Cálculo I

5 Integración 5.6 Integración por sustitución trigonométrica 5.8 Integrales impropias

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5.7 Integración por fracciones parciales

El método de integración por fracciones parciales se aplica a integrales de funciones racionales

\int\frac{p(x)}{q(x)}\,dx

(5.578)

donde $p$ y $q$ son polinomios. La idea es utilizar la llamada descomposición en fracciones parciales: toda función racional propia¹²¹²12Una función racional $p/q$ es propia cuando el grado de $p$ es menor que el grado del denominador. $p/q$ puede reescribirse de la forma

\frac{p(x)}{q(x)}=f_{1}(x)+f_{2}(x)+\cdots+f_{n}(x),

(5.579)

donde $f_{1},f_{2},\dotsc,f_{n}$ se denominan fracciones parciales y tienen la forma

\frac{A}{(ax+b)^{m}}

(5.580)

\frac{Ax+b}{(ax^{2}+bx+c)^{m}}

(5.581)

siendo sus denominadores los factores de $q$ .

5.7.1 Raíces reales distintas

Cuando el polinomio denominador tiene todas sus raíces reales y distintas, la descomposición en fracciones parciales tiene la forma

\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{A_{1}}{a_{1}x+b_{1}}+\cdots+\frac{A_{n}}{a_{n}x+b_{n}}

(5.582)

donde $n$ es el grado del denominador.

Ejemplo 5.7.1.

Vamos a calcular

\int\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}\,dx.

(5.583)

Para realizar la descomposición en fracciones parciales, comenzamos calculando las raíces del denominador.

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }2}x^{2}-5x+3=0$		(5.584)
	$\displaystyle x^{2}-\frac{5}{2}x+\frac{3}{2}=0$		(5.585)
	$\displaystyle x_{1,2}=\frac{\frac{5}{2}\pm\sqrt{\frac{25}{4}-4\cdot\frac{3}{2}% }}{2}$		(5.586)
	$\displaystyle x_{1}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb% }{0,0,1}1},~{}x_{2}={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb% }{0,0,1}\frac{3}{2}}$		(5.587)

Con ello, descomponemos el denominador como sigue

	$\displaystyle 2x^{2}-5x+3={\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}2}(x-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}1})\left(x-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{3}{2}}\right)$		(5.588)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x-1)(2x-3)$		(5.589)

Código 107: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import factor

3factor(2*x**2 - 5*x + 3)

(x - 1)*(2*x - 3)

Una vez factorizado el denominador, la descomposición en fracciones parciales consiste en calcular los parámetros $A$ y $B$ tales que

	$\displaystyle\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{2x-3}$		(5.590)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A(2x-3)+B(x-1)}{(x-1)(2x-3)}$		(5.591)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(2A+B)x+(-3A-B))}{(x-1)(2x-3)}$		(5.592)

Entonces, por comparación directa, obtenemos el siguiente sistema lineal de dos ecuaciones y dos incógnitas

	$\displaystyle 2A+B=2$		(5.593)
	$\displaystyle-3A-B=-4$		(5.594)

Resolviéndolo, encontramos $A=2$ y $B=-2$ .

Código 108: Python

⬇

1from sympy.abc import A, B

2from sympy import Eq, solve

3solve([Eq(2*A + B, 2),

4 Eq(-3*A - B, -4)])

{A: 2, B: -2}

Al final, obtenemos la descomposición en fracciones parciales

\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}=\frac{2}{x-1}-\frac{2}{2x-3}.

(5.595)

Código 109: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import apart

3apart((2*x - 4)/(2*x**2 - 5*x + 3))

-2/(2*x - 3) + 2/(x - 1)

Una vez calculada la descomposición, la integral que queremos calcular puede reescribirse de la siguiente forma

\int\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}\,dx=\int\frac{2}{x-1}\,dx-\int\frac{2}{2x-3}\,dx

(5.596)

Las integrales del segundo miembro pueden calcularse por el método de sustitución, obteniéndose

\int\frac{2x-4}{2x^{2}-5x+3}\,dx=2\ln|x-1|-\ln|2x-3|+C

(5.597)

Código 110: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import integrate

3integrate((2*x - 4)/(2*x**2 - 5*x + 3), x)

- log(x - 3/2) + 2*log(x - 1)

5.7.2 Raíces reales múltiples

En el caso en que el denominador tiene raíces reales múltiples, la descomposición en fracciones parciales tiene la forma

\frac{p(x)}{(ax+b)^{m}}=\frac{A_{1}}{(ax+b)}+\frac{A_{2}}{(ax+b)^{2}}+\cdots+% \frac{A_{m}}{(ax+b)^{m}}.

(5.598)

Ejemplo 5.7.2.

Vamos a calcular

\int\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}\,dx

(5.599)

El denominador tiene raíz real doble $x_{1,2}=1$ , pudiendo factorizarse como sigue

x^{2}-2x+1=(x-1)^{2}

(5.600)

Entonces, la descomposición del integrando en fracciones parciales tiene la forma

	$\displaystyle\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}=\frac{A_{1}}{x-1}+\frac{A_{2}}{(x-1)^{2}}$		(5.601)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}(x-1)+A_{2}}{(x-1)^{2}}$		(5.602)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}x+(-A_{1}+A_{2})}{(x-1)^{2}}$		(5.603)

Por comparación directa, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

	$\displaystyle A_{1}=-1$		(5.604)
	$\displaystyle-A_{1}+A_{2}=2$		(5.605)

Donde obtenemos los parámetros $A_{1}=-1$ y $A_{2}=1$ . Con ello, la integral puede reescribirse de la siguiente forma

\int\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}\,dx=-\int\frac{1}{x-1}\,dx+\int\frac{1}{(x-1)^{2}}% \,dx

(5.606)

Estas últimas pueden calcularse por el método de sustitución, de donde concluimos que

\int\frac{2-x}{x^{2}-2x+1}\,dx=-\ln|x-1|-\frac{1}{x-1}+C

(5.607)

5.7.3 Raíces complejas

Cuando el polinomio denominador tiene raíces complejas, la descomposición en fracciones parciales tiene la forma

\frac{p(x)}{(ax^{2}+bx+c)^{m}}=\frac{A_{1}x+B_{1}}{ax^{2}+bx+c}+\cdots+\frac{A% _{m}x+B_{m}}{(ax^{2}+bx+c)^{m}}

(5.608)

Ejemplo 5.7.3.

Vamos a calcular

\int\frac{1}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}\,dx

(5.609)

Las raíces del denominador son $x_{1}=1$ y $x_{2,3}=1\pm i$ . De esta forma, hacemos la descomposición en fracciones parciales del integrando como sigue

	$\displaystyle\frac{1}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}=\frac{A_{1}}{x-1}+\frac{A_{2}x+B_{2}}% {x^{2}-2x+2}$		(5.610)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}(x^{2}-2x+2)+(A_{2}x+B_{2})(x-1))}{x^{3}-% 3x^{2}+4x-2}$		(5.611)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(A_{1}+A_{2})x^{2}+(-2A_{1}-A_{2}+B_{2})x+(2A_% {1}-B_{2})}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}$		(5.612)

Por comparación directa, tenemos

	$\displaystyle A_{1}+A_{2}=0$		(5.613)
	$\displaystyle-2A_{1}-A_{2}+B_{2}=0$		(5.614)
	$\displaystyle 2A_{1}-B_{2}=1$		(5.615)

donde $A_{1}=1$ , $A_{2}=-1$ y $B_{2}=1$ . Con ello, calculamos la integral como sigue

	$\displaystyle\int\frac{1}{x^{3}-3x^{2}+4x-2}\,dx=\int\frac{1}{(x-1)}\,dx+\int% \frac{-x+1}{x^{2}-2x+2}\,dx$		(5.616)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|x-1\|-\frac{1}{2}\ln\|x^{2}-2x+2\|+C$		(5.617)

5.7.4 Ejercicios resueltos

ER 5.7.1.

Calcule

\int\frac{x+1}{2x^{3}+2x^{2}-2x-2}\,dx

(5.618)

Resolución.

Vamos a calcularlo realizando la descomposición en fracciones parciales. Comenzamos observando que $x=1$ es raíz del denominador, por lo que calculamos la factorización

2x^{3}+2x^{2}-2x-2=2(x-1)(x+1)^{2}.

(5.619)

Con ello, vemos que el denominador tiene raíces $x_{1}=1$ y $x_{2,3}=-1$ . Entonces, la descomposición en fracciones parciales del integrando tiene la forma

	$\displaystyle\frac{x+1}{2x^{3}+2x^{2}-2x-2}=\frac{A_{1}}{2x-2}+\frac{A_{2}}{x+% 1}+\frac{A_{3}}{(x+1)^{2}}$		(5.620)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}(x+1)^{2}+A_{2}(2x-2)(x+1)+A_{3}(2x-2)}{(% 2x-2)(x+1)^{2}}$		(5.621)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}(x^{2}+2x+1)+A_{2}(2x^{2}-2)+A_{3}(2x-2)}% {(2x-2)(x+1)^{2}}$		(5.622)

Por comparación directa, tenemos

	$\displaystyle A_{1}+2A_{2}=0$		(5.623)
	$\displaystyle 2A_{1}+2A_{3}=1$		(5.624)
	$\displaystyle A_{1}-2A_{2}-2A_{3}=1$		(5.625)

Resolviendo, obtenemos $A_{1}=1/2$ , $A_{2}=-1/4$ y $A_{3}=0$ . Por último, calculamos la integral como sigue

	$\displaystyle\int\frac{x+1}{2x^{3}+2x^{2}-2x-2}\,dx=\int\frac{\frac{1}{2}}{2x-% 2}\,dx+\int\frac{-\frac{1}{4}}{x+1}\,dx$		(5.626)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{4}\ln\|x-1\|-\frac{1}{4}\ln\|x+1\|+C$		(5.627)

ER 5.7.2.

Calcule el área entre las curvas $y=5/(x(x^{2}+4))$ , $y=0$ , $x=1$ y $x=2$ .

Resolución.

El área puede calcularse mediante la integral definida

\int_{1}^{2}\frac{5}{x(x^{2}+4)}\,dx.

(5.628)

Vamos a calcularla usando el método de descomposición en fracciones parciales

	$\displaystyle\frac{5}{x(x^{2}+4)}=\frac{A_{1}}{x}+\frac{A_{2}x+B_{2}}{x^{2}+4}$		(5.629)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{A_{1}(x^{2}+4)+(A_{2}x+B_{2})x}{x(x^{2}+4)}$		(5.630)

Por comparación directa, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

	$\displaystyle A_{1}+A_{2}=0$		(5.631)
	$\displaystyle B_{2}=0$		(5.632)
	$\displaystyle 4A_{1}=5$		(5.633)

De donde, tenemos los parámetros $A_{1}=\frac{5}{4}$ , $A_{2}=-\frac{5}{4}$ y $B_{2}=0$ . Con esto, calculamos la integral como sigue

	$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{5}{x(x^{2}+4)}\,dx=\int_{1}^{2}\frac{\frac{5}{4% }}{x}\,dx+\int_{1}^{2}\frac{-\frac{5}{4}x}{x^{2}+4}\,dx$		(5.634)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{5}{4}\left[\ln\|x\|\right]_{1}^{2}-\frac{5}{4}% \left[\ln\|x^{2}+4\|\right]_{1}^{2}$		(5.635)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{5}{4}\ln(2)-\frac{5}{4}\ln(8)+\frac{5}{4}\ln(4)$		(5.636)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{5}{4}\ln(2)$		(5.637)

5.7.5 Ejercicios

E. 5.7.1.

Calcule

\int\frac{1}{x^{2}-1}\,dx

(5.638)

$\frac{1}{2}\ln|x-1|-\frac{1}{2}\ln|x+1|+C$

E. 5.7.2.

Calcule

\int\frac{x+2}{2x^{3}-5x^{2}+2x}\,dx

(5.639)

$\ln|x|+\frac{2}{3}\ln|x-2|-\frac{5}{3}\ln|x-\frac{1}{2}|+C$

E. 5.7.3.

Calcule

\int\frac{2x-3}{x^{3}-x^{2}-x+1}\,dx

(5.640)

$\frac{5}{4}\ln|x-1|-\frac{5}{4}\ln|x+1|+\frac{1}{2x-2}+C$

E. 5.7.4.

Calcule

\int\frac{x+2}{x^{3}+x}\,dx

(5.641)

$2\ln|x|-\ln|x^{2}+1|+\mathop{\operator@font arc\,tg}\nolimits(x)+C$

E. 5.7.5.

Calcule

\int_{0}^{1}\frac{1}{2x^{3}+7x^{2}+7x+2}\,dx

(5.642)

$-\frac{4}{3}\ln(2)+\ln|3|$

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Cálculo I

5.7 Integración por fracciones parciales

5.7.1 Raíces reales distintas

Ejemplo 5.7.1.

5.7.2 Raíces reales múltiples

Ejemplo 5.7.2.

5.7.3 Raíces complejas

Ejemplo 5.7.3.

5.7.4 Ejercicios resueltos

ER 5.7.1.

Resolución.

ER 5.7.2.

Resolución.

5.7.5 Ejercicios

E. 5.7.1.

E. 5.7.2.

E. 5.7.3.

E. 5.7.4.

E. 5.7.5.

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