Cálculo I

5 Integração 5.1 Noção de integral 5.3 Regras básicas de integração

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5.2 Propriedades de integração

Na Seção 5.1, vimos que a integral definida de uma dada função $f$ em um intervalo $[a,b]$ está associada à área (líquida) entre seu gráfico e as retas $y=0$ , $x=a$ e $x=b$ . Consultemos a Figura 5.2.

Com base nesta noção geométrica, podemos inferir as seguintes propriedades de integração para funções integráveis $f$ e $g$ :

a)

Integral degenerada

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{a}f% (x)\,dx=0$ (5.26)
b)

Multiplicação por escalar

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}k% \cdot f(x)\,dx=k\cdot\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ (5.27)
c)

Soma/subtração

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}% \left[f(x)\pm g(x)\right]\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx\pm\int_{a}^{b}g(x)\,dx$ (5.28)
d)

Sobreposição/concatenação de intervalos

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx=\int_{a}^{c}f(x)\,dx+\int_{c}^{b}f(x)\,dx$ (5.29)
e)

Cotas inferior e superior

$\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\min_{x\in[a,% b]}\{f(x)\}\cdot(b-a)\leq\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\max_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\cdot% (b-a)$ (5.30)

Exemplo 5.2.1.

Sejam $f$ e $g$ funções integráveis tais que

	$\displaystyle\int_{-1}^{4}f(x)\,dx=2,$		(5.31)
	$\displaystyle\int_{4}^{5}f(x)\,dx=3,$		(5.32)
	$\displaystyle\int_{-1}^{4}g(x)\,dx=-1.$		(5.33)

Então, vejamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int_{4}^{-1}g(x)\,dx=-\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (5.34)

$\displaystyle\text{}\quad=-(-1)=1.$ (5.35)
b)

$\int_{-1}^{-1}4f(x)\,dx=0.$ (5.36)
c)

$\displaystyle\int_{-1}^{4}-2g(x)\,dx=-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (5.37)

$\displaystyle\text{}\quad=2.$ (5.38)
d)

$\displaystyle\int_{-1}^{4}\left[f(x)-2g(x)\right]\,dx=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx-% \int_{-1}^{4}2g(x)\,dx$ (5.39)

$\displaystyle\text{}\quad=2-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$ (5.40)

$\displaystyle\text{}\quad=2+2=4.$ (5.41)
e)

$\displaystyle\int_{-1}^{5}f(x)\,dx=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx+\int_{4}^{5}f(x)\,dx$ (5.42)

$\displaystyle\text{}\quad=2+3=5.$ (5.43)

Exemplo 5.2.2.

Lembrando que $-1\leq\operatorname{sen}x\leq 1$ , temos da propriedade e) acima que

	$\displaystyle 2\pi\min_{x\in[-\pi,\pi]}\{\operatorname{sen}(x)\}\leq\int_{-\pi% }^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx\leq 2\pi\max_{x\in[\nobreak\hskip 0.0pt% \nobreak\hskip 0.0ptpi,\pi]}\{\operatorname{sen}(x)\}$		(5.44)
	$\displaystyle-2\pi\leq\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx\leq 2\pi.$		(5.45)

5.2.1 Teorema do valor médio

Com base na noção de integral, define-se a média de uma função $f$ no intervalo $[a,b]$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{1}{b-a}% \int_{a}^{b}f(x)\,dx,

(5.46)

no caso de $f$ ser integrável neste intervalo.

Teorema 5.2.1.(Teorema do valor médio para integrais)

Se $f$ for contínua em $[a,b]$ , então existe $c\in[a,b]$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f(c)=\frac{1}% {b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(5.47)

Demonstração.

Vejamos uma ideia da demonstração. Da propriedade de integração e) acima, temos

\min_{x\in[a,b]}\{f(x)\}\leq\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx\leq\max_{x\in[a,% b]}\{f(x)\}.

(5.48)

Agora, pelo teorema do valor intermediário (Teorema 2.6.1), temos $f$ assume todos os valores entre seus valores mínimo e máximo. Logo, existe $c\in[a,b]$ tal que

f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx.

(5.49)

∎

Exemplo 5.2.3.

Seja $f$ uma função contínua em $[a,b]$ , $a\neq b$ , e

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=0,

(5.50)

então $f$ possui pelo menos um zero neste intervalo. De fato, do teorema do valor médio para integrais, temos que existe $c\in[a,b]$ tal que

	$\displaystyle f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)\,dx$		(5.51)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{b-a}\cdot 0=0.$		(5.52)

5.2.2 Teorema fundamental do cálculo, parte I

Seja $f$ uma função integrável e $F$ a função definida por

F(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt,

(5.53)

para algum número real $a$ dado.

Teorema 5.2.2.(Teorema fundamental do cálculo, parte I)

Se $f$ é contínua em $[a,b]$ , então é contínua em $[a,b]$ e diferenciável em $(a,b)$ a função

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}F(x)=\int_{a}% ^{x}f(t)\,dt

(5.54)

sendo

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}F^{\prime}(x)% =\frac{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\,dt=f(x).

(5.55)

Demonstração.

Vejamos a ideia da demonstração. Da definição de derivada, temos

	$\displaystyle F^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{F(x+h)-F(x)}{h}$		(5.56)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\left[\int_{a}^{x+h}f(x)\,dx% -\int_{a}^{x}f(x)\,dx\right]$		(5.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx.$		(5.58)

Agora, do teorema do valor médio para integrais (Teorema 5.2.1), temos que existe $c_{h}\in[x,x+h]$ tal que

	$\displaystyle f(c_{h})=\frac{1}{x+h-x}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx$		(5.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx.$		(5.60)

Notemos que $c_{h}\to x$ quando $h\to 0$ e, portanto, temos

	$\displaystyle F^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{1}{h}\int_{x}^{x+h}f(x)\,dx$		(5.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}f(c_{h})$		(5.62)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(x).$		(5.63)

∎

Exemplo 5.2.4.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\frac{d}{dx}\int_{1}^{x}t^{2}\,dt=x^{2}.$ (5.64)

Código 44: Python

⬇

1import sympy as sym

2from sympy.abc import x,t

3sym.diff(sym.integrate(t**2, (t, 1, x)))

⬇

x**2
b)

$\frac{d}{dx}\int_{0}^{x}\operatorname{sen}(t)\,dt=\operatorname{sen}(x)$ (5.65)

5.2.3 Integral indefinida

A parte I do teorema fundamental do cálculo (Teorema 5.2.2), mostra que a integral de uma função $f$ (contínua) é uma função $F$ tal que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}F^{\prime}(x)% =f(x).

(5.66)

Dizemos que $F$ é uma primitiva da função $f$ .

Observamos que se $F$ é uma primitiva de $f$ , então

G(x)=F(x)+C

(5.67)

também é primitiva de $f$ para qualquer constante $C$ , i.e.

	$\displaystyle G^{\prime}(x)=(F(x)+C)^{\prime}$		(5.68)
	$\displaystyle\text{}\quad=F^{\prime}(x)+(C)^{\prime}$		(5.69)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(x)+0$		(5.70)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(x).$		(5.71)

Mais ainda, do Corolário 4.3.2 do teorema do valor médio para derivadas, temos que quaisquer duas primitivas de uma mesma função diferem-se apenas uma constante.

Com isso, definimos a integral indefinida de $f$ em relação a $x$ por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int f(x)\,dx% =F(x)+C,

(5.72)

onde $F$ é qualquer primitiva de $f$ e $C$ uma constante indeterminada.

Exemplo 5.2.5.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int\,dx=x+C$

Código 45: Python

⬇

1from sympy import Symbol, integrate

2x = Symbol('x')

3integrate(1, x)

⬇

x
b)

$\displaystyle\int 2x\,dx=x^{2}+C$
c)

$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x)+C$
d)

$\displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$

5.2.4 Teorema fundamental do cálculo, parte II

Teorema 5.2.3.(Teorema fundamental do cálculo, parte II)

Se $f$ é contínua em $[a,b]$ e $F$ é qualquer primitiva de $f$ , então

\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a).

(5.73)

Demonstração.

Vejamos a ideia da demonstração. A parte I do teorema fundamental do cálculo (Teorema 5.2.2), nos garante a existência de

G(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt.

(5.74)

Seja, então, $F$ uma primitiva qualquer de $f$ . Logo,

	$\displaystyle F(b)-F(a)=[G(b)+C]-[G(a)+C]$		(5.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=G(b)-G(a)$		(5.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}f(t)\,dx-\int_{a}^{a}f(t)\,dt$		(5.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{a}^{b}f(t)\,dx.$		(5.78)

∎

Exemplo 5.2.6.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}\,dx=\left.x\right|_{0}^{1}$ (5.79)

$\displaystyle\text{}\quad=1-0=1$ (5.80)

Código 46: Python

⬇

1from sympy import Symbol, integrate

2x = Symbol('x')

3integrate(1, (x, 0, 1))

⬇

1
b)

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right|_{0}^{1}$ (5.81)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}$ (5.82)
c)

$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=\left.% \operatorname{sen}(x)\right|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$ (5.83)

$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)-% \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)$ (5.84)

$\displaystyle\text{}\quad=2$ (5.85)

Observação 5.2.1.(Permutação dos limites de integração)

Do teorema fundamental do cálculo, parte II, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}f% (x)\,dx=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx.

(5.86)

Ou seja, o valor da integral definida muda de sinal ao permutarmos seus limites de integração. De fato, se $F$ é uma primitiva de $f$ , então

	$\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$		(5.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[F(a)-F(b)\right]$		(5.88)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\int_{b}^{a}f(x)\,dx.$		(5.89)

Exemplo 5.2.7.

Temos que

\int_{0}^{1}dx=\left.x\right|_{0}^{1}=1-0=1.

(5.90)

Agora,

\int_{1}^{0}dx=\left.x\right|_{1}^{0}=0-1=-1.

(5.91)

Conforme esperado, temos

\int_{0}^{1}dx=-\int_{1}^{0}dx.

(5.92)

5.2.5 Exercícios resolvidos

ER 5.2.1.

Calcule

\int_{1}^{\sqrt{e}}x-\frac{1}{x}\,dx.

(5.93)

Resolução.

Primeiramente, notemos que

	$\displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C,$		(5.94)
	$\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x+C.$		(5.95)

Então, usando as propriedades de integração, temos

	$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{e}}x-\frac{1}{x}\,dx=\int_{1}^{\sqrt{e}}x\,dx-% \int_{1}^{\sqrt{e}}\frac{1}{x}\,dx$		(5.96)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{1}^{\sqrt{e}}-\left[% \ln x\right]_{1}^{\sqrt{e}}$		(5.97)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[\frac{(\sqrt{e})^{2}}{2}-\frac{1}{2}\right]-% \left[\ln\sqrt{e}-\ln 1\right]$		(5.98)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e}{2}-\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\ln(e)-0$		(5.99)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e}{2}-1.$		(5.100)

Código 47: Python

⬇

1from sympy import Symbol, integrate, E, sqrt

2x = Symbol('x')

3integrate((x - 1/x), (x,1,sqrt(E)))

-e/2 + 1

ER 5.2.2.(Aplicação: cálculo de área)

Calcule a área entre o gráfico de $f(x)=\operatorname{sen}(x)$ e as retas $y=0$ , $x=-\pi/2$ e $x=\pi/2$ .

Resolução.

Lembrando que a integral definida está associada a área sob o gráfico do integrando, temos que a área desejada pode ser calculada por

A=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\operatorname{sen}(x)\,dx+\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}% \operatorname{sen}(x)\,dx,

(5.101)

pois $\operatorname{sen}(x)<0$ para $x\in(-\pi/2,0)$ e $\operatorname{sen}(x)>0$ para $x\in(0,\pi/2)$ . Também, observamos que

\int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C.

(5.102)

Logo, do teorema fundamental do cálculo segue que

	$\displaystyle A=-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{0}\operatorname{sen}(x)\,dx+\int_{0}^{% \frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(x)\,dx$		(5.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\left[-\cos(x)\right]_{-\frac{\pi}{2}}^{0}+\left[-% \cos(x)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$		(5.104)
	$\displaystyle\text{}\quad=-[-1-0]+[-0-(-1)]=2.$		(5.105)

Código 48: Python

⬇

1from sympy import Symbol, integrate, sin, pi

2x = Symbol('x')

3A = -integrate(sin(x), (x,-pi/2,0))

4A += integrate(sin(x), (x,0,pi/2))

ER 5.2.3.(Aplicação: problema de valor inicial)

Encontre a função $y=y(x)$ tal que

\frac{dy}{dx}=x,

(5.106)

e $y(0)=1$ .

Resolução.

Integrando ambos os lados da equação diferencial em relação a $x$ , temos

	$\displaystyle\int\frac{dy}{dx}\,dx=\int x\,dx$		(5.107)
	$\displaystyle y=\frac{x^{2}}{2}+C$		(5.108)

Agora, da condição $y(0)=1$ , segue

	$\displaystyle y(0)=1$		(5.110)
	$\displaystyle\frac{0^{2}}{2}+C=1$		(5.111)
	$\displaystyle C=1.$		(5.112)

Concluímos que $y=x^{2}/2+1$ . Verifique!

5.2.6 Exercícios

E. 5.2.1.

Sejam $f$ e $g$ tais que

	$\displaystyle\int_{-2}^{0}f(x)\,dx=-2,$		(5.113)
	$\displaystyle\int_{-1}^{0}f(x)\,dx=\frac{1}{2},$		(5.114)
	$\displaystyle\int_{-2}^{0}g(x)\,dx=1.$		(5.115)

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{-1}f(x)-51\cdot g(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-2}^{0}2g(x)-\frac{1}{2}f(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{-2}^{-1}f(x)\,dx$

a) $0$ ; b) $3$ ; c) $-5/2$

E. 5.2.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{2}2\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-3}^{-1}1-x\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{2}{x}\,dx$

a) $6$ ; b) $6$ ; c) $2$

E. 5.2.3.

Calcule a área entre o gráfico de $f(x)=x^{2}-1$ e as retas $y=0$ , $x=0$ e $x=2$ .

$4/3$

E. 5.2.4.

Calcule as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$

a) $\operatorname{sen}(x)+C$ ; b) $1$

E. 5.2.5.

Encontre a função $y=y(x)$ tal que

\frac{dy}{dx}=\cos(x),

(5.116)

e $y(\pi)=1$ .

$y=\operatorname{sen}(x)+1$

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Cálculo I

5.2 Propriedades de integração

Exemplo 5.2.1.

Exemplo 5.2.2.

5.2.1 Teorema do valor médio

Teorema 5.2.1.(Teorema do valor médio para integrais)

Demonstração.

Exemplo 5.2.3.

5.2.2 Teorema fundamental do cálculo, parte I

Teorema 5.2.2.(Teorema fundamental do cálculo, parte I)

Demonstração.

Exemplo 5.2.4.

5.2.3 Integral indefinida

Exemplo 5.2.5.

5.2.4 Teorema fundamental do cálculo, parte II

Teorema 5.2.3.(Teorema fundamental do cálculo, parte II)

Demonstração.

Exemplo 5.2.6.

Observação 5.2.1.(Permutação dos limites de integração)

Exemplo 5.2.7.

5.2.5 Exercícios resolvidos

ER 5.2.1.

Resolução.

ER 5.2.2.(Aplicação: cálculo de área)

Resolução.

ER 5.2.3.(Aplicação: problema de valor inicial)

Resolução.

5.2.6 Exercícios

E. 5.2.1.

E. 5.2.2.

E. 5.2.3.

E. 5.2.4.

E. 5.2.5.

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	$\displaystyle\int_{4}^{-1}g(x)\,dx=-\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$		(5.34)
	$\displaystyle\text{}\quad=-(-1)=1.$		(5.35)

	$\displaystyle\int_{-1}^{4}-2g(x)\,dx=-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$		(5.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=2.$		(5.38)

	$\displaystyle\int_{-1}^{4}\left[f(x)-2g(x)\right]\,dx=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx-% \int_{-1}^{4}2g(x)\,dx$		(5.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=2-2\int_{-1}^{4}g(x)\,dx$		(5.40)
	$\displaystyle\text{}\quad=2+2=4.$		(5.41)

	$\displaystyle\int_{-1}^{5}f(x)\,dx=\int_{-1}^{4}f(x)\,dx+\int_{4}^{5}f(x)\,dx$		(5.42)
	$\displaystyle\text{}\quad=2+3=5.$		(5.43)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}\,dx=\left.x\right\|_{0}^{1}$		(5.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=1-0=1$		(5.80)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x\,dx=\left.\frac{x^{2}}{2}\right\|_{0}^{1}$		(5.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1^{2}}{2}-\frac{0^{2}}{2}=\frac{1}{2}$		(5.82)

	$\displaystyle\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx=\left.% \operatorname{sen}(x)\right\|_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}$		(5.83)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}\left(\frac{\pi}{2}\right)-% \operatorname{sen}\left(-\frac{\pi}{2}\right)$		(5.84)
	$\displaystyle\text{}\quad=2$		(5.85)