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5 EDO linear de ordem mais alta com coeficientes variáveis 5 EDO linear de ordem mais alta com coeficientes variáveis 5.2 Integrais de Euler

5.1 EDO de ordem 2 com coeficientes variáveis: fundamentos

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Nesta seção, vamos discutir de forma bastante introdutória o caso de EDOs lineares de ordem 2 com coeficientes não constantes, i.e. EDOs da forma

p(x)y^{\prime\prime}+q(x)y^{\prime}+r(x)y=g(x),

(5.1)

sendo $y=y(x)$ e $p(x)\not\equiv 0$ .

A teoria fundamental para tais equações é análoga a de equações com coeficientes constantes. Mais precisamente, a solução geral pode ser escrita na forma

y(t)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x)+y_{p}(x),

(5.2)

onde $y_{1}$ e $y_{2}$ formam um conjunto de soluções fundamentais ( $W(y_{1},y_{2};t)\neq 0$ ) para a equação homogênea associada e $y_{p}$ é uma solução particular da equação não homogênea. Cabe observar que a existência e unicidade de solução (para um PVI com equação homogênea) é garantida quando os coeficientes $p$ , $q$ e $r$ são funções contínuas no domínio de interesse.

A seguir, vamos explorar dois casos. O primeiro, é a equação de Euler²²²²endnote: ²²Leonhard Euler, 1707-1783, matemático suíço. Fonte: Wikipedia., a qual admite soluções da forma $y=x^{r}$ e pode ser tratada usando as mesmas abordagem utilizadas no caso das equações com coeficientes constantes. O segundo caso, são de equações que admitem soluções em série de potências.

5.1.1 Equação de Euler

Um caso fundamental de uma EDO linear de segunda ordem com coeficientes não constantes é a equação de Euler

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x^{2}y^{\prime% \prime}+axy^{\prime}+by=0},

(5.3)

onde $a, b$ são constantes e $y=y(x)$ .

Assumindo uma solução da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(t)=x^{r}}

(5.4)

e substituindo na EDO, obtemos

x^{2}r(r-1)x^{r-2}+axrx^{r-1}+bx^{r}=0.

(5.5)

Rearranjando os termos, temos a equação característica

r(r-1)+ar+b=0

(5.6)

ou, equivalentemente,

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}r^{2}+(a-1)r+b% =0}.

(5.7)

Suas raízes são

r_{1},r_{2}=\frac{(1-a)\pm\sqrt{(a-1)^{2}-4b}}{2}.

(5.8)

Raízes reais distintas

No caso de $(a-1)^{2}-4b\neq 0$ , temos que as raízes $r_{1}$ e $r_{2}$ da equação característica são reais e distintas ( $r_{1}\neq r_{2}$ ). Assim, $y_{1}(x)=x^{r_{1}}$ e $y_{2}(x)=x^{r_{2}}$ são soluções da equação de Euler e o wronskiano

$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}$	(5.11)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}x^{r_{1}}&x^{r_{2}}\\ r_{1}x^{r_{1}-1}&r_{2}x^{r_{2}-1}\end{vmatrix}$	(5.14)
	$\displaystyle=(r_{2}-r_{1})x^{r_{1}+r_{2}-1}\neq 0.$	(5.15)

Ou seja, $\{y_{1},y_{2}\}$ formam um conjunto fundamental de soluções para a equação de Euler, logo sua solução geral é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y(t)=c_{1}x^{r% _{1}}+c_{2}x^{r_{2}}}.

(5.17)

Exemplo 5.1.1.

Vamos encontrar a solução geral de

x^{2}y^{\prime\prime}+xy-4y=0.

(5.18)

Supondo uma solução da forma $y(t)=x^{r}$ , obtemos a equação característica associada

r^{2}-4=0.

(5.19)

Suas raízes são $r_{1}=-2$ e $r_{2}=2$ . Logo, concluímos que a solução geral é

y(x)=c_{1}x^{-2}+c_{2}x^{2}.

(5.20)

No Python²³²³endnote: ²³Veja Observação LABEL:obs:cap_edolin_python, temos

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : dsolve(x**2*diff(y(x),x,2)+x*diff(y(x),x)-4*y(x))

3 Out: Eq(y(x), C1/x**2 + C2*x**2)

Raiz dupla

No caso de $(a-1)^{2}-4b=0$ , a equação característica tem raiz dupla

r=\frac{1-a}{2}.

(5.21)

Isto nos fornece a solução particular

y_{1}(t)=x^{r}.

(5.22)

Para obtermos uma outra solução, usamos o método da redução de ordem. I.e., buscamos por uma solução da forma

y_{2}(x)=u(x)y_{1}(x),

(5.23)

Substituindo $y_{2}$ na equação de Euler, obtemos

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=x^{2}y_{2}^{\prime\prime}+axy_{2}^{\prime}+by_{2}$	(5.24)
	$\displaystyle=x^{2}\left(y_{1}^{\prime\prime}u+2y_{1}^{\prime}u^{\prime}+y_{1}% u^{\prime\prime}\right)$	(5.25)
	$\displaystyle+ax\left(y_{1}^{\prime}u+y_{1}u^{\prime}\right)$	(5.26)
	$\displaystyle+by_{1}u$	(5.27)
	$\displaystyle=\underbrace{\left(x^{2}y_{1}^{\prime\prime}+axy_{1}^{\prime}+By_% {1}\right)u}_{=0}$	(5.28)
	$\displaystyle+x^{2}y_{1}u^{\prime\prime}+(2x^{2}y_{1}^{\prime}+axy_{1})u^{\prime}$	(5.29)
	$\displaystyle=x^{r+2}u^{\prime\prime}+(2x^{2}rx^{r-1}+axx^{r})u^{\prime}$	(5.30)
	$\displaystyle=x^{r+2}u^{\prime\prime}+(2r+a)x^{r+1}u^{\prime}$	(5.31)
	$\displaystyle=x^{r+2}u^{\prime\prime}+x^{r+1}u^{\prime}$	(5.32)

Desta equação, obtemos

$\displaystyle x^{r+2}u^{\prime\prime}=-x^{r+1}u^{\prime}$	$\displaystyle\Rightarrow\frac{1}{u^{\prime}}u^{\prime\prime}=-x^{-1}$	(5.33)
	$\displaystyle\Rightarrow\ln\|u^{\prime}\|=-\ln\|x\|+c$	(5.34)
	$\displaystyle\Rightarrow u^{\prime}=\frac{c}{x}$	(5.35)
	$\displaystyle\Rightarrow u=c\ln\|x\|+d.$	(5.36)

Ou seja, podemos escolher $y_{2}(x)=x^{r}\ln|x|$ . Conferindo o wronskiano, temos

	$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}x^{r}&x^{r}\ln\|x\|\\ rx^{r-1}&(r\ln\|x\|+1)x^{r-1}\end{vmatrix}$		(5.39)
		$\displaystyle=x^{2r-1}\neq 0,\quad x\neq 0.$		(5.40)

Concluímos que, no caso de raiz dupla $r=(1-a)/2$ , a solução geral da equação de Euler é

y(t)=(c_{1}+c_{2}\ln|x|)x^{\frac{1-a}{2}}.

(5.41)

Exemplo 5.1.2.

Vamos obter a solução geral de

x^{2}y^{\prime\prime}-xy^{\prime}+y=0.

(5.42)

A equação característica associada é

r^{2}-2r+1=0,

(5.43)

a qual tem raiz dupla $r=1$ . Logo, a solução geral desta equação de Euler é

y(t)=(c_{1}+c_{2}\ln|x|)x.

(5.44)

No Python²⁴²⁴endnote: ²⁴Veja Observação LABEL:obs:cap_edolin_python, temos

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : dsolve(x**2*diff(y(x),x,2)-x*diff(y(x),x)+y(x))

3 Out: Eq(y(x), x*(C1 + C2*log(x)))

Raízes complexas

No caso de $(a-1)^{2}-4b<0$ , a equação característica associada a equação de Euler tem raízes complexas

r_{1},r_{2}=\lambda\pm i\mu

(5.45)

onde

\lambda=\frac{(1-a)}{2}\quad\text{e}\quad\mu=\frac{\sqrt{4b-(a-1)^{2}}}{2}.

(5.46)

Da fórmula de Euler, temos

$\displaystyle x^{\lambda\pm i\mu}$	$\displaystyle=e^{\ln x^{\lambda\pm i\mu}}$	(5.47)
	$\displaystyle=e^{(\lambda\pm i\mu)\ln(x)}$	(5.48)
	$\displaystyle=e^{\lambda\ln\|x\|}[\cos(\mu\ln x)\pm i\operatorname{sen}(\mu\ln x)]$	(5.49)
	$\displaystyle=x^{\lambda}[\cos(\mu\ln x)\pm i\operatorname{sen}(\mu\ln x)].$	(5.50)

Agora, da linearidade da equação de Euler, vemos que $y_{1}(x)=x^{\lambda}\cos(\mu\ln|x|)$ e $y_{2}(x)=x^{\lambda}\operatorname{sen}(\mu\ln|x|)$ são soluções particulares. Mais ainda, o wronskiano

$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}$	(5.53)
	$\displaystyle=\mu x^{2\lambda-1}$	(5.54)
	$\displaystyle=\frac{\sqrt{4b-(a-1)^{2}}}{2}x^{a}\neq 0.$	(5.55)

Concluímos que, no caso de raiz dupla, a solução geral é

y(t)=x^{\lambda}[c_{1}\cos(\mu\ln|x|)+c_{2}\operatorname{sen}(\mu\ln|x|)].

(5.56)

Exemplo 5.1.3.

Vamos obter a solução geral de

x^{2}y^{\prime\prime}+xy^{\prime}+y=0.

(5.57)

A equação característica associada é

r^{2}+1=0,

(5.58)

a qual tem raízes imaginárias $r=\pm i$ . Logo, a solução geral desta equação de Euler é

y(t)=c_{1}\cos(\ln|x|)+c_{2}\operatorname{sen}(\ln|x|).

(5.59)

No Python²⁵²⁵endnote: ²⁵Veja Observação LABEL:obs:cap_edolin_python, temos

⬇

1 In : from sympy import *

2 In : dsolve(x**2*diff(y(x),x,2)+x*diff(y(x),x)+y(x))

3 Out: Eq(y(x), C1*sin(log(x)) + C2*cos(log(x)))

5.1.2 Solução em série de potências

Em muitos casos, a solução geral de tais EDOs pode ser escrita como uma série de potências, i.e.

y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(x-x_{0})^{n}.

(5.60)

O ponto $x_{0}$ é arbitrário e deve pertencer ao domínio de interesse. A ideia básica é, então, substituir a representação em série de potência de $y$ na EDO de forma a calcular seus coeficientes.

Exemplo 5.1.4.

Vamos usar o método de série de potências para resolver

y^{\prime\prime}-xy=0,

(5.61)

chamada equação de Airy²⁶²⁶endnote: ²⁶Sir George Biddell Airy, 1801 - 1892, matemático inglês. Fonte: Wikipedia..

Vamos assumir que

y(t)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.

(5.62)

Segue que

	$\displaystyle y^{\prime}(t)$	$\displaystyle=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}nx^{n-1}$		(5.63)
		$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}(n+1)x^{n}$		(5.64)

	$\displaystyle y^{\prime\prime}(t)$	$\displaystyle=\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+1}(n+1)nx^{n-1}$		(5.65)
		$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}.$		(5.66)

Substituindo na equação de Airy, obtemos

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}-xy$	(5.67)
	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}-x\sum_{n=0}^{\infty}a_% {n}x^{n}$	(5.68)
	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}-\sum_{n=0}^{\infty}a_{% n}x^{n+1}$	(5.69)
	$\displaystyle=2a_{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}-\sum_{n=1}^{% \infty}a_{n-1}x^{n}$	(5.70)
	$\displaystyle=2a_{2}+\sum_{n=1}^{\infty}(a_{n+2}(n+2)(n+1)-a_{n-1})x^{n}.$	(5.71)

Como esta última equação deve valer para todo $x$ , segue que

	$\displaystyle a_{2}=0,$		(5.72)
	$\displaystyle(n+2)(n+1)a_{n+2}=a_{n-1},\quad n=1,2,3,\ldots$		(5.73)

Observamos que não há condições impostas para $a_{0}$ e $a_{1}$ , ou seja, são constantes indeterminadas. Das relações acima, obtemos:

a)

$n=3,6,9,\ldots$ :

$\displaystyle a_{5}$ $\displaystyle=\frac{a_{2}}{4\cdot 5}=0$ (5.74)

$\displaystyle a_{8}$ $\displaystyle=\frac{a_{5}}{7\cdot 9}=0$ (5.75)

$\displaystyle a_{11}$ $\displaystyle=\frac{a_{8}}{10\cdot 11}=0$ (5.76)

$\displaystyle\vdots$ (5.77)

$\displaystyle a_{3k+2}$ $\displaystyle=0,\quad k\geq 1.$ (5.78)
b)

$n=1,4,7,\ldots$ :

$\displaystyle a_{3}$ $\displaystyle=\frac{a_{0}}{2\cdot 3},$ (5.79)

$\displaystyle a_{6}$ $\displaystyle=\frac{a_{3}}{5\cdot 6}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6},$ (5.80)

$\displaystyle a_{9}$ $\displaystyle=\frac{a_{6}}{8\cdot 9}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6\cdot 8% \cdot 9}$ (5.81)

$\displaystyle\vdots$ (5.82)

$\displaystyle a_{3k}$ $\displaystyle=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot\cdots\cdot(3k-1)\cdot(3k)},\quad k% \geq 1.$ (5.83)
c)

$n=2,5,8,\ldots$ :

$\displaystyle a_{4}$ $\displaystyle=\frac{a_{1}}{3\cdot 4},$ (5.84)

$\displaystyle a_{7}$ $\displaystyle=\frac{a_{4}}{6\cdot 7}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7},$ (5.85)

$\displaystyle a_{10}$ $\displaystyle=\frac{a_{7}}{9\cdot 10}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 9% \cdot 10},$ (5.86)

$\displaystyle\vdots$ (5.87)

$\displaystyle a_{3k+1}$ $\displaystyle=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot\cdots\cdot(3k)\cdot(3k+1)},\quad k% \geq 1.$ (5.88)

Do que calculamos, podemos concluir que

	$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle=a_{0}\left[1+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{3k}}{2\cdot 3\cdot% \cdots\cdot(3k-1)\cdot(3k)}\right]$		(5.89)
		$\displaystyle+a_{1}\left[x+\sum_{k=1}^{\infty}\frac{x^{3k+1}}{3\cdot 4\cdot% \cdots\cdot(3k)\cdot(3k+1)}\right].$		(5.90)

Há uma série de questões importantes que fogem dos objetivos destas notas de aula. Por exemplo, observamos que nem sempre é possível escrever a solução de uma EDO como uma série de potências. Também deve-se fazer um tratamento especial quando $P(x_{0})=0$ . Para maiores informações, pode-se consultar [Boyce2017].

Exercícios resolvidos

ER 5.1.1.

Resolva

	$\displaystyle x^{2}y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+2y=0,$		(5.91)
	$\displaystyle y(1)=0\quad\text{e}\quad y^{\prime}(1)=-1.$		(5.92)

Solução.

Trata-se de um PVI envolvendo a equação de Euler. Primeiramente, buscamos a solução geral desta equação. Para tanto, resolvemos a equação característica associada

r^{2}-3r+2=0.

(5.93)

As raízes desta equação são

r_{1}=1\quad\text{e}\quad r_{2}=2.

(5.94)

Logo, a solução geral da EDO é

y(t)=c_{1}x+c_{2}x^{2}.

(5.95)

Agora, das condições iniciais, obtemos

	$\displaystyle y(1)=0\Rightarrow c_{1}+c_{2}=0$		(5.96)
	$\displaystyle y^{\prime}(1)=-1\Rightarrow c_{1}+2c_{2}=-1$		(5.97)

Resolvendo, obtemos $c_{1}=1$ e $c_{2}=-1$ . Concluímos que a solução do PVI é

y(t)=x-x^{2}.

(5.98)

ER 5.1.2.

Considere o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime\prime}+xy^{\prime}=\cos(x),$		(5.99)
	$\displaystyle y(0)=1,\quad y^{\prime}(0)=0.$		(5.100)

Calcule os quatro primeiros termos da representação da solução em série de potências em torno de $x_{0}=0$ .

Solução.

Consideramos que a solução possa ser escrita como uma série de potências da forma

y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}.

(5.101)

Ainda, lembramos que

\displaystyle\cos(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}.

(5.102)

Assim sendo, substituímos na EDO para encontrarmos

$\displaystyle\cos(x)$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}+xy^{\prime}$	(5.103)
$\displaystyle\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}$	(5.104)
	$\displaystyle+x\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}(n+1)x^{n}$	(5.105)
	$\displaystyle=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}$	(5.106)
	$\displaystyle+\sum_{n=0}^{\infty}a_{n+1}(n+1)x^{n+1}$	(5.107)
$\displaystyle 1+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}$	$\displaystyle=2a_{2}+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n+2}(n+2)(n+1)x^{n}$	(5.108)
	$\displaystyle+\sum_{n=1}^{\infty}a_{n}nx^{n}$	(5.109)

Daí, considerando como constantes indeterminadas $a_{0}=c_{1}$ e $a_{1}=c_{2}$ , temos

a_{2}=\frac{1}{2},\quad a_{3}=-\frac{c_{2}}{6}.

(5.111)

Obtivemos a seguinte aproximação da solução geral

y(x)\approx c_{1}+c_{2}x+\frac{1}{2}x^{2}-\frac{c_{2}}{6}x^{3}.

(5.112)

Aplicando as condições iniciais, temos

	$\displaystyle y(0)=1$	$\displaystyle\Rightarrow c_{1}=1$		(5.113)
	$\displaystyle y^{\prime}(0)=0$	$\displaystyle\Rightarrow c_{2}=0.$		(5.114)

Assim, temos calculado a seguinte aproximação da solução

y(x)=1+\frac{1}{2}x^{2}.

(5.115)

Exercícios

Em construção …

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$\displaystyle a_{5}$	$\displaystyle=\frac{a_{2}}{4\cdot 5}=0$	(5.74)
$\displaystyle a_{8}$	$\displaystyle=\frac{a_{5}}{7\cdot 9}=0$	(5.75)
$\displaystyle a_{11}$	$\displaystyle=\frac{a_{8}}{10\cdot 11}=0$	(5.76)
	$\displaystyle\vdots$	(5.77)
$\displaystyle a_{3k+2}$	$\displaystyle=0,\quad k\geq 1.$	(5.78)

$\displaystyle a_{3}$	$\displaystyle=\frac{a_{0}}{2\cdot 3},$	(5.79)
$\displaystyle a_{6}$	$\displaystyle=\frac{a_{3}}{5\cdot 6}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6},$	(5.80)
$\displaystyle a_{9}$	$\displaystyle=\frac{a_{6}}{8\cdot 9}=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot 5\cdot 6\cdot 8% \cdot 9}$	(5.81)
	$\displaystyle\vdots$	(5.82)
$\displaystyle a_{3k}$	$\displaystyle=\frac{a_{0}}{2\cdot 3\cdot\cdots\cdot(3k-1)\cdot(3k)},\quad k% \geq 1.$	(5.83)

$\displaystyle a_{4}$	$\displaystyle=\frac{a_{1}}{3\cdot 4},$	(5.84)
$\displaystyle a_{7}$	$\displaystyle=\frac{a_{4}}{6\cdot 7}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7},$	(5.85)
$\displaystyle a_{10}$	$\displaystyle=\frac{a_{7}}{9\cdot 10}=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot 6\cdot 7\cdot 9% \cdot 10},$	(5.86)
	$\displaystyle\vdots$	(5.87)
$\displaystyle a_{3k+1}$	$\displaystyle=\frac{a_{1}}{3\cdot 4\cdot\cdots\cdot(3k)\cdot(3k+1)},\quad k% \geq 1.$	(5.88)