}y}{dt^{2}}\right)^{2}=e^{t}$ .

Resposta.

a) $1$ ; b) $3$ ; c) $2$ ; d) $2$ .

E. 1.1.3.

Determine quais das equações do Exercício 1.1.2 não são autônomas. Justifique sua resposta.

Resposta.

a), d).

E. 1.1.4.

Determine quais das equações do Exercício 1.1.2 são lineares. Justifique sua resposta.

Resposta.

a), b).

E. 1.1.5.

Para cada equação a seguir, calcule os valores de $r$ para os quais $y=e^{rt}$ seja solução da equação.

a)

$y^{\prime\prime}+y^{\prime}-6y=0$ .
b)

$y^{\prime\prime\prime}=3y^{\prime\prime}$ .

Resposta.

a) $\{-3,2\}$ ; b) $\{0,3\}$

E. 1.1.6.

Calcule os valores de $\alpha$ para os quais $y=t^{\alpha}$ , $t>0$ , seja solução da equação

t^{2}y^{\prime\prime}=2y.

(1.18)

Resposta.

$\{-1,2\}$ .

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