Cálculo I

5 Integración 5 Integración 5.2 Propiedades de integración

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5.1 Noción de integral

5.1.1 Suma de Riemann

Sea $f$ una función continua definida en un intervalo cerrado $[a,b]$ . Sea, también, $P$ la siguiente partición de $[a,b]$

P=\{a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\cdots<x_{n}=b\},

(5.1)

donde $n+1$ es el número de puntos en la partición. Definimos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\Delta x_{i}=% x_{i}-x_{i-1}

(5.2)

el tamaño de cada subintervalo $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}I_{i}=[x_{i-1% },x_{i}]$ de la partición, con $i=1,2,\cdots,n$ . La norma de la partición se define por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\|P\|:=% \mathop{\operator@font m\acute{a}x}_{i=1,\dotsc,n}\Delta x_{i},

(5.3)

es decir, el tamaño del mayor subintervalo de la partición.

Con esto, denominamos suma de Riemann¹¹1Georg Friedrich Bernhard Riemann, 1826 - 1866, matemático alemán. Fuente: Wikipedia: Bernhard Riemann. a toda la expresión de la forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}S_{n}:=\sum_{% i=1}^{n}f(x_{i}^{*})\Delta x_{i},

(5.4)

donde $x_{i}^{*}\in[x_{i-1},x_{i}]$ (elegido arbitrariamente). Consultemos la Figura 5.1.

Refer to caption — Figura 5.1: Suma de Riemann.

En el caso de una función no negativa, una suma de Riemann es una aproximación del área bajo su gráfica y el eje de abscisas.

5.1.2 Integral

La integral (definida) desde $a$ hasta $b$ de una función dada $f$ respecto de $x$ se denota y define como

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx:=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{\|P\|\to 0}\sum_{i=1}^{n}% f(x_{i}^{*})\Delta x_{i}\mathchar 46\relax

(5.5)

De forma general, la integral definida de $a$ hasta $b$ es el límite de las sumas de Riemann cuando la norma de las particiones $P$ del intervalo $[a,b]$ tiende a cero. Cuando el límite existe, decimos que $f$ es integrable en el intervalo $[a,b]$ .

En la notación de la integral definida anterior, llamamos $a$ límite inferior y $b$ límite superior de integración, $f$ se denomina integrando y $x$ variable de integración.

En el caso de una función no negativa,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx

(5.6)

es el área bajo la gráfica de $f$ (consultemos la Figura 5.2). Para funciones continuas arbitrarias, la integral definida es el área neta bajo la gráfica de $f$ , es decir, el área por encima del eje de abscisas menos el área por debajo del eje de abscisas²²2Consulte el Ejemplo 5.1.5 para una interpretación geométrica de la integral definida de funciones continuas en general..

Las funciones continuas son integrables. Más precisamente, vale el siguiente teorema.

Teorema 5.1.1.(Existencia de la integral de funciones continuas)

Si $f$ es una función continua en $[a,b]$ , entonces $f$ es integrable en $[a,b]$ .

Demostración.

La demostración de este teorema está fuera del alcance de estas notas. Consulte, por ejemplo, [2]. ∎

Ejemplo 5.1.1.

Vamos a calcular

\int_{0}^{1}1\,dx\mathchar 46\relax

(5.7)

Aquí, el integrando es la función constante $f(x)\equiv 1$ y el intervalo de integración es $[a,b]=[0,1]$ . Por tanto, se trata del área del rectángulo de altura $1$ y base $1$ (consultemos la Figura 5.3). Por consiguiente,

\int_{0}^{1}1\,dx=1\cdot 1=1\mathchar 46\relax

(5.8)

Código 79: Python

⬇

1from sympy import Symbol, integrate

2x = Symbol('x')

3integrate(1, (x, 0, 1))

5.1.3 Ejercicios resueltos

ER 5.1.1.

Calcule

\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx\mathchar 46\relax

(5.9)

Resolución.

Esta integral corresponde al área bajo la gráfica de la función $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ restringida al intervalo $[-1,1]$ . Observando que

	$\displaystyle y=\sqrt{1-x^{2}}$		(5.10)
	$\displaystyle y^{2}=1-x^{2}$		(5.11)
	$\displaystyle y^{2}+x^{2}=1,$		(5.12)

vemos que se trata del área del semicírculo de radio $1$ (consultemos la Figura 5.4). Por lo tanto,

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\frac{\pi\cdot 1^{2}}{2}$		(5.13)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{2}\mathchar 46\relax$		(5.14)

Código 80: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import integrate, sqrt

3integrate(sqrt(1-x**2), (x, -1, 1))

pi/2

ER 5.1.2.

Determine la función $F(x)$ tal que

F(x)=\int_{0}^{x}t\,dt,

(5.15)

para todo $x\geq 0$ . Luego, muestre que $F^{\prime}(x)=x$ .

Resolución.

La integral definida

\int_{0}^{x}t\,dt

(5.16)

es el área bajo la gráfica de $f(t)=t$ restringida al intervalo $[0,x]$ . Es decir, el área del triángulo rectángulo de base $x$ y altura $x$ (consultemos la Figura 5.5). Por lo tanto,

F(x)=\int_{0}^{x}t\,dt=\frac{x\cdot x}{2}=\frac{x^{2}}{2}\mathchar 46\relax

(5.17)

Es decir, $F(x)=x^{2}/2$ y, por lo tanto,

F^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\cdot 2x=x\mathchar 46\relax

(5.18)

Código 81: Python

⬇

1from sympy.abc import x, t

2from sympy import integrate, diff

3F = integrate(t, (t, 0, x))

4print('F(x) =', F)

F(x) = x**2/2

⬇

1diff(F, x)

5.1.4 Ejercicios

E. 5.1.1.

Calcule

\int_{-1}^{2}2\,dx\mathchar 46\relax

(5.19)

$6$

E. 5.1.2.

Calcule

\int_{-3}^{-1}1-x\,dx\mathchar 46\relax

(5.20)

$6$

E. 5.1.3.

Determine $F(x)$ tal que

F(x)=\int_{0}^{x}t+1\,dt\mathchar 46\relax

(5.21)

para $x\geq 0$ . Entonces, calcule $F^{\prime}(x)$ .

$\displaystyle F(x)=\frac{x^{2}}{2}+x$ ; $F^{\prime}(x)=x+1$ .

E. 5.1.4.

Haga una interpretación geométrica de una suma de Riemann aplicada a una función continua y no positiva. Extienda su interpretación a funciones continuas arbitrarias.

Sugerencia: la suma de Riemann es una aproximación del área neta bajo el gráfico de la función.

E. 5.1.5.

Haga una interpretación geométrica de

\int_{a}^{b}f(x)\,dx

(5.22)

cuando $f$ es una función continua y no positiva. Extienda su interpretación a funciones continuas arbitrarias.

Sugerencia: $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ es el área neta bajo el gráfico de la función.

E. 5.1.6.

Calcule

\int_{-1}^{2}-1\,dx\mathchar 46\relax

(5.23)

$-3$

E. 5.1.7.

Calcule

\int_{-1}^{1}x\,dx\mathchar 46\relax

(5.24)

$0$

E. 5.1.8.

Calcule

\int_{-1}^{1}-\sqrt{1-x^{2}}\,dx\mathchar 46\relax

(5.25)

$-\frac{\pi}{2}$

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5.1 Noción de integral

5.1.1 Suma de Riemann

5.1.2 Integral

Teorema 5.1.1.(Existencia de la integral de funciones continuas)

Demostración.

Ejemplo 5.1.1.

5.1.3 Ejercicios resueltos

ER 5.1.1.

Resolución.

ER 5.1.2.

Resolución.

5.1.4 Ejercicios

E. 5.1.1.

E. 5.1.2.

E. 5.1.3.

E. 5.1.4.

E. 5.1.5.

E. 5.1.6.

E. 5.1.7.

E. 5.1.8.

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