Cálculo I

5 Integración 5.2 Propiedades de integración 5.4 Integración por sustitución

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5.3 Reglas básicas de integración

Como estudiamos en la sección anterior (Sección 5.2), la integral indefinida de una función $f$ con respecto a $x$ es

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int f(x)\,dx% =F(x)+C,

(5.117)

donde $F$ es una primitiva de $f$ , es decir $F^{\prime}=f$ , y $C$ es una constante indeterminada. A continuación, estudiaremos las reglas básicas para el cálculo de integrales.

5.3.1 Integral de función potencia

Con base en la derivada de la función potencia, podemos afirmar que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int x^{r}\,% dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,~{}r\neq-1.

(5.118)

De hecho, para $r\neq-1$ , tenemos

	$\displaystyle F(x)=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,$		(5.119)
	$\displaystyle F^{\prime}(x)=(r+1)\frac{x^{r}}{r+1}=x^{r}.$		(5.120)

Ejemplo 5.3.1.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.$ (5.121)

Código 87: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x, x)

⬇

x**2/2
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}\,dx=\int x^{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}\,dx$ (5.122)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}+C$ (5.123)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}+C.$ (5.124)

Código 88: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1/x**2, x)

⬇

-1/x

Ejemplo 5.3.2.

Vamos a calcular

\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx.

(5.125)

Por la regla de la potencia (5.118), tenemos

\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.

(5.126)

Luego, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}\right\|_{-1}^{1}$		(5.127)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}$		(5.128)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$		(5.129)

Código 89: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x**2, (x, -1, 1))

2/3

5.3.2 Regla de la multiplicación por constante

Sea $k$ una constante. Entonces, tenemos la siguiente regla de la multiplicación por constante

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int k\cdot f% (x)\,dx=k\cdot\int f(x)\,dx

(5.130)

De hecho, si $F$ es una primitiva de $f$ , entonces por la regla de la multiplicación por constante para derivadas, tenemos

	$\displaystyle(k\cdot F)^{\prime}=k\cdot F^{\prime}$		(5.131)
	$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot f,$		(5.132)

es decir, $k\cdot F$ es primitiva de $k\cdot f$ .

Ejemplo 5.3.3.

Estudiamos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int 2x\,dx=2\int x\,dx$ (5.133)

$\displaystyle\text{}\quad=2\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)$ (5.134)

$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+2C$ (5.135)

$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+C.$ (5.136)

Aquí, hemos hecho un abuso de lenguaje al asumir $2C=C$ . Esto puede hacerse, pues $C$ denota una constante indeterminada y multiplicarla por dos sigue siendo indeterminada y constante. Haremos este tipo de simplificación de notación varias veces a lo largo del texto.

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(2*x, x)
```
x**2
```
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{3}\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{3}\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$ (5.137)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$ (5.138)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$ (5.139)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{9}\sqrt{x^{3}}+C.$ (5.140)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1/3*sym.sqrt(x), x)
```
0.222222222222222*x**(3/2)
```
c)

$\displaystyle\int_{0}^{1}-x^{2}\,dx=-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$ (5.141)

$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$ (5.142)

$\displaystyle\text{}\quad=-\left(\frac{1}{3}-\frac{0}{3}\right)$ (5.143)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$ (5.144)

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(-x**2, (x, 0, 1))
```
-1/3
```

5.3.3 Regla de suma o resta

Si $f$ y $g$ son funciones integrables, entonces vale la siguiente regla de suma/resta

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\left[f(x% )\pm g(x)\right]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx.

(5.145)

De hecho, sean $F$ una primitiva de $f$ y $G$ una primitiva de $g$ . Tenemos

	$\displaystyle(F\pm G)^{\prime}=F^{\prime}\pm G^{\prime}$		(5.146)
	$\displaystyle\text{}\quad=f\pm g,$		(5.147)

es decir, $F\pm G$ es primitiva de $f\pm g$ .

Ejemplo 5.3.4.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}1}% \,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int x% \,dx}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int dx}$ (5.148)

$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{x^{2}}{2}+C_{1}}+{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x+C_{2}}$ (5.149)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}+x+C.$ (5.150)

Aquí, $C_{1}$ , $C_{2}$ y $C=C_{1}+C_{2}$ denotan constantes indeterminadas.

Código 90: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x+1, x)

⬇

x**2/2 + x
b)

$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\sqrt{x}}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}x}\,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int x^{\frac{1}{2}}\,dx}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int x\,dx}$ (5.151)

$\displaystyle\text{}\qquad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}-{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\frac{x^{2}}{2}}+C.$ (5.152)

Código 91: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3f = sym.sqrt(x) - x

4sym.integrate(f, x)

⬇

2*x**(3/2)/3 - x**2/2

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \int(2x^{2}+3x-1)\,dx=\int\left[2x^{2}+(3x-1)\right]\,dx$		(5.153)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 2x^{2}\,dx+\int 3x-1\,dx$		(5.154)
	$\displaystyle\text{}\quad=\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}\int 2x^{2}\,dx-\int 3x\,dx-\int\,dx$		(5.155)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int x^{2}\,dx+3\int x\,dx-\int\,dx$		(5.156)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+C.$		(5.157)

Código 92: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3f = 2*x**2 + 3*x - 1

4sym.integrate(f, x)

2*x**3/3 + 3*x**2/2 - x

Ejemplo 5.3.5.

Vamos a calcular

\int_{0}^{1}x^{2}+1\,dx.

(5.158)

Tenemos

	$\displaystyle\int x^{2}+1\,dx=\int x^{2}\,dx+\int\,dx$		(5.159)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{3}}{3}+x+C.$		(5.160)

Ahora, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}+1\,dx=\left.\frac{x^{3}}{3}+x\right\|_{0}^{1}$		(5.161)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\frac{1}{3}+1\right)-\left(\frac{0^{3}}{3}+0\right)$		(5.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{3}.$		(5.163)

Código 93: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(x**2 + 1, (x, 0, 1))

4/3

5.3.4 Integral de $x^{-1}$

Comenzamos recordando que

\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x},~{}x>0.

(5.164)

Para $x<0$ , usamos la regla de la cadena

	$\displaystyle\frac{d}{dx}\ln(-x)=\frac{1}{-x}\cdot(-x)^{\prime}$		(5.165)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}\cdot(-1)$		(5.166)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x}.$		(5.167)

Es decir, tenemos que

\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x},

(5.168)

de donde concluimos que la integral de $x^{-1}$ es

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\frac{1}{% x}\,dx=\ln|x|+C.

(5.169)

Ejemplo 5.3.6.

	$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{-1}\,dx=\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx$		(5.170)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\ln\|x\|\right]_{1}^{e}$		(5.171)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|e\|-\ln\|1\|$		(5.172)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-0=1.$		(5.173)

Código 94: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x

3sym.integrate(1/x, (x, 1, sym.E))

5.3.5 Integral de la función exponencial natural

De la derivada de la función exponencial natural, tenemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int e^{x}\,% dx=e^{x}+C.

(5.174)

Ejemplo 5.3.7.

Vamos a estudiar los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int e^{2+x}\,dx=\int e^{2}e^{x}\,dx$ (5.175)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}\int e^{x}\,dx$ (5.176)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}e^{x}+C$ (5.177)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{2+x}+C.$ (5.178)

Código 95: Python

⬇

1from sympy import integrate, exp

2from sympy.abc import x

3integrate(exp(2+x), x)

⬇

exp(x + 2)
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}e^{x}\,dx=\left.e^{x}\right|_{0}^{\ln 2}$ (5.179)

$\displaystyle\text{}\quad=e^{\ln 2}-e^{0}$ (5.180)

$\displaystyle\text{}\quad=2-1$ (5.181)

$\displaystyle\text{}\quad=1.$ (5.182)

Código 96: Python

⬇

1from sympy import integrate, exp, log

2from sympy.abc import x

3integrate(exp(x), (x, 0, log(2)))

⬇

1

5.3.6 Integrales de funciones trigonométricas

Recordemos que

\frac{d}{dx}\cos(x)=-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)

(5.183)

tenemos que la integral de la función seno es

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-\cos(x)+C.

(5.184)

Ejemplo 5.3.8.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int 2\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=2\int\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$ (5.185)

$\displaystyle\text{}\quad=-2\cos(x)+C$ (5.186)

Código 97: Python

⬇

1from sympy import integrate, sin

2from sympy.abc import x

3integrate(2*sin(x), x)

⬇

-2*cos(x)
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=% \left.-\cos(x)\right|_{-\pi}^{\pi}$ (5.187)

$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi)-[-\cos(-\pi)]$ (5.188)

$\displaystyle\text{}\quad=1-1=0$ (5.189)

Código 98: Python

⬇

1from sympy import integrate, sin, pi

2from sympy.abc import x

3integrate(sin(x), (x, -pi, pi))

⬇

0

También recordamos que

\frac{d}{dx}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)=\cos(x),

(5.190)

donde tenemos que la integral de la función coseno

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\cos(x)\,% dx=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C.

(5.191)

Ejemplo 5.3.9.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\int\frac{1}{2}\cos(x)\,dx=\frac{1}{2}\int\cos(x)\,dx$ (5.192)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C.$ (5.193)

Código 99: Python

⬇

1from sympy import integrate, cos

2from sympy.abc import x

3integrate(1/2*cos(x), x)

⬇

0.5*sin(x)
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x)\,dx=\left.\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x)\right|_{-\pi}^{\pi}$ (5.195)

$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi)-\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(-\pi)$ (5.196)

$\displaystyle\text{}\quad=0.$ (5.197)

Código 100: Python

⬇

1from sympy import integrate, cos

2from sympy.abc import x

3integrate(1/2*cos(x), x)

⬇

0

5.3.7 Lista de integrales

	$\displaystyle\int k\cdot f(x)\,dx=k\cdot\int f(x)\,dx$		(5.198)
	$\displaystyle\int\left[f(x)\pm g(x)\right]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$		(5.199)
	$\displaystyle\int x^{r}\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,~{}r\neq-1$		(5.200)
	$\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x+C$		(5.201)
	$\displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$		(5.202)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-\cos(x)+C$		(5.203)
	$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C$		(5.204)

5.3.8 Ejercicios resueltos

ER 5.3.1.

Calcule

\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx

(5.205)

Resolución.

	$\displaystyle\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx=\int\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}+2% \frac{x}{\sqrt{x}}\,dx$		(5.206)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}+2\frac{x}{x^{\frac% {1}{2}}}\,dx$		(5.207)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int x^{2-\frac{1}{2}}+2x^{1-\frac{1}{2}}\,dx$		(5.208)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int x^{\frac{3}{2}}\,dx+2\int x^{\frac{1}{2}}\,dx.$		(5.209)

Ahora, usando la regla de la función potencia (5.118), obtenemos

	$\displaystyle\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx=\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{% 3}{2}+1}+2\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$		(5.210)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}% }+C.$		(5.211)

Código 101: Python

⬇

1from sympy import integrate, sqrt

2from sympy.abc import x

3integrate((x**2+2*x)/sqrt(x))

2*x**(5/2)/5 + 4*x**(3/2)/3

ER 5.3.2.

Calcule

\int_{1}^{e}\frac{1}{2x}\,dx.

(5.212)

Resolución.

De las reglas básicas de integración, tenemos

	$\displaystyle\int\frac{1}{2x}\,dx=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx$		(5.213)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx$		(5.214)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\ln(x)+C$		(5.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\sqrt{x}+C.$		(5.216)

Entonces, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

	$\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{1}{2x}\,dx=\left.\ln\sqrt{x}\right\|_{1}^{e}$		(5.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln(\sqrt{e})-\ln(1)$		(5.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$		(5.219)

Código 102: Python

⬇

1from sympy import integrate, E

2from sympy.abc import x

3integrate(1/(2*x), (x, 1, E))

1/2

5.3.9 Ejercicios

E. 5.3.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\,dx$
b)

$\displaystyle\int x^{-2}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\sqrt{x}\,dx$
d)

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

a) $\displaystyle x+C$ ; b) $\displaystyle-\frac{1}{x}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{2}{3}x^{3/2}+C$ ; d) $\displaystyle 2x^{1/2}+C$

E. 5.3.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 1+x^{-2}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x-\frac{1}{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int 2x^{3}-3x^{2}+1\,dx$

a) $\displaystyle x-\frac{1}{x}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{x^{2}}{2}-\ln|x|+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}x^{4}-x^{3}+x+C$

E. 5.3.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 2\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int 1-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$

a) $\displaystyle 2\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C$ ; b) $\displaystyle x+\cos(x)+C$

E. 5.3.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{e}^{2e}x^{-1}\,dx$

a) $0$ ; b) $\ln(2)$ ;

E. 5.3.5.

Calcule

1.

$\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}-2x^{3}\,dx$
2.

$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{x}}\,dx$

a) $\displaystyle-\frac{1}{6}$ ; b) $\displaystyle\frac{10}{3}\sqrt{2}-\frac{8}{3}$ ;

E. 5.3.6.

Cálcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(x)-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$

a) $1$ ; b) $1$ ; c) $-2$

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Cálculo I

5.3 Reglas básicas de integración

5.3.1 Integral de función potencia

Ejemplo 5.3.1.

Ejemplo 5.3.2.

5.3.2 Regla de la multiplicación por constante

Ejemplo 5.3.3.

5.3.3 Regla de suma o resta

Ejemplo 5.3.4.

Ejemplo 5.3.5.

5.3.4 Integral de $x^{-1}$

Ejemplo 5.3.6.

5.3.5 Integral de la función exponencial natural

Ejemplo 5.3.7.

5.3.6 Integrales de funciones trigonométricas

Ejemplo 5.3.8.

Ejemplo 5.3.9.

5.3.7 Lista de integrales

5.3.8 Ejercicios resueltos

ER 5.3.1.

Resolución.

ER 5.3.2.

Resolución.

5.3.9 Ejercicios

E. 5.3.1.

E. 5.3.2.

E. 5.3.3.

E. 5.3.4.

E. 5.3.5.

E. 5.3.6.

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	$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}\,dx=\int x^{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}\,dx$		(5.122)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}}{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-2}+1}+C$		(5.123)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}+C.$		(5.124)

	$\displaystyle\int 2x\,dx=2\int x\,dx$		(5.133)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)$		(5.134)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+2C$		(5.135)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}+C.$		(5.136)

	$\displaystyle\int\frac{1}{3}\sqrt{x}\,dx=\frac{1}{3}\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$		(5.137)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$		(5.138)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$		(5.139)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{9}\sqrt{x^{3}}+C.$		(5.140)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}-x^{2}\,dx=-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$		(5.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{1}$		(5.142)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left(\frac{1}{3}-\frac{0}{3}\right)$		(5.143)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(5.144)

	$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}1}% \,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int x% \,dx}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int dx}$		(5.148)
	$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{x^{2}}{2}+C_{1}}+{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x+C_{2}}$		(5.149)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}+x+C.$		(5.150)

	$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\sqrt{x}}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}x}\,dx={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int x^{\frac{1}{2}}\,dx}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\int x\,dx}$		(5.151)
	$\displaystyle\text{}\qquad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}}}-{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}\frac{x^{2}}{2}}+C.$		(5.152)

	$\displaystyle\int e^{2+x}\,dx=\int e^{2}e^{x}\,dx$		(5.175)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}\int e^{x}\,dx$		(5.176)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2}e^{x}+C$		(5.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{2+x}+C.$		(5.178)

	$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}e^{x}\,dx=\left.e^{x}\right\|_{0}^{\ln 2}$		(5.179)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{\ln 2}-e^{0}$		(5.180)
	$\displaystyle\text{}\quad=2-1$		(5.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=1.$		(5.182)

	$\displaystyle\int 2\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=2\int\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$		(5.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\cos(x)+C$		(5.186)

	$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=% \left.-\cos(x)\right\|_{-\pi}^{\pi}$		(5.187)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi)-[-\cos(-\pi)]$		(5.188)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-1=0$		(5.189)

	$\displaystyle\int\frac{1}{2}\cos(x)\,dx=\frac{1}{2}\int\cos(x)\,dx$		(5.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C.$		(5.193)

	$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x)\,dx=\left.\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x)\right\|_{-\pi}^{\pi}$		(5.195)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi)-\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(-\pi)$		(5.196)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(5.197)

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

5.3 Reglas básicas de integración

5.3.1 Integral de función potencia

Ejemplo 5.3.1.

Ejemplo 5.3.2.

5.3.2 Regla de la multiplicación por constante

Ejemplo 5.3.3.

5.3.3 Regla de suma o resta

Ejemplo 5.3.4.

Ejemplo 5.3.5.

5.3.4 Integral de x−1

Ejemplo 5.3.6.

5.3.5 Integral de la función exponencial natural

Ejemplo 5.3.7.

5.3.6 Integrales de funciones trigonométricas

Ejemplo 5.3.8.

Ejemplo 5.3.9.

5.3.7 Lista de integrales

5.3.8 Ejercicios resueltos

ER 5.3.1.

Resolución.

ER 5.3.2.

Resolución.

5.3.9 Ejercicios

E. 5.3.1.

E. 5.3.2.

E. 5.3.3.

E. 5.3.4.

E. 5.3.5.

E. 5.3.6.

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5.3.4 Integral de $x^{-1}$