Cálculo I

5 Integração 5.5 Integração por partes 5.7 Integração por frações parciais

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5.6 Integração por substituição trigonométrica

Em muitos casos, integrais em $x$ envolvendo

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \sqrt{a^{2}-x^{2}},$		(5.509)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \sqrt{x^{2}+a^{2}},$		(5.510)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \sqrt{x^{2}-a^{2}},$		(5.511)

com $a>0$ , podem ser calculadas por meio de substituições envolvendo funções trigonométricas.

5.6.1 Integrais envolvendo $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\sqrt{a^{2}-x% ^{2}}

(5.512)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x=a% \operatorname{sen}\theta

(5.513)

com $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-\pi/2\leq% \theta\leq\pi/2$ . Com isso⁷⁷7Lembremos da identidade trigonométrica fundamental $\operatorname{sen}^{2}\theta+\cos^{2}\theta=1$ .,

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}-x^{2}}=\sqrt{a^{2}-a^{2}\operatorname{sen}^{2}\theta}$		(5.514)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{a^{2}\cos^{2}\theta}$		(5.515)
	$\displaystyle\text{}\quad=a\|\cos\theta\|$		(5.516)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|a\|\cos\theta$		(5.517)

uma vez que $\cos\theta\geq 0$ para todo $\theta\in[-\pi/2,\pi/2]$ . Com isso, eliminamos o termo radical, passando a uma integral envolvendo a função trigonométrica.

Exemplo 5.6.1.

Vamos calcular

\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx

(5.518)

a)

Por substituição trigonométrica.

Fazemos a substituição trigonométrica

$\displaystyle x=\operatorname{sen}\theta,\leavevmode\nobreak\ -\frac{\pi}{2}% \leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$ (5.519)

$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$ (5.520)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-% \operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\cos(\theta)\,d\theta$ (5.521)

$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{\cos(\theta)}{|\cos(\theta)|}\,d\theta$ (5.522)

$\displaystyle\text{}\quad=\int d\theta$ (5.523)

$\displaystyle\text{}\quad=\theta+C$ (5.524)

$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$ (5.525)
b)

Por integração direta.

Do estudo de derivadas de funções trigonométricas inversas⁸⁸8A derivada de funções trigonométricas inversas foi estudada na Subseção 3.9.1, temos que

$\frac{d}{dx}\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}.$ (5.526)

Logo, pela definição de integral indeterminada, temos

$\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$ (5.527)

como esperado.

Código 108: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import integrate

3integrate(1/sqrt(1 - x**2), x)

asin(x)

5.6.2 Integrais envolvendo $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\sqrt{a^{2}+x% ^{2}}

(5.528)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% x=a\operatorname{tg}(\theta),\leavevmode\nobreak\ -\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}

(5.529)

Com isso⁹⁹9Lembremos a identidade trigonométrica $1+\operatorname{tg}^{2}(x)=\sec^{2}(x)$ .,

	$\displaystyle\sqrt{a^{2}+x^{2}}=\sqrt{a^{2}+a^{2}\operatorname{tg}^{2}(\theta)}$		(5.530)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{a^{2}\sec^{2}(\theta)}$		(5.531)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|a\|\|\sec(\theta)\|$		(5.532)
	$\displaystyle\text{}\quad=\|a\|\sec(\theta),$		(5.533)

observando que $\sec(\theta)\geq 0$ para $\theta\in(-\pi/2,\pi/2)$ .

Exemplo 5.6.2.

Calcule

\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx

(5.534)

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\operatorname{tg}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}$		(5.535)
	$\displaystyle dx=2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.536)

Substituindo na integral, temos

	$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx=\int\sqrt{4+4\operatorname{tg}^{2}(\theta)% }\,2\sec^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.537)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 4\sec^{3}(\theta)\,d\theta$		(5.538)

Para calcular esta última integral, podemos usar integração por partes¹⁰¹⁰10Consultemos o E.5.5.10., donde obtemos

\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)+2% \ln|\sec(\theta)+\operatorname{tg}(\theta)|+C.

(5.539)

Agora, observamos que

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x}{2}\right)$		(5.540)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow\operatorname{tg}(\theta)=\frac{x}{2}.$		(5.541)

Também, usando a identidade trigonométrica $1+\operatorname{tg}^{2}(x)=\sec^{2}(x)$ , temos

	$\displaystyle\sec(\theta)=\sqrt{1+\operatorname{tg}^{2}(\theta)}$		(5.542)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{1+\frac{x^{2}}{4}}$		(5.543)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{4+x^{2}}}{2}.$		(5.544)

Logo, concluímos que

	$\displaystyle\int\sqrt{4+x^{2}}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{4+x^{2}}+2\ln\left\|\frac{% \sqrt{4+x^{2}}}{2}+\frac{x}{2}\right\|+C$		(5.545)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x}{2}\sqrt{4+x^{2}}+2\ln\left\|\sqrt{4+x^{2}}+x% \right\|+C.$		(5.546)

5.6.3 Integrais envolvendo $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$

No caso de integrais em $x$ envolvendo

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\sqrt{x^{2}-a% ^{2}}

(5.547)

com $a>0$ , podemos fazer a substituição trigonométrica

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x=a\sec(% \theta),

(5.548)

assumindo $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}0\leq\theta% \leq\pi/2$ quando $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x\geq a$ , e $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pi/2\leq% \theta\leq\pi$ quando $\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x\leq-a$ .

Exemplo 5.6.3.

Vamos calcular

\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx

(5.549)

para $x\geq 2$ . Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\sec(\theta),\quad 0\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$		(5.550)
	$\displaystyle dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)$		(5.551)

Substituindo na integral, temos¹¹¹¹11Vamos usar a identidade trigonométrica $\sec^{2}(x)-1=\operatorname{tg}^{2}(x)$ .

	$\displaystyle\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx=\int\sqrt{4\sec^{2}(\theta)-4}\cdot 2\sec(% \theta)\operatorname{tg}(\theta)\,d\theta$		(5.552)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\int\sec(\theta)\operatorname{tg}^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.553)
	$\displaystyle\text{}\quad=4\int\sec^{3}(\theta)\,d\theta-4\int\sec(\theta)\,d\theta$		(5.554)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)+2\ln\|\sec(% \theta)+\operatorname{tg}(\theta)\|$
	$\displaystyle\text{}\quad-4\ln\|\sec(\theta)+\operatorname{tg}(\theta)\|+C.$		(5.555)

Agora, observamos que

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\sec\left(\frac{x}{2}\right)$		(5.556)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow\sec(\theta)=\frac{x}{2}.$		(5.557)

Também, usando a identidade trigonométrica $\sec^{2}(x)-1=\operatorname{tg}^{2}(x)$ , temos

	$\displaystyle\operatorname{tg}(\theta)=\sqrt{\sec^{2}(\theta)-1}$		(5.558)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{\frac{x^{2}}{4}-1}$		(5.559)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}.$		(5.560)

Logo, concluímos que

	$\displaystyle\int\sqrt{x^{2}-4}\,dx=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-4}-2\ln\left\|\frac{% x}{2}+\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}\right\|+C$		(5.561)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}-4}-2\ln\left\|\sqrt{x^{2}-4}+x% \right\|+C.$		(5.562)

5.6.4 Exercícios resolvidos

ER 5.6.1.

Calcule

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}\,dx

(5.563)

Resolução.

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=5\operatorname{sen}(\theta),\quad-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq% \frac{\pi}{2}$		(5.564)
	$\displaystyle dx=5\cos(\theta)\,d\theta$		(5.565)

Substituindo na integral, temos

\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x^{2}}}=\int_{% x=\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{5\cos(\theta)}{25\operatorname{sen}^% {2}(\theta)\sqrt{25-\operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\,d\theta

(5.566)

Observamos que

	$\displaystyle\theta=\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(\frac{x}{5}\right)$		(5.567)
	$\displaystyle x=\frac{5}{2}$
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}\operatorname{sen% }\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{\pi}{6}$		(5.568)
	$\displaystyle x=\frac{5\sqrt{2}}{2}$
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow\theta=\operatorname{arc}\operatorname{sen% }\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=\frac{\pi}{4}$		(5.569)

Segue que

	$\displaystyle\int_{\frac{5}{2}}^{\frac{5}{2}\sqrt{2}}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{25-x% ^{2}}}=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\frac{5\cos(\theta)}{25% \operatorname{sen}^{2}(\theta)\cdot 5\cos(\theta)}\,d\theta$		(5.570)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}\operatorname{% cossec}^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.571)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{25}\left.\operatorname{cotg}^{2}(\theta)% \right\|_{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}}$		(5.572)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{25}\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{4}% \right)+\frac{1}{25}\operatorname{cotg}\left(\frac{\pi}{6}\right)$		(5.573)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{3}}{25}-\frac{1}{25}$		(5.574)

ER 5.6.2.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx

(5.575)

para $x\leq-2$ .

Resolução.

Fazemos a substituição trigonométrica

	$\displaystyle x=2\sec(\theta),\quad\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\pi$		(5.576)
	$\displaystyle dx=2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)$		(5.577)

Substituindo na integral, obtemos

	$\displaystyle\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx=\int\frac{\sqrt{4-4\sec^{2}(% \theta)}}{2\sec(\theta)}2\sec(\theta)\operatorname{tg}(\theta)\,d\theta$		(5.578)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 2\|\operatorname{tg}(\theta)\|\operatorname{tg}(% \theta)\,d\theta$		(5.579)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\int\operatorname{tg}^{2}(\theta)\,d\theta$		(5.580)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\int\left(\sec^{2}(\theta)-1\right)\,d\theta$		(5.581)
	$\displaystyle\text{}\quad=-2\operatorname{tg}(\theta)+2\theta+C$		(5.582)

Como $x=2\sec(\theta)$ , temos $\theta=\operatorname{arc}\sec(x/2)$ e

\displaystyle\operatorname{tg}(\theta)=\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{2}

(5.583)

Concluímos que

\int\frac{\sqrt{x^{2}-4}}{x}\,dx=2\operatorname{arc}\operatorname{sen}\left(% \frac{x}{2}\right)-\sqrt{x^{2}-4}+C

(5.584)

5.6.5 Exercícios

E. 5.6.1.

Calcule

\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}}\,dx

(5.585)

$x=2\operatorname{sen}(\theta)$ , $-\frac{\pi}{2}\leq\theta\leq\frac{\pi}{2}$ ; $\int\frac{1}{\sqrt{4-x^{2}}\,dx}=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x/2)+C$

E. 5.6.2.

Calcule

\int_{0}^{\frac{3\sqrt{2}}{2}}\frac{1}{\sqrt{9-x^{2}}}\,dx

(5.586)

$\frac{\pi}{4}$

E. 5.6.3.

Calcule

\int\frac{dx}{x^{2}\sqrt{4-x^{2}}}

(5.587)

$-\frac{1}{4}\frac{\sqrt{4-x^{2}}}{x}+C$

E. 5.6.4.

Calcule

\int\sqrt{25+x^{2}}\,dx

(5.588)

$\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+25}+\frac{25}{2}\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+25}% \right|+C$

E. 5.6.5.

Calcule

\int\sqrt{x^{2}+16}\,dx

(5.589)

$\displaystyle\frac{x}{2}\sqrt{x^{2}+16}+8\ln\left|x+\sqrt{x^{2}+16}\right|+C$

E. 5.6.6.

Calcule

\int_{0}^{2}\sqrt{4+x^{2}}\,dx

(5.590)

$\displaystyle 2\sqrt{2}+2\ln\left|1+\sqrt{2}\right|$

E. 5.6.7.

Calcule

\int\frac{\sqrt{x^{2}-9}}{x}\,dx

(5.591)

para $x\geq 3$ .

$\sqrt{x^{2}-9}-3\operatorname{arc}\sec\left(\frac{x}{3}\right)+C$

E. 5.6.8.

Calcule

\int_{2}^{4}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-4}}

(5.592)

$\frac{\sqrt{3}}{8}$

E. 5.6.9.

Calcule

\int_{-4}^{2}\frac{dx}{x^{2}\sqrt{x^{2}-4}}

(5.593)

$\frac{\sqrt{3}}{8}$

E. 5.6.10.

Use de integrais definidas para mostrar que a área de um círculo de raio $\bm{r}$ é $\bm{\pi r^{2}}$ .

A área da semicircunferência superior de um círculo de raio $r$ é dada por $\displaystyle\int_{-1}^{1}\sqrt{r^{2}-x^{2}}\,dx=r^{2}\frac{\pi}{2}$ . Logo, a área do círculo completo é $\pi r^{2}$ .

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Cálculo I

5.6 Integração por substituição trigonométrica

5.6.1 Integrais envolvendo $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$

Exemplo 5.6.1.

5.6.2 Integrais envolvendo $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$

Exemplo 5.6.2.

5.6.3 Integrais envolvendo $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$

Exemplo 5.6.3.

5.6.4 Exercícios resolvidos

ER 5.6.1.

Resolução.

ER 5.6.2.

Resolução.

5.6.5 Exercícios

E. 5.6.1.

E. 5.6.2.

E. 5.6.3.

E. 5.6.4.

E. 5.6.5.

E. 5.6.6.

E. 5.6.7.

E. 5.6.8.

E. 5.6.9.

E. 5.6.10.

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	$\displaystyle x=\operatorname{sen}\theta,\leavevmode\nobreak\ -\frac{\pi}{2}% \leq\theta\leq\frac{\pi}{2},$		(5.519)
	$\displaystyle dx=\cos(\theta)\,d\theta$		(5.520)

	$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx=\int\frac{1}{\sqrt{1-% \operatorname{sen}^{2}(\theta)}}\cos(\theta)\,d\theta$		(5.521)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{\cos(\theta)}{\|\cos(\theta)\|}\,d\theta$		(5.522)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int d\theta$		(5.523)
	$\displaystyle\text{}\quad=\theta+C$		(5.524)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{arc}\operatorname{sen}(x)+C$		(5.525)

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5.6 Integração por substituição trigonométrica

5.6.1 Integrais envolvendo a2−x2

Exemplo 5.6.1.

5.6.2 Integrais envolvendo a2+x2

Exemplo 5.6.2.

5.6.3 Integrais envolvendo x2−a2

Exemplo 5.6.3.

5.6.4 Exercícios resolvidos

ER 5.6.1.

Resolução.

ER 5.6.2.

Resolução.

5.6.5 Exercícios

E. 5.6.1.

E. 5.6.2.

E. 5.6.3.

E. 5.6.4.

E. 5.6.5.

E. 5.6.6.

E. 5.6.7.

E. 5.6.8.

E. 5.6.9.

E. 5.6.10.

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5.6.1 Integrais envolvendo $\sqrt{a^{2}-x^{2}}$

5.6.2 Integrais envolvendo $\sqrt{a^{2}+x^{2}}$

5.6.3 Integrais envolvendo $\sqrt{x^{2}-a^{2}}$