Cálculo I

3 Derivadas 3.8 Regla de la cadena 3.10 Derivación implícita

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3.9 Diferenciabilidad de la función inversa

Sea $f$ una función diferenciable e inyectiva en un intervalo abierto $I$ . Entonces, puede demostrarse que su inversa $f^{-1}$ es diferenciable en cualquier punto de la imagen de $f$ en el que $f^{\prime}(f^{-1}(x))\neq 0$ y su derivada es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{d}{dx}% [f^{-1}(x)]=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}}\mathchar 46\relax

(3.522)

Ejemplo 3.9.1.

Sea $f(x)=(2x-1)^{2}$ para $x>1/2$ . Para calcular su inversa, hacemos

	$\displaystyle y=(2x-1)^{2}$		(3.523)
	$\displaystyle\sqrt{y}=2x-1$		(3.524)
	$\displaystyle x=\frac{\sqrt{y}+1}{2}$		(3.525)

Es decir,

f^{-1}(x)=\frac{1}{2}(\sqrt{x}+1)\mathchar 46\relax

(3.526)

Calculando la derivada de $f^{-1}$ directamente, tenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}% +1\right)^{\prime}$		(3.527)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$		(3.528)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4\sqrt{x}}$		(3.529)

Ahora, usando (3.522) y observando que $f^{\prime}(x)=8x-4$ , obtenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f^{-1}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1% }(x))},$		(3.530)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{8\cdot\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}+1\right)-4},$		(3.531)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4\sqrt{x}},$		(3.532)

como era de esperar.

Observación 3.9.1.(Derivada de la función logarítmica)

Tomando $f(x)=e^{x}$ tenemos $f^{-1}(x)=\ln x$ y, por (3.522),

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}\mathchar 46\relax$ (3.533)
Tomando $f(x)=a^{x}$ , $a>0$ y $a\neq 1$ , tenemos $f^{-1}(x)=\log_{a}x$ y, por (3.522),

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}x=\frac{1}{a^{\log_{a}x}\ln a}=\frac{1}{% x\ln a}\mathchar 46\relax$ (3.534)

Ejemplo 3.9.2.

Vamos a calcular la derivada con respecto a $x$ de la función

f(x)=\ln\frac{1}{x}\mathchar 46\relax

(3.535)

Aplicando la regla de la cadena a la derivada de la función logarítmica, tenemos

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln u=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}% \mathchar 46\relax

(3.536)

Por lo tanto, tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\ln\frac{1}{x}\right)^{\prime}$		(3.537)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x^{-1}}\cdot(-x^{-2})$		(3.538)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}\mathchar 46\relax$		(3.539)

Código 71: Python

⬇

1from sympy import log, diff

2from sympy.abc import x

3diff(log(1/x), x)

-1/x

3.9.1 Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Sea $f(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ restringida a $-\pi/2\leq x\leq\pi/2$ . Su inversa es la función arco seno, denotada por

y=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x\mathchar 46\relax

(3.540)

Refer to caption — Figura 3.11: Arco seno de un ángulo en el triángulo rectángulo.

Para calcular la derivada de la función arco seno, vamos a usar (3.522) con $f(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ y $f^{\prime}(x)=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ , donde

(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)^{\prime}=\frac{1}{% \cos(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)}\mathchar 46\relax

(3.541)

Como $\cos(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)=\sqrt{1-x^{2}}$ (consultemos la Figura 3.11), concluimos

(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)^{\prime}=\frac{1}{% \sqrt{1-x^{2}}}\mathchar 46\relax

(3.542)

Ejemplo 3.9.3.

La regla de la cadena aplicada a la derivada de la función arco seno es

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits u=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\mathchar 46\relax

(3.543)

Por ejemplo, tenemos

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x^{2}=\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}\mathchar 46\relax

(3.544)

Código 72: Python

⬇

1from sympy import diff, asin

2from sympy.abc import x

3diff(asin(x**2), x)

2*x/sqrt(1 - x**4)

Con argumentos análogos a los usados en el cálculo de la derivada de la función arco seno, podemos obtener las siguientes derivadas:

	$\displaystyle(\operatorname{arc}\cos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$		(3.545)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits x)^{\prime% }=\frac{1}{1+x^{2}}$		(3.546)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font cotg}\nolimits x)^{% \prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}$		(3.547)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\sec x)^{\prime}=\frac{1}{\|x\|\sqrt{x^{2}-1}}$		(3.548)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\operatorname{cossec}x)^{\prime}=-\frac{1}{\|x\|% \sqrt{x^{2}-1}}$		(3.549)

Ejemplo 3.9.4.

La regla de la cadena aplicada a la función arco tangente es

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}% \nolimits u=\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}\mathchar 46\relax

(3.550)

Por ejemplo, tenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font tg}\nolimits\sqrt{x}=\frac{1}{1+(\sqrt{x})^{2}}\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\sqrt{x}$		(3.551)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2(1+x)\sqrt{x}}\mathchar 46\relax$		(3.552)

Código 73: Python

⬇

1from sympy import diff, atan, sqrt

2from sympy.abc import x

3diff(atan(sqrt(x)), x)

1/(2*sqrt(x)*(x + 1))

3.9.2 Lista de derivadas

	$\displaystyle(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$		(3.553)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(3.554)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(3.555)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(3.556)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.557)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.558)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}u^{r}=ru^{r-1}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.559)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^{u}=a^{u}\ln a\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.560)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{u}=e^{u}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.561)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}u=\frac{1}{u\ln a}\frac{% \mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.562)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln u=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d}u}% {\mathrm{d}x}$		(3.563)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits u=\cos(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.564)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos u=-\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.565)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathop{\operator@font tg}\nolimits u% =\sec^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.566)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathop{\operator@font cotg}% \nolimits u=-\operatorname{cossec}^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.567)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec u=\sec(u)\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.568)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{cossec}u=-% \operatorname{cossec}(u)\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\frac{\mathrm{% d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.569)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font sen}\nolimits u=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.570)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\cos u=-\frac{1}{% \sqrt{1-u^{2}}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.571)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font tg}\nolimits u=\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.572)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits u=-\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d% }x}$		(3.573)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\sec u=\frac{1}{\|% u\|\sqrt{u^{2}-1}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.574)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{% cossec}u=-\frac{1}{\|u\|\sqrt{u^{2}-1}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.575)

3.9.3 Ejercicios resueltos

ER 3.9.1.

Calcule la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función $f(x)=\ln x$ en el punto $x=1$ . Haga, entonces, un esbozo de los gráficos de la función y de la recta tangente.

Resolución.

La ecuación de la recta tangente al gráfico de la función $f(x)=\ln x$ en el punto $x_{0}=1$ es

	$\displaystyle y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$		(3.576)
	$\displaystyle y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)\mathchar 46\relax$		(3.577)

Observando que

f^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x},

(3.578)

tenemos que la ecuación de la recta tangente es

	$\displaystyle y=\frac{1}{1}(x-1)+\ln 1$		(3.579)
	$\displaystyle y=x-1\mathchar 46\relax$		(3.580)

En la Figura 3.12, tenemos los gráficos de la función y de su recta tangente en el punto $x=1$ .

Código 74: Python

⬇

1from sympy import log, diff

2from sympy.abc import x

3rt = diff(log(x)).subs(x,1)*(x-1)+log(1)

4print("y = %s" % rt)

y = x - 1

ER 3.9.2.

Resuelva la ecuación

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}% \nolimits x=1\mathchar 46\relax

(3.581)

Resolución.

Recordando que

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}% \nolimits x=\frac{1}{1+x^{2}},

(3.582)

tenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font tg}\nolimits x=1$		(3.583)
	$\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}=1$		(3.584)
	$\displaystyle 1+x^{2}=1$		(3.585)
	$\displaystyle x^{2}=0$		(3.586)
	$\displaystyle x=0\mathchar 46\relax$		(3.587)

ER 3.9.3.

Calcule

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{x}\mathchar 46\relax

(3.588)

Resolución.

Observamos que

	$\displaystyle y=x^{x}$		(3.589)
	$\displaystyle\ln y=\ln x^{x}$		(3.590)
	$\displaystyle\ln y=x\ln x\mathchar 46\relax$		(3.591)

Ahora, derivando ambos lados de esta ecuación con respecto a $x$ , obtenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x% }\left(x\ln x\right)$		(3.592)
	$\displaystyle\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1+\ln x$		(3.593)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y(1+\ln x)$		(3.594)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}x^{x}}{\mathrm{d}x}=x^{x}(1+\ln x)\mathchar 46\relax$		(3.595)

3.9.4 Ejercicios

E. 3.9.1.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de las siguientes funciones:

a)

$f(x)=\log_{2}x^{2}$
b)

$g(x)=\ln(xe^{x})$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2}{x\ln 2}$ ; b) $g^{\prime}(x)=\frac{1+x}{x}$

E. 3.9.2.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de las siguientes funciones:

a)

$f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}$
b)

$g(x)=(1+2x)^{e}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ ; b) $g^{\prime}(x)=2e(1+2x)^{e-1}$

E. 3.9.3.

Calcule

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1+x)^{x}\mathchar 46\relax

(3.596)

$x(1+x)^{x-1}+(1+x)^{x}\ln(1+x)$

E. 3.9.4.

Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de $f(x)=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits x$ en el punto $x=0$ .

$y=x$

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Cálculo I

3.9 Diferenciabilidad de la función inversa

Ejemplo 3.9.1.

Observación 3.9.1.(Derivada de la función logarítmica)

Ejemplo 3.9.2.

3.9.1 Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Ejemplo 3.9.3.

Ejemplo 3.9.4.

3.9.2 Lista de derivadas

3.9.3 Ejercicios resueltos

ER 3.9.1.

Resolución.

ER 3.9.2.

Resolución.

ER 3.9.3.

Resolución.

3.9.4 Ejercicios

E. 3.9.1.

E. 3.9.2.

E. 3.9.3.

E. 3.9.4.

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