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Equações Diferenciais Ordinárias

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5.3 Equação de Bessel

As funções de Bessel estão relacionadas as soluções das chamadas equações de Bessel

x2y′′+xy+(x2ν2)y=0, (5.177)

onde y:xy(x). Esta equação admite uma solução da forma

y(x)=n=0cnxn+r, (5.178)

com r, c00 e cn, n=1,2, devem ser determinados. Para tanto, vamos substituir (5.178) em (5.177). Antes, observamos que

y(x)=n=0cn(n+r)xn+r1 (5.179)

e

y′′(x)=n=0cn(n+r)(n+r1)xn+r2 (5.180)

Substituindo em (5.177), obtemos

0=x2y′′+xy+(x2ν2)y (5.181)
=n=0cn(n+r)(n+r1)xn+r+n=0cn(n+r)xn+r (5.182)
+n=0cnxn+r+2ν2n=0cnxn+r (5.183)
=c0(r2r+rν2)xr (5.184)
+xrn=1cn[(n+r)(n+r1)+(n+r)ν2]xn+xrn=0cnxn+2 (5.185)
=c0(r2ν2)xr+xrn=1cn[(n+r)2ν2]xn (5.186)
+xrn=0cnxn+2 (5.187)

Do primeiro termo, obtemos a chamada equação indicial

r2ν2=0 (5.188)

donde

r1=ν,r2=ν. (5.189)

Ou seja, somente podemos esperar encontrar soluções para (5.177) da forma (5.178) para estes valores de r.

Substituindo r=r1=ν em (5.187), obtemos

0=xνn=1cn[(n+ν)2ν2]xn+xνn=0cnxn+2 (5.190)
=xνn=1cnn(n+2ν)xn+xνn=0cnxn+2 (5.191)
=xν[c1(1+2ν)x+n=2cnn(n+2ν)xnm=n2+xνn=0cnxn+2m=n] (5.192)
=xν[c1(1+2ν)x (5.193)
+m=0cm+2(m+2)(m+2+2ν)xm+2+xνm=0cmxm+2] (5.194)
=xν{c1(1+2ν)x+m=0[cm+2(m+2)(m+2+2ν)+cm]xm+2} (5.195)

Logo,

c1(1+2ν)=0 (5.196)

e, para m=0,1,2,,

(m+2)(m+2+2ν)cm+2+cm=0 (5.197)

ou, equivalentemente,

cm+2=cm(m+2)(m+2+2ν) (5.198)

Escolhendo c1=0, temos

c3=c5=c7==0. (5.199)

Agora, para m+2=2n, n=1,2,3,, temos

c2n=c2n222n(n+ν). (5.200)

Daí, segue que

c2 =c0221(1+ν) (5.201)
c4 =c2222(2+ν) (5.202)
=c0242!(1+ν)(2+ν) (5.203)
c6 =c4223(3+ν) (5.204)
=c0263!(1+ν)(2+ν)(3+ν) (5.205)
(5.206)
c2n =(1)nc022nn!(1+ν)(2+ν)(n+ν) (5.207)

Da propriedade da função gama

Γ(x+1)=xΓ(x) (5.208)

temos que

Γ(1+ν+1) =(1+ν)Γ(1+ν) (5.209)
Γ(1+ν+2) =(2+ν)Γ(2+ν)=(1+ν)(2+ν)Γ(1+ν) (5.210)
(5.211)
Γ(1+ν+n) =(1+ν)(2+ν)(n+ν)Γ(1+ν). (5.212)

Com isso, escolhendo

c0=12νΓ(1+ν) (5.213)

concluímos que

c2n=(1)n22n+νn!Γ(1+ν+n) (5.214)

e

c2n1=0 (5.215)

para n=1,2,3,.

Com tudo isso, obtivemos a seguinte solução para a equação de Bessel

y(x)=n=0(1)n22n+νn!Γ(1+ν+n)x2n+ν (5.216)

ou, equivalentemente,

y(x)=n=0(1)nn!Γ(1+ν+n)(x2)2n+ν. (5.217)

Esta é conhecida como função de Bessel de primeira espécie de ordem ν e é usualmente denotada por

Jν(x)=n=0(1)nn!Γ(1+ν+n)(x2)2n+ν. (5.218)

Pode-se mostrar que se ν0, a série converge para x[0,).

Outra solução da equação de Bessel é obtida tomando r=r2=ν. Procedendo de forma análoga, obtemos a solução

y(x) =Jν(x) (5.219)
=n=0(1)nn!Γ(1ν+n)(x2)2nν, (5.220)

a qual é chamada de função de Bessel de primeira espécie de ordem ν.

Agora, vamos discutir sobre a solução geral da equação de Bessel. Pode-se mostrar se ν não é um número inteiro, então Jν(x) e Jν(x) são soluções linearmente independentes. Logo, temos a solução geral

y(x)=c1Jν(x)+c2Jν(x),ν. (5.221)
Exemplo 5.3.1.

A solução geral da equação de Bessel de ordem ν=1/3

x2y′′+xy+(x219)y=0 (5.222)

é

y(x)=c1J13(x)+c2J13(x). (5.223)

5.3.1 Função de Bessel de segunda espécie

A função de Bessel de segunda espécie de ordem ν é dada por

Yν(x)=Jν(x)cos(νπ)Jν(x)sen(νπ) (5.224)

Para ν não inteiro, Yν(x) e Jν(x) são soluções linearmente independentes da equação de Bessel. Agora, pode-se mostrar que quando νm número inteiro, o seguinte limite está bem definido

Ym(x)=limνmYν(x). (5.225)

Além disso, para m número inteiro, Ym(x) e Jm(x) são linearmente independentes. Logo, a solução geral da equação de Bessel de ordem m é

y(x)=c1Jm(x)+c2Ym(x), (5.226)

onde Yν(x) é chamada de função de Bessel de segunda espécie de ordem ν.

Exemplo 5.3.2.

A solução geral da equação de Bessel de ordem ν=3

x2y′′+xy+(x29)y=0 (5.227)

é

y(x)=c1J3(x)+c2Y3(x). (5.228)

Exercícios resolvidos

ER 5.3.1.

Forneça a solução geral da equação

x2y′′+xy+x2y=0 (5.229)
Solução 0.

Esta é a equação de Bessel de ordem ν=0. A solução geral é combinação linear da função de Bessel de primeira espécie J0(x) com a função de Bessel de segunda espécie Y0(x), i.e.

y(x)=c1J0(x)+c2Y0(x). (5.230)
ER 5.3.2.

Verifique se

J12(x)=(2πx)12senx,x>0. (5.231)

Dica:

Γ(12+n)=(2n)!4nn!π. (5.232)
Solução 0.

Da definição da função de Bessel de primeira espécie de ordem ν (5.218), temos

J12(x)=n=0(1)nn!Γ(1+12+n)(x2)2n+12. (5.233)

Usando (5.232), temos

Γ(1+12+n) =[2(n+1)]!4n+1(n+1)!π (5.234)
=[2(n+1)]!22n+2(n+1)!π. (5.235)

Substituindo na função de Bessel, obtemos

J12(x) =n=0(1)nn![2(n+1)]!22n+2(n+1)!π(x2)2n+12 (5.236)
=(x2)121πn=0(1)n22n+2(n+1)!n![2(n+1)]!22nx2n (5.237)
=(x2π)12n=0(1)n22(n+1)[2(n+1)]!x2n (5.238)
=(x2π)122n=0(1)n(2n+2)(2n+2)(2n+1)!x2n (5.239)
=2xx2πn=0(1)n(2n+1)!x2n+1 (5.240)
=2πxsenx, (5.241)

lembrando que a expansão em série de MacLaurin

senx=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1. (5.242)

Exercícios

E. 5.3.1.

Forneça a solução da equação de Bessel

x2y′′+xy+(x2116)y=0. (5.243)
Resposta 0.

y(x)=c1J14(x)+c2J14(x)

E. 5.3.2.

Forneça a solução da equação de Bessel de ordem um

x2y′′+xy+(x21)y=0. (5.244)
Resposta 0.

y(x)=c1J1(x)+c2Y1(x)

E. 5.3.3.

Forneça a solução da equação

4x2(y′′+y)+4xy9y=0. (5.245)
Resposta 0.

y(x)=c1J32(x)+c2J32(x)

E. 5.3.4.

Calcule J0(x) para x>02828endnote: 28Pode-se mostrar que J0 é uma função analítica em x=0. Veja, por exemplo, [Boyce2020, Capítulo 5., Seção 5.7.].

Resposta 0.

J0(x)=J1(x)

E. 5.3.5.

Verifique se

J12(x)=(2πx)12cosx,x>0. (5.246)
Resposta 0.

Dicas:

Γ(12+n)=(2n)!4nn!π. (5.247)
cosx=n=0(1)n(2n)!x2n. (5.248)
E. 5.3.6.

Calcule a solução geral da equação de Bessel de ordem um meio

x2y′′+xy+(x214)y=0. (5.249)
Resposta 0.

y(x)=c1senxx1/2+c2cosxx1/2


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5.3 Equação de Bessel

As funções de Bessel estão relacionadas as soluções das chamadas equações de Bessel

x2y′′+xy+(x2ν2)y=0, (5.177)

onde y:xy(x). Esta equação admite uma solução da forma

y(x)=n=0cnxn+r, (5.178)

com r, c00 e cn, n=1,2, devem ser determinados. Para tanto, vamos substituir (5.178) em (5.177). Antes, observamos que

y(x)=n=0cn(n+r)xn+r1 (5.179)

e

y′′(x)=n=0cn(n+r)(n+r1)xn+r2 (5.180)

Substituindo em (5.177), obtemos

0=x2y′′+xy+(x2ν2)y (5.181)
=n=0cn(n+r)(n+r1)xn+r+n=0cn(n+r)xn+r (5.182)
+n=0cnxn+r+2ν2n=0cnxn+r (5.183)
=c0(r2r+rν2)xr (5.184)
+xrn=1cn[(n+r)(n+r1)+(n+r)ν2]×xn+xrn=0cnxn+2 (5.185)
=c0(r2ν2)xr+xrn=1cn[(n+r)2ν2]xn (5.186)
+xrn=0cnxn+2 (5.187)

Do primeiro termo, obtemos a chamada equação indicial

r2ν2=0 (5.188)

donde

r1=ν,r2=ν. (5.189)

Ou seja, somente podemos esperar encontrar soluções para (5.177) da forma (5.178) para estes valores de r.

Substituindo r=r1=ν em (5.187), obtemos

0=xνn=1cn[(n+ν)2ν2]xn+xνn=0cnxn+2 (5.190)
=xνn=1cnn(n+2ν)xn+xνn=0cnxn+2 (5.191)
=xν[c1(1+2ν)x+n=2cnn(n+2ν)xnm=n2+xνn=0cnxn+2m=n] (5.192)
=xν[c1(1+2ν)x (5.193)
+m=0cm+2(m+2)(m+2+2ν)xm+2+xνm=0cmxm+2] (5.194)
=xν{c1(1+2ν)x+m=0[cm+2(m+2)×(m+2+2ν)+cm]×xm+2} (5.195)

Logo,

c1(1+2ν)=0 (5.196)

e, para m=0,1,2,,

(m+2)(m+2+2ν)cm+2+cm=0 (5.197)

ou, equivalentemente,

cm+2=cm(m+2)(m+2+2ν) (5.198)

Escolhendo c1=0, temos

c3=c5=c7==0. (5.199)

Agora, para m+2=2n, n=1,2,3,, temos

c2n=c2n222n(n+ν). (5.200)

Daí, segue que

c2 =c0221(1+ν) (5.201)
c4 =c2222(2+ν) (5.202)
=c0242!(1+ν)(2+ν) (5.203)
c6 =c4223(3+ν) (5.204)
=c0263!(1+ν)(2+ν)(3+ν) (5.205)
(5.206)
c2n =(1)nc022nn!(1+ν)(2+ν)(n+ν) (5.207)

Da propriedade da função gama

Γ(x+1)=xΓ(x) (5.208)

temos que

Γ(1+ν+1) =(1+ν)Γ(1+ν) (5.209)
Γ(1+ν+2) =(2+ν)Γ(2+ν)=(1+ν)(2+ν)Γ(1+ν) (5.210)
(5.211)
Γ(1+ν+n) =(1+ν)(2+ν)(n+ν)Γ(1+ν). (5.212)

Com isso, escolhendo

c0=12νΓ(1+ν) (5.213)

concluímos que

c2n=(1)n22n+νn!Γ(1+ν+n) (5.214)

e

c2n1=0 (5.215)

para n=1,2,3,.

Com tudo isso, obtivemos a seguinte solução para a equação de Bessel

y(x)=n=0(1)n22n+νn!Γ(1+ν+n)×x2n+ν (5.216)

ou, equivalentemente,

y(x)=n=0(1)nn!Γ(1+ν+n)(x2)2n+ν. (5.217)

Esta é conhecida como função de Bessel de primeira espécie de ordem ν e é usualmente denotada por

Jν(x)=n=0(1)nn!Γ(1+ν+n)(x2)2n+ν. (5.218)

Pode-se mostrar que se ν0, a série converge para x[0,).

Outra solução da equação de Bessel é obtida tomando r=r2=ν. Procedendo de forma análoga, obtemos a solução

y(x) =Jν(x) (5.219)
=n=0(1)nn!Γ(1ν+n)(x2)2nν, (5.220)

a qual é chamada de função de Bessel de primeira espécie de ordem ν.

Agora, vamos discutir sobre a solução geral da equação de Bessel. Pode-se mostrar se ν não é um número inteiro, então Jν(x) e Jν(x) são soluções linearmente independentes. Logo, temos a solução geral

y(x)=c1Jν(x)+c2Jν(x),ν. (5.221)
Exemplo 5.3.1.

A solução geral da equação de Bessel de ordem ν=1/3

x2y′′+xy+(x219)y=0 (5.222)

é

y(x)=c1J13(x)+c2J13(x). (5.223)

5.3.1 Função de Bessel de segunda espécie

A função de Bessel de segunda espécie de ordem ν é dada por

Yν(x)=Jν(x)cos(νπ)Jν(x)sen(νπ) (5.224)

Para ν não inteiro, Yν(x) e Jν(x) são soluções linearmente independentes da equação de Bessel. Agora, pode-se mostrar que quando νm número inteiro, o seguinte limite está bem definido

Ym(x)=limνmYν(x). (5.225)

Além disso, para m número inteiro, Ym(x) e Jm(x) são linearmente independentes. Logo, a solução geral da equação de Bessel de ordem m é

y(x)=c1Jm(x)+c2Ym(x), (5.226)

onde Yν(x) é chamada de função de Bessel de segunda espécie de ordem ν.

Exemplo 5.3.2.

A solução geral da equação de Bessel de ordem ν=3

x2y′′+xy+(x29)y=0 (5.227)

é

y(x)=c1J3(x)+c2Y3(x). (5.228)

Exercícios resolvidos

ER 5.3.1.

Forneça a solução geral da equação

x2y′′+xy+x2y=0 (5.229)
Solução 0.

Esta é a equação de Bessel de ordem ν=0. A solução geral é combinação linear da função de Bessel de primeira espécie J0(x) com a função de Bessel de segunda espécie Y0(x), i.e.

y(x)=c1J0(x)+c2Y0(x). (5.230)
ER 5.3.2.

Verifique se

J12(x)=(2πx)12senx,x>0. (5.231)

Dica:

Γ(12+n)=(2n)!4nn!π. (5.232)
Solução 0.

Da definição da função de Bessel de primeira espécie de ordem ν (5.218), temos

J12(x)=n=0(1)nn!Γ(1+12+n)(x2)2n+12. (5.233)

Usando (5.232), temos

Γ(1+12+n) =[2(n+1)]!4n+1(n+1)!π (5.234)
=[2(n+1)]!22n+2(n+1)!π. (5.235)

Substituindo na função de Bessel, obtemos

J12(x) =n=0(1)nn![2(n+1)]!22n+2(n+1)!π(x2)2n+12 (5.236)
=(x2)121πn=0(1)n22n+2(n+1)!n![2(n+1)]!22n×x2n (5.237)
=(x2π)12n=0(1)n22(n+1)[2(n+1)]!x2n (5.238)
=(x2π)122×n=0(1)n(2n+2)(2n+2)(2n+1)!x2n (5.239)
=2xx2πn=0(1)n(2n+1)!x2n+1 (5.240)
=2πxsenx, (5.241)

lembrando que a expansão em série de MacLaurin

senx=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1. (5.242)

Exercícios

E. 5.3.1.

Forneça a solução da equação de Bessel

x2y′′+xy+(x2116)y=0. (5.243)
Resposta 0.

y(x)=c1J14(x)+c2J14(x)

E. 5.3.2.

Forneça a solução da equação de Bessel de ordem um

x2y′′+xy+(x21)y=0. (5.244)
Resposta 0.

y(x)=c1J1(x)+c2Y1(x)

E. 5.3.3.

Forneça a solução da equação

4x2(y′′+y)+4xy9y=0. (5.245)
Resposta 0.

y(x)=c1J32(x)+c2J32(x)

E. 5.3.4.

Calcule J0(x) para x>02828endnote: 28Pode-se mostrar que J0 é uma função analítica em x=0. Veja, por exemplo, [Boyce2020, Capítulo 5., Seção 5.7.].

Resposta 0.

J0(x)=J1(x)

E. 5.3.5.

Verifique se

J12(x)=(2πx)12cosx,x>0. (5.246)
Resposta 0.

Dicas:

Γ(12+n)=(2n)!4nn!π. (5.247)
cosx=n=0(1)n(2n)!x2n. (5.248)
E. 5.3.6.

Calcule a solução geral da equação de Bessel de ordem um meio

x2y′′+xy+(x214)y=0. (5.249)
Resposta 0.

y(x)=c1senxx1/2+c2cosxx1/2


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Pedro H A Konzen
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