Equações Diferenciais Ordinárias

O método da variação dos parâmetros consiste em calcular uma solução particular de (3.163) da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y_{p}(t)=u_{% 1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)},

(3.166)

onde $y_{1}$ e $y_{2}$ é um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada, enquanto $u_{1}$ e $u_{2}$ são funções a serem determinadas.

Observamos que a única condição que temos para determinar $u_{1}$ e $u_{2}$ é a equação (3.163). Ou seja, temos uma equação e duas incógnitas. Para fechar o problema, impomos a seguinte condição extra

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u_{1}^{% \prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}=0}.

(3.167)

Com isso, temos

	$\displaystyle y_{p}^{\prime}(t)$	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{1}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}+u_{2% }y_{2}^{\prime}$		(3.168)
		$\displaystyle=u_{1}y_{1}^{\prime}+u_{2}y_{2}^{\prime}$		(3.169)

	$\displaystyle y_{p}^{\prime\prime}(t)$	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{1}y_{1}^{\prime\prime}$		(3.170)
		$\displaystyle+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}+u_{2}y_{2}^{\prime\prime}.$		(3.171)

Substituindo $y_{p}$ em (3.163), temos

$\displaystyle g(t)$	$\displaystyle=y_{p}^{\prime\prime}+ay_{p}^{\prime}+by_{p}$	(3.172)
	$\displaystyle=\left(u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u_{1}y_{1}^{\prime\prime}}+u_{2% }^{\prime}y_{2}^{\prime}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{1,0,0}u_{2}y_{2}^{\prime\prime}}\right)$	(3.173)
	$\displaystyle+a({\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}u_{1}y_{1}^{\prime}}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}u_{2}y_{2}^{\prime}})$	(3.174)
	$\displaystyle+b({\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}u_{1}y_{1}}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}u_{2}y_{2}})$	(3.175)
	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}$	(3.176)
	$\displaystyle+\underbrace{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u_{1}(y_{1}^{\prime\prime}+ay_{1}^{\prime}+by_{1})}% }_{=0}$	(3.177)
	$\displaystyle+\underbrace{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}u_{2}(y_{2}^{\prime\prime}+ay_{2}^{\prime}+by_{2})}% }_{=0}$	(3.178)
	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}.$	(3.179)

Ou seja, (3.167) e (3.179) formam o seguinte sistema de equações

	$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}$	$\displaystyle=0$		(3.180)
	$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}$	$\displaystyle=g(t)$		(3.181)

que têm $u_{1}^{\prime}$ e $u_{2}^{\prime}$ como incógnitas. Aplicando o método de Cramer¹²¹²endnote: ¹²Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço. Fonte: Wikipedia., obtemos

	$\displaystyle u_{1}^{\prime}$	$\displaystyle=\frac{\begin{vmatrix}0&y_{2}\\ g(t)&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}}$		(3.182)
		$\displaystyle=-\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}$		(3.183)

	$\displaystyle u_{2}^{\prime}$	$\displaystyle=\frac{\begin{vmatrix}y_{1}&0\\ y_{1}^{\prime}&g(t)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}}$		(3.184)
		$\displaystyle=\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}.$		(3.185)

Ou, ainda, por integração temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u_{1}(t)=-% \int\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt}

(3.186)

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u_{2}(t)=% \int\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt}.

(3.187)

Por tudo isso, concluímos que uma solução particular de (3.163) é dada por

	$\displaystyle y_{p}(t)$	$\displaystyle=-y_{1}(t)\int\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$		(3.188)
		$\displaystyle+y_{2}(t)\int\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt.$		(3.189)

Exemplo 3.3.1.

Vamos calcular a solução geral de

y^{\prime\prime}-y=e^{2t}.

(3.190)

Começamos determinando um conjunto fundamental de soluções $y_{1}=y_{1}(t)$ e $y_{2}=y_{2}(t)$ da equação homogênea associada

y^{\prime\prime}-y=0.

(3.191)

A equação característica associada é

r^{2}-1=0,

(3.192)

cujas raízes são $r_{1}=-1$ e $r_{2}=1$ . Segue que

y_{1}(t)=e^{-t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=e^{t}.

(3.193)

Agora, buscamos por uma solução particular de (3.190) da forma

y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t),

(3.194)

onde $u_{1}$ é dada em (3.186) e $u_{2}$ por (3.187). Ambas expressões requer o cálculo do wronskiano

$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)$	$\displaystyle=\left\|\begin{matrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{matrix}\right\|$	(3.195)
	$\displaystyle=y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{2}y_{1}^{\prime}$	(3.196)
	$\displaystyle=e^{-t}e^{t}+e^{t}e^{-t}$	(3.197)
	$\displaystyle=2.$	(3.198)

Com isso, temos

$\displaystyle u_{1}(t)$	$\displaystyle=-\int\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$	(3.199)
	$\displaystyle=-\int\frac{e^{t}e^{2t}}{2}\,dt$	(3.200)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int e^{3t}\,dt$	(3.201)
	$\displaystyle=-\frac{1}{6}e^{3t}$	(3.202)

$\displaystyle u_{2}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$	(3.203)
	$\displaystyle=\int\frac{e^{-t}e^{2t}}{2}\,dt$	(3.204)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int e^{t}\,dt$	(3.205)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}e^{t}$	(3.206)

Desta forma, obtemos a solução particular

$\displaystyle y_{p}(t)$	$\displaystyle=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)$	(3.207)
	$\displaystyle=-\frac{1}{6}e^{3t}e^{-t}+\frac{1}{2}e^{t}e^{t}$	(3.208)
	$\displaystyle=-\frac{1}{6}e^{2t}+\frac{1}{2}e^{2t}$	(3.209)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}e^{2t}.$	(3.210)

Observamos que a solução particular é um múltiplo do termo não homogêneo da EDO (3.190). Isso não é apenas um acaso e vamos explorar isso mais adiante no texto.

Por fim, concluímos que a solução geral de (3.190) é

	$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)+y_{p}(t)$		(3.211)
		$\displaystyle=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{t}+\frac{1}{3}e^{2t}.$		(3.212)

3.3.2 Método dos coeficientes a determinar

O métodos dos coeficientes a determinar consiste em buscar por uma solução particular na forma de uma combinação linear de funções elementares apropriadas. Tais funções são inferidas a partir do termo não homogêneo da equação.

$\boldsymbol{g(t)=ce^{st}}$

Uma equação da forma

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=ce^{st}

(3.213)

com $s\neq r_{1},r_{2}$ , onde $r_{1}$ e $r_{2}$ são raízes da equação característica, admite solução particular

y_{p}(t)=Ae^{st},

(3.214)

onde $A$ é uma constante a determinar.

Exemplo 3.3.2.

Vamos calcular uma solução particular para

y^{\prime\prime}-y=e^{2t}.

(3.215)

Pelo método dos coeficientes a determinar, buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=Ae^{2t},

(3.216)

observando que $r_{1}=-1$ e $r_{2}=1$ são raízes da equação característica associada.

Substituindo $y_{p}$ na EDO, obtemos

$\displaystyle e^{2t}$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}-y$	(3.217)
	$\displaystyle=\left(Ae^{2t}\right)^{\prime\prime}-Ae^{2t}$	(3.218)
	$\displaystyle=(4A-A)e^{2t}$	(3.219)
	$\displaystyle=3Ae^{2t}.$	(3.220)

Segue que

3A=1\Rightarrow A=\frac{1}{3}.

(3.221)

Daí, concluímos que

y_{p}(t)=\frac{1}{3}e^{2t}

(3.222)

é solução particular da EDO.

Observação 3.3.1.

a)

$s=r_{1}$ . Uma equação da forma

$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=ce^{r_{1}t},$ (3.223)

onde $r_{1}$ é raiz simples da equação característica associada, admite solução particular

$y_{p}(t)=Ate^{r_{1}t}.$ (3.224)
b)

$s=r$ . Uma equação da forma

$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=ce^{rt},$ (3.225)

onde $r$ é raiz dupla da equação característica associada, admite solução particular

$y_{p}(t)=At^{2}e^{rt}.$ (3.226)

$\boldsymbol{g(t)=c_{n}t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_{0}}$

Uma equação da forma

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=c_{n}t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_{0}

(3.227)

admite solução particular

y_{p}(t)=A_{n}t^{n}+A_{n-1}t^{n-1}+\cdots+A_{0},

(3.228)

onde $A_{n}$ , $A_{n-1}$ , $\dotsc$ , $A_{0}$ são constantes a determinar.

Exemplo 3.3.3.

Vamos calcular uma solução particular para

y^{\prime\prime}-4y=t.

(3.229)

Pelo método dos coeficientes a determinar, buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=A_{1}t+A_{0}.

(3.230)

Substituindo $y_{p}$ na EDO, obtemos

$\displaystyle t$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}-4y$	(3.231)
	$\displaystyle=\left(A_{1}t+A_{0}\right)^{\prime\prime}-4(A_{1}t+A_{0})$	(3.232)
	$\displaystyle=-4A_{1}t-4A_{0}.$	(3.233)

Segue que

	$\displaystyle-4A_{1}=1$	$\displaystyle\Rightarrow A_{1}=-\frac{1}{4},$		(3.234)
	$\displaystyle-4A_{0}=0$	$\displaystyle\Rightarrow A_{0}=0.$		(3.235)

Daí, concluímos que

y_{p}(t)=-\frac{1}{4}t

(3.236)

é solução particular da EDO.

$\boldsymbol{g(t)=c_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+c_{2}\cos(\beta t)}$

Uma equação da forma

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=c_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+c_{2}\cos(% \beta t)

(3.237)

admite solução particular

y_{p}(t)=t^{s}[A_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+A_{2}\cos(\beta t)],

(3.238)

onde $s$ é o menor inteiro tal que $y_{p}$ não seja solução da equação homogênea associada e $A_{1}$ e $A_{2}$ são constantes a determinar.

Exemplo 3.3.4.

Vamos calcular uma solução particular para

y^{\prime\prime}+4y=\cos(2t).

(3.239)

Pelo método dos coeficientes a determinar, buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=t[A_{1}\operatorname{sen}(2t)+A_{2}\cos(2t)],

(3.240)

observando que $y_{1}(t)=\cos(2t)$ e $y_{2}(t)=\operatorname{sen}(2t)$ formam um conjunto fundamental de solução para a equação homogênea associada.

Substituindo $y_{p}$ na EDO, obtemos

$\displaystyle\cos(2t)$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}+4y$	(3.241)
	$\displaystyle=[A_{1}t\operatorname{sen}(2t)+A_{2}t\cos(2t)]^{\prime\prime}$	(3.242)
	$\displaystyle+4[A_{1}t\operatorname{sen}(2t)+A_{2}t\cos(2t)]$	(3.243)
	$\displaystyle=4A_{1}\cos(2t)-4A_{2}\operatorname{sen}(2t)$	(3.244)

Segue que

	$\displaystyle 4A_{1}=1$	$\displaystyle\Rightarrow A_{1}=\frac{1}{4},$		(3.245)
	$\displaystyle-4A_{2}=0$	$\displaystyle\Rightarrow A_{2}=0.$		(3.246)

Daí, concluímos que

y_{p}(t)=\frac{1}{4}t\operatorname{sen}(2t).

(3.247)

é solução particular da EDO.

Observação 3.3.2.

(Resumo)

$g(t)$	$y_{p}(t)$
$e^{\alpha t}(c_{n}t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_{0})$	$t^{s}e^{\alpha t}(A_{n}t^{n}+\cdots+A_{0})$
$e^{\alpha t}[c_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+c_{2}\cos(\beta t)]$	$t^{s}e^{\alpha t}[A_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+A_{2}\cos(\beta t)]$

$s=0,1,2$ , sendo o menor valor que garanta que $y_{p}$ não seja solução da equação homogênea associada.

Exercícios resolvidos

3 EDO linear de ordem 2 ou mais alta 3.2 EDO de ordem 2: raízes complexas ou repetidas 3.4 EDO de ordem mais alta

ER 3.3.1.

Use o método da variação dos parâmetros para obter uma solução geral de

y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=e^{-t}+\operatorname{sen}(t).

(3.248)

Solução 0.

Primeiramente, resolvemos a equação homogênea associada

y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=0.

(3.249)

Para tanto, buscamos as raízes da equação característica associada

r^{2}-2r-3=0,

(3.250)

as quais são

r=\frac{2\pm\sqrt{4-4\cdot 1\cdot(-3)}}{2},

(3.251)

i.e. $r_{1}=-1$ e $r_{2}=3$ . Logo,

y_{1}(t)=e^{-t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=e^{3t}

(3.252)

formam um conjunto fundamental de soluções da EDO homogênea.

Agora, buscamos por uma solução particular

y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)

(3.253)

para a equação não homogênea. Os parâmetros variáveis $u_{1}=u_{1}(t)$ e $u_{2}=u_{2}(t)$ dependem do wronskiano

$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)$	$\displaystyle=\left\|\begin{matrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{matrix}\right\|$	(3.254)
	$\displaystyle=\left\|\begin{matrix}e^{-t}&e^{3t}\\ -e^{-t}&3e^{3t}\end{matrix}\right\|$	(3.255)
	$\displaystyle=4e^{2t}.$	(3.256)

Mais especificamente, eles são dados por

$\displaystyle u_{1}(t)$	$\displaystyle=-\int\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$	(3.257)
	$\displaystyle=-\int\frac{e^{3t}[e^{-t}+\operatorname{sen}(t)]}{4e^{2t}}\,dt$	(3.258)
	$\displaystyle=-\frac{1}{4}t-\frac{1}{8}e^{t}[\operatorname{sen}(t)-\cos(t)]$	(3.259)

$\displaystyle u_{2}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$	(3.260)
	$\displaystyle=\int\frac{e^{-t}[e^{-t}+\operatorname{sen}(t)]}{4e^{2t}}\,dt$	(3.261)
	$\displaystyle=-\frac{1}{16}e^{-4t}-\frac{3}{40}e^{-3t}[\operatorname{sen}(t)+% \cos(t)]$	(3.262)

Com isso, temos que a solução particular é

$\displaystyle y_{p}(t)$	$\displaystyle=\left\{-\frac{1}{4}t-\frac{1}{8}e^{t}[\operatorname{sen}(t)-\cos% (t)]\right\}e^{-t}$	(3.263)
	$\displaystyle+\left\{-\frac{1}{16}e^{-4t}-\frac{3}{40}e^{-3t}[\operatorname{% sen}(t)+\cos(t)]\right\}e^{3t}$	(3.264)
	$\displaystyle=-\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{4}t\right)e^{-t}+\frac{1}{10}\cos(t% )-\frac{1}{5}\operatorname{sen}(t).$	(3.265)

Concluímos que a solução geral é

$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{3t}$	(3.266)
	$\displaystyle-\left(\frac{1}{16}+\frac{1}{4}t\right)e^{-t}+\frac{1}{10}\cos(t)% -\frac{1}{5}\operatorname{sen}(t)$	(3.267)
	$\displaystyle=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{3t}$	(3.268)
	$\displaystyle-\frac{t}{4}e^{-t}+\frac{1}{10}\cos(t)-\frac{1}{5}\operatorname{% sen}(t).$	(3.269)

ER 3.3.2.

Use o método dos coeficientes a determinar para obter uma solução geral de

y^{\prime\prime}-2y^{\prime}-3y=e^{-t}+\operatorname{sen}(t).

(3.270)

Solução 0.

Esta é a mesma equação (3.3.1) que foi resolvida no ER. 3.3.1. Das contas realizadas, sabemos que

y_{1}(t)=e^{-t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=e^{3t}

(3.271)

são soluções fundamentais da equação homogênea associada.

Disso e com base no termo não homogêneo

g(t)=e^{-t}+\operatorname{sen}(t),

(3.272)

buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=Ate^{-t}+B\operatorname{sen}(t)+C\cos(t).

(3.273)

Substituindo na EDO, obtemos

	$\displaystyle e^{-t}+\operatorname{sen}(t)$	$\displaystyle=y_{p}^{\prime\prime}-2y_{p}^{\prime}-3y_{p}$		(3.274)
		$\displaystyle=-4Ae^{-t}+(2C-4B)\operatorname{sen}(t)-(2B+4C)\cos(t).$		(3.275)

Logo, devemos ter

-4A=1\Rightarrow A=-\frac{1}{4}

(3.276)

	$\displaystyle-4B+2C$	$\displaystyle=1$		(3.277)
	$\displaystyle-2B-4C$	$\displaystyle=0$		(3.278)

o que nos leva a $C=1/10$ e $B=-1/5$ .

Com tudo isso, concluímos que a solução geral é

	$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{3t}$		(3.279)
		$\displaystyle-\frac{t}{4}e^{-t}-\frac{1}{5}\operatorname{sen}(t)+\frac{1}{10}% \cos(t).$		(3.280)

Exercício

E. 3.3.1.

Resolva

y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=e^{2t}

(3.281)

usando

a)

o método da variação dos parâmetros.
b)

o método dos coeficientes a determinar.

Resposta 0.

$y(t)=c_{1}e^{-2t}+c_{2}e^{t}+\frac{1}{4}e^{2t}$

E. 3.3.2.

Resolva

y^{\prime\prime}+y^{\prime}-2y=e^{-2t}.

(3.282)

Resposta 0.

$y(t)=\left(c_{1}-\frac{t}{3}\right)e^{-2t}+c_{2}e^{t}$

E. 3.3.3.

Resolva

y^{\prime\prime}+2y^{\prime}+y=e^{-t}

(3.283)

usando o método dos coeficientes a determinar.

Resposta 0.

$y(t)=\left(c_{1}+c_{2}t+\frac{t^{2}}{2}\right)e^{-t}$

E. 3.3.4.

Resolva

y^{\prime\prime}+4y=t\cos(2t).

(3.284)

Resposta 0.

$y(t)=\left(c_{1}+\frac{t}{16}\right)\cos(2t)+\left(c_{2}+\frac{t^{2}}{8}\right% )\operatorname{sen}(2t)$

E. 3.3.5.

Mostre que se $y_{1}=y_{1}(t)$ é solução de

y^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=g_{1}(t)

(3.285)

e $y_{2}=y_{2}(t)$ é solução de

y^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=g_{2}(t),

(3.286)

então $y(t)=y_{1}(t)+y_{2}(t)$ é solução de

y^{\prime\prime}+by^{\prime}+cy=g_{1}(t)+g_{2}(t).

(3.287)

Resposta 0.

Dica: Basta usar que $y_{1}^{\prime\prime}+by_{1}^{\prime}+cy_{1}=g_{1}(t)$ e que $y_{2}^{\prime\prime}+by_{2}^{\prime}+cy_{2}=g_{2}(t)$ .

E. 3.3.6.

Resolva

	$\displaystyle y^{\prime\prime}+3y^{\prime}+2y=t,\quad t>0,$		(3.288)
	$\displaystyle y(0)=0,\quad y^{\prime}(0)=0.$		(3.289)

Resposta 0.

$y(t)=-\frac{1}{4}e^{-2t}+e^{-t}+\frac{t}{2}-\frac{3}{4}$

E. 3.3.7.

Considere um sistema massa-mola modelado por

	$\displaystyle ms^{\prime\prime}+\gamma s^{\prime}+ks=\cos(t),\quad t>0,$		(3.290)
	$\displaystyle s(0)=s_{0},\quad s^{\prime}(0)=v_{0},$		(3.291)

onde $m>0$ é a massa, $\gamma>0$ é o coeficiente de resistência do meio, $k>0$ é a constante da mola, $s=s(t)$ é posição da massa ( $s=0$ posição de repouso, $s>0$ mola esticada, $s<0$ mola contraída), $s_{0}$ é a posição inicial e $v_{0}$ é a velocidade inicial da massa.

Supondo que $\gamma^{2}-4mk=0$ , o que pode se dizer sobre o comportamento de $s=s(t)$ para valores de $t$ muito grandes.

Resposta 0.

$s(t)\approx\displaystyle\frac{1}{\gamma^{2}+(k-m)^{2}}\left(\frac{k-m}{\gamma}% \cos(t)+\operatorname{sen}(t)\right)$

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Equações Diferenciais Ordinárias

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3.3 EDO de ordem 2 não homogênea

Nesta seção, vamos discutir o caso de EDOs lineares de segunda ordem, não-homogêneas e com coeficientes constantes. Tais EDOs têm a forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y^{\prime% \prime}+ay^{\prime}+by=g(t)},

(3.163)

e pode-se mostrar que sua solução geral é dada como

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y(t)=c_{1}y_% {1}(t)+c_{2}y_{2}(t)+y_{p}(t)},

(3.164)

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=0

(3.165)

e $y_{p}$ é uma solução particular qualquer de (3.163).

3.3.1 Método da variação dos parâmetros

O método da variação dos parâmetros consiste em calcular uma solução particular de (3.163) da forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y_{p}(t)=u_{% 1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)},

(3.166)

onde $y_{1}$ e $y_{2}$ é um conjunto fundamental de soluções da equação homogênea associada, enquanto $u_{1}$ e $u_{2}$ são funções a serem determinadas.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u_{1}^{% \prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}=0}.

(3.167)

Com isso, temos

	$\displaystyle y_{p}^{\prime}(t)$	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{1}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}+u_{2% }y_{2}^{\prime}$		(3.168)
		$\displaystyle=u_{1}y_{1}^{\prime}+u_{2}y_{2}^{\prime}$		(3.169)

	$\displaystyle y_{p}^{\prime\prime}(t)$	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{1}y_{1}^{\prime\prime}$		(3.170)
		$\displaystyle+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}+u_{2}y_{2}^{\prime\prime}.$		(3.171)

Substituindo $y_{p}$ em (3.163), temos

$\displaystyle g(t)$	$\displaystyle=y_{p}^{\prime\prime}+ay_{p}^{\prime}+by_{p}$	(3.172)
	$\displaystyle=\left(u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u_{1}y_{1}^{\prime\prime}}+u_{2% }^{\prime}y_{2}^{\prime}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{1,0,0}u_{2}y_{2}^{\prime\prime}}\right)$	(3.173)
	$\displaystyle+a({\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}u_{1}y_{1}^{\prime}}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}u_{2}y_{2}^{\prime}})$	(3.174)
	$\displaystyle+b({\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}u_{1}y_{1}}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}u_{2}y_{2}})$	(3.175)
	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}$	(3.176)
	$\displaystyle+\underbrace{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u_{1}(y_{1}^{\prime\prime}+ay_{1}^{\prime}+by_{1})}% }_{=0}$	(3.177)
	$\displaystyle+\underbrace{{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}u_{2}(y_{2}^{\prime\prime}+ay_{2}^{\prime}+by_{2})}% }_{=0}$	(3.178)
	$\displaystyle=u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}.$	(3.179)

Ou seja, (3.167) e (3.179) formam o seguinte sistema de equações

	$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}+u_{2}^{\prime}y_{2}$	$\displaystyle=0$		(3.180)
	$\displaystyle u_{1}^{\prime}y_{1}^{\prime}+u_{2}^{\prime}y_{2}^{\prime}$	$\displaystyle=g(t)$		(3.181)

que têm $u_{1}^{\prime}$ e $u_{2}^{\prime}$ como incógnitas. Aplicando o método de Cramer¹²¹²endnote: ¹²Gabriel Cramer, 1704 - 1752, matemático suíço. Fonte: Wikipedia., obtemos

	$\displaystyle u_{1}^{\prime}$	$\displaystyle=\frac{\begin{vmatrix}0&y_{2}\\ g(t)&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}}$		(3.182)
		$\displaystyle=-\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}$		(3.183)

	$\displaystyle u_{2}^{\prime}$	$\displaystyle=\frac{\begin{vmatrix}y_{1}&0\\ y_{1}^{\prime}&g(t)\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{vmatrix}}$		(3.184)
		$\displaystyle=\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}.$		(3.185)

Ou, ainda, por integração temos

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u_{1}(t)=-% \int\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt}

(3.186)

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u_{2}(t)=% \int\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt}.

(3.187)

Por tudo isso, concluímos que uma solução particular de (3.163) é dada por

	$\displaystyle y_{p}(t)$	$\displaystyle=-y_{1}(t)\int\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$		(3.188)
		$\displaystyle+y_{2}(t)\int\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt.$		(3.189)

Exemplo 3.3.1.

Vamos calcular a solução geral de

y^{\prime\prime}-y=e^{2t}.

(3.190)

Começamos determinando um conjunto fundamental de soluções $y_{1}=y_{1}(t)$ e $y_{2}=y_{2}(t)$ da equação homogênea associada

y^{\prime\prime}-y=0.

(3.191)

A equação característica associada é

r^{2}-1=0,

(3.192)

cujas raízes são $r_{1}=-1$ e $r_{2}=1$ . Segue que

y_{1}(t)=e^{-t}\quad\text{e}\quad y_{2}(t)=e^{t}.

(3.193)

Agora, buscamos por uma solução particular de (3.190) da forma

y_{p}(t)=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t),

(3.194)

onde $u_{1}$ é dada em (3.186) e $u_{2}$ por (3.187). Ambas expressões requer o cálculo do wronskiano

$\displaystyle W(y_{1},y_{2};t)$	$\displaystyle=\left\|\begin{matrix}y_{1}&y_{2}\\ y_{1}^{\prime}&y_{2}^{\prime}\end{matrix}\right\|$	(3.195)
	$\displaystyle=y_{1}y_{2}^{\prime}-y_{2}y_{1}^{\prime}$	(3.196)
	$\displaystyle=e^{-t}e^{t}+e^{t}e^{-t}$	(3.197)
	$\displaystyle=2.$	(3.198)

Com isso, temos

$\displaystyle u_{1}(t)$	$\displaystyle=-\int\frac{y_{2}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$	(3.199)
	$\displaystyle=-\int\frac{e^{t}e^{2t}}{2}\,dt$	(3.200)
	$\displaystyle=-\frac{1}{2}\int e^{3t}\,dt$	(3.201)
	$\displaystyle=-\frac{1}{6}e^{3t}$	(3.202)

$\displaystyle u_{2}(t)$	$\displaystyle=\int\frac{y_{1}(t)g(t)}{W(y_{1},y_{2};t)}\,dt$	(3.203)
	$\displaystyle=\int\frac{e^{-t}e^{2t}}{2}\,dt$	(3.204)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int e^{t}\,dt$	(3.205)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}e^{t}$	(3.206)

Desta forma, obtemos a solução particular

$\displaystyle y_{p}(t)$	$\displaystyle=u_{1}(t)y_{1}(t)+u_{2}(t)y_{2}(t)$	(3.207)
	$\displaystyle=-\frac{1}{6}e^{3t}e^{-t}+\frac{1}{2}e^{t}e^{t}$	(3.208)
	$\displaystyle=-\frac{1}{6}e^{2t}+\frac{1}{2}e^{2t}$	(3.209)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}e^{2t}.$	(3.210)

Observamos que a solução particular é um múltiplo do termo não homogêneo da EDO (3.190). Isso não é apenas um acaso e vamos explorar isso mais adiante no texto.

Por fim, concluímos que a solução geral de (3.190) é

	$\displaystyle y(t)$	$\displaystyle=c_{1}y_{1}(t)+c_{2}y_{2}(t)+y_{p}(t)$		(3.211)
		$\displaystyle=c_{1}e^{-t}+c_{2}e^{t}+\frac{1}{3}e^{2t}.$		(3.212)

3.3.2 Método dos coeficientes a determinar

$\boldsymbol{g(t)=ce^{st}}$

Uma equação da forma

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=ce^{st}

(3.213)

com $s\neq r_{1},r_{2}$ , onde $r_{1}$ e $r_{2}$ são raízes da equação característica, admite solução particular

y_{p}(t)=Ae^{st},

(3.214)

onde $A$ é uma constante a determinar.

Exemplo 3.3.2.

Vamos calcular uma solução particular para

y^{\prime\prime}-y=e^{2t}.

(3.215)

Pelo método dos coeficientes a determinar, buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=Ae^{2t},

(3.216)

observando que $r_{1}=-1$ e $r_{2}=1$ são raízes da equação característica associada.

Substituindo $y_{p}$ na EDO, obtemos

$\displaystyle e^{2t}$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}-y$	(3.217)
	$\displaystyle=\left(Ae^{2t}\right)^{\prime\prime}-Ae^{2t}$	(3.218)
	$\displaystyle=(4A-A)e^{2t}$	(3.219)
	$\displaystyle=3Ae^{2t}.$	(3.220)

Segue que

3A=1\Rightarrow A=\frac{1}{3}.

(3.221)

Daí, concluímos que

y_{p}(t)=\frac{1}{3}e^{2t}

(3.222)

é solução particular da EDO.

Observação 3.3.1.

a)

$s=r_{1}$ . Uma equação da forma

$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=ce^{r_{1}t},$ (3.223)

onde $r_{1}$ é raiz simples da equação característica associada, admite solução particular

$y_{p}(t)=Ate^{r_{1}t}.$ (3.224)
b)

$s=r$ . Uma equação da forma

$y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=ce^{rt},$ (3.225)

onde $r$ é raiz dupla da equação característica associada, admite solução particular

$y_{p}(t)=At^{2}e^{rt}.$ (3.226)

$\boldsymbol{g(t)=c_{n}t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_{0}}$

Uma equação da forma

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=c_{n}t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_{0}

(3.227)

admite solução particular

y_{p}(t)=A_{n}t^{n}+A_{n-1}t^{n-1}+\cdots+A_{0},

(3.228)

onde $A_{n}$ , $A_{n-1}$ , $\dotsc$ , $A_{0}$ são constantes a determinar.

Exemplo 3.3.3.

Vamos calcular uma solução particular para

y^{\prime\prime}-4y=t.

(3.229)

Pelo método dos coeficientes a determinar, buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=A_{1}t+A_{0}.

(3.230)

Substituindo $y_{p}$ na EDO, obtemos

$\displaystyle t$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}-4y$	(3.231)
	$\displaystyle=\left(A_{1}t+A_{0}\right)^{\prime\prime}-4(A_{1}t+A_{0})$	(3.232)
	$\displaystyle=-4A_{1}t-4A_{0}.$	(3.233)

Segue que

	$\displaystyle-4A_{1}=1$	$\displaystyle\Rightarrow A_{1}=-\frac{1}{4},$		(3.234)
	$\displaystyle-4A_{0}=0$	$\displaystyle\Rightarrow A_{0}=0.$		(3.235)

Daí, concluímos que

y_{p}(t)=-\frac{1}{4}t

(3.236)

é solução particular da EDO.

$\boldsymbol{g(t)=c_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+c_{2}\cos(\beta t)}$

Uma equação da forma

y^{\prime\prime}+ay^{\prime}+by=c_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+c_{2}\cos(% \beta t)

(3.237)

admite solução particular

y_{p}(t)=t^{s}[A_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+A_{2}\cos(\beta t)],

(3.238)

onde $s$ é o menor inteiro tal que $y_{p}$ não seja solução da equação homogênea associada e $A_{1}$ e $A_{2}$ são constantes a determinar.

Exemplo 3.3.4.

Vamos calcular uma solução particular para

y^{\prime\prime}+4y=\cos(2t).

(3.239)

Pelo método dos coeficientes a determinar, buscamos por uma solução particular da forma

y_{p}(t)=t[A_{1}\operatorname{sen}(2t)+A_{2}\cos(2t)],

(3.240)

observando que $y_{1}(t)=\cos(2t)$ e $y_{2}(t)=\operatorname{sen}(2t)$ formam um conjunto fundamental de solução para a equação homogênea associada.

Substituindo $y_{p}$ na EDO, obtemos

$\displaystyle\cos(2t)$	$\displaystyle=y^{\prime\prime}+4y$	(3.241)
	$\displaystyle=[A_{1}t\operatorname{sen}(2t)+A_{2}t\cos(2t)]^{\prime\prime}$	(3.242)
	$\displaystyle+4[A_{1}t\operatorname{sen}(2t)+A_{2}t\cos(2t)]$	(3.243)
	$\displaystyle=4A_{1}\cos(2t)-4A_{2}\operatorname{sen}(2t)$	(3.244)

Segue que

	$\displaystyle 4A_{1}=1$	$\displaystyle\Rightarrow A_{1}=\frac{1}{4},$		(3.245)
	$\displaystyle-4A_{2}=0$	$\displaystyle\Rightarrow A_{2}=0.$		(3.246)

Daí, concluímos que

y_{p}(t)=\frac{1}{4}t\operatorname{sen}(2t).

(3.247)

é solução particular da EDO.

Observação 3.3.2.

(Resumo)

$g(t)$	$y_{p}(t)$
$e^{\alpha t}(c_{n}t^{n}+c_{n-1}t^{n-1}+\cdots+c_{0})$	$t^{s}e^{\alpha t}(A_{n}t^{n}+\cdots+A_{0})$
$e^{\alpha t}[c_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+c_{2}\cos(\beta t)]$	$t^{s}e^{\alpha t}[A_{1}\operatorname{sen}(\beta t)+A_{2}\cos(\beta t)]$

$s=0,1,2$ , sendo o menor valor que garanta que $y_{p}$ não seja solução da equação homogênea associada.

Exercícios resolvidos