Cálculo I

5 Integração 5.5 Integração por partes 5.7 Integração por frações parciais

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5.6 Integração por substituição trigonométrica

Em muitos casos, integrais em $x$ envolvendo

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}},$		(5.509)
	$\displaystyle\sqrt{x^{2}+a^{2}},$		(5.510)
	$\displaystyle\sqrt{x^{2}-a^{2}},$		(5.511)

com $a>0$ , podem ser calculadas por meio de substituições envolvendo funções trigonométricas.

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{a^{2}-x^{2}}

(5.512)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\operatorname{sen}\theta

(5.513)

com $-\pi/2\leq\theta\leq\pi/2$ . Com isso⁷⁷7Lembremos da identidade trigonométrica fundamental $\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ .,

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta}$		(5.514)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}$		(5.515)
	$\displaystyle\text{}\quad=a\|\cos\theta\|$		(5.516)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|a\|\cos\theta$		(5.517)

uma vez que $\cos\theta\geq 0$ para todo $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ . Com isso, eliminamos o termo radical, passando a uma integral envolvendo a função trigonométrica.

Exemplo 5.6.1.

Vamos calcular

\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx

(5.518)

a)

Por substituição trigonométrica.

Fazemos a substituição trigonométrica

$\displaystyle x=\operatorname{sen}\theta,\leavevmode\nobreak\ -\frac{\pi}{2}% \leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$ (5.519)

$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$ (5.520)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-% \operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\cos(\theta)\,d\theta$ (5.521)

$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{\cos(\theta)}{|\cos(\theta)|}\,d\theta$ (5.522)

$\displaystyle\text{}\quad=\int d\theta$ (5.523)

$\displaystyle\text{}\quad=\theta+C$ (5.524)

$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$ (5.525)
b)

Por integração direta.

Do estudo de derivadas de funções trigonométricas inversas⁸⁸8A derivada de funções trigonométricas inversas foi estudada na Subseção 3.9.1, temos que

$\frac{d}{dx}\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.$ (5.526)

Logo, pela definição de integral indeterminada, temos

$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$ (5.527)

como esperado.

Código 104: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import integrate

3integrate(1/sqrt(1 - x**2), x)

asin(x)

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{a^{2}+x^{2}}

(5.528)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\operatorname{tg}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}

(5.529)

Com isso⁹⁹9Lembremos a identidade trigonométrica $1+\operatorname{tg}^{2}(x)=\sec^{2}(x)$ .,

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}+x^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}\operatorname{tg}^{2}(\theta)}$		(5.530)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{a^{2}\sec^{2}(\theta)}$		(5.531)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|a\|\|\sec(\theta)\|$		(5.532)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|a\|\sec(\theta),$		(5.533)

observando que $\sec(\theta)\geq 0$ para $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ .

Exemplo 5.6.2.

Calcule

\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx

(5.534)

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\operatorname{tg}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}$		(5.535)
	$\displaystyle dx=2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.536)

Substituindo na integral, temos

	$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx=\int\sqrt{4+4\operatorname{tg}^{2}(\theta)% }\,2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.537)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 4\sec^{3}(\theta)\,d\theta$		(5.538)

Para calcular esta última integral, podemos usar integração por partes¹⁰¹⁰10Consultemos o E.5.5.9., donde obtemos

	$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)+2% \ln\|\sec(\theta)+\operatorname{tg}(\theta)\|+C$		(5.539)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(% \frac{x}{2}\right)\right)$
	$\displaystyle\text{}\quad+2\ln\left\|\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{% tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)+\frac{x}{2}\right\|+C$		(5.540)

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\sqrt{x^{2}-a^{2}}

(5.541)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

x=a\sec(\theta),

(5.542)

assumindo $0\leq\theta\leq\pi/2$ , no caso de $x\geq a$ , e $\pi/2\leq\theta\leq\pi$ , quando $x\leq-a$ .

Exemplo 5.6.3.

Vamos calcular

\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx

(5.543)

para $x\geq 2$ . Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\sec(\theta),\quad 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$		(5.544)
	$\displaystyle dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)$		(5.545)

Substituindo na integral, temos¹¹¹¹11Vamos usar a identidade trigonométrica $\sec^{2}(x)-1=\operatorname{tg}^{2}(x)$ .

	$\displaystyle\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx=\int\sqrt{4\sec^{2}(\theta)-4}\cdot 2\sec(% \theta)\operatorname{tg}(\theta)\,d\theta$		(5.546)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\int\sec(\theta)\operatorname{tg}^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.547)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\int\sec^{3}(\theta)\,d\theta-4\int\sec(\theta)\,d\theta$		(5.548)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)+2\ln\|\sec(% \theta)+\operatorname{tg}(\theta)\|$
	$\displaystyle\text{}\quad-4\ln\|\sec(\theta)+\operatorname{tg}(\theta)\|$		(5.549)
	$\displaystyle\text{}\quad=x\operatorname{tg}\left(\operatorname{arc}% \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)$
	$\displaystyle\text{}\quad-2\ln\left\|\frac{x}{2}+\operatorname{tg}\left(% \operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)\right)\right\|+C$		(5.550)

5.6.1 Exercícios resolvidos

ER 5.6.1.

Calcule

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}\,dx

(5.551)

Resolução.

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=5\operatorname{sen}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}$		(5.552)
	$\displaystyle dx=5\cos(\theta)\,d\theta$		(5.553)

Substituindo na integral, temos

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}=\int_{% x=\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{5\cos(\theta)}{25\operatorname{sen}^% {2}(\theta)\sqrt{25-\operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\,d\theta

(5.554)

Observamos que

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{5}\right)$		(5.555)
	$\displaystyle x=\frac{5}{2}$
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}\operatorname{sen% }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$		(5.556)
	$\displaystyle x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}\operatorname{sen% }\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$		(5.557)

Segue que

	$\displaystyle\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x% ^{2}}}=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{5\cos(\theta)}{25% \operatorname{sen}^{2}(\theta)\cdot 5\cos(\theta)}\,d\theta$		(5.558)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{% cossec}^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.559)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{25}\left.\operatorname{cotg}^{2}(\theta)% \right\|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}$		(5.560)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{25}\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{4}% \right)+\frac{1}{25}\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$		(5.561)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{3}}{25}-\frac{1}{25}$		(5.562)

ER 5.6.2.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx

(5.563)

para $x\leq-2$ .

Resolução.

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\sec(\theta),\quad\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi$		(5.564)
	$\displaystyle dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)$		(5.565)

Substituindo na integral, obtemos

	$\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx=\int\frac{\sqrt{4-4\sec^{2}(% \theta)}}{2\sec(\theta)}2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)\,d\theta$		(5.566)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 2\|\operatorname{tg}(\theta)\|\operatorname{tg}(% \theta)\,d\theta$		(5.567)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\int\operatorname{tg}^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.568)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\int\left(\sec^{2}(\theta)-1\right)\,d\theta$		(5.569)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\operatorname{tg}(\theta)+2\theta+C$		(5.570)

Como $x=2\sec(\theta)$ , temos $\theta=\operatorname{arc}\sec(x/2)$ e

\displaystyle\operatorname{tg}(\theta)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}

(5.571)

Concluímos que

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx=2\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(% \frac{x}{2}\right)-\sqrt{x^{2}-4}+C

(5.572)

5.6.2 Exercícios

E. 5.6.1.

Calcule

\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}\,dx}

(5.573)

a)

Pelo método de substituição.
b)

Pelo método de substituição trigonométrica.

a) $u=\frac{1}{2}x$ ; b) $x=\operatorname{sen}(x)$ , $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ ; $\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}\,dx}=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x/2)+C$

E. 5.6.2.

Calcule

\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(5.574)

$-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+C$

E. 5.6.3.

Calcule

\int\sqrt{25+x^{2}}\,dx

(5.575)

$\displaystyle x\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{5}% \right)\right)+5\ln\left|\sec\left(\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(% \frac{x}{5}\right)\right)+\frac{x}{5}\right|+C$

E. 5.6.4.

Calcule

\int_{1}^{\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(5.576)

$(\sqrt{3}-1)/4$

E. 5.6.5.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}\,dx

(5.577)

para $x\geq 3$ .

$\sqrt{x^{2}-9}-3\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{3}\right)+C$

E. 5.6.6.

Use de integrais definidas para mostrar que a área de um círculo de raio $\boldsymbol{r}$ é $\boldsymbol{\pi r^{2}}$ .

A área da semicircunferência superior de um círculo de raio $r$ é dada por $\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\,dx=r^{2}\frac{\pi}{2}$ . Logo, a área do círculo completo é $\pi r^{2}$ .

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5.6 Integração por substituição trigonométrica

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

Exemplo 5.6.1.

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

Exemplo 5.6.2.

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$

Exemplo 5.6.3.

5.6.1 Exercícios resolvidos

ER 5.6.1.

Resolução.

ER 5.6.2.

Resolução.

5.6.2 Exercícios

E. 5.6.1.

E. 5.6.2.

E. 5.6.3.

E. 5.6.4.

E. 5.6.5.

E. 5.6.6.

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	$\displaystyle x=\operatorname{sen}\theta,\leavevmode\nobreak\ -\frac{\pi}{2}% \leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$		(5.519)
	$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$		(5.520)

	$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-% \operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\cos(\theta)\,d\theta$		(5.521)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{\cos(\theta)}{\|\cos(\theta)\|}\,d\theta$		(5.522)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int d\theta$		(5.523)
	$\displaystyle\text{}\quad=\theta+C$		(5.524)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$		(5.525)

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5.6 Integração por substituição trigonométrica

Integrais envolvendo 𝒂𝟐−𝒙𝟐

Exemplo 5.6.1.

Integrais envolvendo 𝒂𝟐+𝒙𝟐

Exemplo 5.6.2.

Integrais envolvendo 𝒙𝟐−𝒂𝟐

Exemplo 5.6.3.

5.6.1 Exercícios resolvidos

ER 5.6.1.

Resolução.

ER 5.6.2.

Resolução.

5.6.2 Exercícios

E. 5.6.1.

E. 5.6.2.

E. 5.6.3.

E. 5.6.4.

E. 5.6.5.

E. 5.6.6.

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Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}-x^{2}}}$

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{a^{2}+x^{2}}}$

Integrais envolvendo $\boldsymbol{\sqrt{x^{2}-a^{2}}}$