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3 Produtos 3.5 Propriedades do Produto Vetorial Referências

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3.6 Produto Misto

Em revisão

O produto misto de três vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ , nesta ordem, é definido por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]:=\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}}.

(3.278)

Em coordenadas, temos

	$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]:=(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}$		(3.279)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}\cdot\vec{w}$		(3.280)
	$\displaystyle=\left(\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\ v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\ v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\ v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}\vec{k}\right)\cdot(w_{1},w_{2},w_{3})$		(3.281)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\ v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}w_{1}-\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\ v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}w_{2}+\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\ v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}w_{3}$		(3.282)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}w_{1}&w_{2}&w_{3}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}$		(3.283)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$		(3.284)

Ou seja, temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]=\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}}

(3.285)

Exemplo 3.6.1.

Dados os vetores $\vec{u}=(1,-1,0)$ , $\vec{v}=(1,0,2)$ e $\vec{w}=(1,-1,1)$ , temos

$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$	(3.286)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}1&-1&0\\ 1&0&2\\ 1&-1&1\end{vmatrix}$	(3.287)
	$\displaystyle=1$	(3.288)

3.6.1 Interpretação Geométrica

Seja $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ uma sequência de vetores l.i. e com orientação positiva. Assumindo as representações $\vec{u}=\overrightarrow{AB}$ , $\vec{v}=\overrightarrow{AD}$ e $\vec{w}=\overrightarrow{AH}$ temos a determinação de um paralelepípedo (consulte a Figura 3.5).

Refer to caption — Figura 3.5: Interpretação geométrica do produto misto.

A base do paralelepípedo é o paralelogramo $A B C D$ de área $\|\vec{u}\times\vec{v}\|$ . Assim sendo, o volume do paralelepípedo é

V=\|\vec{u}\times\vec{v}\|\cdot h,

(3.289)

onde $h$ é a altura do prisma. Por sua vez,

$\displaystyle h$	$\displaystyle=\left\\|\operatorname{proj}_{\vec{u}\times\vec{v}}\vec{w}\right\\|$	(3.290)
	$\displaystyle=\left\\|\frac{\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})}{\\|\vec{u}\times% \vec{v}\\|^{2}}\vec{u}\times\vec{v}\right\\|$	(3.291)
	$\displaystyle=\frac{\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\right\|}{\\|\vec{u}% \times\vec{v}\\|^{2}}\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|$	(3.292)
	$\displaystyle=\frac{\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\right\|}{\\|\vec{u}% \times\vec{v}\\|}$	(3.293)

Logo, retornando a (3.289), obtemos

$\displaystyle V$	$\displaystyle=\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|\cdot h$	(3.294)
	$\displaystyle=\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|\cdot\frac{\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}% \times\vec{v})\right\|}{\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|}$	(3.295)
	$\displaystyle=\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\right\|$	(3.296)
	$\displaystyle=\left\|\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}\right\|.$	(3.297)

Ou seja, o volume do paralelepípedo formado pelos vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ é igual a norma do produto misto destes vetores, i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}V=\left|[% \vec{u},\vec{v},\vec{w}]\right|}.

(3.298)

Exemplo 3.6.2.

Vamos calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $\vec{u}=(1,1,0)$ , $\vec{v}=(-1,2,0)$ e $\vec{w}=(0,1,1)$ . De (3.298), temos

	$\displaystyle V=\left\|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\right\|$		(3.299)
	$\displaystyle=\left\|\begin{vmatrix}1&1&0\\ -1&2&0\\ 0&1&1\end{vmatrix}\right\|$		(3.300)
	$\displaystyle=\|3\|=3.$		(3.301)

3.6.2 Propriedades

Valem as seguintes propriedades:

a)

$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]$

Demonstração. De fato, quando permutamos duas linhas em uma matriz, seu determinante troca de sinal.
b)

$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]$

Demonstração. Mesmo argumento da letra a).
c)

$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{w},\vec{u},\vec{v}]=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]$

Demonstração. De fato, cada caso acima corresponde a duas consecutivas permutações de linha na matriz associada ao produto misto.
d)

$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{v}% \times\vec{w}$

Demonstração. Isto segue de c), i.e.

$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ $\displaystyle=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]$ (3.302)

$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}$ $\displaystyle=\vec{v}\times\vec{w}\cdot\vec{u}$ (3.303)

$\displaystyle=\vec{u}\cdot\vec{v}\times\vec{w}.$ (3.304)
e)

$[\alpha\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\alpha\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{% v},\alpha\vec{w}]=\alpha[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$

Determinação. De fato, ao multiplicarmos uma linha de uma matriz por um escalar $\alpha$ , seu determinante fica multiplicado por $\alpha$ .
f)

$[\vec{u}+\vec{z},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{z},\vec{v},% \vec{w}]$

Determinante. Também segue da propriedade análoga do determinante de matrizes.

Exemplo 3.6.3.

Sabendo que $[\vec{u},2\vec{w},\vec{v}]=2$ , vamos calcular $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ . Do item e) acima, temos

	$\displaystyle 2$	$\displaystyle=[\vec{u},2\vec{w},\vec{v}]$		(3.305)
		$\displaystyle=2[\vec{u},\vec{w},\vec{v}],$		(3.306)

donde

[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]=1.

(3.307)

Agora, do item b), temos

[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]=-[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

(3.308)

Ou seja, concluímos que $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-1$ .

Também, temos as seguinte propriedades envolvendo o produto misto:

a)

Se ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]=0}$ , então ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u},% \vec{v},\vec{w})}$ não é base.

Demonstração. Seja $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0$ , i.e. $\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}=0$ . No caso de um dos vetores serem nulos, então $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ não é base. Suponhamos, então, que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são vetores não nulos. Isso implica que $\vec{u}\times\vec{v}=0$ ou $(\vec{u}\times\vec{v})\perp\vec{w}$ . No primeiro caso, $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d. e, portanto, $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ não é base. No segundo caso, $(\vec{u}\times\vec{v})\perp\vec{w}$ , temos que $\vec{w}$ é coplanar aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , logo $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ não é base.
b)

Se ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]>0}$ , então ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u},% \vec{v},\vec{w})}$ é uma base positiva.

Demonstração. Se $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]>0$ , implica que o ângulo entre $\vec{u}\times\vec{v}$ e $\vec{w}$ é agudo, o que garante que $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ seja uma base positiva.
c)

Se ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]<0}$ , então ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u},% \vec{v},\vec{w})}$ é uma base negativa.

Demonstração. Se $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]<0$ , implica que o ângulo entre $\vec{u}\times\vec{v}$ e $\vec{w}$ é obtuso, o que garante que $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ seja uma base negativa.

3.6.3 Exercícios Resolvidos

ER 3.6.1.

Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores $\vec{v}=(1,0,-2)$ , $\vec{w}=(1,-2,1)$ e $\vec{u}=(0,2,1)$ .

Solução 0.

Da Subseção 3.6.1, temos que o volume do paralelogramo é

V=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|,

(3.309)

não importando a ordem dos vetores¹⁹¹⁹endnote: ¹⁹A ordem dos vetores não altera o módulo do valor do produto misto.. Assim sendo, temos

	$\displaystyle V=\|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\|$		(3.310)
	$\displaystyle=\left\|\begin{vmatrix}0&2&1\\ 1&0&-2\\ 1&-2&1\end{vmatrix}\right\|$		(3.311)
	$\displaystyle=\|-8\|=8.$		(3.312)

ER 3.6.2.

Sejam $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ vetores dados. Verifique a seguinte afirmação:

[\vec{u},\vec{v}+\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}],

(3.313)

onde $\alpha$ e $\beta$ são quaisquer escalares.

Solução 0.

Das propriedades do produto misto²⁰²⁰endnote: ²⁰ $[\vec{u},\vec{v}+\vec{z},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\vec{z},% \vec{w}]$ ., temos

	$\displaystyle[\vec{u},\vec{v}+\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]$		(3.314)
	$\displaystyle=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},% \vec{w}].$		(3.315)

Agora, observamos que $\alpha\vec{u}+\beta\vec{w}$ é combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , logo $(\vec{u},\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w})$ é l.d. e, portanto,

[\vec{u},\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]=0.

(3.316)

Concluímos que

[\vec{u},\vec{v}+\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

(3.317)

3.6.4 Exercícios

E. 3.6.1.

Calcule $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ sendo $\vec{u}=(-1,0,1)$ , $\vec{v}=(1,3,0)$ e $\vec{w}=(1,-2,-1)$ .

Resposta 0.

-2

E. 3.6.2.

Sejam $\vec{a}=(0,0,2)$ , $\vec{d}=(-1,1,1)$ e $\vec{e}=(1,1,1)$ . Calcule $[\vec{d},\vec{a},\vec{e}]$ .

Resposta 0.

$4$

E. 3.6.3.

Sendo $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=2$ , calcule $[2\vec{u},-3\vec{v},\vec{w}]$ .

Resposta 0.

$-12$

E. 3.6.4.

Sendo $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=2$ , calcule $[2\vec{u}-5\vec{w},-3\vec{v},\vec{w}]$ .

Resposta 0.

$-12$

E. 3.6.5.

Sejam $\vec{u}=(0,x,2)$ , $\vec{v}=(-1,1,1)$ e $\vec{w}=(1,1,1)$ . Calcule $x$ de forma que $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=2$ .

Resposta 0.

$3$

Notas

1 Em aplicações, o comprimento é medido em unidades de comprimento, metro $(m)$ , no sistema internacional de unidades (SI).
2 Consulte a Seção 1.1 para a definição de classe de equipolência.
3 Mais precisamente, uma classe de ângulos congruentes
4 Dois polígonos são congruentes, quando seus lados e ângulos correspondentes têm a mesma medida.
5 Por definição, $|\alpha|=\alpha$ para $\alpha\geq 0$ , e $|\alpha|=-\alpha$ para $\alpha<0$ .
6 $\vec{u}/|\vec{u}|$ é chamado de vetor $\vec{u}$ normalizado, ou a normalização do vetor $\vec{u}$ .
7 No espaço euclidiano tridimensional.
8 Pela definição de vetores linearmente independentes, consulte Seção 2.2.
9 Formalmente, pode ocorrer $\vec{v}=\beta\vec{u}$ .
10 Neste caso, a solução trivial $\alpha=\beta=\gamma=0$
11 Quando $\vec{u}$ ortogonal a $\vec{v}$ , denotamos $\vec{u}\perp\vec{v}$ .
12 Pitágoras de Samos, c.570, c. 495 a.C., matemático grego jônico. Fonte: Wikipédia:Pitágoras.
13 $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ é l.i., $|\vec{i}|=1$ , $|\vec{j}|=1$ , $|\vec{k}|=1$ e dois a dois ortogonais. Veja Subseção .
14 Augustin-Louis Cauchy, 1798-1857, matemático francês. Fonte: Wikipeida. Hermann Schwarz, 1843-1921, matemático alemão. Fonte: Wikipedia.
15 $\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$ é um vetor múltiplo por escalar de $\vec{v}$ .
16 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ou $\vec{k}$ .
17 Observamos que $\vec{u}$ também é vetor normal unitário aos vetores $\alpha\vec{u}$ e $\vec{v}$ .
18 Consulte a regra do paralelogramo na Subseção .
19 A ordem dos vetores não altera o módulo do valor do produto misto.
20 $[\vec{u},\vec{v}+\vec{z},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\vec{z},% \vec{w}]$ .

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3 Produtos 3.5 Propriedades do Produto Vetorial Referências

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3.6 Produto Misto

Em revisão

O produto misto de três vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ , nesta ordem, é definido por

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]:=\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}}.

(3.278)

Em coordenadas, temos

	$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]:=(\vec{u}\times\vec{v})\cdot\vec{w}$		(3.279)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}\vec{i}&\vec{j}&\vec{k}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}\cdot\vec{w}$		(3.280)
	$\displaystyle=\left(\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\ v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{i}-\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\ v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}\vec{j}+\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\ v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}\vec{k}\right)\cdot(w_{1},w_{2},w_{3})$		(3.281)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}u_{2}&u_{3}\\ v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}w_{1}-\begin{vmatrix}u_{1}&u_{3}\\ v_{1}&v_{3}\end{vmatrix}w_{2}+\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}\\ v_{1}&v_{2}\end{vmatrix}w_{3}$		(3.282)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}w_{1}&w_{2}&w_{3}\\ u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\end{vmatrix}$		(3.283)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$		(3.284)

Ou seja, temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]=\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}}

(3.285)

Exemplo 3.6.1.

Dados os vetores $\vec{u}=(1,-1,0)$ , $\vec{v}=(1,0,2)$ e $\vec{w}=(1,-1,1)$ , temos

$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$	$\displaystyle=\begin{vmatrix}u_{1}&u_{2}&u_{3}\\ v_{1}&v_{2}&v_{3}\\ w_{1}&w_{2}&w_{3}\end{vmatrix}$	(3.286)
	$\displaystyle=\begin{vmatrix}1&-1&0\\ 1&0&2\\ 1&-1&1\end{vmatrix}$	(3.287)
	$\displaystyle=1$	(3.288)

3.6.1 Interpretação Geométrica

A base do paralelepípedo é o paralelogramo $A B C D$ de área $\|\vec{u}\times\vec{v}\|$ . Assim sendo, o volume do paralelepípedo é

V=\|\vec{u}\times\vec{v}\|\cdot h,

(3.289)

onde $h$ é a altura do prisma. Por sua vez,

$\displaystyle h$	$\displaystyle=\left\\|\operatorname{proj}_{\vec{u}\times\vec{v}}\vec{w}\right\\|$	(3.290)
	$\displaystyle=\left\\|\frac{\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})}{\\|\vec{u}\times% \vec{v}\\|^{2}}\vec{u}\times\vec{v}\right\\|$	(3.291)
	$\displaystyle=\frac{\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\right\|}{\\|\vec{u}% \times\vec{v}\\|^{2}}\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|$	(3.292)
	$\displaystyle=\frac{\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\right\|}{\\|\vec{u}% \times\vec{v}\\|}$	(3.293)

Logo, retornando a (3.289), obtemos

$\displaystyle V$	$\displaystyle=\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|\cdot h$	(3.294)
	$\displaystyle=\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|\cdot\frac{\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}% \times\vec{v})\right\|}{\\|\vec{u}\times\vec{v}\\|}$	(3.295)
	$\displaystyle=\left\|\vec{w}\cdot(\vec{u}\times\vec{v})\right\|$	(3.296)
	$\displaystyle=\left\|\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}\right\|.$	(3.297)

Ou seja, o volume do paralelepípedo formado pelos vetores $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ é igual a norma do produto misto destes vetores, i.e.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}V=\left|[% \vec{u},\vec{v},\vec{w}]\right|}.

(3.298)

Exemplo 3.6.2.

Vamos calcular o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores $\vec{u}=(1,1,0)$ , $\vec{v}=(-1,2,0)$ e $\vec{w}=(0,1,1)$ . De (3.298), temos

	$\displaystyle V=\left\|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\right\|$		(3.299)
	$\displaystyle=\left\|\begin{vmatrix}1&1&0\\ -1&2&0\\ 0&1&1\end{vmatrix}\right\|$		(3.300)
	$\displaystyle=\|3\|=3.$		(3.301)

3.6.2 Propriedades

Valem as seguintes propriedades:

a)

$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{v},\vec{u},\vec{w}]$

Demonstração. De fato, quando permutamos duas linhas em uma matriz, seu determinante troca de sinal.
b)

$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]$

Demonstração. Mesmo argumento da letra a).
c)

$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{w},\vec{u},\vec{v}]=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]$

Demonstração. De fato, cada caso acima corresponde a duas consecutivas permutações de linha na matriz associada ao produto misto.
d)

$[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}=\vec{u}\cdot\vec{v}% \times\vec{w}$

Demonstração. Isto segue de c), i.e.

$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ $\displaystyle=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]$ (3.302)

$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}$ $\displaystyle=\vec{v}\times\vec{w}\cdot\vec{u}$ (3.303)

$\displaystyle=\vec{u}\cdot\vec{v}\times\vec{w}.$ (3.304)
e)

$[\alpha\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\alpha\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{% v},\alpha\vec{w}]=\alpha[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$

Determinação. De fato, ao multiplicarmos uma linha de uma matriz por um escalar $\alpha$ , seu determinante fica multiplicado por $\alpha$ .
f)

$[\vec{u}+\vec{z},\vec{v},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{z},\vec{v},% \vec{w}]$

Determinante. Também segue da propriedade análoga do determinante de matrizes.

Exemplo 3.6.3.

Sabendo que $[\vec{u},2\vec{w},\vec{v}]=2$ , vamos calcular $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ . Do item e) acima, temos

	$\displaystyle 2$	$\displaystyle=[\vec{u},2\vec{w},\vec{v}]$		(3.305)
		$\displaystyle=2[\vec{u},\vec{w},\vec{v}],$		(3.306)

donde

[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]=1.

(3.307)

Agora, do item b), temos

[\vec{u},\vec{w},\vec{v}]=-[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

(3.308)

Ou seja, concluímos que $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=-1$ .

Também, temos as seguinte propriedades envolvendo o produto misto:

a)

Se ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]=0}$ , então ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u},% \vec{v},\vec{w})}$ não é base.

Demonstração. Seja $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=0$ , i.e. $\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}=0$ . No caso de um dos vetores serem nulos, então $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ não é base. Suponhamos, então, que $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ são vetores não nulos. Isso implica que $\vec{u}\times\vec{v}=0$ ou $(\vec{u}\times\vec{v})\perp\vec{w}$ . No primeiro caso, $\vec{u}$ e $\vec{v}$ são l.d. e, portanto, $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ não é base. No segundo caso, $(\vec{u}\times\vec{v})\perp\vec{w}$ , temos que $\vec{w}$ é coplanar aos vetores $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , logo $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ não é base.
b)

Se ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]>0}$ , então ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u},% \vec{v},\vec{w})}$ é uma base positiva.

Demonstração. Se $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]>0$ , implica que o ângulo entre $\vec{u}\times\vec{v}$ e $\vec{w}$ é agudo, o que garante que $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ seja uma base positiva.
c)

Se ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}[\vec{u},% \vec{v},\vec{w}]<0}$ , então ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(\vec{u},% \vec{v},\vec{w})}$ é uma base negativa.

Demonstração. Se $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]<0$ , implica que o ângulo entre $\vec{u}\times\vec{v}$ e $\vec{w}$ é obtuso, o que garante que $(\vec{u},\vec{v},\vec{w})$ seja uma base negativa.

3.6.3 Exercícios Resolvidos

ER 3.6.1.

Calcule a área do paralelogramo determinado pelos vetores $\vec{v}=(1,0,-2)$ , $\vec{w}=(1,-2,1)$ e $\vec{u}=(0,2,1)$ .

Solução 0.

Da Subseção 3.6.1, temos que o volume do paralelogramo é

V=|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]|,

(3.309)

não importando a ordem dos vetores¹⁹¹⁹endnote: ¹⁹A ordem dos vetores não altera o módulo do valor do produto misto.. Assim sendo, temos

	$\displaystyle V=\|[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]\|$		(3.310)
	$\displaystyle=\left\|\begin{vmatrix}0&2&1\\ 1&0&-2\\ 1&-2&1\end{vmatrix}\right\|$		(3.311)
	$\displaystyle=\|-8\|=8.$		(3.312)

ER 3.6.2.

Sejam $\vec{u}$ , $\vec{v}$ e $\vec{w}$ vetores dados. Verifique a seguinte afirmação:

[\vec{u},\vec{v}+\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}],

(3.313)

onde $\alpha$ e $\beta$ são quaisquer escalares.

Solução 0.

Das propriedades do produto misto²⁰²⁰endnote: ²⁰ $[\vec{u},\vec{v}+\vec{z},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\vec{z},% \vec{w}]$ ., temos

	$\displaystyle[\vec{u},\vec{v}+\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]$		(3.314)
	$\displaystyle=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},% \vec{w}].$		(3.315)

Agora, observamos que $\alpha\vec{u}+\beta\vec{w}$ é combinação linear de $\vec{u}$ e $\vec{v}$ , logo $(\vec{u},\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w})$ é l.d. e, portanto,

[\vec{u},\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]=0.

(3.316)

Concluímos que

[\vec{u},\vec{v}+\alpha\vec{u}+\beta\vec{w},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}].

(3.317)

3.6.4 Exercícios

E. 3.6.1.

Calcule $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$ sendo $\vec{u}=(-1,0,1)$ , $\vec{v}=(1,3,0)$ e $\vec{w}=(1,-2,-1)$ .

Resposta 0.

-2

E. 3.6.2.

Sejam $\vec{a}=(0,0,2)$ , $\vec{d}=(-1,1,1)$ e $\vec{e}=(1,1,1)$ . Calcule $[\vec{d},\vec{a},\vec{e}]$ .

Resposta 0.

$4$

E. 3.6.3.

Sendo $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=2$ , calcule $[2\vec{u},-3\vec{v},\vec{w}]$ .

Resposta 0.

$-12$

E. 3.6.4.

Sendo $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=2$ , calcule $[2\vec{u}-5\vec{w},-3\vec{v},\vec{w}]$ .

Resposta 0.

$-12$

E. 3.6.5.

Sejam $\vec{u}=(0,x,2)$ , $\vec{v}=(-1,1,1)$ e $\vec{w}=(1,1,1)$ . Calcule $x$ de forma que $[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]=2$ .

Resposta 0.

$3$

Notas

1 Em aplicações, o comprimento é medido em unidades de comprimento, metro $(m)$ , no sistema internacional de unidades (SI).
2 Consulte a Seção 1.1 para a definição de classe de equipolência.
3 Mais precisamente, uma classe de ângulos congruentes
4 Dois polígonos são congruentes, quando seus lados e ângulos correspondentes têm a mesma medida.
5 Por definição, $|\alpha|=\alpha$ para $\alpha\geq 0$ , e $|\alpha|=-\alpha$ para $\alpha<0$ .
6 $\vec{u}/|\vec{u}|$ é chamado de vetor $\vec{u}$ normalizado, ou a normalização do vetor $\vec{u}$ .
7 No espaço euclidiano tridimensional.
8 Pela definição de vetores linearmente independentes, consulte Seção 2.2.
9 Formalmente, pode ocorrer $\vec{v}=\beta\vec{u}$ .
10 Neste caso, a solução trivial $\alpha=\beta=\gamma=0$
11 Quando $\vec{u}$ ortogonal a $\vec{v}$ , denotamos $\vec{u}\perp\vec{v}$ .
12 Pitágoras de Samos, c.570, c. 495 a.C., matemático grego jônico. Fonte: Wikipédia:Pitágoras.
13 $(\vec{i},\vec{j},\vec{k})$ é l.i., $|\vec{i}|=1$ , $|\vec{j}|=1$ , $|\vec{k}|=1$ e dois a dois ortogonais. Veja Subseção .
14 Augustin-Louis Cauchy, 1798-1857, matemático francês. Fonte: Wikipeida. Hermann Schwarz, 1843-1921, matemático alemão. Fonte: Wikipedia.
15 $\operatorname{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$ é um vetor múltiplo por escalar de $\vec{v}$ .
16 $\vec{i}$ , $\vec{j}$ ou $\vec{k}$ .
17 Observamos que $\vec{u}$ também é vetor normal unitário aos vetores $\alpha\vec{u}$ e $\vec{v}$ .
18 Consulte a regra do paralelogramo na Subseção .
19 A ordem dos vetores não altera o módulo do valor do produto misto.
20 $[\vec{u},\vec{v}+\vec{z},\vec{w}]=[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]+[\vec{u},\vec{z},% \vec{w}]$ .

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Pedro H A Konzen

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$\displaystyle[\vec{u},\vec{v},\vec{w}]$	$\displaystyle=[\vec{v},\vec{w},\vec{u}]$	(3.302)
$\displaystyle\vec{u}\times\vec{v}\cdot\vec{w}$	$\displaystyle=\vec{v}\times\vec{w}\cdot\vec{u}$	(3.303)
	$\displaystyle=\vec{u}\cdot\vec{v}\times\vec{w}.$	(3.304)