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3.5 Propriedades do Produto Vetorial
Em revisão
Nesta seção, discutiremos sobre algumas propriedades do produto vetorial. Para tanto, sejam dados os vetores , , e o número real .
Da definição do produto vetorial, temos e , logo
(3.202)
e
(3.203)
Exemplo 3.5.1.
Sejam , . Temos
(3.204)
(3.205)
Segue, que
(3.206)
(3.207)
(3.208)
Em relação à multiplicação por escalar, temos
(3.209)
(3.210)
De fato,
(3.211)
(3.212)
(3.213)
Exemplo 3.5.2.
Sejam e . Temos
(3.214)
(3.215)
(3.216)
(3.217)
(3.218)
(3.219)
(3.220)
Também, vale a propriedade distributiva com a operação de soma, i.e.
(3.221)
De fato, temos
(3.222)
(3.223)
(3.224)
(3.225)
Exemplo 3.5.3.
Sejam , e . Temos
(3.226)
(3.227)
(3.228)
(3.229)
(3.230)
(3.231)
(3.232)
(3.233)
Observamos que o produto vetorial não é comutativo, entretanto
(3.234)
De fato, temos
(3.235)
(3.236)
(3.237)
(3.238)
Exemplo 3.5.4.
Sejam e . Temos
(3.239)
(3.240)
(3.241)
(3.242)
(3.243)
(3.244)
Também, o produto vetorial não é associativo sendo , em geral, é diferente de . Com efeito, temos
(3.245)
(3.246)
Por outro lado, suponhamos que , e são l.i. e seja um plano determinado por e . Então, é ortogonal a . Como é ortogonal a e a , temos que também pertence a . Logo, , e são l.d. e existem e tais que
(3.247)
Vamos determinar e . Para tanto, consideremos uma base ortonormal tal que e . Nesta base, temos
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3.5 Propriedades do Produto Vetorial
Em revisão
Nesta seção, discutiremos sobre algumas propriedades do produto vetorial. Para tanto, sejam dados os vetores , , e o número real .
Da definição do produto vetorial, temos e , logo
(3.202)
e
(3.203)
Exemplo 3.5.1.
Sejam , . Temos
(3.204)
(3.205)
Segue, que
(3.206)
(3.207)
(3.208)
Em relação à multiplicação por escalar, temos
(3.209)
(3.210)
De fato,
(3.211)
(3.212)
(3.213)
Exemplo 3.5.2.
Sejam e . Temos
(3.214)
(3.215)
(3.216)
(3.217)
(3.218)
(3.219)
(3.220)
Também, vale a propriedade distributiva com a operação de soma, i.e.
(3.221)
De fato, temos
(3.222)
(3.223)
(3.224)
(3.225)
Exemplo 3.5.3.
Sejam , e . Temos
(3.226)
(3.227)
(3.228)
(3.229)
(3.230)
(3.231)
(3.232)
(3.233)
Observamos que o produto vetorial não é comutativo, entretanto
(3.234)
De fato, temos
(3.235)
(3.236)
(3.237)
(3.238)
Exemplo 3.5.4.
Sejam e . Temos
(3.239)
(3.240)
(3.241)
(3.242)
(3.243)
(3.244)
Também, o produto vetorial não é associativo sendo , em geral, é diferente de . Com efeito, temos
(3.245)
(3.246)
Por outro lado, suponhamos que , e são l.i. e seja um plano determinado por e . Então, é ortogonal a . Como é ortogonal a e a , temos que também pertence a . Logo, , e são l.d. e existem e tais que
(3.247)
Vamos determinar e . Para tanto, consideremos uma base ortonormal tal que e . Nesta base, temos