Cálculo I

5 Integración 5.1 Noción de integral 5.3 Reglas básicas de integración

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5.2 Propiedades de integración

En la Sección 5.1, vimos que la integral definida de una dada función $f$ en un intervalo $[a,b]$ está asociada al área (neta) entre su gráfico y las rectas $y=0$ , $x=a$ y $x=b$ . Consultemos la Figura 5.2.

Con base en esta noción geométrica, podemos inferir las siguientes propiedades de integración para funciones integrables $f$ y $g$ :

a)

Integral degenerada

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{a}f% (x)\,dx=0$ (5.26)
b)

Multiplicación por escalar

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}k% \cdot f(x)\,dx=k\cdot\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ (5.27)
c)

Suma/resta

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}% \left[f(x)\pm g(x)\right]\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\pm\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ (5.28)
d)

Superposición/concatenación de intervalos

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx$ (5.29)
e)

Cotas inferior y superior

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font min}_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\cdot(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq% \mathop{\operator@font max}_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\cdot(b-a)$ (5.30)

Ejemplo 5.2.1.

Sean $f$ y $g$ funciones integrables tales que

	$\displaystyle\int_{-1}^{4}f(x)\,dx=2,$		(5.31)
	$\displaystyle\int_{4}^{5}f(x)\,dx=3,$		(5.32)
	$\displaystyle\int_{-1}^{4}g(x)\,dx=-1.$		(5.33)

Entonces, veamos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int_{4}^{-1}g(x)\,dx=-\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (5.34)

$\displaystyle\text{}\quad=-(-1)=1.$ (5.35)
b)

$\int_{-1}^{-1}4f(x)\,dx=0.$ (5.36)
c)

$\displaystyle\int_{-1}^{4}-2g(x)\,dx=-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (5.37)

$\displaystyle\text{}\quad=2.$ (5.38)
d)

$\displaystyle\int_{-1}^{4}\left[f(x)-2g(x)\right]\,dx=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx-% \int_{-1}^{4}2g(x)\,dx$ (5.39)

$\displaystyle\text{}\quad=2-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (5.40)

$\displaystyle\text{}\quad=2+2=4.$ (5.41)
e)

$\displaystyle\int_{-1}^{5}f(x)\,dx=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx+\int_{4}^{5}f(x)\,dx$ (5.42)

$\displaystyle\text{}\quad=2+3=5.$ (5.43)

Ejemplo 5.2.2.

Recordando que $-1\leq\mathop{\operator@font sen}\nolimits x\leq 1$ , tenemos por la propiedad e) anterior que

	$\displaystyle 2\pi\mathop{\operator@font min}_{x\in[-\pi,\pi]}\{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\}\leq\int_{-\pi}^{\pi}\mathop{\operator@font sen% }\nolimits(x)\,dx\leq 2\pi\mathop{\operator@font max}_{x\in[-\pi,\pi]}\{% \mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\}$		(5.44)
	$\displaystyle-2\pi\leq\int_{-\pi}^{\pi}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)% \,dx\leq 2\pi.$		(5.45)

5.2.1 Teorema del valor medio

Con base en la noción de integral, se define la media de una función $f$ en el intervalo $[a,b]$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{1}{b-a}% \int_{a}^{b}f(x)\,dx,

(5.46)

en caso de que $f$ sea integrable en dicho intervalo.

Teorema 5.2.1.(Teorema del valor medio para integrales)

Si $f$ es continua en $[a,b]$ , entonces existe $c\in[a,b]$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f(c)=\frac{1}% {b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(5.47)

Demostración.

Veamos una idea de la demostración. Por la propiedad e) de integración anterior, tenemos

\mathop{\operator@font min}_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(% x)\,dx\leq\mathop{\operator@font max}_{x\in[a,b]}\{f(x)\}.

(5.48)

Ahora, por el teorema del valor intermedio (Teorema 2.6.1), tenemos que $f$ asume todos los valores entre sus valores mínimo y máximo. Por tanto, existe $c\in[a,b]$ tal que

f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(5.49)

∎

Ejemplo 5.2.3.

Sea $f$ una función continua en $[a,b]$ , $a\neq b$ , y

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=0,

(5.50)

entonces $f$ tiene al menos un cero en ese intervalo. De hecho, por el teorema del valor medio para integrales, existe $c\in[a,b]$ tal que

	$\displaystyle f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$		(5.51)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{b-a}\cdot 0=0.$		(5.52)

5.2.2 Teorema fundamental del cálculo, parte I

Sea $f$ una función integrable y $F$ la función definida por

F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,

(5.53)

para algún número real dado $a$ .

Teorema 5.2.2.(Teorema fundamental del cálculo, parte I)

Si $f$ es continua en $[a,b]$ , entonces la función

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}F(x)=\int_{a}% ^{x}f(t)\,dt

(5.54)

es continua en $[a,b]$ y diferenciable en $(a,b)$ , siendo

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}F^{\prime}(x)% =\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).

(5.55)

Demostración.

Veamos la idea de la demostración. Por la definición de derivada, tenemos

	$\displaystyle F^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F% (x)}{h}$		(5.56)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{1}{h}\left% [\int_{a}^{x+h}f(x)\,dx-\int_{a}^{x}f(x)\,dx\right]$		(5.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_% {x}^{x+h}f(x)\,dx.$		(5.58)

Ahora, por el teorema del valor medio para integrales (Teorema 5.2.1), existe $c_{h}\in[x,x+h]$ tal que

	$\displaystyle f(c_{h})=\frac{1}{x+h-x}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx$		(5.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx.$		(5.60)

Observemos que $c_{h}\to x$ cuando $h\to 0$ y, por lo tanto, tenemos

	$\displaystyle F^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{1}{h}% \int_{x}^{x+h}f(x)\,dx$		(5.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}f(c_{h})$		(5.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(x).$		(5.63)

∎

Ejemplo 5.2.4.

Veamos los siguientes casos:

a)

$\frac{d}{dx}\int_{1}^{x}t^{2}\,dt=x^{2}.$ (5.64)

Código 82: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x,t

3sym.diff(sym.integrate(t**2, (t, 1, x)))

⬇

x**2
b)

$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(t)\,dt=\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)$ (5.65)

5.2.3 Integral indefinida

La parte I del teorema fundamental del cálculo (Teorema 5.2.2) muestra que la integral de una función $f$ (continua) es una función $F$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}F^{\prime}(x)% =f(x).

(5.66)

Decimos que $F$ es una primativa de la función $f$ .

Observemos que si $F$ es una primitiva de $f$ , entonces

G(x)=F(x)+C

(5.67)

también es primitiva de $f$ para cualquier constante $C$ , es decir

	$\displaystyle G^{\prime}(x)=(F(x)+C)^{\prime}$		(5.68)
	$\displaystyle\text{}\quad=F^{\prime}(x)+(C)^{\prime}$		(5.69)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(x)+0$		(5.70)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(x).$		(5.71)

Además, del Corolario 4.3.2 del teorema del valor medio para derivadas, tenemos que cualesquiera dos primitivas de una misma función difieren solo en una constante.

Con esto, definimos la integral indefinida de $f$ respecto a $x$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int f(x)\,dx% =F(x)+C,

(5.72)

donde $F$ es cualquier primitiva de $f$ y $C$ una constante indeterminada.

Ejemplo 5.2.5.

Veamos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int\,dx=x+C$

Código 83: Python

⬇

1from sympy import Symbol, integrate

2x = Symbol('x')

3integrate(1, x)

⬇

x
b)

$\displaystyle\int 2x\,dx=x^{2}+C$
c)

$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C$
d)

$\displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

5.2.4 Teorema fundamental del cálculo, parte II

Teorema 5.2.3.(Teorema fundamental del cálculo, parte II)

Si $f$ es continua en $[a,b]$ y $F$ es cualquier primitiva de $f$ , entonces

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

(5.73)

Demostración.

Veamos la idea de la demostración. La parte I del teorema fundamental del cálculo (Teorema 5.2.2) nos garantiza la existencia de

G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt.

(5.74)

Sea, entonces, $F$ una primitiva cualquiera de $f$ . Luego,

	$\displaystyle F(b)-F(a)=[G(b)+C]-[G(a)+C]$		(5.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=G(b)-G(a)$		(5.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}f(t)\,dt-\int_{a}^{a}f(t)\,dt$		(5.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}f(t)\,dt.$		(5.78)

∎

Ejemplo 5.2.6.

Veamos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}\,dx=\left.x\right|_{0}^{1}$ (5.79)

$\displaystyle\text{}\quad=1-0=1$ (5.80)

Código 84: Python

⬇

1from sympy import Symbol, integrate

2x = Symbol('x')

3integrate(1, (x, 0, 1))

⬇

1
b)

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}$ (5.81)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}$ (5.82)
c)

$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=\left.\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ (5.83)

$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits\left(\frac{\pi}% {2}\right)-\mathop{\operator@font sen}\nolimits\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ (5.84)

$\displaystyle\text{}\quad=2$ (5.85)

Observación 5.2.1.(Permutación de los límites de integración)

Del teorema fundamental del cálculo, parte II, tenemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx.

(5.86)

Es decir, el valor de la integral definida cambia de signo al permutar sus límites de integración. De hecho, si $F$ es una primitiva de $f$ , entonces

	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$		(5.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[F(a)-F(b)\right]$		(5.88)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx.$		(5.89)

Ejemplo 5.2.7.

Tenemos que

\int_{0}^{1}dx=\left.x\right|_{0}^{1}=1-0=1.

(5.90)

Ahora,

\int_{1}^{0}dx=\left.x\right|_{1}^{0}=0-1=-1.

(5.91)

Como era de esperar, tenemos

\int_{0}^{1}dx=-\int_{1}^{0}dx.

(5.92)

5.2.5 Ejercicios resueltos

ER 5.2.1.

Calcule

\int_{1}^{\sqrt{e}}x-\frac{1}{x}\,dx.

(5.93)

Resolución.

En primer lugar, notemos que

	$\displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C,$		(5.94)
	$\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x+C.$		(5.95)

Entonces, usando las propiedades de la integración, tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{e}}x-\frac{1}{x}\,dx=\int_{1}^{\sqrt{e}}x\,dx-% \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{1}{x}\,dx$		(5.96)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{\sqrt{e}}-\left[% \ln x\right]_{1}^{\sqrt{e}}$		(5.97)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{(\sqrt{e})^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right]-% \left[\ln\sqrt{e}-\ln 1\right]$		(5.98)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln(e)-0$		(5.99)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e}{2}-1.$		(5.100)

Código 85: Python

⬇

1from sympy import Symbol, integrate, E, sqrt

2x = Symbol('x')

3integrate((x - 1/x), (x,1,sqrt(E)))

-e/2 + 1

ER 5.2.2.(Aplicación: cálculo de área)

Calcule el área entre la gráfica de $f(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)$ y las rectas $y=0$ , $x=-\pi/2$ y $x=\pi/2$ .

Resolución.

Recordando que la integral definida está asociada al área bajo la gráfica del integrando, tenemos que el área buscada puede calcularse por

A=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx+\int_{% 0}^{\frac{\pi}{2}}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx,

(5.101)

ya que $\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)<0$ para $x\in(-\pi/2,0)$ y $\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)>0$ para $x\in(0,\pi/2)$ . Además, observamos que

\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-\cos(x)+C.

(5.102)

Luego, por el teorema fundamental del cálculo, se sigue que

	$\displaystyle A=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\mathop{\operator@font sen}\nolimits% (x)\,dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$		(5.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[-\cos(x)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}+\left[-% \cos(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$		(5.104)
	$\displaystyle\text{}\quad=-[-1-0]+[-0-(-1)]=2.$		(5.105)

Código 86: Python

⬇

1from sympy import Symbol, integrate, sin, pi

2x = Symbol('x')

3A = -integrate(sin(x), (x,-pi/2,0))

4A += integrate(sin(x), (x,0,pi/2))

ER 5.2.3.(Aplicación: problema de valor inicial)

Encuentre la función $y=y(x)$ tal que

\frac{dy}{dx}=x,

(5.106)

y que satisfaga $y(0)=1$ .

Resolución.

Integrando ambos lados de la ecuación diferencial con respecto a $x$ , tenemos

	$\displaystyle\int\frac{dy}{dx}\,dx=\int x\,dx$		(5.107)
	$\displaystyle y=\frac{x^{2}}{2}+C.$		(5.108)

Ahora, aplicando la condición $y(0)=1$ , se obtiene

	$\displaystyle y(0)=1$		(5.110)
	$\displaystyle\frac{0^{2}}{2}+C=1$		(5.111)
	$\displaystyle C=1.$		(5.112)

Concluimos que $y=x^{2}/2+1$ . ¡Compruebe!

5.2.6 Ejercicios

E. 5.2.1.

Sean $f$ y $g$ tales que

	$\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=-2,$		(5.113)
	$\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\,dx=\frac{1}{2},$		(5.114)
	$\displaystyle\int_{-2}^{0}g(x)\,dx=1.$		(5.115)

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{-1}f(x)-51\cdot g(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-2}^{0}2g(x)-\frac{1}{2}f(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx$

a) $0$ ; b) $3$ ; c) $-5/2$

E. 5.2.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{2}2\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-3}^{-1}1-x\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{2}{x}\,dx$

a) $6$ ; b) $6$ ; c) $2$

E. 5.2.3.

Calcule el área entre la gráfica de $f(x)=x^{2}-1$ y las rectas $y=0$ , $x=0$ y $x=2$ .

$2$

E. 5.2.4.

Calcule las siguientes integrales:

a)

$\displaystyle\int\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$

a) $\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C$ ; b) $1$

E. 5.2.5.

Encuentre la función $y=y(x)$ tal que

\frac{dy}{dx}=\cos(x),

(5.116)

y que $y(\pi)=1$ .

$y=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+1$

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Cálculo I

5.2 Propiedades de integración

Ejemplo 5.2.1.

Ejemplo 5.2.2.

5.2.1 Teorema del valor medio

Teorema 5.2.1.(Teorema del valor medio para integrales)

Demostración.

Ejemplo 5.2.3.

5.2.2 Teorema fundamental del cálculo, parte I

Teorema 5.2.2.(Teorema fundamental del cálculo, parte I)

Demostración.

Ejemplo 5.2.4.

5.2.3 Integral indefinida

Ejemplo 5.2.5.

5.2.4 Teorema fundamental del cálculo, parte II

Teorema 5.2.3.(Teorema fundamental del cálculo, parte II)

Demostración.

Ejemplo 5.2.6.

Observación 5.2.1.(Permutación de los límites de integración)

Ejemplo 5.2.7.

5.2.5 Ejercicios resueltos

ER 5.2.1.

Resolución.

ER 5.2.2.(Aplicación: cálculo de área)

Resolución.

ER 5.2.3.(Aplicación: problema de valor inicial)

Resolución.

5.2.6 Ejercicios

E. 5.2.1.

E. 5.2.2.

E. 5.2.3.

E. 5.2.4.

E. 5.2.5.

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	$\displaystyle\int_{4}^{-1}g(x)\,dx=-\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$		(5.34)
	$\displaystyle\text{}\quad=-(-1)=1.$		(5.35)

	$\displaystyle\int_{-1}^{4}-2g(x)\,dx=-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$		(5.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=2.$		(5.38)

	$\displaystyle\int_{-1}^{4}\left[f(x)-2g(x)\right]\,dx=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx-% \int_{-1}^{4}2g(x)\,dx$		(5.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=2-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$		(5.40)
	$\displaystyle\text{}\quad=2+2=4.$		(5.41)

	$\displaystyle\int_{-1}^{5}f(x)\,dx=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx+\int_{4}^{5}f(x)\,dx$		(5.42)
	$\displaystyle\text{}\quad=2+3=5.$		(5.43)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}\,dx=\left.x\right\|_{0}^{1}$		(5.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-0=1$		(5.80)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right\|_{0}^{1}$		(5.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}$		(5.82)

	$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=\left.\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\right\|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$		(5.83)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits\left(\frac{\pi}% {2}\right)-\mathop{\operator@font sen}\nolimits\left(-\frac{\pi}{2}\right)$		(5.84)
	$\displaystyle\text{}\quad=2$		(5.85)