Cálculo I

5 Integración 5.4 Integración por sustitución 5.6 Integración por sustitución trigonométrica

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5.5 Integración por partes

Sean $u=u(x)$ y $v=v(x)$ funciones diferenciables, entonces de la regla del producto para derivadas tenemos

\frac{d}{dx}(uv)=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}.

(5.406)

Integrando ambos lados, obtenemos

\int\frac{d(uv)}{dx}dx=\int\frac{du}{dx}vdx+\int u\frac{dv}{dx}dx,

(5.407)

de donde

uv=\int vdu+\int udv.

(5.408)

De ahí se obtiene la fórmula de integración por partes

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int udv=uv-% \int vdu}.

(5.409)

Ejemplo 5.5.1.

Vamos a calcular

\int xe^{x}\,dx.

(5.410)

usando integración por partes. Elegimos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }u=x}$		(5.411)
	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.412)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$		(5.413)

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }dv=e^{x}\,dx}$		(5.414)
	$\displaystyle\int dv=\int e^{x}\,dx$		(5.415)
	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }v=e^{x}}.$		(5.416)

Observamos que al calcular $v$ , despreciamos la constante de integración. Entonces, por la fórmula de integración por partes, tenemos

	$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}e^{x% }\,dx}=\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u% }{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}dv}$		(5.417)
	$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v}-\int{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}du}$		(5.418)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-\int e^{x}dx$		(5.419)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-e^{x}+C.$		(5.420)

En algunos casos, es posible hacer más de una elección en la aplicación de la integración por partes.

5.5.1 La integral del logaritmo natural

Vamos a calcular

\int\ln x\,dx.

(5.421)

Usando integración por partes, elegimos

	$\displaystyle u=\ln x$		(5.422)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(5.423)

	$\displaystyle dv=dx$		(5.424)
	$\displaystyle v=\int dx=x$		(5.425)

Por la fórmula de integración por partes, se sigue que

	$\displaystyle\int\ln x\,dx=\int u\,dv$		(5.426)
	$\displaystyle\text{}\quad=uv-\int v\,du$		(5.427)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(x)-\int x\frac{1}{x}\,dx$		(5.428)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(x)-\int dx$		(5.429)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(x)-x+C.$		(5.430)

Es decir, concluimos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\ln x\,% dx=x\ln(x)-x+C}.

(5.431)

Ejemplo 5.5.2.

Calculamos las siguientes integrales:

a)

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx=\left.x\ln(x)-x\right|_{1}^{e}$ (5.432)

$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$ (5.433)

$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e+1$ (5.434)
b)

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$

Usando el método de sustitución⁶⁶6Consultemos la Sección 5.4 para más información sobre integración por sustitución., elegimos

$\displaystyle u=2x$ (5.435)

$\displaystyle\text{}\quad du=2\,dx.$ (5.436)

Haciendo la sustitución y calculando, tenemos

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx=\int\ln(u)\frac{du}{2}$ (5.437)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$ (5.438)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$ (5.439)

$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(2x)-x+C.$ (5.440)

5.5.2 Integral definida

Sean $u=u(x)$ y $v=v(x)$ funciones diferenciables en $x$ . Se sigue que $du=u^{\prime}(x)\,dx$ y $dv=v^{\prime}(x)\,dx$ . De ello se sigue que la fórmula de integración por partes para integrales definidas es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{x=a}^{% b}u\,dv=\left.uv\right|_{x=a}^{b}-\int_{x=a}^{b}v\,du}.

(5.441)

Ejemplo 5.5.3.

Vamos a calcular

\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx.

(5.442)

Para aplicar integración por partes, elegimos

	$\displaystyle u=x$		(5.443)
	$\displaystyle du=dx$		(5.444)

	$\displaystyle dv=e^{-x}\,dx$		(5.445)
	$\displaystyle v=-e^{-x}$		(5.446)

De la fórmula de integración por partes para integrales definidas se obtiene que

	$\displaystyle\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx=\left.uv\right\|_{x=0}^{2}-\int_{x=0}^{2}e% ^{-x}\,dx$		(5.447)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left.-xe^{-x}\right\|_{0}^{2}+\int_{0}^{2}e^{-x}\,dx$		(5.448)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2e^{-2}+\left[-e^{-x}\right]_{0}^{2}$		(5.449)
	$\displaystyle\text{}\quad=-3e^{-2}+1.$		(5.450)

5.5.3 Lista de integrales

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(5.451)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,du$		(5.452)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,~{}r\neq-1$		(5.453)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln\|u\|+C$		(5.454)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(5.455)
	$\displaystyle\int a^{u}\,du=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(5.456)
	$\displaystyle\int\ln u\,du=u\ln(u)-u+C$		(5.457)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)\,du=-\cos(u)+C$		(5.458)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,du=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)+C$		(5.459)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits(u)\,du=\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.460)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\,du=\ln\|\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(u)\|+C$		(5.461)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,du=\ln\|\sec(u)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(u% )\|+C$		(5.462)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,du=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\|+C$		(5.463)

5.5.4 Ejercicios resueltos

ER 5.5.1.

Calcule

\int x\ln x\,dx.

(5.464)

Resolución.

Usamos la fórmula de integración por partes

\int udv=uv-\int vdu.

(5.465)

Para ello, elegimos

	$\displaystyle u=\ln x$		(5.466)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(5.467)

	$\displaystyle dv=x\,dx$		(5.468)
	$\displaystyle v=\frac{x^{2}}{2}$		(5.469)

Se sigue que

	$\displaystyle\int x\ln x\,dx=\int udv$		(5.470)
	$\displaystyle\text{}\quad=uv-\int v\,du$		(5.471)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\int\frac{x^{2}}{2}\frac{1}{x}% \,dx$		(5.472)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\,dx$		(5.473)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{2}+C$		(5.474)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C.$		(5.475)

Código 103: Python

⬇

1from sympy import integrate, log

2from sympy.abc import x

3integrate(x*log(x), x)

x**2*log(x)/2 - x**2/4

ER 5.5.2.

Calcule

\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx.

(5.476)

Resolución.

Primeramente, vamos a calcular

\int xe^{-x}\,dx

(5.477)

Por integración por partes, elegimos

	$\displaystyle u=x$		(5.478)
	$\displaystyle du=dx$		(5.479)

	$\displaystyle dv=e^{x}\,dx$		(5.480)
	$\displaystyle v=e^{x}$		(5.481)

Se sigue que

	$\displaystyle\int xe^{x}\,dx=uv-\int v\,du$		(5.482)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-\int e^{x}\,dx$		(5.483)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-e^{x}+C$		(5.484)

Entonces, aplicamos el teorema fundamental del cálculo como sigue

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx=\left.xe^{x}-e^{x}\right\|_{-1}^{1}$		(5.485)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot e^{1}-e^{1}$		(5.486)
	$\displaystyle\text{}\quad-(-1\cdot e^{-1}-e^{-1})$		(5.487)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{e}$		(5.488)

Código 104: Python

⬇

1from sympy import integrate, exp

2from sympy.abc import x

3integrate(x*exp(x), (x, -1, 1))

2*exp(-1)

ER 5.5.3.

Calcule

\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx.

(5.489)

Resolución.

Por integración por partes, elegimos

	$\displaystyle u=e^{x}$		(5.490)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(5.491)

	$\displaystyle dv=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$		(5.492)
	$\displaystyle v=-\cos(x)$		(5.493)

Entonces, se sigue que

		$\displaystyle\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=uv-\int v\,du$		(5.494)
		$\displaystyle\text{}\quad=-e^{x}\cos(x)+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int e^{x}\cos(x)\,dx}$		(5.495)

A su vez, integramos por partes esta última, eligiendo

	$\displaystyle u=e^{x}$		(5.496)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(5.497)

	$\displaystyle dv=\cos(x)\,dx$		(5.498)
	$\displaystyle v=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)$		(5.499)

Con ello, tenemos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int e^{x}\cos(x)\,dx}=uv-\int v\,du$		(5.500)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)-\int e^% {x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$		(5.501)

Entonces, volvemos a (5.494) y obtenemos

	$\displaystyle\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-e^{x}\cos(% x)+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}e^{x}% \mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)-\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x)\,dx}$		(5.502)
	$\displaystyle 2\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-e^{x}% \cos(x)+e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)$		(5.503)
	$\displaystyle\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=\frac{1}{2}% e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)-\frac{1}{2}e^{x}\cos(x)+C$		(5.504)

Código 105: Python

⬇

1from sympy import integrate, exp, sin

2from sympy.abc import x

3integrate(exp(x)*sin(x), x)

exp(x)*sin(x)/2 - exp(x)*cos(x)/2

5.5.5 Ejercicios

E. 5.5.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int(x-1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int x^{2}\ln(x)\,dx$

a) $\frac{2x-1}{4}e^{2x}+C$ ; b) $(x-2)e^{x}+C$ ; c) $\frac{x^{3}}{3}\ln(x)-\frac{x^{3}}{9}+C$

E. 5.5.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(x+1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{2}\ln(x)\,dx$

a) $\frac{1}{4}+\frac{e^{2}}{4}$ ; b) $2\ln(2)$ ; c) $\frac{1}{9}+\frac{2}{9}e^{3}$

E. 5.5.3.

Calcule

\int\log_{2}(x)\,dx.

(5.505)

$\displaystyle\frac{x\ln(x)}{\log_{2}(x)}-\frac{x}{\log_{2}(x)}+C$

E. 5.5.4.

Calcule

\int_{-1}^{1}x^{2}e^{x}\,dx.

(5.506)

$-\frac{5}{e}+e$

E. 5.5.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int x\cos(x)\,dx$

a) $\displaystyle\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)-x\cos(x)+C$ ; b) $\displaystyle\cos(x)+x\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C$ ;

E. 5.5.6.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x^{2}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$

a) $\displaystyle\left(x^{2}-2x+2\right)e^{x}+C$ ; b) $\displaystyle-x^{2}\cos(x)+2x\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+2\cos(x)+C$

E. 5.5.7.

Calcule

\int e^{x}\cos(x)\,dx.

(5.507)

$\displaystyle\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+\cos(x)}{2}e^{x}+C$

E. 5.5.8.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)% \,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{0}x\cos(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{2}\ln(x)\,dx$

a) $1$ ; b) $2$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{9}+\frac{2e^{3}}{9}$

E. 5.5.9.

Calcule

\int\sec^{3}(x)\,dx

(5.508)

$\displaystyle\frac{\sec(x)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)}{2}+\frac{1}{% 2}\ln|\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)|+C$

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Cálculo I

5.5 Integración por partes

Ejemplo 5.5.1.

5.5.1 La integral del logaritmo natural

Ejemplo 5.5.2.

5.5.2 Integral definida

Ejemplo 5.5.3.

5.5.3 Lista de integrales

5.5.4 Ejercicios resueltos

ER 5.5.1.

Resolución.

ER 5.5.2.

Resolución.

ER 5.5.3.

Resolución.

5.5.5 Ejercicios

E. 5.5.1.

E. 5.5.2.

E. 5.5.3.

E. 5.5.4.

E. 5.5.5.

E. 5.5.6.

E. 5.5.7.

E. 5.5.8.

E. 5.5.9.

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	$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx=\left.x\ln(x)-x\right\|_{1}^{e}$		(5.432)
	$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$		(5.433)
	$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e+1$		(5.434)

	$\displaystyle u=2x$		(5.435)
	$\displaystyle\text{}\quad du=2\,dx.$		(5.436)

	$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx=\int\ln(u)\frac{du}{2}$		(5.437)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$		(5.438)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$		(5.439)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(2x)-x+C.$		(5.440)