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3.5 Propriedades do Produto Vetorial

Em revisão

Nesta seção, discutiremos sobre algumas propriedades do produto vetorial. Para tanto, sejam dados os vetores u=(u1,u2,u3), v=(v1,v2,v3), w=(w1,w2,w3) e o número real γ.

Da definição do produto vetorial, temos u(u×v) e v(u×v), logo

u(u×v)=0 (3.202)

e

v(u×v)=0. (3.203)
Exemplo 3.5.1.

Sejam u=(1,1,2), v=(2,1,2). Temos

u×v =|ijk112212| (3.204)
=(4,6,1) (3.205)

Segue, que

u(u×v) =(1,1,2)(4,6,1) (3.206)
=46+2 (3.207)
=0. (3.208)

Em relação à multiplicação por escalar, temos

γ(u×v) =(γu)×v (3.209)
=u×(γv). (3.210)

De fato,

(γu)×v =|ijkγu1γu2γu3v1v2v3| (3.211)
=γ|ijku1u2u3v1v2v3|=γ(u×v) (3.212)
=|ijku1u2u3γv1γv2γv3|=u×(γv) (3.213)
Exemplo 3.5.2.

Sejam u=(1,1,2) e v=(2,1,2). Temos

2(u×v) =2|ijk112212| (3.214)
=2(4,6,1) (3.215)
=(8,12,2) (3.216)
(2u)×v =|ijk224212| (3.217)
=(8,12,2) (3.218)
u×(2v) =|ijk112424| (3.219)
=(8,12,2) (3.220)

Também, vale a propriedade distributiva com a operação de soma, i.e.

u×(v+w)=u×v+u×w. (3.221)

De fato, temos

u×(v+w) (3.222)
=|ijku1u2u3v1+w1v2+w2u3+w3| (3.223)
=|ijku1u2u3v1v2v3|+|ijku1u2u3w1w2w3| (3.224)
=u×v+u×w. (3.225)
Exemplo 3.5.3.

Sejam u=(1,1,2), v=(2,1,2) e w=(0,1,1). Temos

u×(v+w) (3.226)
=u×[(2,1,2)+(0,1,1)]=(1,1,2)×(2,2,3) (3.227)
=|ijk112223| (3.228)
=(7,7,0) (3.229)
(u×v)+(u×w) (3.230)
=|ijk112212|+|ijk112011| (3.231)
=(4,6,1)+(3,1,1) (3.232)
=(7,7,0) (3.233)

Observamos que o produto vetorial não é comutativo, entretanto

u×v=v×u. (3.234)

De fato, temos

u×v (3.235)
=|ijku1u2u3v1v2v3| (3.236)
=|ijkv1v2v3u1u2u3| (3.237)
=v×u. (3.238)
Exemplo 3.5.4.

Sejam u=(1,1,2) e v=(2,1,2). Temos

u×v (3.239)
=|ijk112212| (3.240)
=(4,6,1) (3.241)
v×u (3.242)
=|ijk212112| (3.243)
=(4,6,1) (3.244)

Também, o produto vetorial não é associativo sendo (u×v)×w, em geral, é diferente de u×(v×w). Com efeito, temos

(i×i)×j =0, (3.245)
i×(i×j) =i×k=j. (3.246)

Por outro lado, suponhamos que u, v e w são l.i. e seja π um plano determinado por u e v. Então, u×v é ortogonal a π. Como (u×v)×w é ortogonal a u×v e a w, temos que (u×v)×w também pertence a π. Logo, u, v e (u×v)×w são l.d. e existem α e β tais que

(u×v)×w=αu+βv. (3.247)

Vamos determinar α e β. Para tanto, consideremos uma base ortonormal B=(i,j,k) tal que iu e jπ. Nesta base, temos

u =(u1,0,0) (3.248)
v =(v1,v2,0) (3.249)
w =(w1,w2,w3). (3.250)

Também, temos

u×v =|ijku100v1v20| (3.251)
=(0,0,u1v2) (3.252)

e

(u×v)×w =|ijk00u1v2w1w2w3| (3.253)
=(u1v2w2,u1v2w1,0). (3.254)

Daí, temos

(u1v2w2,u1v2w1,0)(u×v)×w=α(u1,0,0)+β(v1,v2,0)αu+βv, (3.255)

donde

αu1+βv1 =u1v2w2, (3.256)
βv2 =u1w1v2. (3.257)

Resolvendo para α e β, obtemos

α =v1w1v2w2=vw (3.258)
β =uw. (3.259)

Portanto, temos

(u×v)×w=(vw)u+(uw)v. (3.260)

Usando as identidades acima, obtemos

u×(v×w) =(v×w)×u (3.261)
=(wu)v(vu)w (3.262)
=(uw)v(uv)w (3.263)

ou seja,

u×(v×w)=(uw)v(uv)w. (3.264)

3.5.1 Exercícios Resolvidos

ER 3.5.1.

Sejam u=(3,2,1), v=(0,1,2) e w=(1,0,1). Calcule

(u×v)×w. (3.265)
Solução 0.

Seguindo a identidade (3.261), segue

(u×v)×w (3.266)
=(vw)u+(uw)v (3.267)
=(0+0+2)u+(3+01)v (3.268)
=2(3,2,1)+2(0,1,2) (3.269)
=(6,4,2)+(0,2,4) (3.270)
=(6,6,6) (3.271)
ER 3.5.2.

Sejam u=(2,x,1), v=(2,3,1) e w=(3,1,1). Calcule x tal que

v(u×w)=16. (3.272)
Solução 0.

Por cálculo direto, temos

v(u×w)=16 (3.273)
v|ijk2x1311|=16 (3.274)
(2,3,1)(x+1,5,3x2)=16 (3.275)
x19=16 (3.276)
x=3. (3.277)

3.5.2 Exercícios

E. 3.5.1.

Sejam u=(2,3,1) e v=(3,2,1). Calcule u(v×u). Se w é um vetor qualquer, forneça o valor de u(w×u). Justifique sua resposta.

Resposta 0.

u(v×u)=0; u(w×u)=0

E. 3.5.2.

Sabendo que u×v=(1,1,1), calcule u×(2v).

Resposta 0.

(2,2,2)

E. 3.5.3.

Sabendo que u×v=(1,1,1) e u×w=(1,1,1), calcule u×(v+w).

Resposta 0.

(0,0,0)

E. 3.5.4.

Sendo a=(3,1,2), b=(2,1,1), calcule (ak)(i×b).

Resposta 0.

(0,2,2)

E. 3.5.5.

Calcule w×(u×v), sendo u=(1,1,2), v=(0,1,1) e w=(1,0,1).

Resposta 0.

(1,0,1)


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u(u×v)=0 (3.202)

e

v(u×v)=0. (3.203)
Exemplo 3.5.1.

Sejam u=(1,1,2), v=(2,1,2). Temos

u×v =|ijk112212| (3.204)
=(4,6,1) (3.205)

Segue, que

u(u×v) =(1,1,2)(4,6,1) (3.206)
=46+2 (3.207)
=0. (3.208)

Em relação à multiplicação por escalar, temos

γ(u×v) =(γu)×v (3.209)
=u×(γv). (3.210)

De fato,

(γu)×v =|ijkγu1γu2γu3v1v2v3| (3.211)
=γ|ijku1u2u3v1v2v3|=γ(u×v) (3.212)
=|ijku1u2u3γv1γv2γv3|=u×(γv) (3.213)
Exemplo 3.5.2.

Sejam u=(1,1,2) e v=(2,1,2). Temos

2(u×v) =2|ijk112212| (3.214)
=2(4,6,1) (3.215)
=(8,12,2) (3.216)
(2u)×v =|ijk224212| (3.217)
=(8,12,2) (3.218)
u×(2v) =|ijk112424| (3.219)
=(8,12,2) (3.220)

Também, vale a propriedade distributiva com a operação de soma, i.e.

u×(v+w)=u×v+u×w. (3.221)

De fato, temos

u×(v+w) (3.222)
=|ijku1u2u3v1+w1v2+w2u3+w3| (3.223)
=|ijku1u2u3v1v2v3|+|ijku1u2u3w1w2w3| (3.224)
=u×v+u×w. (3.225)
Exemplo 3.5.3.

Sejam u=(1,1,2), v=(2,1,2) e w=(0,1,1). Temos

u×(v+w) (3.226)
=u×[(2,1,2)+(0,1,1)]=(1,1,2)×(2,2,3) (3.227)
=|ijk112223| (3.228)
=(7,7,0) (3.229)
(u×v)+(u×w) (3.230)
=|ijk112212|+|ijk112011| (3.231)
=(4,6,1)+(3,1,1) (3.232)
=(7,7,0) (3.233)

Observamos que o produto vetorial não é comutativo, entretanto

u×v=v×u. (3.234)

De fato, temos

u×v (3.235)
=|ijku1u2u3v1v2v3| (3.236)
=|ijkv1v2v3u1u2u3| (3.237)
=v×u. (3.238)
Exemplo 3.5.4.

Sejam u=(1,1,2) e v=(2,1,2). Temos

u×v (3.239)
=|ijk112212| (3.240)
=(4,6,1) (3.241)
v×u (3.242)
=|ijk212112| (3.243)
=(4,6,1) (3.244)

Também, o produto vetorial não é associativo sendo (u×v)×w, em geral, é diferente de u×(v×w). Com efeito, temos

(i×i)×j =0, (3.245)
i×(i×j) =i×k=j. (3.246)

Por outro lado, suponhamos que u, v e w são l.i. e seja π um plano determinado por u e v. Então, u×v é ortogonal a π. Como (u×v)×w é ortogonal a u×v e a w, temos que (u×v)×w também pertence a π. Logo, u, v e (u×v)×w são l.d. e existem α e β tais que

(u×v)×w=αu+βv. (3.247)

Vamos determinar α e β. Para tanto, consideremos uma base ortonormal B=(i,j,k) tal que iu e jπ. Nesta base, temos

u =(u1,0,0) (3.248)
v =(v1,v2,0) (3.249)
w =(w1,w2,w3). (3.250)

Também, temos

u×v =|ijku100v1v20| (3.251)
=(0,0,u1v2) (3.252)

e

(u×v)×w =|ijk00u1v2w1w2w3| (3.253)
=(u1v2w2,u1v2w1,0). (3.254)

Daí, temos

(u1v2w2,u1v2w1,0)(u×v)×w=α(u1,0,0)+β(v1,v2,0)αu+βv, (3.255)

donde

αu1+βv1 =u1v2w2, (3.256)
βv2 =u1w1v2. (3.257)

Resolvendo para α e β, obtemos

α =v1w1v2w2=vw (3.258)
β =uw. (3.259)

Portanto, temos

(u×v)×w=(vw)u+(uw)v. (3.260)

Usando as identidades acima, obtemos

u×(v×w) =(v×w)×u (3.261)
=(wu)v(vu)w (3.262)
=(uw)v(uv)w (3.263)

ou seja,

u×(v×w)=(uw)v(uv)w. (3.264)

3.5.1 Exercícios Resolvidos

ER 3.5.1.

Sejam u=(3,2,1), v=(0,1,2) e w=(1,0,1). Calcule

(u×v)×w. (3.265)
Solução 0.

Seguindo a identidade (3.261), segue

(u×v)×w (3.266)
=(vw)u+(uw)v (3.267)
=(0+0+2)u+(3+01)v (3.268)
=2(3,2,1)+2(0,1,2) (3.269)
=(6,4,2)+(0,2,4) (3.270)
=(6,6,6) (3.271)
ER 3.5.2.

Sejam u=(2,x,1), v=(2,3,1) e w=(3,1,1). Calcule x tal que

v(u×w)=16. (3.272)
Solução 0.

Por cálculo direto, temos

v(u×w)=16 (3.273)
v|ijk2x1311|=16 (3.274)
(2,3,1)(x+1,5,3x2)=16 (3.275)
x19=16 (3.276)
x=3. (3.277)

3.5.2 Exercícios

E. 3.5.1.

Sejam u=(2,3,1) e v=(3,2,1). Calcule u(v×u). Se w é um vetor qualquer, forneça o valor de u(w×u). Justifique sua resposta.

Resposta 0.

u(v×u)=0; u(w×u)=0

E. 3.5.2.

Sabendo que u×v=(1,1,1), calcule u×(2v).

Resposta 0.

(2,2,2)

E. 3.5.3.

Sabendo que u×v=(1,1,1) e u×w=(1,1,1), calcule u×(v+w).

Resposta 0.

(0,0,0)

E. 3.5.4.

Sendo a=(3,1,2), b=(2,1,1), calcule (ak)(i×b).

Resposta 0.

(0,2,2)

E. 3.5.5.

Calcule w×(u×v), sendo u=(1,1,2), v=(0,1,1) e w=(1,0,1).

Resposta 0.

(1,0,1)


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Pedro H A Konzen
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