Cálculo I

5 Integración 5.5 Integración por partes 5.7 Integración por fracciones parciales

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5.6 Integración por sustitución trigonométrica

En muchos casos, integrales en $x$ que involucran

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}},$		(5.509)
	$\displaystyle\sqrt{x^{2}+a^{2}},$		(5.510)
	$\displaystyle\sqrt{x^{2}-a^{2}},$		(5.511)

con $a>0$ , pueden calcularse por medio de sustituciones que involucran funciones trigonométricas.

Integrales que involucran $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

En el caso de integrales en $x$ que involucran

\sqrt{a^{2}-x^{2}}

(5.512)

con $a>0$ , podemos hacer la sustitución trigonométrica

x=a\mathop{\operator@font sen}\nolimits\theta

(5.513)

con $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$ . Con ello⁷⁷7Recordemos la identidad trigonométrica fundamental $\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ .,

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits^{2}\theta}$		(5.514)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}$		(5.515)
	$\displaystyle\text{}\quad=a\|\cos\theta\|$		(5.516)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|a\|\cos\theta$		(5.517)

ya que $\cos\theta\geq 0$ para todo $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ . Con ello, eliminamos el término radical, pasando a una integral que involucra la función trigonométrica.

Ejemplo 5.6.1.

Vamos a calcular

\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx

(5.518)

a)

Por sustitución trigonométrica.

Realizamos la sustitución trigonométrica

$\displaystyle x=\mathop{\operator@font sen}\nolimits\theta,~{}-\frac{\pi}{2}% \leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$ (5.519)

$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$ (5.520)

Sustituyendo en la integral, obtenemos

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-\mathop{% \operator@font sen}\nolimits^{2}(\theta)}}\cos(\theta)\,d\theta$ (5.521)

$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{\cos(\theta)}{|\cos(\theta)|}\,d\theta$ (5.522)

$\displaystyle\text{}\quad=\int d\theta$ (5.523)

$\displaystyle\text{}\quad=\theta+C$ (5.524)

$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x)+C$ (5.525)
b)

Por integración directa.

Del estudio de las derivadas de las funciones trigonométricas inversas⁸⁸8La derivada de las funciones trigonométricas inversas fue estudiada en la Subsección 3.9.1, tenemos que

$\frac{d}{dx}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)=\frac{1}% {\sqrt{1-x^{2}}}\mathchar 46\relax$ (5.526)

Luego, por la definición de integral indefinida, tenemos

$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x)+C$ (5.527)

como era de esperar.

Código 106: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import integrate

3integrate(1/sqrt(1 - x**2), x)

asin(x)

Integrales que involucran $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

En el caso de integrales en $x$ que involucran

\sqrt{a^{2}+x^{2}}

(5.528)

con $a>0$ , podemos hacer la sustitución trigonométrica

x=a\mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta% \leq\frac{\pi}{2}

(5.529)

Con ello⁹⁹9Recordemos la identidad trigonométrica $1+\mathop{\operator@font tg}\nolimits^{2}(x)=\sec^{2}(x)$ .,

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}+x^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}\mathop{\operator@font tg}% \nolimits^{2}(\theta)}$		(5.530)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{a^{2}\sec^{2}(\theta)}$		(5.531)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|a\|\|\sec(\theta)\|$		(5.532)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|a\|\sec(\theta),$		(5.533)

observando que $\sec(\theta)\geq 0$ para $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ .

Ejemplo 5.6.2.

Calcule

\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx

(5.534)

Realizamos la sustitución trigonométrica

	$\displaystyle x=2\mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta),\quad-\frac{\pi}{% 2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$		(5.535)
	$\displaystyle dx=2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.536)

Sustituyendo en la integral, tenemos

	$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx=\int\sqrt{4+4\mathop{\operator@font tg}% \nolimits^{2}(\theta)}\,2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.537)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 4\sec^{3}(\theta)\,d\theta$		(5.538)

Para calcular esta última integral, podemos usar la integración por partes¹⁰¹⁰10Consultemos el E.5.5.9., de donde obtenemos

	$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx=2\sec(\theta)\mathop{\operator@font tg}% \nolimits(\theta)+2\ln\|\sec(\theta)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta% )\|+C$		(5.539)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\sec\left(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg% }\nolimits\left(\frac{x}{2}\right)\right)$
	$\displaystyle\text{}\quad+2\ln\left\|\sec\left(\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font tg}\nolimits\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{x}{2}\right\|+C$		(5.540)

Integrales que involucran $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

En el caso de integrales en $x$ que involucran

\sqrt{x^{2}-a^{2}}

(5.541)

con $a>0$ , podemos hacer la sustitución trigonométrica

x=a\sec(\theta),

(5.542)

asumiendo $0\leq\theta\leq\pi/2$ en el caso $x\geq a$ , y $\pi/2\leq\theta\leq\pi$ cuando $x\leq-a$ .

Ejemplo 5.6.3.

Vamos a calcular

\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx

(5.543)

para $x\geq 2$ . Realizamos la sustitución trigonométrica

	$\displaystyle x=2\sec(\theta),\quad 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$		(5.544)
	$\displaystyle dx=2\sec(\theta)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta)$		(5.545)

Sustituyendo en la integral, tenemos¹¹¹¹11Usaremos la identidad trigonométrica $\sec^{2}(x)-1=\mathop{\operator@font tg}\nolimits^{2}(x)$ .

	$\displaystyle\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx=\int\sqrt{4\sec^{2}(\theta)-4}\cdot 2\sec(% \theta)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta)\,d\theta$		(5.546)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\int\sec(\theta)\mathop{\operator@font tg}\nolimits% ^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.547)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\int\sec^{3}(\theta)\,d\theta-4\int\sec(\theta)\,d\theta$		(5.548)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sec(\theta)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(% \theta)+2\ln\|\sec(\theta)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta)\|$
	$\displaystyle\text{}\quad-4\ln\|\sec(\theta)+\mathop{\operator@font tg}% \nolimits(\theta)\|$		(5.549)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\mathop{\operator@font tg}\nolimits\left(% \operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits\left(\frac{x}{2}\right)\right)$
	$\displaystyle\text{}\quad-2\ln\left\|\frac{x}{2}+\mathop{\operator@font tg}% \nolimits\left(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits\left(% \frac{x}{2}\right)\right)\right\|+C$		(5.550)

5.6.1 Ejercicios resueltos

ER 5.6.1.

Calcule

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}\,dx

(5.551)

Resolución.

Realizamos la sustitución trigonométrica

	$\displaystyle x=5\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\theta),\quad-\frac{\pi}% {2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$		(5.552)
	$\displaystyle dx=5\cos(\theta)\,d\theta$		(5.553)

Sustituyendo en la integral, tenemos

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}=\int_{% x=\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{5\cos(\theta)}{25\mathop{% \operator@font sen}\nolimits^{2}(\theta)\sqrt{25-\mathop{\operator@font sen}% \nolimits^{2}(\theta)}}\,d\theta

(5.554)

Observamos que

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits% \left(\frac{x}{5}\right)$		(5.555)
	$\displaystyle x=\frac{5}{2}$
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font sen}\nolimits\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$		(5.556)
	$\displaystyle x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font sen}\nolimits\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$		(5.557)

Se sigue que

	$\displaystyle\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x% ^{2}}}=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{5\cos(\theta)}{25\mathop{% \operator@font sen}\nolimits^{2}(\theta)\cdot 5\cos(\theta)}\,d\theta$		(5.558)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{% cossec}^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.559)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{25}\left\mathchar 46\relax\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits^{2}(\theta)\right\|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}$		(5.560)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{25}\mathop{\operator@font cotg}\nolimits% \left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac{1}{25}\mathop{\operator@font cotg}\nolimits% \left(\frac{\pi}{6}\right)$		(5.561)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{3}}{25}-\frac{1}{25}$		(5.562)

ER 5.6.2.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx

(5.563)

para $x\leq-2$ .

Resolución.

Realizamos la sustitución trigonométrica

	$\displaystyle x=2\sec(\theta),\quad\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi$		(5.564)
	$\displaystyle dx=2\sec(\theta)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta)$		(5.565)

Sustituyendo en la integral, obtenemos

	$\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx=\int\frac{\sqrt{4-4\sec^{2}(% \theta)}}{2\sec(\theta)}2\sec(\theta)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(% \theta)\,d\theta$		(5.566)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 2\|\mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta)\|% \mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta)\,d\theta$		(5.567)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits^{2}(\theta% )\,d\theta$		(5.568)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\int\left(\sec^{2}(\theta)-1\right)\,d\theta$		(5.569)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta)+2% \theta+C$		(5.570)

Como $x=2\sec(\theta)$ , tenemos $\theta=\operatorname{arc}\sec(x/2)$ y

\displaystyle\mathop{\operator@font tg}\nolimits(\theta)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}% {2}

(5.571)

Concluimos que

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx=2\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen% }\nolimits\left(\frac{x}{2}\right)-\sqrt{x^{2}-4}+C

(5.572)

5.6.2 Ejercicios

E. 5.6.1.

Calcule

\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(5.573)

a)

Por el método de sustitución.
b)

Por el método de sustitución trigonométrica.

a) $u=\frac{1}{2}x$ ; b) $x=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\theta)$ , $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ ; $\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x/2)+C$

E. 5.6.2.

Calcule

\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}

(5.574)

$-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+C$

E. 5.6.3.

Calcule

\int\sqrt{25+x^{2}}\,dx

(5.575)

$\displaystyle x\sec\left(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits% \left(\frac{x}{5}\right)\right)+5\ln\left|\sec\left(\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font tg}\nolimits\left(\frac{x}{5}\right)\right)+\frac{x}{5}\right|+C$

E. 5.6.4.

Calcule

\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(5.576)

$(\sqrt{3}-1)/4$

E. 5.6.5.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}\,dx

(5.577)

para $x\geq 3$ .

$\sqrt{x^{2}-9}-3\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits\left(% \frac{x}{3}\right)+C$

E. 5.6.6.

Use integrales definidas para mostrar que el área de un círculo de radio $\boldsymbol{r}$ es $\boldsymbol{\pi r^{2}}$ .

El área de la semicircunferencia superior de un círculo de radio $r$ está dada por $\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\,dx=r^{2}\frac{\pi}{2}$ . Por lo tanto, el área del círculo completo es $\pi r^{2}$ .

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5.6 Integración por sustitución trigonométrica

Integrales que involucran $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

Ejemplo 5.6.1.

Integrales que involucran $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

Ejemplo 5.6.2.

Integrales que involucran $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

Ejemplo 5.6.3.

5.6.1 Ejercicios resueltos

ER 5.6.1.

Resolución.

ER 5.6.2.

Resolución.

5.6.2 Ejercicios

E. 5.6.1.

E. 5.6.2.

E. 5.6.3.

E. 5.6.4.

E. 5.6.5.

E. 5.6.6.

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	$\displaystyle x=\mathop{\operator@font sen}\nolimits\theta,~{}-\frac{\pi}{2}% \leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$		(5.519)
	$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$		(5.520)

	$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-\mathop{% \operator@font sen}\nolimits^{2}(\theta)}}\cos(\theta)\,d\theta$		(5.521)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{\cos(\theta)}{\|\cos(\theta)\|}\,d\theta$		(5.522)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int d\theta$		(5.523)
	$\displaystyle\text{}\quad=\theta+C$		(5.524)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x)+C$		(5.525)

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5.6 Integración por sustitución trigonométrica

Integrales que involucran 𝒂𝟐−𝒙𝟐

Ejemplo 5.6.1.

Integrales que involucran 𝒂𝟐+𝒙𝟐

Ejemplo 5.6.2.

Integrales que involucran 𝒙𝟐−𝒂𝟐

Ejemplo 5.6.3.

5.6.1 Ejercicios resueltos

ER 5.6.1.

Resolución.

ER 5.6.2.

Resolución.

5.6.2 Ejercicios

E. 5.6.1.

E. 5.6.2.

E. 5.6.3.

E. 5.6.4.

E. 5.6.5.

E. 5.6.6.

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Integrales que involucran $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

Integrales que involucran $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

Integrales que involucran $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$