Com isso, e lembrando que $y:\mapsto y(x)$ , a EDO (2.203) é equivalente a⁵⁵endnote: ⁵ $\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}f(y(x))=\frac{\partial f}{\partial y}% \frac{dy}{dx}$

$\displaystyle\frac{d}{dx}\Psi(x,y)$	$\displaystyle=\frac{\partial\Psi}{\partial x}+\frac{\partial\Psi}{\partial y}% \frac{dy}{dx}$	(2.206)
	$\displaystyle=M(x,y)+N(x,y)\frac{dy}{dx}$	(2.207)
	$\displaystyle=0.$	(2.208)

Logo, temos a solução geral

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\Psi(x,y)=c}.

(2.209)

Exemplo 2.3.1.

Vamos resolver a seguinte EDO

(3x^{2}-2xy+2)+(6y^{2}-x^{2}+3)\frac{dy}{dx}=0.

(2.210)

Denotamos

	$\displaystyle M(x,y)$	$\displaystyle=3x^{2}-2xy+2,$		(2.211)
	$\displaystyle N(x,y)$	$\displaystyle=6y^{2}-x^{2}+3.$		(2.212)

Calculando as derivadas parciais

	$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}M(x,y)=-2x,$		(2.213)
	$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}N(x,y)=-2x,$		(2.214)

vemos que (2.210) é uma equação exata. Desta forma, buscamos por uma função $\Psi=\Psi(x,y)$ tal que

\frac{\partial\Psi}{\partial x}=M(x,y),\quad\frac{\partial\Psi}{\partial y}=N(% x,y).

(2.215)

a)

Método 1. Podemos calcular $\Psi$ a partir de

$\frac{\partial\Psi}{\partial x}=M(x,y).$ (2.216)

Integrando em relação a $x$ , obtemos

$\displaystyle\Psi(x,y)$ $\displaystyle=\int M(x,y)\,dx+f(y)$ (2.217)

$\displaystyle=\int 3x^{2}-2xy+2\,dx+f(y)$ (2.218)

$\displaystyle=x^{3}-x^{2}y+2x+f(y).$ (2.219)

Para encontrar $f(y)$ , usamos

$\frac{\partial\Psi}{\partial y}=N(x,y).$ (2.220)

No caso, temos

$\displaystyle-x^{2}+f^{\prime}(y)=6y^{2}-x^{2}+3,$ (2.221)

donde

$\displaystyle f^{\prime}(y)=6y^{2}+3.$ (2.222)

Integrando em relação a $y$ , obtemos

$\displaystyle f(y)$ $\displaystyle=\int 6y^{2}+3\,dy$ (2.223)

$\displaystyle=2y^{3}+3y+c.$ (2.224)

Concluímos que

$\Psi(x,y)=x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y+c.$ (2.225)

A solução geral da EDO é dada pela equação implícita

$x^{3}-x^{2}y+2x+2y^{3}+3y=c.$ (2.226)
b)

Método 2. Partimos da equação

$\frac{\partial\Psi}{\partial y}=N(x,y).$ (2.227)

Integrando em relação a $y$ , obtemos

$\displaystyle\Psi(x,y)$ $\displaystyle=\int N(x,y)\,dy+g(x)$ (2.228)

$\displaystyle=\int 6y^{2}-x^{2}+3\,dy+g(x)$ (2.229)

$\displaystyle=2y^{3}-x^{2}y+3y+g(x).$ (2.230)

Agora, usando

$\frac{\partial\Psi}{\partial x}=M(x,y),$ (2.231)

temos

$\displaystyle-2xy+g^{\prime}(x)=3x^{2}-2xy+2$ (2.232)

$\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^{2}+2.$ (2.233)

Integrando em relação a $x$ , obtemos

$\displaystyle g(x)$ $\displaystyle=\int 3x^{2}+2\,dx+c$ (2.234)

$\displaystyle=x^{3}+2x+c.$ (2.235)

Ou seja, obtivemos

$\Psi(x,y)=2y^{3}-x^{2}y+3y+x^{3}+2x+c,$ (2.236)

o que nos fornece a solução geral

$2y^{3}-x^{2}y+3y+x^{3}+2x=c.$ (2.237)

Na figura abaixo, temos esboços da solução geral para diferentes valores de $c$ .

Refer to caption — Figura 2.5: Exemplo 2.3.1. Esboços da solução geral para: (azul) $c=-10$ , (preto) $c=-5$ , (verde) $c=5$ .

No Python, podemos computar a solução geral da EDO com os seguintes códigos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: y = Function('y')

3 ...: x,C1 = symbols('x,C1')

4 ...: edo = 3*x**2-2*x*y(x)+2 + (6*y(x)**2-x**2+3)*diff(y(x),x)

5 ...: sg = dsolve(edo, y(x), simplify=False)

6 ...: sg

7 Out: Eq(x**3 - x**2*y(x) + 2*x + 2*y(x)**3 + 3*y(x), C1)

Os esboços dos gráficos podem ser obtidos com:

⬇

1 In : var('y')

2 ...: sg = sg.subs(y(x),y)

3 ...: p = plot_implicit(sg.subs(C1,-10),

4 ...: (x,-3,3), (y,-3,3),

5 ...: line_color='blue', show=False)

6 ...: q = plot_implicit(sg.subs(C1,-5),

7 ...: (x,-3,3), (y,-3,3),

8 ...: line_color='black', show=False)

9 ...: p.extend(q)

10 ...: q = plot_implicit(sg.subs(C1,5),

11 ...: (x,-3,3), (y,-3,3),

12 ...: line_color='green', show=False)

13 ...: p.extend(q)

14 ...: p.show()

2.3.1 Método dos fatores integrantes

Para algumas equações

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}M(x,y)+N(x,y)% \frac{dy}{dx}=0}

(2.238)

não exatas é possível aplicar o método dos fatores integrantes para convertê-las em equações exatas.

A ideia é buscar por um fator integrante $\mu=\mu(x,y)$ tal que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\mu M(x,y)+\mu N% (x,y)\frac{dy}{dx}=0}

(2.239)

seja uma equação exata, i.e.

\frac{\partial}{\partial y}\left(\mu M(x,y)\right)=\frac{\partial}{\partial x}% \left(\mu N(x,y)\right).

(2.240)

Ou seja, $\mu$ deve ser tal que

	$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\left(\mu M(x,y)\right)-\frac{\partial% }{\partial x}\left(\mu N(x,y)\right)=0$		(2.241)
	$\displaystyle\mu_{y}M+\mu M_{y}-\mu_{x}N-\mu N_{x}=0.$		(2.242)

Com isso, pode-se concluir que $\mu=\mu(x,y)$ deve satisfazer

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}M\mu_{y}-N\mu_% {x}+(M_{y}-N_{x})\mu=0}.

(2.243)

Em geral, resolver (2.243) pode ser tão ou mais difícil que resolver a EDO original (2.238). Vejamos alguns casos em que é possível encontrar o fator $\mu$ .

$\boldsymbol{\mu=\mu(x)}$

No caso de $\mu=\mu(x)$ (função de $x$ apenas), a equação (2.243) resume-se a

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{d\mu}{dx% }=\frac{M_{y}-N_{x}}{N}\mu}.

(2.244)

Ou seja, se

\frac{M_{y}-N_{x}}{N}

(2.245)

é função apenas de $x$ , então podemos calcular um fator integrante $\mu=\mu(x)$ resolvendo a EDO linear (2.244).

Exemplo 2.3.2.

Vamos resolver a EDO

(x+2)\operatorname{sen}(y)+x\cos(y)\frac{dy}{dx}=0.

(2.246)

Denotando

	$\displaystyle M(x,y)$	$\displaystyle=(x+2)\operatorname{sen}(y)$		(2.247)
	$\displaystyle N(x,y)$	$\displaystyle=x\cos(y)$		(2.248)

vemos que

\frac{\partial}{\partial y}M(x,y)=(x+2)\cos(y)\neq\cos(y)=\frac{\partial}{% \partial x}N(x,y).

(2.249)

Ou seja, não é uma equação exata. Por outro lado,

	$\displaystyle\frac{M_{y}-N_{x}}{N}$	$\displaystyle=\frac{(x+2)\cos(y)-\cos(y)}{x\cos(y)}$		(2.250)
		$\displaystyle=\frac{x+1}{x}$		(2.251)

é função apenas de $x$ , o que nos indica a existência de um fator integrante $\mu=\mu(x)$ satisfazendo a seguinte EDO linear

\frac{d}{dx}\mu=\frac{M_{y}-N_{x}}{N}\mu.

(2.252)

Ou seja, resolvemos

	$\displaystyle\frac{d\mu}{dx}=\frac{x+1}{x}\mu$		(2.253)
	$\displaystyle\frac{1}{\mu}\,d\mu=\frac{x+1}{x}\,dx$		(2.254)
	$\displaystyle\ln\|\mu\|=x+\ln\|x\|+c$		(2.255)
	$\displaystyle\mu=cxe^{x}.$		(2.256)

Com isso, escolhendo o fator integrante $\mu=xe^{x}$ a equação

\mu M+\mu N\frac{dy}{dx}=0

(2.257)

é exata e é equivalente a EDO (2.246). De fato, temos

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)$	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial y}\left[(x^{2}+2x)e^{x}\operatorname{% sen}(y)\right]$	(2.258)
	$\displaystyle=(x^{2}+2x)e^{x}\cos(y)$	(2.259)
	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial x}\left[x^{2}e^{x}\cos(y)\right]$	(2.260)
	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).$	(2.261)

Para resolver (2.257), buscamos por uma função $\Psi=\Psi(x,y)$ tal que

	$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\Psi(x,y)=\mu N$		(2.262)
	$\displaystyle\Psi(x,y)=\int x^{2}e^{x}\cos(y)\,dy+f(x)$		(2.263)
	$\displaystyle\Psi(x,y)=x^{2}e^{x}\operatorname{sen}(y)+f(x).$		(2.264)

Bem como, $\Psi$ deve satisfazer

	$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,y)=\mu M$		(2.265)
	$\displaystyle(x^{2}+2x)e^{x}\operatorname{sen}(y)+f^{\prime}(x)=(x^{2}+2x)e^{x% }\operatorname{sen}(y)$		(2.266)
	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$		(2.267)
	$\displaystyle f(x)=c.$		(2.268)

Logo, podemos concluir que a solução geral de (2.246) é dada por

x^{2}e^{x}\operatorname{sen}(y)=c.

(2.269)

No Python, podemos computar a solução geral com:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: y = Function('y')

3 ...: x,C1 = symbols('x,C1')

4 ...: edo = (x+2)*sin(y(x))+x*cos(y(x))*diff(y(x),x)

5 ...: sg = dsolve(edo, y(x), simplify=False)

6 ...: sg

7 Out: Eq(log(cos(y(x))**2 - 1)/2, C1 - x - 2*log(x))

Esta solução é equivalente a (2.269)?

Observação 2.3.1.

A função checkodesol do SymPypermite verificar se uma expressão/equação é solução de uma dada EDO. No caso de exemplo anterior (Exemplo 2.3.2), podemos verificar a solução (2.269) com o seguinte código:

⬇

1 In : from sympy import *

2 ...: y = Function('y')

3 ...: x,C1 = symbols('x,C1')

4 ...: edo = (x+2)*sin(y(x))+x*cos(y(x))*diff(y(x),x)

5 ...: sol = Eq(x**2*exp(x)*sin(y(x)),C1)

6 ...: checkodesol(edo,sol)

7 Out: [(True, 0), (True, 0)]

$\boldsymbol{\mu=\mu(y)}$

No caso de $\mu=\mu(y)$ (função de $y$ apenas), a equação (2.243) resume-se a

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{d\mu}{dy% }=\frac{N_{x}-M_{y}}{M}\mu}.

(2.270)

Ou seja, se

\frac{N_{x}-M_{y}}{M}

(2.271)

é função apenas de $y$ , então podemos calcular um fator integrante $\mu=\mu(y)$ resolvendo a EDO linear (2.270).

Exemplo 2.3.3.

Vamos resolver a EDO

y+(2x-ye^{y})\frac{dy}{dx}=0.

(2.272)

Denotando

	$\displaystyle M(x,y)$	$\displaystyle=y$		(2.273)
	$\displaystyle N(x,y)$	$\displaystyle=2x-ye^{y}$		(2.274)

vemos que

\frac{\partial}{\partial y}M(x,y)=1\neq 2=\frac{\partial}{\partial x}N(x,y).

(2.275)

Ou seja, não é uma equação exata. Por outro lado,

\frac{N_{x}-M_{y}}{M}=\frac{1}{y}

(2.276)

é função apenas de $y$ . Com isso, podemos obter um fator integrante $\mu=\mu(y)$ resolvendo a seguinte EDO linear

	$\displaystyle\frac{d\mu}{dy}=\frac{N_{x}-M_{y}}{M}\mu$		(2.277)
	$\displaystyle\frac{d\mu}{dy}=\frac{1}{y}\mu$		(2.278)
	$\displaystyle\frac{1}{\mu}\,d\mu=\frac{1}{y}\,dy$		(2.279)
	$\displaystyle\ln\|\mu\|=\ln\|y\|+c$		(2.280)
	$\displaystyle\mu=cy.$		(2.281)

Desta forma, podemos escolher o fator integrante $\mu=y$ de forma que a equação

\mu M+\mu N\frac{dy}{dx}=0

(2.282)

é exata e equivalente a EDO (2.272). De fato, temos

$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}(\mu M)$	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial y}(y^{2})$	(2.283)
	$\displaystyle=2y$	(2.284)
	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial x}\left[(2x-ye^{y})y\right]$	(2.285)
	$\displaystyle=\frac{\partial}{\partial x}(\mu N).$	(2.286)

Sendo (2.282) uma equação exata, buscamos por uma função $\Psi=\Psi(x,y)$ tal que

	$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x}\Psi(x,y)=\mu M(x,y)$		(2.287)
	$\displaystyle\Psi(x,y)=\int y^{2}\,dx+f(y)$		(2.288)
	$\displaystyle\Psi(x,y)=xy^{2}+f(y).$		(2.289)

Bem como,

	$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\Psi(x,y)=\mu N(x,y)$		(2.290)
	$\displaystyle 2xy+f^{\prime}(y)=2xy-y^{2}e^{y}$		(2.291)
	$\displaystyle f^{\prime}(y)=-y^{2}e^{y}$		(2.292)
	$\displaystyle f(y)=-(y^{2}-2y+2)e^{y}+c.$		(2.293)

Logo, concluímos que a solução geral da EDO (2.272) é

xy^{2}-(y^{2}-2y+2)e^{y}=c.

(2.294)

Vamos verificar esta solução no Python:

⬇

1 from sympy import *

2 y = Function('y')

3 x,C1 = symbols('x,C1')

4 edo = y(x)+(2*x-y(x)*exp(y(x)))*diff(y(x),x)

5 sol = Eq(x*y(x)**2-(y(x)**2-2*y(x)+2)*exp(y(x)),C1)

6 checkodesol(edo,sol,func=y(x),solve_for_func=False)

Tendo em vista que o SymPy não resolve esta EDO diretamente, a opção solve_for_func=False foi utilizada para impedir que o SymPy tente resolver a EDO.

Exercícios resolvidos

ER 2.3.1.

Verifique se a EDO

x^{2}+(2xy-y^{2})\frac{dy}{dx}=-y^{2}

(2.295)

é exata. Caso não seja, busque por um fator integrante para reescrevê-la como uma equação exata.

Solução.

Para verificarmos se a equação é exata, vamos colocá-la reescrevê-la na seguinte forma

x^{2}+y^{2}+(2xy-y^{2})\frac{dy}{dx}=0.

(2.296)

Com isso, identificamos

	$\displaystyle M(x,y)$	$\displaystyle=x^{2}+y^{2},$		(2.297)
	$\displaystyle N(x,y)$	$\displaystyle=2xy-y^{2}.$		(2.298)

Ainda, temos

\frac{\partial M}{\partial y}=2y

(2.299)

\frac{\partial N}{\partial x}=2y.

(2.300)

Como

\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x},

(2.301)

concluímos que a EDO é exata.

ER 2.3.2.

Resolva o seguinte PVI:

	$\displaystyle sen(y)+(x\cos(y)+1)\frac{dy}{dx}=0,$		(2.302)
	$\displaystyle y(0)=\pi.$		(2.303)

Solução.

Denotando

M(x,y)=\operatorname{sen}(y),\quad N(x,y)=x\cos(y)+1,

(2.304)

vemos que a EDO associada ao PVI é uma equação exata. Logo, para resolvê-la buscamos por uma função $\Psi=\Psi(x,y)$ tal que

	$\displaystyle\frac{\partial\Psi}{\partial x}=M(x,y)$		(2.305)
	$\displaystyle\Psi=\int M(x,y)\,dx+f(y)$		(2.306)
	$\displaystyle\Psi=x\operatorname{sen}(y)+f(y).$		(2.307)

Bem como, $\Psi$ deve ser tal que

	$\displaystyle\frac{\partial}{\partial y}\Psi(x,y)=N(x,y)$		(2.308)
	$\displaystyle x\cos(y)+f^{\prime}(y)=x\cos(y)+1$		(2.309)
	$\displaystyle f^{\prime}(y)=1$		(2.310)
	$\displaystyle f(y)=y+c.$		(2.311)

Logo, a solução geral da EDO associada é dada por

x\operatorname{sen}(y)+y=c.

(2.312)

Por fim, aplicando a condição inicial $y(0)=1$ , obtemos

	$\displaystyle 0\cdot\operatorname{sen}(1)+1=c$		(2.313)
	$\displaystyle c=1.$		(2.314)

Concluímos que a solução do PVI é dada por

x\operatorname{sen}(y)+y=1.

(2.315)

Exercícios

E. 2.3.1.

Verifique se a seguinte EDO é exata. Justifique sua resposta.

\frac{dy}{dx}=\frac{\cos(y)}{1+x\operatorname{sen}(y)}.

(2.316)

Resposta.

Exata

E. 2.3.2.

Resolva a seguinte EDO

\cos(y)+(1-x\operatorname{sen}(y))\frac{dy}{dx}=0.

(2.317)

Resposta.

$x\cos(y)+y=c$

E. 2.3.3.

Mostre que a seguinte EDO não é exata

xy^{2}+1-x^{2}y\frac{dy}{dx}=0.

(2.318)

Ainda, mostre que o fator integrante $\mu=x^{-4}$ pode ser usado para transformar esta em uma equação exata. Por fim, resolva-a.

Resposta.

$-\frac{x^{-2}y^{2}}{2}-\frac{x^{3}}{3}=c$

E. 2.3.4.

Resolva a seguinte EDO

6xy+y^{2}+(2x^{2}+xy)\frac{dy}{dx}=0.

(2.319)

Resposta.

$(xy+2x^{2})^{2}-4x^{4}=c$

E. 2.3.5.

Resolva o seguinte PVI

y+(y-3x)\frac{dy}{dx}=0,\\ y(1)=1

(2.320)

Resposta.

$xy^{-3}-\frac{y^{-2}}{2}=\frac{1}{2}$

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$\displaystyle\Psi(x,y)$	$\displaystyle=\int M(x,y)\,dx+f(y)$	(2.217)
	$\displaystyle=\int 3x^{2}-2xy+2\,dx+f(y)$	(2.218)
	$\displaystyle=x^{3}-x^{2}y+2x+f(y).$	(2.219)

	$\displaystyle f(y)$	$\displaystyle=\int 6y^{2}+3\,dy$		(2.223)
		$\displaystyle=2y^{3}+3y+c.$		(2.224)

$\displaystyle\Psi(x,y)$	$\displaystyle=\int N(x,y)\,dy+g(x)$	(2.228)
	$\displaystyle=\int 6y^{2}-x^{2}+3\,dy+g(x)$	(2.229)
	$\displaystyle=2y^{3}-x^{2}y+3y+g(x).$	(2.230)

	$\displaystyle-2xy+g^{\prime}(x)=3x^{2}-2xy+2$		(2.232)
	$\displaystyle g^{\prime}(x)=3x^{2}+2.$		(2.233)

	$\displaystyle g(x)$	$\displaystyle=\int 3x^{2}+2\,dx+c$		(2.234)
		$\displaystyle=x^{3}+2x+c.$		(2.235)

2.3 Equação exata

Exemplo 2.3.1.

2.3.1 Método dos fatores integrantes

𝝁=𝝁⁢(𝒙)

Exemplo 2.3.2.

Observação 2.3.1.

𝝁=𝝁⁢(𝒚)

Exemplo 2.3.3.

Exercícios resolvidos

ER 2.3.1.

Solução.

ER 2.3.2.

Solução.

Exercícios

E. 2.3.1.

Resposta.

E. 2.3.2.

Resposta.

E. 2.3.3.

Resposta.

E. 2.3.4.

Resposta.

E. 2.3.5.

Resposta.

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$\boldsymbol{\mu=\mu(x)}$

$\boldsymbol{\mu=\mu(y)}$