Cálculo I

5 Integración 5.2 Propiedades de integración 5.4 Integración por sustitución

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5.3 Reglas básicas de integración

Como estudiamos en la sección anterior (Sección 5.2), la integral indefinida de una función $f$ con respecto a $x$ es

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int f(x)\,dx% =F(x)+C,

(5.117)

donde $F$ es una primitiva de $f$ , es decir $F^{\prime}=f$ , y $C$ es una constante indeterminada. A continuación, estudiaremos las reglas básicas para el cálculo de integrales.

5.3.1 Integral de función potencia

Con base en la derivada de la función potencia, podemos afirmar que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int x^{r}\,% dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,~{}r\neq-1\mathchar 46\relax

(5.118)

De hecho, para $r\neq-1$ , tenemos

	$\displaystyle F(x)=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,$		(5.119)
	$\displaystyle F^{\prime}(x)=(r+1)\frac{x^{r}}{r+1}=x^{r}\mathchar 46\relax$		(5.120)

Ejemplo 5.3.1.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C\mathchar 46\relax$ (5.121)

Código 87: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x, x)

⬇

x**2/2
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}\,dx=\int x^{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}\,dx$ (5.122)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}+C$ (5.123)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}+C\mathchar 46\relax$ (5.124)

Código 88: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1/x**2, x)

⬇

-1/x

Ejemplo 5.3.2.

Vamos a calcular

\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx\mathchar 46\relax

(5.125)

Por la regla de la potencia (5.118), tenemos

\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C\mathchar 46\relax

(5.126)

Luego, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left\mathchar 46\relax\frac{x^{3}}{3}% \right\|_{-1}^{1}$		(5.127)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}$		(5.128)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}\mathchar 46\relax$		(5.129)

Código 89: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x**2, (x, -1, 1))

2/3

5.3.2 Regla de la multiplicación por constante

Sea $k$ una constante. Entonces, tenemos la siguiente regla de la multiplicación por constante

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int k\cdot f% (x)\,dx=k\cdot\int f(x)\,dx

(5.130)

De hecho, si $F$ es una primitiva de $f$ , entonces por la regla de la multiplicación por constante para derivadas, tenemos

	$\displaystyle(k\cdot F)^{\prime}=k\cdot F^{\prime}$		(5.131)
	$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot f,$		(5.132)

es decir, $k\cdot F$ es primitiva de $k\cdot f$ .

Ejemplo 5.3.3.

Estudiamos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int 2x\,dx=2\int x\,dx$ (5.133)

$\displaystyle\text{}\quad=2\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)$ (5.134)

$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+2C$ (5.135)

$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+C\mathchar 46\relax$ (5.136)

Aquí, hemos hecho un abuso de lenguaje al asumir $2C=C$ . Esto puede hacerse, pues $C$ denota una constante indeterminada y multiplicarla por dos sigue siendo indeterminada y constante. Haremos este tipo de simplificación de notación varias veces a lo largo del texto.

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(2*x, x)
```
x**2
```
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{3}\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{3}\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$ (5.137)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$ (5.138)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$ (5.139)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{9}\sqrt{x^{3}}+C\mathchar 46\relax$ (5.140)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1/3*sym.sqrt(x), x)
```
0.222222222222222*x**(3/2)
```
c)

$\displaystyle\int_{0}^{1}-x^{2}\,dx=-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$ (5.141)

$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$ (5.142)

$\displaystyle\text{}\quad=-\left(\frac{1}{3}-\frac{0}{3}\right)$ (5.143)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\mathchar 46\relax$ (5.144)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(-x**2, (x, 0, 1))
```
-1/3
```

5.3.3 Regla de suma o resta

Si $f$ y $g$ son funciones integrables, entonces vale la siguiente regla de suma/resta

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\left[f(x% )\pm g(x)\right]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx\mathchar 46\relax

(5.145)

De hecho, sean $F$ una primitiva de $f$ y $G$ una primitiva de $g$ . Tenemos

	$\displaystyle(F\pm G)^{\prime}=F^{\prime}\pm G^{\prime}$		(5.146)
	$\displaystyle\text{}\quad=f\pm g,$		(5.147)

es decir, $F\pm G$ es primitiva de $f\pm g$ .

Ejemplo 5.3.4.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}1}% \,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int x% \,dx}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int dx}$ (5.148)

$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{x^{2}}{2}+C_{1}}+{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x+C_{2}}$ (5.149)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}+x+C\mathchar 46\relax$ (5.150)

Aquí, $C_{1}$ , $C_{2}$ y $C=C_{1}+C_{2}$ denotan constantes indeterminadas.

Código 90: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x+1, x)

⬇

x**2/2 + x
b)

$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\sqrt{x}}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}x}\,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int x^{\frac{1}{2}}\,dx}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int x\,dx}$ (5.151)

$\displaystyle\text{}\qquad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}-{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\frac{x^{2}}{2}}+C\mathchar 46\relax$ (5.152)

Código 91: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3f = sym.sqrt(x) - x

4sym.integrate(f, x)

⬇

2*x**(3/2)/3 - x**2/2

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \int(2x^{2}+3x-1)\,dx=\int\left[2x^{2}+(3x-1)\right]\,dx$		(5.153)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 2x^{2}\,dx+\int 3x-1\,dx$		(5.154)
	$\displaystyle\text{}\quad=\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}\int 2x^{2}\,dx-\int 3x\,dx-\int\,dx$		(5.155)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int x^{2}\,dx+3\int x\,dx-\int\,dx$		(5.156)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+C\mathchar 46\relax$		(5.157)

Código 92: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3f = 2*x**2 + 3*x - 1

4sym.integrate(f, x)

2*x**3/3 + 3*x**2/2 - x

Ejemplo 5.3.5.

Vamos a calcular

\int_{0}^{1}x^{2}+1\,dx\mathchar 46\relax

(5.158)

Tenemos

	$\displaystyle\int x^{2}+1\,dx=\int x^{2}\,dx+\int\,dx$		(5.159)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{3}}{3}+x+C\mathchar 46\relax$		(5.160)

Ahora, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}+1\,dx=\left\mathchar 46\relax\frac{x^{3}}{3}+x% \right\|_{0}^{1}$		(5.161)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\frac{1}{3}+1\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}+0\right)$		(5.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{3}\mathchar 46\relax$		(5.163)

Código 93: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x**2 + 1, (x, 0, 1))

4/3

5.3.4 Integral de $x^{-1}$

Comenzamos recordando que

\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},~{}x>0\mathchar 46\relax

(5.164)

Para $x<0$ , usamos la regla de la cadena

	$\displaystyle\frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{1}{-x}\cdot(-x)^{\prime}$		(5.165)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}\cdot(-1)$		(5.166)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}\mathchar 46\relax$		(5.167)

Es decir, tenemos que

\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x},

(5.168)

de donde concluimos que la integral de $x^{-1}$ es

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\frac{1}{% x}\,dx=\ln|x|+C\mathchar 46\relax

(5.169)

Ejemplo 5.3.6.

	$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{-1}\,dx=\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx$		(5.170)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\ln\|x\|\right]_{1}^{e}$		(5.171)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|e\|-\ln\|1\|$		(5.172)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-0=1\mathchar 46\relax$		(5.173)

Código 94: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1/x, (x, 1, sym.E))

5.3.5 Integral de la función exponencial natural

De la derivada de la función exponencial natural, tenemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int e^{x}\,% dx=e^{x}+C\mathchar 46\relax

(5.174)

Ejemplo 5.3.7.

Vamos a estudiar los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int e^{2+x}\,dx=\int e^{2}e^{x}\,dx$ (5.175)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}\int e^{x}\,dx$ (5.176)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}e^{x}+C$ (5.177)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2+x}+C\mathchar 46\relax$ (5.178)

Código 95: Python

⬇

1from sympy import integrate, exp

2from sympy.abc import x

3integrate(exp(2+x), x)

⬇

exp(x + 2)
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}e^{x}\,dx=\left\mathchar 46\relax e^{x}\right|_{0% }^{\ln 2}$ (5.179)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{\ln 2}-e^{0}$ (5.180)

$\displaystyle\text{}\quad=2-1$ (5.181)

$\displaystyle\text{}\quad=1\mathchar 46\relax$ (5.182)

Código 96: Python

⬇

1from sympy import integrate, exp, log

2from sympy.abc import x

3integrate(exp(x), (x, 0, log(2)))

⬇

1

5.3.6 Integrales de funciones trigonométricas

Recordemos que

\frac{d}{dx}\cos(x)=-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)

(5.183)

tenemos que la integral de la función seno es

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-\cos(x)+C\mathchar 46\relax

(5.184)

Ejemplo 5.3.8.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int 2\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=2\int\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$ (5.185)

$\displaystyle\text{}\quad=-2\cos(x)+C$ (5.186)

Código 97: Python

⬇

1from sympy import integrate, sin

2from sympy.abc import x

3integrate(2*sin(x), x)

⬇

-2*cos(x)
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=% \left\mathchar 46\relax-\cos(x)\right|_{-\pi}^{\pi}$ (5.187)

$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi)-[-\cos(-\pi)]$ (5.188)

$\displaystyle\text{}\quad=1-1=0$ (5.189)

Código 98: Python

⬇

1from sympy import integrate, sin, pi

2from sympy.abc import x

3integrate(sin(x), (x, -pi, pi))

⬇

0

También recordamos que

\frac{d}{dx}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)=\cos(x),

(5.190)

donde tenemos que la integral de la función coseno

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\cos(x)\,% dx=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C\mathchar 46\relax

(5.191)

Ejemplo 5.3.9.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int\frac{1}{2}\cos(x)\,dx=\frac{1}{2}\int\cos(x)\,dx$ (5.192)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C% \mathchar 46\relax$ (5.193)

Código 99: Python

⬇

1from sympy import integrate, cos

2from sympy.abc import x

3integrate(1/2*cos(x), x)

⬇

0.5*sin(x)
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x)\,dx=\left\mathchar 46\relax\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\right|_{-\pi}^{\pi}$ (5.195)

$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi)-\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(-\pi)$ (5.196)

$\displaystyle\text{}\quad=0\mathchar 46\relax$ (5.197)

Código 100: Python

⬇

1from sympy import integrate, cos

2from sympy.abc import x

3integrate(1/2*cos(x), x)

⬇

0

5.3.7 Lista de integrales

	$\displaystyle\int k\cdot f(x)\,dx=k\cdot\int f(x)\,dx$		(5.198)
	$\displaystyle\int\left[f(x)\pm g(x)\right]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$		(5.199)
	$\displaystyle\int x^{r}\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,~{}r\neq-1$		(5.200)
	$\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x+C$		(5.201)
	$\displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$		(5.202)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-\cos(x)+C$		(5.203)
	$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C$		(5.204)

5.3.8 Ejercicios resueltos

ER 5.3.1.

Calcule

\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx

(5.205)

Resolución.

	$\displaystyle\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx=\int\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}+2% \frac{x}{\sqrt{x}}\,dx$		(5.206)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}+2\frac{x}{x^{\frac% {1}{2}}}\,dx$		(5.207)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int x^{2-\frac{1}{2}}+2x^{1-\frac{1}{2}}\,dx$		(5.208)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int x^{\frac{3}{2}}\,dx+2\int x^{\frac{1}{2}}\,dx% \mathchar 46\relax$		(5.209)

Ahora, usando la regla de la función potencia (5.118), obtenemos

	$\displaystyle\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{% 3}{2}+1}+2\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$		(5.210)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}% }+C\mathchar 46\relax$		(5.211)

Código 101: Python

⬇

1from sympy import integrate, sqrt

2from sympy.abc import x

3integrate((x**2+2*x)/sqrt(x))

2*x**(5/2)/5 + 4*x**(3/2)/3

ER 5.3.2.

Calcule

\int_{1}^{e}\frac{1}{2x}\,dx\mathchar 46\relax

(5.212)

Resolución.

De las reglas básicas de integración, tenemos

	$\displaystyle\int\frac{1}{2x}\,dx=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx$		(5.213)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx$		(5.214)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\ln(x)+C$		(5.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\sqrt{x}+C\mathchar 46\relax$		(5.216)

Entonces, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{1}{2x}\,dx=\left\mathchar 46\relax\ln\sqrt{x}% \right\|_{1}^{e}$		(5.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln(\sqrt{e})-\ln(1)$		(5.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\mathchar 46\relax$		(5.219)

Código 102: Python

⬇

1from sympy import integrate, E

2from sympy.abc import x

3integrate(1/(2*x), (x, 1, E))

1/2

5.3.9 Ejercicios

E. 5.3.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\,dx$
b)

$\displaystyle\int x^{-2}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\sqrt{x}\,dx$
d)

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

a) $\displaystyle x+C$ ; b) $\displaystyle-\frac{1}{x}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{2}{3}x^{3/2}+C$ ; d) $\displaystyle 2x^{1/2}+C$

E. 5.3.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 1+x^{-2}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x-\frac{1}{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int 2x^{3}-3x^{2}+1\,dx$

a) $\displaystyle x-\frac{1}{x}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{x^{2}}{2}-\ln|x|+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}x^{4}-x^{3}+x+C$

E. 5.3.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 2\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int 1-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$

a) $\displaystyle 2\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C$ ; b) $\displaystyle x+\cos(x)+C$

E. 5.3.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{e}^{2e}x^{-1}\,dx$

a) $0$ ; b) $\ln(2)$ ;

E. 5.3.5.

Calcule

1.

$\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}-2x^{3}\,dx$
2.

$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{x}}\,dx$

a) $\displaystyle-\frac{1}{6}$ ; b) $\displaystyle\frac{10}{3}\sqrt{2}-\frac{8}{3}$ ;

E. 5.3.6.

Cálcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(x)-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$

a) $1$ ; b) $1$ ; c) $-2$

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Cálculo I

5.3 Reglas básicas de integración

5.3.1 Integral de función potencia

Ejemplo 5.3.1.

Ejemplo 5.3.2.

5.3.2 Regla de la multiplicación por constante

Ejemplo 5.3.3.

5.3.3 Regla de suma o resta

Ejemplo 5.3.4.

Ejemplo 5.3.5.

5.3.4 Integral de $x^{-1}$

Ejemplo 5.3.6.

5.3.5 Integral de la función exponencial natural

Ejemplo 5.3.7.

5.3.6 Integrales de funciones trigonométricas

Ejemplo 5.3.8.

Ejemplo 5.3.9.

5.3.7 Lista de integrales

5.3.8 Ejercicios resueltos

ER 5.3.1.

Resolución.

ER 5.3.2.

Resolución.

5.3.9 Ejercicios

E. 5.3.1.

E. 5.3.2.

E. 5.3.3.

E. 5.3.4.

E. 5.3.5.

E. 5.3.6.

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	$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}\,dx=\int x^{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}\,dx$		(5.122)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}+C$		(5.123)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}+C\mathchar 46\relax$		(5.124)

	$\displaystyle\int 2x\,dx=2\int x\,dx$		(5.133)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)$		(5.134)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+2C$		(5.135)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+C\mathchar 46\relax$		(5.136)

	$\displaystyle\int\frac{1}{3}\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{3}\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$		(5.137)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$		(5.138)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$		(5.139)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{9}\sqrt{x^{3}}+C\mathchar 46\relax$		(5.140)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}-x^{2}\,dx=-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$		(5.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$		(5.142)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left(\frac{1}{3}-\frac{0}{3}\right)$		(5.143)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\mathchar 46\relax$		(5.144)

	$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}1}% \,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int x% \,dx}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int dx}$		(5.148)
	$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{x^{2}}{2}+C_{1}}+{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x+C_{2}}$		(5.149)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}+x+C\mathchar 46\relax$		(5.150)

	$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\sqrt{x}}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}x}\,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int x^{\frac{1}{2}}\,dx}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int x\,dx}$		(5.151)
	$\displaystyle\text{}\qquad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}-{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\frac{x^{2}}{2}}+C\mathchar 46\relax$		(5.152)

	$\displaystyle\int e^{2+x}\,dx=\int e^{2}e^{x}\,dx$		(5.175)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}\int e^{x}\,dx$		(5.176)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}e^{x}+C$		(5.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2+x}+C\mathchar 46\relax$		(5.178)

	$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}e^{x}\,dx=\left\mathchar 46\relax e^{x}\right\|_{0% }^{\ln 2}$		(5.179)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{\ln 2}-e^{0}$		(5.180)
	$\displaystyle\text{}\quad=2-1$		(5.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\mathchar 46\relax$		(5.182)

	$\displaystyle\int 2\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=2\int\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$		(5.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\cos(x)+C$		(5.186)

	$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=% \left\mathchar 46\relax-\cos(x)\right\|_{-\pi}^{\pi}$		(5.187)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi)-[-\cos(-\pi)]$		(5.188)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-1=0$		(5.189)

	$\displaystyle\int\frac{1}{2}\cos(x)\,dx=\frac{1}{2}\int\cos(x)\,dx$		(5.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C% \mathchar 46\relax$		(5.193)

	$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x)\,dx=\left\mathchar 46\relax\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\right\|_{-\pi}^{\pi}$		(5.195)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi)-\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(-\pi)$		(5.196)
	$\displaystyle\text{}\quad=0\mathchar 46\relax$		(5.197)

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

5.3 Reglas básicas de integración

5.3.1 Integral de función potencia

Ejemplo 5.3.1.

Ejemplo 5.3.2.

5.3.2 Regla de la multiplicación por constante

Ejemplo 5.3.3.

5.3.3 Regla de suma o resta

Ejemplo 5.3.4.

Ejemplo 5.3.5.

5.3.4 Integral de x−1

Ejemplo 5.3.6.

5.3.5 Integral de la función exponencial natural

Ejemplo 5.3.7.

5.3.6 Integrales de funciones trigonométricas

Ejemplo 5.3.8.

Ejemplo 5.3.9.

5.3.7 Lista de integrales

5.3.8 Ejercicios resueltos

ER 5.3.1.

Resolución.

ER 5.3.2.

Resolución.

5.3.9 Ejercicios

E. 5.3.1.

E. 5.3.2.

E. 5.3.3.

E. 5.3.4.

E. 5.3.5.

E. 5.3.6.

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5.3.4 Integral de $x^{-1}$