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Nesta seção, discutimos sobre a aplicação do método dos coeficientes a determinar na resolução de sistemas de EDOs de primeira ordem lineares. Mais especificamente, vamos considerar sistema da forma
(4.166) |
onde
A solução geral de um tal sistema tem a forma
(4.167) |
onde
O método dos coeficientes a determinar consiste em buscar por
Vamos calcular uma solução geral para o sistema
(4.168) |
O primeiro passo consiste em calcularmos o conjunto fundamental de soluções para o sistema de equações homogêneas associado. Isto foi feito no Exemplo 4.1.1, do qual temos as soluções
(4.169) | ||||
(4.170) |
Agora, com base no termo fonte
(4.171) | ||||
(4.172) |
Assim sendo, buscamos por uma solução particular do sistema (4.168) da forma
(4.173) | ||||
(4.174) |
Substituindo
(4.175) | ||||
(4.176) | ||||
(4.177) |
Logo, por associação, temos
(4.178) | |||
(4.179) |
(4.180) | |||
(4.181) |
(4.182) | |||
(4.183) | |||
(4.184) |
Do calculado, temos a solução particular
(4.185) |
Por fim, a solução geral é
(4.186) |
i.e.,
(4.187) | ||||
(4.188) | ||||
(4.189) |
Calcule uma solução particular de
(4.190) |
Primeiramente, calculamos a forma das soluções fundamentais do sistema de equações homogêneas associado. A matriz2020endnote: 20Os autovalores de uma matriz triangular são iguais aos elementos de sua diagonal. dos coeficientes do sistema tem
(4.191) | ||||
(4.192) |
formam um sistema fundamental de soluções, onde
Do método dos coeficientes a determinar, do formato das soluções fundamentais e do termo não homogêneo2121endnote: 21Veja a Observação 3.3.2., buscamos por uma solução particular da forma
(4.193) |
Denotando a matriz de coeficientes do sistema por
(4.194) | |||
(4.195) |
Daí, segue que
(4.196) |
Do termo
(4.197) |
Disso e do termo
(4.198) | |||
(4.199) | |||
(4.200) |
Concluímos que
(4.201) |
é solução particular do sistema.
Calcule a solução do PVI
(4.202) | ||||
(4.203) |
Primeiramente, calculamos a solução geral da forma
(4.204) |
onde
Notamos que
(4.205) | ||||
(4.206) |
O vetor
(4.207) | |||
(4.208) | |||
(4.209) |
Por outro lado,
(4.210) | |||
(4.211) | |||
(4.212) |
Com isso, temos obtidas
(4.213) | ||||
(4.214) |
No Exercício Resolvido 4.2.1, calculamos a solução particular
(4.215) |
Até aqui, temos calculado a solução geral
(4.216) | ||||
(4.217) | ||||
(4.218) |
Por fim, aplicamos a condição inicial
(4.219) | |||
(4.220) |
Ou seja,
Concluímos que a solução do PVI é
(4.221) | ||||
(4.222) | ||||
(4.223) |
Calcule uma solução particular de
(4.224) |
Calcule uma solução particular de
(4.225) | ||||
(4.226) |
Encontre a solução geral de
(4.227) | ||||
(4.228) |
Calcule a solução de
(4.229) | ||||
(4.230) |
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!
Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.
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(4.167) |
onde
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(4.168) |
O primeiro passo consiste em calcularmos o conjunto fundamental de soluções para o sistema de equações homogêneas associado. Isto foi feito no Exemplo 4.1.1, do qual temos as soluções
(4.169) | ||||
(4.170) |
Agora, com base no termo fonte
(4.171) | ||||
(4.172) |
Assim sendo, buscamos por uma solução particular do sistema (4.168) da forma
(4.173) | ||||
(4.174) |
Substituindo
(4.175) | ||||
(4.176) | ||||
(4.177) |
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(4.179) |
(4.180) | |||
(4.181) |
(4.182) | |||
(4.183) | |||
(4.184) |
Do calculado, temos a solução particular
(4.185) |
Por fim, a solução geral é
(4.186) |
i.e.,
(4.187) | ||||
(4.188) | ||||
(4.189) |
Calcule uma solução particular de
(4.190) |
Primeiramente, calculamos a forma das soluções fundamentais do sistema de equações homogêneas associado. A matriz2020endnote: 20Os autovalores de uma matriz triangular são iguais aos elementos de sua diagonal. dos coeficientes do sistema tem
(4.191) | ||||
(4.192) |
formam um sistema fundamental de soluções, onde
Do método dos coeficientes a determinar, do formato das soluções fundamentais e do termo não homogêneo2121endnote: 21Veja a Observação 3.3.2., buscamos por uma solução particular da forma
(4.193) |
Denotando a matriz de coeficientes do sistema por
(4.194) | |||
(4.195) |
Daí, segue que
(4.196) |
Do termo
(4.197) |
Disso e do termo
(4.198) | |||
(4.199) | |||
(4.200) |
Concluímos que
(4.201) |
é solução particular do sistema.
Calcule a solução do PVI
(4.202) | ||||
(4.203) |
Primeiramente, calculamos a solução geral da forma
(4.204) |
onde
Notamos que
(4.205) | ||||
(4.206) |
O vetor
(4.207) | |||
(4.208) | |||
(4.209) |
Por outro lado,
(4.210) | |||
(4.211) | |||
(4.212) |
Com isso, temos obtidas
(4.213) | ||||
(4.214) |
No Exercício Resolvido 4.2.1, calculamos a solução particular
(4.215) |
Até aqui, temos calculado a solução geral
(4.216) | ||||
(4.217) | ||||
(4.218) |
Por fim, aplicamos a condição inicial
(4.219) | |||
(4.220) |
Ou seja,
Concluímos que a solução do PVI é
(4.221) | ||||
(4.222) | ||||
(4.223) |
Calcule uma solução particular de
(4.224) |
Calcule uma solução particular de
(4.225) | ||||
(4.226) |
Encontre a solução geral de
(4.227) | ||||
(4.228) |
Calcule a solução de
(4.229) | ||||
(4.230) |
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!
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