Equações Diferenciais Ordinárias
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5.2 Integrais de Euler
Nesta seção, vamos estudar as integrais de Euler de primeiro tipo (ou, função beta) e a de segundo tipo (ou, função gama).
5.2.1 Função gama
A função gama (ou integral de Euler de segundo tipo) é definida por
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(5.108) |
para qualquer número real positivo.
Ela pode ser interpretada como a generalização para números reais da função fatorial de números naturais. Isto se deve ao fato de que
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(5.109) |
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(5.110) |
para qualquer número natural2727endnote: 27Por definição, ..
De fato, temos , pois da definição (5.108) temos
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(5.111) |
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(5.112) |
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(5.113) |
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(5.114) |
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(5.115) |
Além disso, vale a propriedade
De fato, da definição (5.108) e por integração por partes, temos
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(5.117) |
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(5.118) |
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(5.119) |
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(5.120) |
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(5.121) |
Logo, para número natural, temos
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(5.122) |
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(5.123) |
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(5.124) |
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(5.125) |
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(5.126) |
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(5.127) |
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(5.128) |
Exemplo 5.2.1.
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(5.129) |
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(5.130) |
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(5.131) |
Figura 5.1: Esboço do gráfico da função gama .
Observação 5.2.1.
Vejamos as seguintes observações:
-
a)
De fato, não está definido pois
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(5.132) |
e
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(5.133) |
-
b)
, com inteiro negativo
De fato, isto pode ser mostrado por indução a partir do item a) e da propriedade (5.116). Verifique!
Observação 5.2.2.
Para números não naturais , o valor de só pode ser computado via técnicas de cálculo numérico. Uma das exceções, , de fato
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(5.134) |
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(5.135) |
Fazendo a substituição , temos , obtemos
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(5.136) |
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(5.137) |
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(5.138) |
Esta última é a conhecida integral de Gauss, a qual tem valor
Logo, concluímos que
5.2.2 Função beta
A função beta (ou, integral de Euler de primeiro tipo) é definida por
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(5.141) |
para quaisquer números reais positivos e .
Sua relação com a função gama é dada por
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(5.142) |
De fato, temos
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(5.143) |
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(5.144) |
Fazendo a mudança de variáveis e , temos a jacobiana
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(5.145) |
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(5.146) |
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(5.147) |
Logo,
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(5.148) |
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(5.149) |
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(5.150) |
o que nos fornece (5.142).
Exemplo 5.2.2.
De fato, de (5.142), temos
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(5.152) |
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(5.153) |
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(5.154) |
Para e números naturais não nulos, a propriedade (5.142) mostra que a função beta guarda a seguinte relação com os coeficientes binomiais
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(5.155) |
onde no denominador do último termo temos o coeficiente binomial
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(5.156) |
De fato, (5.155) decorre de (5.142), pois
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(5.157) |
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(5.158) |
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(5.159) |
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(5.160) |
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Exercícios resolvidos
Solução 0.
Da propriedade (5.116) e de (5.140) , temos
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(5.162) |
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(5.163) |
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(5.164) |
ER 5.2.2.
Verifique que
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(5.165) |
Solução 0.
Fazemos as mudanças de variáveis , donde
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(5.166) |
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(5.167) |
Logo, temos
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(5.168) |
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(5.169) |
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(5.170) |
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(5.171) |
Solução 0.
Da propriedade (5.142), temos
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(5.172) |
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(5.173) |
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(5.174) |
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(5.175) |
Exercícios
Resposta 0.
a) 1; b) 2; c) 24; d) 720
E. 5.2.6.
Verifique que
para todo número real positivo.
Envie seu comentário
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

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5.2 Integrais de Euler
Nesta seção, vamos estudar as integrais de Euler de primeiro tipo (ou, função beta) e a de segundo tipo (ou, função gama).
5.2.1 Função gama
A função gama (ou integral de Euler de segundo tipo) é definida por
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para qualquer número real positivo.
Ela pode ser interpretada como a generalização para números reais da função fatorial de números naturais. Isto se deve ao fato de que
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para qualquer número natural2727endnote: 27Por definição, ..
De fato, temos , pois da definição (5.108) temos
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(5.114) |
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Além disso, vale a propriedade
De fato, da definição (5.108) e por integração por partes, temos
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(5.117) |
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(5.118) |
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Logo, para número natural, temos
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Exemplo 5.2.1.
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(5.129) |
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(5.130) |
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(5.131) |
Figura 5.1: Esboço do gráfico da função gama .
Observação 5.2.1.
Vejamos as seguintes observações:
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a)
De fato, não está definido pois
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(5.132) |
e
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(5.133) |
-
b)
, com inteiro negativo
De fato, isto pode ser mostrado por indução a partir do item a) e da propriedade (5.116). Verifique!
Observação 5.2.2.
Para números não naturais , o valor de só pode ser computado via técnicas de cálculo numérico. Uma das exceções, , de fato
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Fazendo a substituição , temos , obtemos
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Esta última é a conhecida integral de Gauss, a qual tem valor
Logo, concluímos que
5.2.2 Função beta
A função beta (ou, integral de Euler de primeiro tipo) é definida por
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(5.141) |
para quaisquer números reais positivos e .
Sua relação com a função gama é dada por
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De fato, temos
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Fazendo a mudança de variáveis e , temos a jacobiana
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Logo,
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o que nos fornece (5.142).
Exemplo 5.2.2.
De fato, de (5.142), temos
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Para e números naturais não nulos, a propriedade (5.142) mostra que a função beta guarda a seguinte relação com os coeficientes binomiais
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onde no denominador do último termo temos o coeficiente binomial
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De fato, (5.155) decorre de (5.142), pois
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Exercícios resolvidos
Solução 0.
Da propriedade (5.116) e de (5.140) , temos
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Verifique que
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Solução 0.
Fazemos as mudanças de variáveis , donde
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Logo, temos
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Solução 0.
Da propriedade (5.142), temos
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Exercícios
Resposta 0.
a) 1; b) 2; c) 24; d) 720
E. 5.2.6.
Verifique que
para todo número real positivo.
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