Cálculo I

2 Límites 2.5 Límites infinitos 2.7 Límites y desigualdades

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2.6 Continuidad

2.6.1 Definición de función continua

Decimos que una función $f$ es continua en un punto $x_{0}$ , cuando $f(x_{0})$ está definida y existe el límite

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)

(2.300)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).

(2.301)

Usando límites laterales, definimos los conceptos de función continua por la izquierda o por la derecha. Cuando la función $f$ no es continua en un punto dado $x_{0}$ , decimos que $f$ es discontinua en este punto.

Ejemplo 2.6.1.

Consideremos la siguiente función

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}\frac{x-2}{(x+1)(x-2)}&,x\neq 2,\\ -4&,x=2.\end{array}\right.

(2.302)

En la Figura 2.27, tenemos un esbozo del gráfico de $f$ .

Refer to caption — Figura 2.27: Gráfico de la función $f$ definida en el Ejemplo 2.6.1.

Estudiemos la continuidad de esta función en los siguientes puntos:

a)

$x=-2$ . En este punto, tenemos $f(-2)=-1$ y

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2}\frac{x-2}{(x+1)(x-2)}$ (2.303)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-4}{-1\cdot(-4)}=-1=f(-2).$ (2.304)

Con ello, concluimos que $f$ es continua en el punto $x=-2$ .
b)

$x=-1$ . En este punto,

$\displaystyle f(-1)=\frac{(x-2)}{(x+1)(x-2)}$ (2.305)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x-1}=\frac{1}{0}$ (2.306)

luego, $f(-1)$ no está definida y, por lo tanto, $f$ es discontinua en este punto. Observemos que $f$ tiene una asíntota vertical en $x=-1$ ; verifíquelo.
c)

$x=2$ . En este punto, tenemos $f(2)=-4$ y

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{x-2}{(x+1)(x-2)}$ (2.307)

$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{1}{x+1}=% \frac{1}{3}\neq f(2).$ (2.308)

Por lo tanto, concluimos que $f$ es discontinua en $x=2$ .

Se dice que una función $f$ es continua en un intervalo $(a,b)$ cuando $f$ es continua en todos los puntos $x_{0}\in(a,b)$ . Para intervalos $[a,b)$ , $(a,b]$ o $[a,b]$ , empleamos la noción de continuidad lateral en los extremos cerrados del intervalo. Cuando una función es continua en $(-\infty,\infty)$ , decimos que es continua en todas partes.

Ejemplo 2.6.2.(Continuidad de la función valor absoluto)

La función valor absoluto es continua en todas partes. En efecto, está definida por

|x|=\left\{\begin{array}[]{ll}x&,x\geq 0,\\ -x&,x<0.\end{array}\right.

(2.309)

Consultemos el esbozo del gráfico de esta función en la Figura 2.28.

Observamos que para $x\in(-\infty,0)$ tenemos $|x|=x$ , que es continua para todos estos valores de $x$ . Asimismo, para $x\in(0,\infty)$ tenemos $|x|=-x$ , que es continua para todos estos valores de $x$ . Ahora, en $x=0$ , tenemos $|0|=0$ y

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\|x\|=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0^{+}}x=0,$		(2.310)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\|x\|=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0^{-}}-x=0.$		(2.311)

Logo,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}|x|=0=|0|.

(2.312)

Con todo ello, concluimos que la función valor absoluto es continua en todas partes.

2.6.2 Propiedades de funciones continuas

Si $f$ y $g$ son funciones continuas en $x=c_{0}$ y $k$ es un número real, entonces también son continuas en $x=x_{0}$ las funciones:

a)

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}k\cdot f$
b)

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f\pm g$
c)

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f\cdot g$
d)

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f/g$ , si $g(x_{0})\neq 0$
e)

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{k}$ , si existe $f^{k}(x_{0})$ .

Ejemplo 2.6.3.

Tenemos que $f(x)=x$ y $g(x)=|x|$ son ejemplos de funciones continuas en todas partes. Se sigue de las propiedades anteriores que:

a)

$f_{a}(x)=2x$ es continua en todas partes.
b)

$f_{b}(x)=x+|x|$ es continua en todas partes.
c)

$f_{c}(x)=2x|x|$ es continua en todas partes.
d)

$f_{d}(x)=\frac{|x|}{x}$ es continua para todo $x\in\mathbb{R}\setminus\{0\}$ .
e)

$f_{e}(x)=x^{2}$ es continua en todas partes.

Ejemplo 2.6.4.

Los polinomios son continuos en todas partes. Es decir, si

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{1}x+a_{0},

(2.313)

$a_{n}\neq 0$ , entonces

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}p(x)=p(x_{0}),

(2.314)

para cualquier $x_{0}\in\mathbb{R}$ . Por ejemplo,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}2-x^{2}+x^{5}=2-(-1)^{2}+(-1)^{5}=0.

(2.315)

Ejemplo 2.6.5.

Las funciones racionales $r(x)=p(x)/q(x)$ son continuas en todos los puntos de sus dominios. Por ejemplo, la función racional

f(x)=\frac{x-1}{x^{2}-1},

(2.316)

es discontinua en los puntos

x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1,

(2.317)

pues $f$ no está definida en estos puntos. Ahora, para $x_{0}\neq 1$ y $x_{0}\neq-1$ , tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)$		(2.318)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}\frac{x-1}{x% ^{2}-1}$		(2.319)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x_{0}-1}{x_{0}^{2}-1}=f(x_{0}).$		(2.320)

Por exemplo,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}f(x)=\frac{0-1}{0^{2}-1}=1=f(0).

(2.321)

Es decir, $f$ es continua en los intervalos $(-\infty,-1)\cup(-1,1)\cup(1,\infty)$ , que coinciden con su dominio.

Observación 2.6.1.(Continuidad de funciones elementales)

Son continuas en todo su dominio las funciones potencia, polinómicas, racionales, trigonométricas, exponenciales y logarítmicas.

Si $f$ es continua en el punto $x_{0}$ y $g$ es continua en el punto $f(x_{0})$ , entonces la función compuesta $f\circ g$ es continua en el punto $x_{0}$ .

Ejemplo 2.6.6.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$y=\sqrt{x^{2}-1}$ é descontínua nos pontos $x$ tais que

$x^{2}-1<0\Rightarrow-1<x<1.$ (2.322)

Es decir, esta función es continua en $(-\infty,-1]\cup[1,\infty)$ .
b)

$\displaystyle y=\left|\frac{x-1}{x^{2}-1}\right|$ é descontínua nos pontos $x$ tais que

$x^{2}-1=0\Rightarrow x=\pm 1.$ (2.323)

Ejemplo 2.6.7.

Podemos usar la continuidad para calcular límites. Por ejemplo,

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\sqrt{x+4}\cdot e^{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits x}=\sqrt{\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}(x+4% )}\cdot e^{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\mathop{\operator@font lim}_{x% \to 0}x)}$		(2.324)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{4}\cdot e^{0}=2.$		(2.325)

Teorema del valor intermedio

El teorema del valor intermedio establece que cualquier función continua $f$ dada en un intervalo $[a,b]$ asume todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$ . Consultemos la Figura 2.29.

Teorema 2.6.1.(Teorema del valor intermedio)

Sea $f$ una función continua en un intervalo cerrado $[a,b]$ . Si $d$ es un número entre $f(a)$ y $f(b)$ , entonces existe $c\in[a,b]$ tal que $f(c)=d$ .

Ejemplo 2.6.8.

Podemos afirmar que $f(x)=x^{3}-x-1$ tiene (al menos) una raíz en el intervalo $(0,2)$ . En efecto, $f$ es continua en el intervalo $[0,2]$ y, por el teorema del valor intermedio, asume todos los valores entre $f(0)=-1<0$ y $f(2)=5>0$ . Observemos que $y=0$ está entre $f(0)$ y $f(2)$ . Consultemos la Figura 2.30.

2.6.3 Ejercicios resueltos

ER 2.6.1.

Encuentre los puntos de continuidad de la función

f(x)=\frac{|x|}{x}.

(2.326)

Resolución.

Observamos que la función es discontinua en $x=0$ , pues no está definida en este punto. Ahora, para $x<0$ , tenemos

f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{-x}{x}=-1.

(2.327)

Es decir, para $x<0$ la función es constante e igual a $-1$ y, por lo tanto, continua.

Para $x>0$ , tenemos

f(x)=\frac{|x|}{x}=\frac{x}{x}=1.

(2.328)

Es decir, para $x>0$ la función es constante e igual a $1$ y, por lo tanto, continua.

Concluimos que $f(x)$ es continua en $\mathbb{R}\setminus\{0\}$ . Haga el esbozo del gráfico de esta función.

ER 2.6.2.

Encuentre los puntos de continuidad de la función

f(x)=\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right).

(2.329)

Resolución.

La función $f$ puede verse como la composición de la función logaritmo natural $g(x)=\ln x$ con la función racional $\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{x-1}$ . Observamos que:

a)

la función logaritmo natural es continua en todo su dominio, es decir, $g$ es continua para todo $x>0$ ;
b)

la función racional $\displaystyle h(x)=\frac{x+1}{x-1}$ es continua para todo $x\neq 1$ .

Recordando que la composición de funciones continuas es continua, tenemos que la función $f(x)=g(h(x))$ es continua en los puntos de continuidad de la función $h$ tales que $h(x)>0$ , es decir, para $x\neq 1$ y

\frac{x+1}{x-1}>0.

(2.330)

Haciendo el estudio de signo,

vemos que $h(x)>0$ en $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ .

En resumen, $h$ es continua en $(0,\infty)$ y $g$ es continua y positiva en $(-\infty,-1)\cup(1,\infty)$ . La función $f=(h\circ g)$ es continua en la intersección de estos conjuntos, es decir, $f$ es continua en $(1,\infty)$ .

2.6.4 Ejercicios

E. 2.6.1.

Encuentre los puntos de continuidad de la función

f(x)=\frac{x^{3}-27}{x^{2}-3x+2}.

(2.331)

$\mathbb{R}\setminus\{1,2\}$ .

E. 2.6.2.

Encuentre los puntos de continuidad de la función

f(x)=\sqrt{\frac{x^{3}-27}{x^{2}-3x+2}}.

(2.332)

$(1,2)\cup(3,\infty)$ .

E. 2.6.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}e^{x^{2}-1}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\sqrt{2}}\ln|x^{2}-1|$

a) $1$ ; b) $0$

E. 2.6.4.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\pi}\ln\left(\frac{\mathop{\operator@font sen% }\nolimits\frac{x}{2}-\cos x}{2}\right).

(2.333)

$0$

E. 2.6.5.

Calcule el valor de $c$ de modo que la siguiente función sea continua en $x=1$ .

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}\frac{x-1}{x^{2}-1}&,x\neq 1\\ c&,x=1\end{array}\right.

(2.334)

$c=\frac{1}{2}$

E. 2.6.6.

Use el teorema del valor intermedio para mostrar que $f(x)=\cos(x)-x$ tiene (al menos) una raíz en el intervalo $(0,1)$ .

$f$ es continua en $[0,1]$ , $f(0)=1>0$ y $f(1)=\cos(1)-1<0$ . Por el teorema del valor intermedio, existe $c\in[0,1]$ tal que $f(c)=0$ .

E. 2.6.7.

El Teorema 2.6.1 (teorema del valor intermedio) tiene como hipótesis la continuidad de la función $f$ en el intervalo $[a,b]$ . ¿Qué puede ocurrir si $f$ no es continua en este intervalo? Dé un ejemplo.

Si $f$ no es continua en $[a,b]$ , entonces $f$ puede no asumir todos los valores entre $f(a)$ y $f(b)$ . Por ejemplo, la función $f(x)=|x|/x$ definida en el intervalo $[-1,1]$ es discontinua en $x=0$ y no asume el valor $0$ , que está entre $f(-1)=-1$ y $f(1)=1$ .

E. 2.6.8.

En el E.2.5.12, consideramos la ecuación de la ley básica de la radiactividad

N=N_{0}e^{-\lambda t}

(2.335)

donde $N=N(t)$ es el número de átomos en el tiempo $t$ , $N_{0}\geq 0$ es el número de átomos presentes en el tiempo inicial $t=0$ y $\lambda>0$ es la constante de decaimiento. ¿Cuál es la tendencia de $N=N(t)$ cuando la tasa de decaimiento $\lambda\to 0^{+}$ ? ¿Y cuál es la relación del resultado con el concepto de continuidad?

$N(t)\to N_{0}$ cuando $\lambda\to 0^{+}$ . Para $\lambda=0$ , tenemos que $N(t)\equiv N_{0}$ , i.e. $N$ es continua por la derecha en $\lambda=0$ .

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2.6 Continuidad

2.6.1 Definición de función continua

Ejemplo 2.6.1.

Ejemplo 2.6.2.(Continuidad de la función valor absoluto)

2.6.2 Propiedades de funciones continuas

Ejemplo 2.6.3.

Ejemplo 2.6.4.

Ejemplo 2.6.5.

Observación 2.6.1.(Continuidad de funciones elementales)

Ejemplo 2.6.6.

Ejemplo 2.6.7.

Teorema del valor intermedio

Teorema 2.6.1.(Teorema del valor intermedio)

Ejemplo 2.6.8.

2.6.3 Ejercicios resueltos

ER 2.6.1.

Resolución.

ER 2.6.2.

Resolución.

2.6.4 Ejercicios

E. 2.6.1.

E. 2.6.2.

E. 2.6.3.

E. 2.6.4.

E. 2.6.5.

E. 2.6.6.

E. 2.6.7.

E. 2.6.8.

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	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2}\frac{x-2}{(x+1)(x-2)}$		(2.303)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-4}{-1\cdot(-4)}=-1=f(-2).$		(2.304)

	$\displaystyle f(-1)=\frac{(x-2)}{(x+1)(x-2)}$		(2.305)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x-1}=\frac{1}{0}$		(2.306)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{x-2}{(x+1)(x-2)}$		(2.307)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{1}{x+1}=% \frac{1}{3}\neq f(2).$		(2.308)