Cálculo I

5 Integración 5.4 Integración por sustitución 5.6 Integración por sustitución trigonométrica

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5.5 Integración por partes

Sean $u=u(x)$ y $v=v(x)$ funciones diferenciables, entonces de la regla del producto para derivadas tenemos

\frac{d}{dx}(uv)=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}\mathchar 46\relax

(5.406)

Integrando ambos lados, obtenemos

\int\frac{d(uv)}{dx}dx=\int\frac{du}{dx}vdx+\int u\frac{dv}{dx}dx,

(5.407)

de donde

uv=\int vdu+\int udv\mathchar 46\relax

(5.408)

De ahí se obtiene la fórmula de integración por partes

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int udv=uv-% \int vdu}\mathchar 46\relax

(5.409)

Ejemplo 5.5.1.

Vamos a calcular

\int xe^{x}\,dx\mathchar 46\relax

(5.410)

usando integración por partes. Elegimos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }u=x}$		(5.411)
	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.412)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$		(5.413)

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }dv=e^{x}\,dx}$		(5.414)
	$\displaystyle\int dv=\int e^{x}\,dx$		(5.415)
	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }v=e^{x}}\mathchar 46\relax$		(5.416)

Observamos que al calcular $v$ , despreciamos la constante de integración. Entonces, por la fórmula de integración por partes, tenemos

	$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}x}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}e^{x% }\,dx}=\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u% }{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}dv}$		(5.417)
	$\displaystyle\text{}\quad={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u}{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v}-\int{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}v}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}du}$		(5.418)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-\int e^{x}dx$		(5.419)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-e^{x}+C\mathchar 46\relax$		(5.420)

En algunos casos, es posible hacer más de una elección en la aplicación de la integración por partes.

5.5.1 La integral del logaritmo natural

Vamos a calcular

\int\ln x\,dx\mathchar 46\relax

(5.421)

Usando integración por partes, elegimos

	$\displaystyle u=\ln x$		(5.422)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(5.423)

	$\displaystyle dv=dx$		(5.424)
	$\displaystyle v=\int dx=x$		(5.425)

Por la fórmula de integración por partes, se sigue que

	$\displaystyle\int\ln x\,dx=\int u\,dv$		(5.426)
	$\displaystyle\text{}\quad=uv-\int v\,du$		(5.427)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(x)-\int x\frac{1}{x}\,dx$		(5.428)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(x)-\int dx$		(5.429)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(x)-x+C\mathchar 46\relax$		(5.430)

Es decir, concluimos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\ln x\,% dx=x\ln(x)-x+C}\mathchar 46\relax

(5.431)

Ejemplo 5.5.2.

Calculamos las siguientes integrales:

a)

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx=\left\mathchar 46\relax x\ln(x)-x\right|_{% 1}^{e}$ (5.432)

$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$ (5.433)

$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e+1$ (5.434)
b)

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$

Usando el método de sustitución⁶⁶6Consultemos la Sección 5.4 para más información sobre integración por sustitución., elegimos

$\displaystyle u=2x$ (5.435)

$\displaystyle\text{}\quad du=2\,dx\mathchar 46\relax$ (5.436)

Haciendo la sustitución y calculando, tenemos

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx=\int\ln(u)\frac{du}{2}$ (5.437)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$ (5.438)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$ (5.439)

$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(2x)-x+C\mathchar 46\relax$ (5.440)

5.5.2 Integral definida

Sean $u=u(x)$ y $v=v(x)$ funciones diferenciables en $x$ . Se sigue que $du=u^{\prime}(x)\,dx$ y $dv=v^{\prime}(x)\,dx$ . De ello se sigue que la fórmula de integración por partes para integrales definidas es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{x=a}^{% b}u\,dv=\left\mathchar 46\relax uv\right|_{x=a}^{b}-\int_{x=a}^{b}v\,du}% \mathchar 46\relax

(5.441)

Ejemplo 5.5.3.

Vamos a calcular

\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx\mathchar 46\relax

(5.442)

Para aplicar integración por partes, elegimos

	$\displaystyle u=x$		(5.443)
	$\displaystyle du=dx$		(5.444)

	$\displaystyle dv=e^{-x}\,dx$		(5.445)
	$\displaystyle v=-e^{-x}$		(5.446)

De la fórmula de integración por partes para integrales definidas se obtiene que

	$\displaystyle\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx=\left\mathchar 46\relax uv\right\|_{x=0}^{% 2}-\int_{x=0}^{2}e^{-x}\,dx$		(5.447)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\mathchar 46\relax-xe^{-x}\right\|_{0}^{2}+\int_% {0}^{2}e^{-x}\,dx$		(5.448)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2e^{-2}+\left[-e^{-x}\right]_{0}^{2}$		(5.449)
	$\displaystyle\text{}\quad=-3e^{-2}+1\mathchar 46\relax$		(5.450)

5.5.3 Lista de integrales

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(5.451)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,du$		(5.452)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,~{}r\neq-1$		(5.453)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln\|u\|+C$		(5.454)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(5.455)
	$\displaystyle\int a^{u}\,du=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(5.456)
	$\displaystyle\int\ln u\,du=u\ln(u)-u+C$		(5.457)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)\,du=-\cos(u)+C$		(5.458)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,du=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)+C$		(5.459)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits(u)\,du=\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.460)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\,du=\ln\|\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(u)\|+C$		(5.461)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,du=\ln\|\sec(u)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(u% )\|+C$		(5.462)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,du=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\|+C$		(5.463)

5.5.4 Ejercicios resueltos

ER 5.5.1.

Calcule

\int x\ln x\,dx\mathchar 46\relax

(5.464)

Resolución.

Usamos la fórmula de integración por partes

\int udv=uv-\int vdu\mathchar 46\relax

(5.465)

Para ello, elegimos

	$\displaystyle u=\ln x$		(5.466)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(5.467)

	$\displaystyle dv=x\,dx$		(5.468)
	$\displaystyle v=\frac{x^{2}}{2}$		(5.469)

Se sigue que

	$\displaystyle\int x\ln x\,dx=\int udv$		(5.470)
	$\displaystyle\text{}\quad=uv-\int v\,du$		(5.471)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\int\frac{x^{2}}{2}\frac{1}{x}% \,dx$		(5.472)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\,dx$		(5.473)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{2}+C$		(5.474)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C\mathchar 46\relax$		(5.475)

Código 103: Python

⬇

1from sympy import integrate, log

2from sympy.abc import x

3integrate(x*log(x), x)

x**2*log(x)/2 - x**2/4

ER 5.5.2.

Calcule

\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx\mathchar 46\relax

(5.476)

Resolución.

Primeramente, vamos a calcular

\int xe^{-x}\,dx

(5.477)

Por integración por partes, elegimos

	$\displaystyle u=x$		(5.478)
	$\displaystyle du=dx$		(5.479)

	$\displaystyle dv=e^{x}\,dx$		(5.480)
	$\displaystyle v=e^{x}$		(5.481)

Se sigue que

	$\displaystyle\int xe^{x}\,dx=uv-\int v\,du$		(5.482)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-\int e^{x}\,dx$		(5.483)
	$\displaystyle\text{}\quad=xe^{x}-e^{x}+C$		(5.484)

Entonces, aplicamos el teorema fundamental del cálculo como sigue

	$\displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx=\left\mathchar 46\relax xe^{x}-e^{x}% \right\|_{-1}^{1}$		(5.485)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\cdot e^{1}-e^{1}$		(5.486)
	$\displaystyle\text{}\quad-(-1\cdot e^{-1}-e^{-1})$		(5.487)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{e}$		(5.488)

Código 104: Python

⬇

1from sympy import integrate, exp

2from sympy.abc import x

3integrate(x*exp(x), (x, -1, 1))

2*exp(-1)

ER 5.5.3.

Calcule

\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx\mathchar 46\relax

(5.489)

Resolución.

Por integración por partes, elegimos

	$\displaystyle u=e^{x}$		(5.490)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(5.491)

	$\displaystyle dv=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$		(5.492)
	$\displaystyle v=-\cos(x)$		(5.493)

Entonces, se sigue que

		$\displaystyle\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=uv-\int v\,du$		(5.494)
		$\displaystyle\text{}\quad=-e^{x}\cos(x)+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]% {pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int e^{x}\cos(x)\,dx}$		(5.495)

A su vez, integramos por partes esta última, eligiendo

	$\displaystyle u=e^{x}$		(5.496)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(5.497)

	$\displaystyle dv=\cos(x)\,dx$		(5.498)
	$\displaystyle v=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)$		(5.499)

Con ello, tenemos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\int e^{x}\cos(x)\,dx}=uv-\int v\,du$		(5.500)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)-\int e^% {x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$		(5.501)

Entonces, volvemos a (5.494) y obtenemos

	$\displaystyle\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-e^{x}\cos(% x)+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}e^{x}% \mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)-\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x)\,dx}$		(5.502)
	$\displaystyle 2\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-e^{x}% \cos(x)+e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)$		(5.503)
	$\displaystyle\int e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=\frac{1}{2}% e^{x}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)-\frac{1}{2}e^{x}\cos(x)+C$		(5.504)

Código 105: Python

⬇

1from sympy import integrate, exp, sin

2from sympy.abc import x

3integrate(exp(x)*sin(x), x)

exp(x)*sin(x)/2 - exp(x)*cos(x)/2

5.5.5 Ejercicios

E. 5.5.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int(x-1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int x^{2}\ln(x)\,dx$

a) $\frac{2x-1}{4}e^{2x}+C$ ; b) $(x-2)e^{x}+C$ ; c) $\frac{x^{3}}{3}\ln(x)-\frac{x^{3}}{9}+C$

E. 5.5.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(x+1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{2}\ln(x)\,dx$

a) $\frac{1}{4}+\frac{e^{2}}{4}$ ; b) $2\ln(2)$ ; c) $\frac{1}{9}+\frac{2}{9}e^{3}$

E. 5.5.3.

Calcule

\int\log_{2}(x)\,dx\mathchar 46\relax

(5.505)

$\displaystyle\frac{x\ln(x)}{\log_{2}(x)}-\frac{x}{\log_{2}(x)}+C$

E. 5.5.4.

Calcule

\int_{-1}^{1}x^{2}e^{x}\,dx\mathchar 46\relax

(5.506)

$-\frac{5}{e}+e$

E. 5.5.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int x\cos(x)\,dx$

a) $\displaystyle\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)-x\cos(x)+C$ ; b) $\displaystyle\cos(x)+x\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C$ ;

E. 5.5.6.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x^{2}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx$

a) $\displaystyle\left(x^{2}-2x+2\right)e^{x}+C$ ; b) $\displaystyle-x^{2}\cos(x)+2x\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+2\cos(x)+C$

E. 5.5.7.

Calcule

\int e^{x}\cos(x)\,dx\mathchar 46\relax

(5.507)

$\displaystyle\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+\cos(x)}{2}e^{x}+C$

E. 5.5.8.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)% \,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{0}x\cos(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{2}\ln(x)\,dx$

a) $1$ ; b) $2$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{9}+\frac{2e^{3}}{9}$

E. 5.5.9.

Calcule

\int\sec^{3}(x)\,dx

(5.508)

$\displaystyle\frac{\sec(x)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)}{2}+\frac{1}{% 2}\ln|\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)|+C$

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Cálculo I

5.5 Integración por partes

Ejemplo 5.5.1.

5.5.1 La integral del logaritmo natural

Ejemplo 5.5.2.

5.5.2 Integral definida

Ejemplo 5.5.3.

5.5.3 Lista de integrales

5.5.4 Ejercicios resueltos

ER 5.5.1.

Resolución.

ER 5.5.2.

Resolución.

ER 5.5.3.

Resolución.

5.5.5 Ejercicios

E. 5.5.1.

E. 5.5.2.

E. 5.5.3.

E. 5.5.4.

E. 5.5.5.

E. 5.5.6.

E. 5.5.7.

E. 5.5.8.

E. 5.5.9.

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	$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx=\left\mathchar 46\relax x\ln(x)-x\right\|_{% 1}^{e}$		(5.432)
	$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$		(5.433)
	$\displaystyle\text{}\quad=e\ln(e)-e+1$		(5.434)

	$\displaystyle u=2x$		(5.435)
	$\displaystyle\text{}\quad du=2\,dx\mathchar 46\relax$		(5.436)

	$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx=\int\ln(u)\frac{du}{2}$		(5.437)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$		(5.438)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$		(5.439)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\ln(2x)-x+C\mathchar 46\relax$		(5.440)