Cálculo I

4 Aplicaciones de la derivada 4.2 Extremos de funciones 4.4 Prueba de la primera derivada

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4.3 Teorema del valor medio

El teorema del valor medio es una aplicación del teorema de Rolle.

4.3.1 Teorema de Rolle

El Teorema de Rolle proporciona una condición suficiente para que una dada función diferenciable tenga derivada nula en al menos un punto.

Refer to caption — Figura 4.8: Teorema de Rolle.

Teorema 4.3.1.(Teorema de Rolle)

Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ . Si

f(a)=f(b),

(4.81)

entonces existe al menos un punto crítico $c\in(a,b)$ tal que

f^{\prime}(c)=0\mathchar 46\relax

(4.82)

Demostración.

La idea de la demostración es una consecuencia de los Teorema 4.2.1 y Teorema 4.2.2. El primero, que existen puntos de mínimo y máximos globales $m,M\in[a,b]$ , es decir,

f(m)\leq f(x)\leq f(M)\mathchar 46\relax

(4.83)

Si $m=M$ , entonces $f$ es una función continua, de donde se sigue que $f^{\prime}(x)=0$ para todo $x\in(a,b)$ . Ahora, si $m\neq M$ , entonces $m$ o $M$ es un extremo local. Sin pérdida de generalidad, suponemos que $c=m$ sea el mínimo local. En este caso, el Teorema 4.2.2 nos garantiza que $f^{\prime}(c)=0$ . ∎

Ejemplo 4.3.1.

El polinomio $p(x)=x^{3}-4x^{2}+3x+1$ tiene al menos un punto crítico en el intervalo $(0,1)$ y en el intervalo $(1,3)$ . De hecho, tenemos $p(0)=p(1)=1$ y, por el teorema de Rolle, se sigue que existe al menos un punto $c\in(0,1)$ tal que $f^{\prime}(c)=0$ . Análogamente, como también $p(1)=p(3)=1$ , se sigue del teorema que existe al menos un punto crítico en el intervalo $(1,3)$ . En la Figura 4.9 tenemos el gráfico de $p$ .

De hecho, como todo polinomio es derivable en toda parte, podemos calcular los puntos críticos como sigue.

	$\displaystyle p^{\prime}(x)=0$		(4.84)
	$\displaystyle 3x^{2}-8x+3=0$		(4.85)
	$\displaystyle x=\frac{8\pm\cancelto{2\sqrt{7}}{\sqrt{64-36}}}{6}$		(4.86)
	$\displaystyle\text{}\quad x_{1}=\frac{4-\sqrt{7}}{3}\approx 0{,}45,$		(4.87)
	$\displaystyle\text{}\quad x_{2}=\frac{4+\sqrt{7}}{3}\approx 2{,}22\mathchar 46\relax$		(4.88)

Ejemplo 4.3.2.

Veamos los siguientes casos en que el Teorema de Rolle no se aplica:

a)

La función

$f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x&,0\leq x<1,\\ 0&,x=1\mathchar 46\relax\end{array}\right\mathchar 46\relax$ (4.89)

es tal que $f(0)=f(1)=0$ , sin embargo su derivada $f^{\prime}(x)=1$ en el intervalo $(0,1)$ . O sea, la condición de que $f$ sea continua en el intervalo cerrado asociado es necesaria en el teorema de Rolle. Vea la Figura 4.10 para el esbozo del gráfico de esta función.

Figura 4.10: Gráfico de la función Ejemplo 4.3.2 a).
b)

No existe punto tal que la derivada de $g(x)=-|x-1|+1$ sea nula. Sin embargo, notemos que $g(0)=g(2)=0$ y $g$ es continua en el intervalo cerrado $[0,2]$ . El teorema de Rolle no se aplica en este caso, pues $g$ no es derivable en el intervalo $(0,2)$ , más específicamente, en el punto $x=1$ . Vea la Figura 4.11.

Figura 4.11: Gráfico de la función referente al Ejemplo 4.3.2 b).

4.3.2 Teorema del valor medio

El teorema del valor medio⁴⁴4El teorema del valor medio también se conoce como teorema de Lagrange es una generalización del teorema de Rolle.

Teorema 4.3.2.(Teorema del valor medio)

Sea $f$ una función continua en el intervalo cerrado $[a,b]$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a,b)$ . Entonces, existe al menos un punto $c\in(a,b)$ tal que

\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)\mathchar 46\relax

(4.90)

Demostración.

El resultado se sigue de la aplicación del teorema de Rolle (Teorema 4.3.1) a la siguiente función

F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)

(4.91)

De hecho, $F$ es continua en $[a,b]$ , diferenciable en $(a,b)$ y $F(a)=F(b)$ . Por lo tanto, existe $c\in(a,b)$ tal que

	$\displaystyle F^{\prime}(c)=0$		(4.92)
	$\displaystyle f^{\prime}(c)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$		(4.93)
	$\displaystyle\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime}(c)$		(4.94)

∎

Observación 4.3.1.

En un contexto de aplicación, el Teorema del valor medio relaciona la tasa de variación promedio de la función en un intervalo $[a,b]$ con la tasa de variación instantánea de la función en un punto interior de este intervalo.

Ejemplo 4.3.3.

La función $f(x)=x^{2}$ es continua en el intervalo $[0,2]$ y diferenciable en el intervalo $(0,2)$ . Por lo tanto, se sigue del teorema del valor medio que existe al menos un punto $c\in(0,2)$ tal que

f^{\prime}(c)=\frac{f(2)-f(0)}{2-0}=2\mathchar 46\relax

(4.95)

De hecho, $f^{\prime}(x)=2x$ y, por lo tanto, tomando $c=1$ , tenemos $f^{\prime}(c)=2$ .

Corolario 4.3.1.(Funciones con derivadas nulas son constantes)

Si $f^{\prime}(x)=0$ para todos los puntos en un intervalo $(a,b)$ , entonces $f$ es constante en este intervalo.

Demostración.

De hecho, sean $x_{1},x_{2}\in(a,b)$ y, sin pérdida de generalidad, $x_{1}<x_{2}$ . Entonces, tenemos $f$ es continua en el intervalo $[x_{1},x_{2}]$ y diferenciable en $(x_{1},x_{2})$ . Se sigue del teorema del valor medio que existe $c\in(x_{1},x_{2})$ tal que

\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}(c)\mathchar 46\relax

(4.96)

Como $f^{\prime}(c)=0$ , tenemos $f(x_{2})=f(x_{1})$ . O sea, la función vale siempre el mismo valor para cualesquiera dos puntos en el intervalo $(a,b)$ , por lo tanto es constante en este intervalo. ∎

Corolario 4.3.2.(Función con la misma derivada difieren por una constante)

Si $f^{\prime}(x)=g^{\prime}(x)$ para todos los puntos en un intervalo abierto $(a,b)$ , entonces $f(x)=g(x)+C$ , $C$ constante, para todo $x\in(a,b)$ .

Demostración.

Se sigue, inmediatamente, de la aplicación del corolario anterior a la función $h(x)=f(x)-g(x)$ . ∎

Corolario 4.3.3.(Monotonicidad y el signo de la derivada)

Suponga que $f$ es continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ .

a)

Si $f^{\prime}(x)>0$ para todo $x\in(a,b)$ , entonces $f$ es creciente⁵⁵5 $f$ es función creciente en un intervalo $I$ , cuando $x_{1}>x_{2}$ en $I$ implica $f(x_{1})>f(x_{2})$ . en $[a,b]$ .
b)

Si $f^{\prime}(x)<0$ para todo $x\in(a,b)$ , entonces $f$ es decreciente⁶⁶6 $f$ es función decreciente en un intervalo $I$ , cuando $x_{1}>x_{2}$ en $I$ implica $f(x_{1})<f(x_{2})$ . en $[a,b]$ .

Demostración.

Vamos a demostrar el item a), es decir, si $f^{\prime}(x)>0$ para todo $x\in(a,b)$ , entonces $f$ es creciente en $[a,b]$ . Sean $x_{1}<x_{2}$ con $x_{1},x_{2}\in[a,b]$ . Observamos que $f$ es continua en $[x_{1},x_{2}]$ y diferenciable en $(x_{1},x_{2})$ . Por lo tanto, por el Teorema del valor medio (Teorema 4.3.2), tenemos que existe $c\in(x_{1},x_{2})$ tal que

\frac{f(x_{2})-f(x_{1})}{x_{2}-x_{1}}=f^{\prime}(c)

(4.97)

o, equivalentemente,

f(x_{2})-f(x_{1})=f^{\prime}(c)\cdot(x_{2}-x_{1})\mathchar 46\relax

(4.98)

Como $f^{\prime}(x)>0$ para todo $x\in(a,b)$ y $x_{2}-x_{1}>0$ , concluimos que $f(x_{2})-f(x_{1})>0$ , es decir,

f(x_{1})<f(x_{2})\mathchar 46\relax

(4.99)

Con esto, mostramos que si $x_{1}<x_{2}$ con $x_{1},x_{2}\in[a,b]$ , entonces $f(x_{1})<f(x_{2})$ , es decir, $f$ es creciente en $[a,b]$ .

La demostración del item b) es análoga, consulte el E.4.3.6. ∎

Ejemplo 4.3.4.

Vamos a estudiar la monotonicidad de la función polinomial $f(x)=x^{3}-4x^{2}+3x+1$ . En la Figura 4.13, tenemos el esbozo de su gráfico.

Podemos usar el Corolario 4.3.3 para estudiar la monotonicidad (es decir, intervalos de crecimiento o decrecimiento). Esto es, hacemos el estudio de signo de la derivada de $f$ . Calculamos

f^{\prime}(x)=3x^{2}-8x+3\mathchar 46\relax

(4.100)

Por lo tanto, tenemos

O sea, $f^{\prime}(x)<0$ en el conjunto $\displaystyle\left(-\infty,\frac{4-\sqrt{7}}{3}\right)\cup\left(\frac{4+\sqrt{% 7}}{3},\infty\right)$ y $f^{\prime}(x)<0$ en el conjunto $\displaystyle\left(\frac{4-\sqrt{7}}{3},\frac{4+\sqrt{7}}{3}\right)$ . Concluimos que $f$ es creciente en los intervalos $\displaystyle\left(\left\mathchar 46\relax-\infty,\frac{4-\sqrt{7}}{3}\right% \mathchar 46\relax\right]$ y $\displaystyle\left[\left\mathchar 46\relax\frac{4+\sqrt{7}}{3},\infty\right)% \right\mathchar 46\relax$ , mientras que $f$ es decreciente en el intervalo $\displaystyle\left[\frac{4-\sqrt{7}}{3},\frac{4+\sqrt{7}}{3}\right]$ .

Ejemplo 4.3.5.

La función exponencial $f(x)=e^{x}$ es creciente en toda parte. De hecho, tenemos

f^{\prime}(x)=e^{x}>0,

(4.101)

para todo $x\in\mathbb{R}$ .

4.3.3 Ejercicios resueltos

ER 4.3.1.

Un coche recorrió 150 km en 1h30min. Muestre que en algún momento el coche estaba a una velocidad mayor que 80 km/h.

Resolución.

Sea $s=s(t)$ la función distancia recorrida por el coche y $t$ el tiempo, en horas, contado desde el inicio del recorrido. Del teorema del valor medio, existe tiempo $t_{1}\in(0,~{}1,5)$ tal que

f^{\prime}(t_{1})=\frac{s(1,5)-s(0)}{1,5-0}=\frac{150}{1,5}=100~{}\text{km/h}% \mathchar 46\relax

(4.102)

O sea, en algún momento el coche alcanzó la velocidad de 100 km/h.

ER 4.3.2.

Estudie la monotonicidad de la función gaussiana $f(x)=e^{-x^{2}}$ .

Resolución.

Para estudiar la monotonicidad de una función, podemos hacer el estudio de signo de su derivada. En este caso, tenemos

f^{\prime}(x)=-2xe^{-x^{2}}\mathchar 46\relax

(4.103)

Así, vemos que

Concluimos que $f$ es creciente en el intervalo $(-\infty,0)$ y decreciente en el intervalo $(0,\infty)$ .

4.3.4 Ejercicios

E. 4.3.1.

Estudie la monotonicidad de $f(x)=x^{2}-2x$ .

Decreciente: $(-\infty,1]$ ; Creciente: $[1,\infty)$

E. 4.3.2.

Estudie la monotonicidad de $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x$ .

Decreciente: $[-1,1]$ ; Creciente: $(-\infty,-1]$ ; $[1,\infty)$

E. 4.3.3.

Estudie la monotonicidad de $\displaystyle f(x)=\ln x$ .

Creciente: $(0,\infty)$

E. 4.3.4.

Estudie la monotonicidad de $\displaystyle f(x)=xe^{-x}$ .

Creciente: $(-\infty,1)$ ; Decreciente de $(1,\infty)$

E. 4.3.5.

Demuestre que un polinomio cúbico puede tener como máximo $3$ raíces reales.

Pista: use el teorema de Rolle.

E. 4.3.6.

Sea $f$ continua en $[a,b]$ y derivable en $(a,b)$ . Muestre que si $f^{\prime}(x)<0$ para todo $x\in(a,b)$ , entonces $f$ es decreciente en $[a,b]$ .

Pista: consulte la demostración del item a) del Corolario 4.3.3.

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Cálculo I

4.3 Teorema del valor medio

4.3.1 Teorema de Rolle

Teorema 4.3.1.(Teorema de Rolle)

Demostración.

Ejemplo 4.3.1.

Ejemplo 4.3.2.

4.3.2 Teorema del valor medio

Teorema 4.3.2.(Teorema del valor medio)

Demostración.

Observación 4.3.1.

Ejemplo 4.3.3.

Corolario 4.3.1.(Funciones con derivadas nulas son constantes)

Demostración.

Corolario 4.3.2.(Función con la misma derivada difieren por una constante)

Demostración.

Corolario 4.3.3.(Monotonicidad y el signo de la derivada)

Demostración.

Ejemplo 4.3.4.

Ejemplo 4.3.5.

4.3.3 Ejercicios resueltos

ER 4.3.1.

Resolución.

ER 4.3.2.

Resolución.

4.3.4 Ejercicios

E. 4.3.1.

E. 4.3.2.

E. 4.3.3.

E. 4.3.4.

E. 4.3.5.

E. 4.3.6.

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