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4 Problema de Valor Inicial 4.4 Método de Euler Implícito 4.6 Método adaptativo com controle de erro

4.5 Métodos de Passo Múltiplo

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Seja um Problema de Valor Inicial (PVI)

	$\displaystyle y^{\prime}(t)$	$\displaystyle=f(t,y(t)),\quad t_{0}<t\leq t_{f},$		(4.173a)
	$\displaystyle y(t_{0})$	$\displaystyle=y_{0}.$		(4.173b)

Assumimos uma discretização uniforme no tempo $t^{(k)}=t_{0}+kh$ , com tamanho de passo $h=(t_{f}-t_{0})/n$ . Do Teorema Fundamental do Cálculo, temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}y\left(t^{(k+i% )}\right)=y\left(t^{(k-j)}\right)+\int_{t^{(k-j)}}^{t^{(k+i)}}f(s,y(s))\,ds.

(4.174)

A ideia é aproximar a integral por uma quadratura de Newton¹⁷¹⁷endnote: ¹⁷Isaac Newton, 1642 - 1727, matemático, físico, astrônomo, teólogo e autor inglês. Fonte: Wikipédia: Isaac Newton.-Cotes¹⁸¹⁸endnote: ¹⁸Roger Cotes, 1682 - 1716, matemático inglês. Fonte: Wikipédia: Roger Cotes.. Das regras¹⁹¹⁹endnote: ¹⁹Consulte as Notas de Aula: Matemática Numérica II: Integração: Regras de Newton-Cotes., temos

\int_{t^{(k-j)}}^{t^{(k+i)}}f(s,y(s))\,ds\approx\sum_{l=1}^{m}f\left(s^{(l)},y% (s^{(l)})\right)w^{(l)},

(4.175)

onde $s^{(l)}$ são os nodos e $w^{(l)}$ os pesos da quadratura, $l=1,2,\dotsc,m$ .

4.5.1 Métodos de Adams-Bashforth

Métodos de Adams-Bashforth são métodos explícitos de passo múltiplo obtidos ao escolhermos $j=0$ e $i=1$ em (4.175), i.e.

y\left(t^{(k+1)}\right)=y\left(t^{(k)}\right)+\int_{t^{(k)}}^{t^{(k+1)}}f(s,y(% s))\,ds.

(4.176)

Aplicando as regras de Newton-Cotes, escolhemos os nodos de quadratura $s^{(l)}=t^{(k-l+1)}$ , $l=1,2,\dotsc,m$ , e, então

\int_{t^{(k)}}^{t^{(k+1)}}f(s,y(s))\,ds\approx\sum_{l=1}^{m}f\left(s^{(l)},y(s% ^{(l)})\right)w^{(l)},

(4.177)

w^{(l)}=\int_{t^{(k)}}^{t^{(k+1)}}\prod_{\overset{p=1}{p\neq l}}^{m}\frac{s-s^% {(p)}}{s^{(l)}-s^{(p)}}\,ds.

(4.178)

Agora, fazendo a mudança de variável $u=\left(s-t^{(k)}\right)/h$ , obtemos

w^{(l)}=h\int_{0}^{1}\prod_{\overset{p=1}{p\neq l}}^{m}\frac{u+p-1}{p-l}\,du

(4.179)

Donde, obtemos o seguinte esquema numérico

y^{(k+1)}=y^{(k)}+h\sum_{l=1}^{m}w^{(l)}f(t^{(k-l+1)},y^{(k-l+1)}),

(4.180)

onde

w^{(l)}=\int_{0}^{1}\prod_{\overset{p=1}{p\neq l}}^{m}\frac{s+p-1}{p-l}\,ds.

(4.181)

Observação 4.5.1.

(Ordem de Truncamento.) A ordem de truncamento de um Método de Adams-Bashforth de $m$ -passos é $O(h^{m})$ [2].

Método de Adams-Bashforth de Ordem 2

Tomando $m=2$ em (4.181), temos

w^{(1)}=\int_{0}^{1}s+1\,ds=\frac{3}{2}

(4.182)

w^{(2)}=\int_{0}^{1}-s\,ds=-\frac{1}{2}.

(4.183)

Então, de (4.180) temos a iteração do método de Adams-Bashforth de $2$ passos:

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.184)
		$\displaystyle y^{(1)}=\tilde{y}_{1},$
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{2}\left[3f(t^{(k)},y^{(k)})-f(t^{(k-1% )},y^{(k-1)})\right],$

com $t^{(k)}=t_{0}+kh$ , $h=(t_{f}-t_{0})/n$ , $k=0,1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 4.5.1.

Consideramos o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),t>0$		(4.185a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.185b)

Na Tabela 4.7, temos as aproximações $\tilde{y}(1)$ de $y(1)$ computadas pelo Método de Adams-Bashforth de $2$ passos. Como este método é de ordem $2$ , escolhemos inicializá-lo pelo método do ponto médio, de forma a mantermos a consistência.

Tabela 4.7: Resultados referentes ao Exemplo 4.5.1

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.01582$	$1.2\mathrm{e}\!-\!02$
$10^{-2}$	$2.02727$	$1.3\mathrm{e}\!-\!04$
$10^{-3}$	$2.02739$	$1.3\mathrm{e}\!-\!06$
$10^{-4}$	$2.02740$	$1.3\mathrm{e}\!-\!08$
$10^{-5}$	$2.02740$	$1.3\mathrm{e}\!-\!10$

Código 13: abs2.py

⬇

1import numpy as np

3def ab2(f, t0, y0, h, n):

5 # inicialização

6 y1 = y0 + h/2*f(t0, y0)

7 y1 = y0 + h*f(t0+h/2, y1)

8 t1 = t0 + h

10 # iterações

11 for k in range(1,n):

12 y = y1 + h/2*(3*f(t1, y1) \

13 - f(t0, y0))

14 t = t1 + h

16 t0 = t1

17 y0 = y1

19 t1 = t

20 y1 = y

22 return t, y

24def f(t, y):

25 return y + np.sin(t)

27# analítica

28def exata(t):

29 return np.exp(t) - 0.5*np.sin(t) - 0.5*np.cos(t)

31h = 1e-1

32n = round(1./h)

33t,y = ab2(f, 0., 0.5, h, n)

34print(f'{h:.1e}: {y:.5e} {np.abs(y-exata(1)):.1e}')

Método de Adams-Bashforth de Ordem 4

Tomando $m=4$ em (4.181) obtemos, de (4.180), a iteração do método de Adams-Bashforth de $4$ passos

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.186)
		$\displaystyle y^{(1)}=\tilde{y}_{1},$
		$\displaystyle y^{(2)}=\tilde{y}_{2},$
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{24}\left[55f(t^{(k)},y^{(k)})\right.$
		$\displaystyle\qquad\qquad\left.-59f(t^{(k-1)},y^{(k-1)})+37f(t^{(k-2)},y^{(k-2% )})\right.$
		$\displaystyle\qquad\qquad\left.-9f(t^{(k-3)},y^{(k-3)})\right],$

Exemplo 4.5.2.

Consideremos o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}-y$	$\displaystyle=\operatorname{sen}(t),t>0$		(4.187)
	$\displaystyle y(0)$	$\displaystyle=\frac{1}{2}.$		(4.188)

Na Tabela 4.8, temos as aproximações $\tilde{y}(1)$ de $y(1)$ computadas pelo método de Adams-Bashforth de $4$ passos. Como este método é de ordem $3$ , escolhemos inicializá-lo pelo método de Runge-Kutta de ordem $4$ , de forma a mantermos a consistência.

Tabela 4.8: Resultados referentes ao Exemplo 4.5.2

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.02735$	$5.0\mathrm{e}\!-\!05$
$10^{-2}$	$2.02740$	$7.7\mathrm{e}\!-\!09$
$10^{-3}$	$2.02740$	$7.9\mathrm{e}\!-\!13$

Código 14: ab4.py

⬇

1import numpy as np

3def ab4(f, t0, y0, h, n):

5 t = np.empty(5)

6 t[0] = t0

7 y = np.empty(5)

8 y[0] = y0

10 # inicialização

11 for k in range(3):

12 phi1 = f(t[k], y[k])

13 phi2 = f(t[k]+h/2, y[k] + h*phi1/2)

14 phi3 = f(t[k]+h/2, y[k] + h*phi2/2)

15 phi4 = f(t[k]+h, y[k] + h*phi3)

17 y[k+1] = y[k] + h/6 \

18 * (phi1 + 2*phi2 + 2*phi3 + phi4)

19 t[k+1] = t[k] + h

21 # iterações

22 for k in range(3,n):

23 y[4] = y[3] + h/24*(55*f(t[3], y[3]) \

24 - 59*f(t[2], y[2]) \

25 + 37*f(t[1], y[1]) \

26 - 9*f(t[0], y[0]))

27 t[4] = t[3] + h

29 t[:4] = t[1:]

30 y[:4] = y[1:]

32 return t[4], y[4]

34def f(t, y):

35 return y + np.sin(t)

37# analítica

38def exata(t):

39 return np.exp(t) - 0.5*np.sin(t) - 0.5*np.cos(t)

41h = 1e-3

42n = round(1./h)

43t,y = ab4(f, 0., 0.5, h, n)

44print(f'{h:.1e}: {y:.5e} {np.abs(y-exata(1)):.1e}')

4.5.2 Métodos de Adams-Moulton

Métodos de Adams-Moulton são esquemas implícitos obtidos tomando-se $i=1$ , $j=0$ em (4.174) e incluindo-se $t^{(k+1)}$ como nodo da quadratura em (4.175).

Método de Admans-Moulton de 2 Passos

A iteração do de Admans-Moulton de 2 Passos (A-B-2)²⁰²⁰endnote: ²⁰Consulte o Exercício 4.5.6 é

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.189)
		$\displaystyle y^{(1)}=\tilde{y}_{1},$
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{12}\left[5f\left(t^{(k+1)},y\left(t^{% (k+1)}\right)\right)\right.$
		$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad+8f\left(t^{(k)},y\left(t^{(k)}\right)\right)$
		$\displaystyle\qquad\qquad\qquad\qquad\left.-f\left(t^{(k-1)},y\left(t^{(k-1)}% \right)\right)\right]$

Observação 4.5.2.

(Estimativa do Erro Local.) O método A-B-2 tem erro de truncamento local da $O(h^{3})$ .

A inicialização do método A-B-2 requer a computação de $y^{(1)}$ por algum método de passo simples. Manter a consistência é um desafio e uma alternativa é a utilização de um esquema preditor-corretor.

Método Preditor-Corretor

Um Método Preditor-Corretor consistem em acoplar um método explícito com um implícito. A cada passo no tempo $t^{(k)}$ , o método explícito (preditor) é usado para computar uma primeira aproximação $\tilde{y}^{(k)}\approx y\left(t^{(k)}\right)$ e, o método implícito (corretor) é usado para computar $y^{(k)}$ , usando $\tilde{y}^{(k)}$ no esquema.

Exemplo 4.5.3.

Consideremos o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),0<t\leq 1,$		(4.190a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.190b)

Na Tabela 4.9, temos as aproximações $\tilde{y}(1)$ de $y(1)$ computadas pelo Método Preditor-Corretor de Adams de $2$ passos²¹²¹endnote: ²¹Com erro de truncamento local de $O(h^{2})$ .. Para a inicialização, usamos o Método do Ponto Médio 4.126, como preditor o Método de Adams-Bashforth de 2 passos (4.184) e como corretor o Método de Adams-Moulton (4.189).

Tabela 4.9: Resultados referentes ao Exemplo 4.5.3.

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.02638$	$1.0\mathrm{e}\!-\!03$
$10^{-2}$	$2.02739$	$1.1\mathrm{e}\!-\!06$
$10^{-3}$	$2.02740$	$1.2\mathrm{e}\!-\!09$

Código 15: pca2.py

⬇

1import numpy as np

3def pca2(f, t0, y0, h, n):

5 t = np.empty(3)

6 t[0] = t0

7 y = np.empty(3)

8 y[0] = y0

10 # inicialização (PM 2)

11 y[1] = y[0] + h/2*f(t[0], y[0])

12 y[1] = y[0] + h*f(t[0]+h/2, y[1])

13 t[1] = t[0] + h

16 # iterações

17 for k in range(1,n):

19 # preditor (AB 2)

20 y[2] = y[1] + h/2*(3*f(t[1],y[1]) \

21 - f(t[0], y[0]))

22 t[2] = t[1] + h

23 # corretor (AM 2)

24 y[2] = y[1] + h/12*(5*f(t[2],y[2]) \

25 + 8*f(t[1], y[1]) \

26 - f(t[0], y[0]))

28 t[:2] = t[1:]

29 y[:2] = y[1:]

31 return t[2], y[2]

33def f(t, y):

34 return y + np.sin(t)

36# analítica

37def exata(t):

38 return np.exp(t) - 0.5*np.sin(t) - 0.5*np.cos(t)

40h = 1e-1

41n = round(1./h)

42t,y = pca2(f, 0., 0.5, h, n)

43print(f'{h:.1e}: {y:.5e} {np.abs(y-exata(1)):.1e}')

Método de Adams-Moulton de 4 Passos

O Método de Adams-Moulton de 4 Passos é um método implícito com erro de truncamento local de $O(h^{5})$ . Sua iteração consiste em

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.191)
		$\displaystyle y^{(1)}=\tilde{y}_{1},$
		$\displaystyle y^{(2)}=\tilde{y}_{2},$
		$\displaystyle y^{(3)}=\tilde{y}_{3},$
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{720}\left[251f\left(t^{(k+1)},y^{(k+1% )}\right)\right.$
		$\displaystyle\qquad\qquad\left.+646f\left(t^{(k)},y^{(k)}\right)-264f\left(t^{% (k-1)},y^{(k-1)}\right)\right.$
		$\displaystyle\qquad\qquad\left.+106f\left(t^{(k-2)},y^{(k-2)}\right)-19f\left(% t^{(k-3)},y^{(k-3)}\right)\right].$

Exemplo 4.5.4.

Consideramos o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),0<t\leq 1,$		(4.192a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.192b)

Podemos computar uma aproximação para $y(1)$ usando um esquema preditor-corretor com: inicialização pelo Método RK-4 4.131, preditor o Método de Adams-Bashforth de 4 passos (4.186) e como corretor o Método de Adams-Moulton (4.191). Isto nos fornece um método com erro de truncamento local mínimo de $O(h^{4})$ . Consulte o Exercício 4.5.4.

4.5.3 Exercícios

E. 4.5.1.

Considere o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}+e^{-y^{2}+1}=2,\quad t>1,$		(4.193a)
	$\displaystyle y(1)=-1.$		(4.193b)

Inicializando pelo Método de Euler, use os seguintes métodos de passo múltiplo com $h=0,1$ para computar o valor aproximado de $y(2)$ :

a)

método de Adams-Bashforth de ordem $2$ .
b)

método de Adams-Bashforth de ordem $3$ .
c)

método de Adams-Bashforth de ordem $4$ .

Resposta.

a) $-6.00696\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $-5.96694\mathrm{e}\!-\!1$ ; c) $-5.96161\mathrm{e}\!-\!1$

E. 4.5.2.

(4.2.1) Considere o PVI

	$\displaystyle y^{\prime}+\cos(t)=y,\quad 0<t\leq 1,$		(4.194a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.194b)

Usando um método de inicialização adequado, aplique os seguintes métodos para computar aproximações para $y(1)$ :

a)

Método de Adams-Bashforth de 2 Passos.
b)

Método de Adams-Bashforth de 4 Passos.

Em cada caso, verifique se seus resultados satisfazem a ordem esperada do erro de truncamento local.

Resposta.

Dica: solução analítica é $y(t)=\frac{1}{2}\cos(t)-\frac{1}{2}\sin(t)$ .

a) Inicialização pelo Método do Ponto Médio, $\tau=O(h^{2})$ ; b) Inicialização pelo Método de RK-4, $\tau=O(h^{4})$ .

E. 4.5.3.

Desenvolva o Método de Adams-Bashforth de ordem 3. Para tando, assuma $m=3$ em (4.181) para obter as iterações

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.195)
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{12}\left[23f(t^{(k)},y^{(k)})\right.$
		$\displaystyle\qquad\qquad\left.-16f(t^{(k-1)},y^{(k-1)})+5f(t^{(k-2)},y^{(k-2)% })\right],$

Escolha um método adequado para inicializá-lo e implemente-o para computar a solução aproximada de $y(1)$ para o PVI

	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),0<t\leq 1,$		(4.196a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.196b)

Resposta.

Dica: use um Método de R-K com $O(h^{P})$ , $p\geq 3$ , como inicializador.

E. 4.5.4.

Considere o PVI

	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),0<t\leq 1,$		(4.197a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.197b)

Compute aproximações para $y(1)$ usando um esquema preditor-corretor com: inicialização pelo Método RK-4 4.131, preditor o Método de Adams-Bashforth de 4 passos (4.186) e como corretor o Método de Adams-Moulton (4.191). Verifique que isso nos fornece um método com erro de truncamento local mínimo de $O(h^{4})$ .

Resposta.

Dica: solução analítica é $y(t)=e^{t}-\frac{1}{2}\operatorname{sen}(t)-\frac{1}{2}\cos(t)$ .

E. 4.5.5.

O Método de Adams-Moulton de 3 passos (AM-3) é um método implícito com erro de truncamento local de $O(h^{4})$ . Sua iteração consiste em

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.198)
		$\displaystyle y^{(1)}=\tilde{y}_{1},$
		$\displaystyle y^{(2)}=\tilde{y}_{2},$
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{24}\left[9f\left(t^{(k+1)},y^{(k+1)}% \right)\right.$
		$\displaystyle\qquad\qquad\left.+19f\left(t^{(k)},y^{(k)}\right)-5f\left(t^{(k-% 1)},y^{(k-1)}\right)\right.$
		$\displaystyle\qquad\qquad\left.+f\left(t^{(k-2)},y^{(k-2)}\right)\right].$

Refaça o Exercício 4.5.4 substituindo o método corretor pelo AM-3. Verifique se suas computações satisfazem o espero erro de truncamento local.

Resposta.

Dica: $\tau=O(h^{4})$ .

Análise Numérica

E. 4.5.6.

Mostre o desenvolvimento do Método de Adams-Moulton de 2 passos (4.189).

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