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Cálculo I

5 Integração 5.5 Integração por partes 5.7 Integração por frações parciais

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5.6 Integração por substituição trigonométrica

Em muitos casos, integrais em $x$ envolvendo

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}},$		(5.496)
	$\displaystyle\sqrt{x^{2}+a^{2}},$		(5.497)
	$\displaystyle\sqrt{x^{2}-a^{2}},$		(5.498)

com $a>0$ , podem ser calculadas por meio de substituições envolvendo funções trigonométricas.

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{a^{2}-x^{2}}

(5.499)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\sin\theta

(5.500)

com $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$ . Com isso⁴³⁴³endnote: ⁴³Lembremos da identidade trigonométrica fundamental $\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ .,

$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}}$	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}-a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta}$	(5.501)
	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}$	(5.502)
	$\displaystyle=a\|\cos\theta\|$	(5.503)
	$\displaystyle=\|a\|\cos\theta$	(5.504)

uma vez que $\cos\theta\geq 0$ para todo $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ . Com isso, eliminamos o termo radical, passando a uma integral envolvendo a função trigonométrica.

Exemplo 5.6.1.

Vamos calcular

\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx

(5.505)

a)

Por substituição trigonométrica. Fazemos a substituição trigonométrica

$\displaystyle x=\sin\theta,\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$ (5.506)

$\displaystyle\Rightarrow$ (5.507)

$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$ (5.508)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$ $\displaystyle=\int\frac{1}{\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\cos(\theta% )\,d\theta$ (5.509)

$\displaystyle=\int\frac{\cos(\theta)}{|\cos(\theta)|}\,d\theta$ (5.510)

$\displaystyle=\int d\theta$ (5.511)

$\displaystyle=\theta+C$ (5.512)

$\displaystyle=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$ (5.513)
b)

Por integração direta. No estudo de derivadas de funções trigonométricas inversas, vemos que

$\frac{d}{dx}\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.$ (5.514)

Logo, pela definição de integral indeterminada, temos

$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$ (5.515)

como esperado.

Com Python+SymPy, podemos computar esta integral como os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(1/sqrt(1-x**2),x)

4 asin(x)

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{a^{2}+x^{2}}

(5.516)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\operatorname{tg}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}

(5.517)

Com isso⁴⁴⁴⁴endnote: ⁴⁴Lembremos a identidade trigonométrica $1+\operatorname{tg}^{2}(x)=\sec^{2}(x)$ .,

$\displaystyle\sqrt{a^{2}+x^{2}}$	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}+a^{2}\operatorname{tg}^{2}(\theta)}$	(5.518)
	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}\sec^{2}(\theta)}$	(5.519)
	$\displaystyle=\|a\|\|\sec(\theta)\|$	(5.520)
	$\displaystyle=\|a\|\sec(\theta),$	(5.521)

observando que $\sec(\theta)\geq 0$ para $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ .

Exemplo 5.6.2.

Calcule

\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx

(5.522)

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\operatorname{tg}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}$		(5.523)
	$\displaystyle\Rightarrow dx=2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.524)

Substituindo na integral, temos

	$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\int\sqrt{4+4\operatorname{tg}^{2}(\theta)}\,2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.525)
		$\displaystyle=\int 4\sec^{3}(\theta)\,d\theta$		(5.526)

Para calcular esta última integral, podemos usar integração por partes⁴⁵⁴⁵endnote: ⁴⁵Consulte o Exercício 5.5.9., donde obtemos

$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)+2\ln\|\sec(\theta)+% \operatorname{tg}(\theta)\|+C$	(5.527)
	$\displaystyle=x\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}% \right)\right)$	(5.528)
	$\displaystyle+2\ln\left\|\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(% \frac{x}{2}\right)\right)+\frac{x}{2}\right\|+C$	(5.529)

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{x^{2}+a^{2}}

(5.530)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\sec(\theta),

(5.531)

assumindo $0\leq\theta\leq\pi/2$ , no caso de $x\geq a$ , e $\pi/2\leq\theta\leq\pi$ , quando $x\leq-a$ .

Exemplo 5.6.3.

Vamos calcular

\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx

(5.532)

para $x\geq 2$ . Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\sec(\theta),\quad 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$		(5.533)
	$\displaystyle dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)$		(5.534)

Substituindo na integral, temos⁴⁶⁴⁶endnote: ⁴⁶Vamos usar a identidade trigonométrica $\sec^{2}(x)-1=\operatorname{tg}^{2}(x)$ .

$\displaystyle\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx$	$\displaystyle=\int\sqrt{4\sec^{2}(\theta)-4}2\sec(\theta)\operatorname{tg}(% \theta)\,d\theta$	(5.535)
	$\displaystyle=4\int\sec(\theta)\operatorname{tg}^{2}(\theta)\,d\theta$	(5.536)
	$\displaystyle=4\int\sec^{3}(\theta)\,d\theta-4\int\sec(\theta)\,d\theta$	(5.537)
	$\displaystyle=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)+2\ln\|\sec(\theta)+% \operatorname{tg}(\theta)\|$	(5.538)
	$\displaystyle-4\ln\|\sec(\theta)+\operatorname{tg}(\theta)\|$	(5.539)
	$\displaystyle=x\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left% (\frac{x}{2}\right)\right)$	(5.540)
	$\displaystyle-2\ln\left\|\frac{x}{2}+\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc}% \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right\|+C$	(5.541)

5.6.1 Exercícios resolvidos

ER 5.6.1.

Calcule

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}\,dx

(5.542)

Solução 0.

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=5\operatorname{sen}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}$		(5.543)
	$\displaystyle dx=5\cos(\theta)\,d\theta$		(5.544)

Substituindo na integral, temos

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}=\int_{% x=\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{5\cos(\theta)}{25\operatorname{sen}^% {2}(\theta)\sqrt{25-\operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\,d\theta

(5.545)

Observamos que

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{5}\right)$		(5.546)
	$\displaystyle x=\frac{5}{2}\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}\operatorname{% sen}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$		(5.547)
	$\displaystyle x=\frac{5\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}% \operatorname{sen}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$		(5.548)

Segue que

$\displaystyle\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x% ^{2}}}$	$\displaystyle=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{5\cos(\theta)}{25% \operatorname{sen}^{2}(\theta)\cdot 5\cos(\theta)}\,d\theta$	(5.549)
	$\displaystyle=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{cossec}^{2}(% \theta)\,d\theta$	(5.550)
	$\displaystyle=-\frac{1}{25}\left.\operatorname{cotg}^{2}(\theta)\right\|_{\frac% {\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}$	(5.551)
	$\displaystyle=-\frac{1}{25}\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac% {1}{25}\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$	(5.552)
	$\displaystyle=\frac{\sqrt{3}}{25}-\frac{1}{25}$	(5.553)

ER 5.6.2.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx

(5.554)

para $x\leq-2$ .

Solução 0.

Fazemos a substituição trigonométrica

x=2\sec(\theta),\quad\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi\\ dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)

(5.555)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{\sqrt{4-4\sec^{2}(\theta)}}{2\sec(\theta)}2\sec(\theta% )\operatorname{tg}(\theta)\,d\theta$	(5.556)
	$\displaystyle=\int 2\|\operatorname{tg}(\theta)\|\operatorname{tg}(\theta)\,d\theta$	(5.557)
	$\displaystyle=-2\int\operatorname{tg}^{2}(\theta)\,d\theta$	(5.558)
	$\displaystyle=-2\int\left(\sec^{2}(\theta)-1\right)\,d\theta$	(5.559)
	$\displaystyle=-2\operatorname{tg}(\theta)+2\theta+C$	(5.560)

Como $x=2\sec(\theta)$ , temos $\theta=\operatorname{arc}\sec(x/2)$ e

\displaystyle\operatorname{tg}(\theta)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}

(5.561)

Concluímos que

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx=2\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(% \frac{x}{2}\right)-\sqrt{x^{2}-4}+C

(5.562)

5.6.2 Exercícios

E. 5.6.1.

Calcule

\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}\,dx}

(5.563)

a)

Pelo método de substituição.
b)

Pelo método de substituição trigonométrica.

Resposta 0.

a) $u=\frac{1}{2}x$ ; b) $x=\operatorname{sen}(x)$ , $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ ; $\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}\,dx}=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x/2)+C$

E. 5.6.2.

Calcule

\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(5.564)

Resposta 0.

$-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+C$

E. 5.6.3.

Calcule

\int\sqrt{25+x^{2}}\,dx

(5.565)

Resposta 0.

$\displaystyle x\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{5}% \right)\right)+5\ln\left|\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(% \frac{x}{5}\right)\right)+\frac{x}{5}\right|+C$

E. 5.6.4.

Calcule

\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(5.566)

Resposta 0.

$(\sqrt{3}-1)/4$

E. 5.6.5.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}\,dx

(5.567)

para $x\geq 3$ .

Resposta 0.

$\sqrt{x^{2}-9}-2\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{3}\right)+C$

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Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

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5.6 Integração por substituição trigonométrica

Em muitos casos, integrais em $x$ envolvendo

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}},$		(5.496)
	$\displaystyle\sqrt{x^{2}+a^{2}},$		(5.497)
	$\displaystyle\sqrt{x^{2}-a^{2}},$		(5.498)

com $a>0$ , podem ser calculadas por meio de substituições envolvendo funções trigonométricas.

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{a^{2}-x^{2}}

(5.499)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\sin\theta

(5.500)

com $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$ . Com isso⁴³⁴³endnote: ⁴³Lembremos da identidade trigonométrica fundamental $\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ .,

$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}}$	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}-a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta}$	(5.501)
	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}$	(5.502)
	$\displaystyle=a\|\cos\theta\|$	(5.503)
	$\displaystyle=\|a\|\cos\theta$	(5.504)

uma vez que $\cos\theta\geq 0$ para todo $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ . Com isso, eliminamos o termo radical, passando a uma integral envolvendo a função trigonométrica.

Exemplo 5.6.1.

Vamos calcular

\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx

(5.505)

a)

Por substituição trigonométrica. Fazemos a substituição trigonométrica

$\displaystyle x=\sin\theta,\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$ (5.506)

$\displaystyle\Rightarrow$ (5.507)

$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$ (5.508)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$ $\displaystyle=\int\frac{1}{\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\cos(\theta% )\,d\theta$ (5.509)

$\displaystyle=\int\frac{\cos(\theta)}{|\cos(\theta)|}\,d\theta$ (5.510)

$\displaystyle=\int d\theta$ (5.511)

$\displaystyle=\theta+C$ (5.512)

$\displaystyle=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$ (5.513)
b)

Por integração direta. No estudo de derivadas de funções trigonométricas inversas, vemos que

$\frac{d}{dx}\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.$ (5.514)

Logo, pela definição de integral indeterminada, temos

$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$ (5.515)

como esperado.

Com Python+SymPy, podemos computar esta integral como os seguintes comandos:

⬇

1 In : from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(1/sqrt(1-x**2),x)

4 asin(x)

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{a^{2}+x^{2}}

(5.516)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\operatorname{tg}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}

(5.517)

Com isso⁴⁴⁴⁴endnote: ⁴⁴Lembremos a identidade trigonométrica $1+\operatorname{tg}^{2}(x)=\sec^{2}(x)$ .,

$\displaystyle\sqrt{a^{2}+x^{2}}$	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}+a^{2}\operatorname{tg}^{2}(\theta)}$	(5.518)
	$\displaystyle=\sqrt{a^{2}\sec^{2}(\theta)}$	(5.519)
	$\displaystyle=\|a\|\|\sec(\theta)\|$	(5.520)
	$\displaystyle=\|a\|\sec(\theta),$	(5.521)

observando que $\sec(\theta)\geq 0$ para $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ .

Exemplo 5.6.2.

Calcule

\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx

(5.522)

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\operatorname{tg}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}$		(5.523)
	$\displaystyle\Rightarrow dx=2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.524)

Substituindo na integral, temos

	$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\int\sqrt{4+4\operatorname{tg}^{2}(\theta)}\,2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.525)
		$\displaystyle=\int 4\sec^{3}(\theta)\,d\theta$		(5.526)

Para calcular esta última integral, podemos usar integração por partes⁴⁵⁴⁵endnote: ⁴⁵Consulte o Exercício 5.5.9., donde obtemos

$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)+2\ln\|\sec(\theta)+% \operatorname{tg}(\theta)\|+C$	(5.527)
	$\displaystyle=x\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}% \right)\right)$	(5.528)
	$\displaystyle+2\ln\left\|\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(% \frac{x}{2}\right)\right)+\frac{x}{2}\right\|+C$	(5.529)

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{x^{2}+a^{2}}

(5.530)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\sec(\theta),

(5.531)

assumindo $0\leq\theta\leq\pi/2$ , no caso de $x\geq a$ , e $\pi/2\leq\theta\leq\pi$ , quando $x\leq-a$ .

Exemplo 5.6.3.

Vamos calcular

\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx

(5.532)

para $x\geq 2$ . Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\sec(\theta),\quad 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$		(5.533)
	$\displaystyle dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)$		(5.534)

Substituindo na integral, temos⁴⁶⁴⁶endnote: ⁴⁶Vamos usar a identidade trigonométrica $\sec^{2}(x)-1=\operatorname{tg}^{2}(x)$ .

$\displaystyle\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx$	$\displaystyle=\int\sqrt{4\sec^{2}(\theta)-4}2\sec(\theta)\operatorname{tg}(% \theta)\,d\theta$	(5.535)
	$\displaystyle=4\int\sec(\theta)\operatorname{tg}^{2}(\theta)\,d\theta$	(5.536)
	$\displaystyle=4\int\sec^{3}(\theta)\,d\theta-4\int\sec(\theta)\,d\theta$	(5.537)
	$\displaystyle=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)+2\ln\|\sec(\theta)+% \operatorname{tg}(\theta)\|$	(5.538)
	$\displaystyle-4\ln\|\sec(\theta)+\operatorname{tg}(\theta)\|$	(5.539)
	$\displaystyle=x\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left% (\frac{x}{2}\right)\right)$	(5.540)
	$\displaystyle-2\ln\left\|\frac{x}{2}+\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc}% \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right\|+C$	(5.541)

5.6.1 Exercícios resolvidos

ER 5.6.1.

Calcule

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}\,dx

(5.542)

Solução 0.

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=5\operatorname{sen}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}$		(5.543)
	$\displaystyle dx=5\cos(\theta)\,d\theta$		(5.544)

Substituindo na integral, temos

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}=\int_{% x=\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{5\cos(\theta)}{25\operatorname{sen}^% {2}(\theta)\sqrt{25-\operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\,d\theta

(5.545)

Observamos que

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{5}\right)$		(5.546)
	$\displaystyle x=\frac{5}{2}\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}\operatorname{% sen}\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$		(5.547)
	$\displaystyle x=\frac{5\sqrt{2}}{2}\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}% \operatorname{sen}\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$		(5.548)

Segue que

$\displaystyle\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x% ^{2}}}$	$\displaystyle=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{5\cos(\theta)}{25% \operatorname{sen}^{2}(\theta)\cdot 5\cos(\theta)}\,d\theta$	(5.549)
	$\displaystyle=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{cossec}^{2}(% \theta)\,d\theta$	(5.550)
	$\displaystyle=-\frac{1}{25}\left.\operatorname{cotg}^{2}(\theta)\right\|_{\frac% {\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}$	(5.551)
	$\displaystyle=-\frac{1}{25}\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{4}\right)+\frac% {1}{25}\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$	(5.552)
	$\displaystyle=\frac{\sqrt{3}}{25}-\frac{1}{25}$	(5.553)

ER 5.6.2.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx

(5.554)

para $x\leq-2$ .

Solução 0.

Fazemos a substituição trigonométrica

x=2\sec(\theta),\quad\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi\\ dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)

(5.555)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{\sqrt{4-4\sec^{2}(\theta)}}{2\sec(\theta)}2\sec(\theta% )\operatorname{tg}(\theta)\,d\theta$	(5.556)
	$\displaystyle=\int 2\|\operatorname{tg}(\theta)\|\operatorname{tg}(\theta)\,d\theta$	(5.557)
	$\displaystyle=-2\int\operatorname{tg}^{2}(\theta)\,d\theta$	(5.558)
	$\displaystyle=-2\int\left(\sec^{2}(\theta)-1\right)\,d\theta$	(5.559)
	$\displaystyle=-2\operatorname{tg}(\theta)+2\theta+C$	(5.560)

Como $x=2\sec(\theta)$ , temos $\theta=\operatorname{arc}\sec(x/2)$ e

\displaystyle\operatorname{tg}(\theta)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}

(5.561)

Concluímos que

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx=2\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(% \frac{x}{2}\right)-\sqrt{x^{2}-4}+C

(5.562)

5.6.2 Exercícios

E. 5.6.1.

Calcule

\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}\,dx}

(5.563)

a)

Pelo método de substituição.
b)

Pelo método de substituição trigonométrica.

Resposta 0.

a) $u=\frac{1}{2}x$ ; b) $x=\operatorname{sen}(x)$ , $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ ; $\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}\,dx}=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x/2)+C$

E. 5.6.2.

Calcule

\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(5.564)

Resposta 0.

$-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+C$

E. 5.6.3.

Calcule

\int\sqrt{25+x^{2}}\,dx

(5.565)

Resposta 0.

E. 5.6.4.

Calcule

\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(5.566)

Resposta 0.

$(\sqrt{3}-1)/4$

E. 5.6.5.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}\,dx

(5.567)

para $x\geq 3$ .

Resposta 0.

$\sqrt{x^{2}-9}-2\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{3}\right)+C$

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Pedro H A Konzen

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	$\displaystyle x=\sin\theta,\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$		(5.506)
	$\displaystyle\Rightarrow$		(5.507)
	$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$		(5.508)

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{1}{\sqrt{1-\operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\cos(\theta% )\,d\theta$	(5.509)
	$\displaystyle=\int\frac{\cos(\theta)}{\|\cos(\theta)\|}\,d\theta$	(5.510)
	$\displaystyle=\int d\theta$	(5.511)
	$\displaystyle=\theta+C$	(5.512)
	$\displaystyle=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$	(5.513)

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Cálculo I

5.6 Integração por substituição trigonométrica

Integrais envolvendo 𝒂𝟐−𝒙𝟐

Exemplo 5.6.1.

Integrais envolvendo 𝒂𝟐+𝒙𝟐

Exemplo 5.6.2.

Integrais envolvendo 𝒙𝟐−𝒂𝟐

Exemplo 5.6.3.

5.6.1 Exercícios resolvidos

ER 5.6.1.

Solução 0.

ER 5.6.2.

Solução 0.

5.6.2 Exercícios

E. 5.6.1.

Resposta 0.

E. 5.6.2.

Resposta 0.

E. 5.6.3.

Resposta 0.

E. 5.6.4.

Resposta 0.

E. 5.6.5.

Resposta 0.

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Cálculo I

5.6 Integração por substituição trigonométrica

Integrais envolvendo 𝒂𝟐−𝒙𝟐

Exemplo 5.6.1.

Integrais envolvendo 𝒂𝟐+𝒙𝟐

Exemplo 5.6.2.

Integrais envolvendo 𝒙𝟐−𝒂𝟐

Exemplo 5.6.3.

5.6.1 Exercícios resolvidos

ER 5.6.1.

Solução 0.

ER 5.6.2.

Solução 0.

5.6.2 Exercícios

E. 5.6.1.

Resposta 0.

E. 5.6.2.

Resposta 0.

E. 5.6.3.

Resposta 0.

E. 5.6.4.

Resposta 0.

E. 5.6.5.

Resposta 0.

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Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$