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4 Problema de Valor Inicial 4.3 Métodos de Runge-Kutta 4.5 Métodos de Passo Múltiplo

4.4 Método de Euler Implícito

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Seja o Problema de Valor Inicial (PVI)

	$\displaystyle y^{\prime}=f(t,y),t_{0}<t\leq t_{f},$		(4.141a)
	$\displaystyle y(t_{0})=y_{0},$		(4.141b)

com dados $t_{0},t_{f}\in\mathbb{R}$ e $y_{0}\in\mathbb{R}$ , sendo a função $y=y(t)$ a incógnita.

Consideramos a discretização no tempo $t^{(k)}:=t_{0}+hk$ , $k=0,1,2,\dotsc,n$ , com passo $h:=(t_{f}-t_{0})/n$ . De (4.4) e do Teorema Fundamental do Cálculo temos

y\left(t^{(k+1)}\right)=y\left(t^{(k)}\right)+\int_{t^{(k)}}^{t^{(k+1)}}f(t,y)% \,dt.

(4.142)

A integral pode ser aproximada por

\int_{t^{(k)}}^{t^{(k+1)}}f(t,y)\,dt\approx hf\left(t^{(k+1)},y^{(k+1)}\right)

(4.143)

donde obtemos

y\left(t^{(k+1)}\right)\approx y\left(t^{(k)}\right)+hf\left(t^{(k+1)},y^{(k+1% )}\right).

(4.144)

Isto nos motiva a iteração do Método de Euler Implícito¹⁶¹⁶endnote: ¹⁶Leonhard Paul Euler, 1707-1783, matemático e físico suíço. Fonte: Wikipédia: Ronald Fisher.

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.145)
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+hf\left(t^{(k+1)},y^{(k+1)}\right),$		(4.145)

sendo $y^{(k)}\approx y\left(t^{(k)}\right)$ , $k=0,1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 4.4.1.

Consideremos o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),t>0$		(4.146a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.146b)

Na Tabela 4.6, temos as aproximações $\tilde{y}(1)\approx y(1)$ computadas pelo Método de Euler Implícito com diferentes passos $h$ .

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.23660$	$2.1\mathrm{e}\!-\!1$
$10^{-2}$	$2.04660$	$1.9\mathrm{e}\!-\!2$
$10^{-3}$	$2.02930$	$1.9\mathrm{e}\!-\!3$
$10^{-4}$	$2.02759$	$1.9\mathrm{e}\!-\!4$
$10^{-5}$	$2.02741$	$1.9\mathrm{e}\!-\!5$
$10^{-6}$	$2.02740$	$1.9\mathrm{e}\!-\!6$

Tabela 4.6: Resultados referentes ao Exemplo 4.4.1

Código 12: eulerImp.py

⬇

1import numpy as np

2from scipy.optimize import fsolve

4def eulerimp(f, t0, y0, h, n):

5 t = t0

6 y = y0

7 for k in range(n):

8 y = fsolve(lambda x:

9 x - y - h*f(t+h, x),

10 x0 = y, xtol=1e-14)[0]

11 t += h

12 return t, y

14def f(t, y):

15 return y + np.sin(t)

17# analítica

18def exata(t):

19 return np.exp(t) - 0.5*np.sin(t) - 0.5*np.cos(t)

21h = 1e-1

22n = round(1./h)

23t,y = eulerimp(f, 0., 0.5, h, n)

24print(f'{h:.1e}: {y:.5e} {np.abs(y-exata(1)):.1e}')

4.4.1 Análise Numérica

O Método de Euler Implícito é $O(h)$ . De fato, tomando o polinômio de Taylor

y(t)=y(t+h)-hf\left(t+h,y(t+h)\right)+O(h^{2}),

(4.147)

temos

$\displaystyle\tau(t,y;h)$	$\displaystyle:=\Delta(t,y;h)-\Phi(t,y;h)$	(4.148)
	$\displaystyle=\underbrace{\frac{y(t+h)-y(t)}{h}}_{:=\Delta}-\underbrace{f(t+h,% y(t+h);h)}_{:=\Phi}$	(4.149)
	$\displaystyle=O(h).$	(4.150)

Estabilidade

Um método é dito ser estável quando pequenas perturbações na condição inicial produzem pequenas alterações nas aproximações subsequentes, i.e. os resultados dependem continuamente dos dados iniciais.

Exemplo 4.4.2.

Consideramos o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}=-40y,0<t\leq 1,$		(4.151a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{3}.$		(4.151b)

A solução exata é $y(t)=\frac{1}{5}e^{-40t}$ . Na tabela abaixo, temos os resultados obtidos por computações com o Método de Euler (Explícito, $\tilde{y}_{e}$ ) e o Método de Euler Implícito ( $\tilde{y}_{i}$ ) para $h=10^{-1}$ e $10^{-2}$ .

h	$\left\|\tilde{y}_{e}(1)-y(1)\right\|$	$\left\|\tilde{y}_{i}(1)-y(1)\right\|$
$10^{-1}$	$2.0\mathrm{e}\!+\!04$	$3.8\mathrm{e}\!-\!08$
$10^{-2}$	$1.4\mathrm{e}\!-\!18$	$8.1\mathrm{e}\!-\!16$

Estabilidade do Euler Explícito

Consideramos o PVI

	$\displaystyle y^{\prime}=\lambda y,t>0,$		(4.152a)
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$		(4.152b)

para dados $\lambda<0$ e $y_{0}\in\mathbb{R}$ .

A iteração do Método de Euler Explícito para este PVI consiste em

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.153)
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+h\lambda y^{(k)},$		(4.153)

donde temos

y^{(k+1)}=(1+h\lambda)^{k+1}y_{0}.

(4.154)

Tendo em vista a solução exata $y(t)=y_{0}e^{\lambda t}$ , temos que o erro global é

	$\displaystyle\left\|y\left(t^{(k)}\right)-y^{(k)}\right\|$	$\displaystyle=\left\|y_{0}e^{\lambda hk}-y_{0}(1+h\lambda)^{k}\right\|$		(4.155)
		$\displaystyle=\left\|\left(e^{\lambda h}\right)^{k}-(1+h\lambda)^{k}\right\|\|y_{% 0}\|$		(4.156)

e, portanto, a exatidão é determinada por quão bem $1+h\lambda$ aproxima $e^{\lambda h}$ . Observamos que, para qualquer $\lambda<0$ , $\left(e^{\lambda h}\right)^{k}\to 0$ quando $t\to\infty$ . Por outro lado, para $y^{(k)}\to 0$ , quando $t\to 0$ , é necessário que $|1+h\lambda|<1$ , i.e. o passo do Método de Euler fica restrito

h<\frac{2}{|\lambda|}

(4.157)

Supondo um erro de arredondamento $\delta_{0}$ (apenas) na condição inicial, as aproximações subsequentes do Método de Euler Explícito ficariam

y^{(k+1)}=(1+h\lambda)^{k+1}\left(y_{0}+\delta_{0}\right),

(4.158)

donde temos que

\delta^{(k)}=(1+h\lambda)^{k}\delta_{0}

(4.159)

é o valor propagado de $\delta_{0}$ na $k$ -ésima iteração. Ou seja, quando $|1+h\lambda|>1$ , temos que $\delta^{(k)}\to\infty$ quando $k\to\infty$ e o método é instável. Concluímos que o Método de Euler Explícito é estável para

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}h<\frac{2}{|% \lambda|}.

(4.160)

Estabilidade do Euler Implícito

O Método de Euler Implícito é incondicionalmente estável. Para o PVI (4.4.1), o método produz as aproximações

y^{(k)}=\left(1-h\lambda\right)^{-k}y_{0}.

(4.161)

Aqui, para qualquer $\lambda<0$ , temos que

\left(1-h\lambda\right)^{-k}\to 0,\quad k\to\infty,

(4.162)

para qualquer escolha do passo $h>0$ . Isto mostra a estabilidade incondicional do método. Também, o Exercício 4.4.7 mostra que o método é convergente para o PVI (4.4.1).

4.4.2 Exercícios

E. 4.4.1.

Considere o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}=y+1,\leavevmode\nobreak\ 0<t\leq 1,$		(4.163a)
	$\displaystyle y(0)=0,$		(4.163b)

com solução exata $y(t)=e^{t}-1$ . Use o Método de Euler Implícito com $h=10^{-1}$ para computar uma aproximação de $y(1)$ . Então, verifique a ordem de convergência para diferentes passos $h=10^{-1},10^{-2},10^{-3}$ e $10^{-4}$ .

Resposta.

Dica.

	$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+hf\left(t^{(k+1)},y^{(k+1)}\right)$		(4.164a)
	$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+h\left(y^{(k+1)}+1\right)$		(4.164b)
	$\displaystyle y^{(k+1)}=\frac{y^{(k)}+h}{1-h}.$		(4.164c)

E. 4.4.2.

Considere o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}=-50y+50,0<t\leq 1,$		(4.165a)
	$\displaystyle y(0)=2,$		(4.165b)

com solução exata $y(t)=1+e^{-50t}$ . Com $h=10^{-1}$ , compute a aproximação de $y(1)$ dada pelo

a)

Método de Euler Explícito.
b)

Método de Euler Implícito.

Por que os resultados são tão diferentes entre os métodos? Escolha um passo $h$ em que ambos produzam resultados satisfatórios e justifique sua escolha.

Resposta.

Dica: consulte a condição de estabilidade (4.160).

E. 4.4.3.

Use o Método de Euler Implícito, com $h=10^{-1}$ , para computar aproximações para a solução do PVI discutido no Exemplo 4.1.1. Compare os resultados com aqueles apresentados com o Método de Euler Explícito.

E. 4.4.4.

O problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}=\pi\left[\cos^{2}(\pi t)-\operatorname{sen}^{2}(\pi t% )\right],\leavevmode\nobreak\ t>0,$		(4.166a)
	$\displaystyle y(0)=0.$		(4.166b)

tem solução analítica $y(t)=\operatorname{sen}(\pi t)\cos(\pi t)$ . Compute a aproximação $\tilde{y}(1.5)\approx y(1.5)$ pelo Método de Euler Implícito com passo $h=10^{-1}$ e forneça o erro $\varepsilon:=\left|\tilde{y}(1.5,h)-y(1.5)\right|$ .

Resposta.

$\tilde{y}(1.5)=6.65400\mathrm{e}\!-\!1$ , $\varepsilon=6.7E-01$

E. 4.4.5.

Use o Método de Euler Implícito para computar a solução de

	$\displaystyle y^{\prime}=e^{2t}-2y,\quad 0<t\leq 1,$		(4.167a)
	$\displaystyle y(0)=0.$		(4.167b)

Escolha um passo $h$ adequado de forma que $y(1)$ seja computado com precisão de $5$ dígitos significativos.

E. 4.4.6.

Considere o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}+e^{-y^{2}+1}=2,\quad t>1,$		(4.168a)
	$\displaystyle y(1)=-1.$		(4.168b)

Use o Método de Euler Implícito para computar o valor aproximado de $y(2)$ com precisão de $6$ dígitos significativos.

Análise Numérica

E. 4.4.7.

Mostre que o Método de Euler Implícito é convergente para a solução exata do PVI (4.4.1) para qualquer $\lambda<0$ .

Resposta.

$\displaystyle y\left(t^{(k)}\right)$	$\displaystyle=y_{0}e^{\lambda t^{(k)}}$	(4.169)
	$\displaystyle=y_{0}\lim_{h\to 0^{+}}\left(1-h\lambda\right)^{-t^{(k)}/h}$	(4.170)
	$\displaystyle=y_{0}\lim_{h\to 0^{+}}\left(1-h\lambda\right)^{-k}$	(4.171)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0^{+}}y^{(k)}.$	(4.172)

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	$\displaystyle\left\|y\left(t^{(k)}\right)-y^{(k)}\right\|$	$\displaystyle=\left\|y_{0}e^{\lambda hk}-y_{0}(1+h\lambda)^{k}\right\|$		(4.155)
		$\displaystyle=\left\|\left(e^{\lambda h}\right)^{k}-(1+h\lambda)^{k}\right\|\|y_{% 0}\|$		(4.156)