Cálculo I

3 Derivadas 3.8 Regla de la cadena 3.10 Derivación implícita

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3.9 Diferenciabilidad de la función inversa

Sea $f$ una función diferenciable e inyectiva en un intervalo abierto $I$ . Entonces, puede demostrarse que su inversa $f^{-1}$ es diferenciable en cualquier punto de la imagen de $f$ en el que $f^{\prime}(f^{-1}(x))\neq 0$ y su derivada es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{d}{dx}% [f^{-1}(x)]=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1}(x))}}.

(3.526)

Ejemplo 3.9.1.

Sea $f(x)=(2x-1)^{2}$ para $x>1/2$ . Para calcular su inversa, hacemos

	$\displaystyle y=(2x-1)^{2}$		(3.527)
	$\displaystyle\sqrt{y}=2x-1$		(3.528)
	$\displaystyle x=\frac{\sqrt{y}+1}{2}$		(3.529)

Es decir,

f^{-1}(x)=\frac{1}{2}(\sqrt{x}+1).

(3.530)

Calculando la derivada de $f^{-1}$ directamente, tenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f^{-1}(x)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}% +1\right)^{\prime}$		(3.531)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}$		(3.532)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4\sqrt{x}}$		(3.533)

Ahora, usando (3.526) y observando que $f^{\prime}(x)=8x-4$ , obtenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f^{-1}(x)=\frac{1}{f^{\prime}(f^{-1% }(x))},$		(3.534)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{8\cdot\frac{1}{2}\left(\sqrt{x}+1\right)-4},$		(3.535)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4\sqrt{x}},$		(3.536)

como era de esperar.

Observación 3.9.1.(Derivada de la función logarítmica)

Tomando $f(x)=e^{x}$ tenemos $f^{-1}(x)=\ln x$ y, por (3.526),

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln x=\frac{1}{e^{\ln x}}=\frac{1}{x}.$ (3.537)
Tomando $f(x)=a^{x}$ , $a>0$ y $a\neq 1$ , tenemos $f^{-1}(x)=\log_{a}x$ y, por (3.526),

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}x=\frac{1}{a^{\log_{a}x}\ln a}=\frac{1}{% x\ln a}.$ (3.538)

Ejemplo 3.9.2.

Vamos a calcular la derivada con respecto a $x$ de la función

f(x)=\ln\frac{1}{x}.

(3.539)

Aplicando la regla de la cadena a la derivada de la función logarítmica, tenemos

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln u=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(3.540)

Por lo tanto, tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\left(\ln\frac{1}{x}\right)^{\prime}$		(3.541)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{x^{-1}}\cdot(-x^{-2})$		(3.542)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{x}.$		(3.543)

Código 71: Python

⬇

1from sympy import log, diff

2from sympy.abc import x

3diff(log(1/x), x)

-1/x

3.9.1 Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Sea $f(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ restringida a $-\pi/2\leq x\leq\pi/2$ . Su inversa es la función arco seno, denotada por

y=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x.

(3.544)

Refer to caption — Figura 3.11: Arco seno de un ángulo en el triángulo rectángulo.

Para calcular la derivada de la función arco seno, vamos a usar (3.526) con $f(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ y $f^{\prime}(x)=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ , donde

(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)^{\prime}=\frac{1}{% \cos(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)}.

(3.545)

Como $\cos(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)=\sqrt{1-x^{2}}$ (consultemos la Figura 3.11), concluimos

(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}\nolimits x)^{\prime}=\frac{1}{% \sqrt{1-x^{2}}}.

(3.546)

Ejemplo 3.9.3.

La regla de la cadena aplicada a la derivada de la función arco seno es

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits u=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(3.547)

Por ejemplo, tenemos

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits x^{2}=\frac{2x}{\sqrt{1-x^{4}}}.

(3.548)

Código 72: Python

⬇

1from sympy import diff, asin

2from sympy.abc import x

3diff(asin(x**2), x)

2*x/sqrt(1 - x**4)

Con argumentos análogos a los usados en el cálculo de la derivada de la función arco seno, podemos obtener las siguientes derivadas:

	$\displaystyle(\operatorname{arc}\cos x)^{\prime}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}}$		(3.549)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits x)^{\prime% }=\frac{1}{1+x^{2}}$		(3.550)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\mathop{\operator@font cotg}\nolimits x)^{% \prime}=-\frac{1}{1+x^{2}}$		(3.551)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\sec x)^{\prime}=\frac{1}{\|x\|\sqrt{x^{2}-1}}$		(3.552)
	$\displaystyle(\operatorname{arc}\operatorname{cossec}x)^{\prime}=-\frac{1}{\|x\|% \sqrt{x^{2}-1}}$		(3.553)

Ejemplo 3.9.4.

La regla de la cadena aplicada a la función arco tangente es

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}% \nolimits u=\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(3.554)

Por ejemplo, tenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font tg}\nolimits\sqrt{x}=\frac{1}{1+(\sqrt{x})^{2}}\frac{\mathrm{d}% }{\mathrm{d}x}\sqrt{x}$		(3.555)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2(1+x)\sqrt{x}}.$		(3.556)

Código 73: Python

⬇

1from sympy import diff, atan, sqrt

2from sympy.abc import x

3diff(atan(sqrt(x)), x)

1/(2*sqrt(x)*(x + 1))

3.9.2 Lista de derivadas

	$\displaystyle(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$		(3.557)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(3.558)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(3.559)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(3.560)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.561)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.562)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}u^{r}=ru^{r-1}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.563)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}a^{u}=a^{u}\ln a\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.564)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{u}=e^{u}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.565)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}u=\frac{1}{u\ln a}\frac{% \mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.566)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln u=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d}u}% {\mathrm{d}x}$		(3.567)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits u=\cos(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.568)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos u=-\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.569)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathop{\operator@font tg}\nolimits u% =\sec^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.570)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathop{\operator@font cotg}% \nolimits u=-\operatorname{cossec}^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.571)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec u=\sec(u)\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.572)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{cossec}u=-% \operatorname{cossec}(u)\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\frac{\mathrm{% d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.573)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font sen}\nolimits u=\frac{1}{\sqrt{1-u^{2}}}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.574)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\cos u=-\frac{1}{% \sqrt{1-u^{2}}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.575)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font tg}\nolimits u=\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.576)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits u=-\frac{1}{1+u^{2}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d% }x}$		(3.577)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\sec u=\frac{1}{\|% u\|\sqrt{u^{2}-1}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.578)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\operatorname{% cossec}u=-\frac{1}{\|u\|\sqrt{u^{2}-1}}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.579)

3.9.3 Ejercicios resueltos

ER 3.9.1.

Calcule la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función $f(x)=\ln x$ en el punto $x=1$ . Haga, entonces, un esbozo de los gráficos de la función y de la recta tangente.

Resolución.

La ecuación de la recta tangente al gráfico de la función $f(x)=\ln x$ en el punto $x_{0}=1$ es

	$\displaystyle y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})$		(3.580)
	$\displaystyle y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1).$		(3.581)

Observando que

f^{\prime}(x)=(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x},

(3.582)

tenemos que la ecuación de la recta tangente es

	$\displaystyle y=\frac{1}{1}(x-1)+\ln 1$		(3.583)
	$\displaystyle y=x-1.$		(3.584)

En la Figura 3.12, tenemos los gráficos de la función y de su recta tangente en el punto $x=1$ .

Código 74: Python

⬇

1from sympy import log, diff

2from sympy.abc import x

3rt = diff(log(x)).subs(x,1)*(x-1)+log(1)

4print("y = %s" % rt)

y = x - 1

ER 3.9.2.

Resuelva la ecuación

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}% \nolimits x=1.

(3.585)

Resolución.

Recordando que

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}% \nolimits x=\frac{1}{1+x^{2}},

(3.586)

tenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{arc}\mathop{% \operator@font tg}\nolimits x=1$		(3.587)
	$\displaystyle\frac{1}{1+x^{2}}=1$		(3.588)
	$\displaystyle 1+x^{2}=1$		(3.589)
	$\displaystyle x^{2}=0$		(3.590)
	$\displaystyle x=0.$		(3.591)

ER 3.9.3.

Calcule

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{x}.

(3.592)

Resolución.

Observamos que

	$\displaystyle y=x^{x}$		(3.593)
	$\displaystyle\ln y=\ln x^{x}$		(3.594)
	$\displaystyle\ln y=x\ln x.$		(3.595)

Ahora, derivando ambos lados de esta ecuación con respecto a $x$ , obtenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x% }\left(x\ln x\right)$		(3.596)
	$\displaystyle\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=1+\ln x$		(3.597)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=y(1+\ln x)$		(3.598)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}x^{x}}{\mathrm{d}x}=x^{x}(1+\ln x).$		(3.599)

3.9.4 Ejercicios

E. 3.9.1.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de las siguientes funciones:

a)

$f(x)=\log_{2}x^{2}$
b)

$g(x)=\ln(xe^{x})$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2}{x\ln 2}$ ; b) $g^{\prime}(x)=\frac{1+x}{x}$

E. 3.9.2.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de las siguientes funciones:

a)

$f(x)=\sqrt[3]{x^{2}}$
b)

$g(x)=(1+2x)^{e}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{2}{3\sqrt[3]{x}}$ ; b) $g^{\prime}(x)=2e(1+2x)^{e-1}$

E. 3.9.3.

Calcule

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(1+x)^{x}.

(3.600)

$x(1+x)^{x-1}+(1+x)^{x}\ln(1+x)$

E. 3.9.4.

Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de $f(x)=\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}\nolimits x$ en el punto $x=0$ .

$y=x$

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Cálculo I

3.9 Diferenciabilidad de la función inversa

Ejemplo 3.9.1.

Observación 3.9.1.(Derivada de la función logarítmica)

Ejemplo 3.9.2.

3.9.1 Derivadas de funciones trigonométricas inversas

Ejemplo 3.9.3.

Ejemplo 3.9.4.

3.9.2 Lista de derivadas

3.9.3 Ejercicios resueltos

ER 3.9.1.

Resolución.

ER 3.9.2.

Resolución.

ER 3.9.3.

Resolución.

3.9.4 Ejercicios

E. 3.9.1.

E. 3.9.2.

E. 3.9.3.

E. 3.9.4.

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