Cálculo I

5 Integración 5.3 Reglas básicas de integración 5.5 Integración por partes

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5.4 Integración por sustitución

Sea $u=u(x)$ . La regla de integración por sustitución es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int f(u(x))% u^{\prime}(x)\,dx=\int f(u)\,du}\mathchar 46\relax

(5.220)

De hecho, si

\int f(u)\,du=F(u)+C,

(5.221)

entonces, por la regla de la cadena³³3Consulte la Sección 3.8 para más información sobre la regla de la cadena., tenemos

	$\displaystyle\frac{d}{dx}F(u(x))=F^{\prime}(u(x))u^{\prime}(x)$		(5.222)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(u(x))u^{\prime}(x),$		(5.223)

es decir, $F(u(x))$ es una primitiva de $f(u(x))u^{\prime}(x)$ .

Ejemplo 5.4.1.

Vamos a aplicar la integración por sustitución para calcular las siguientes integrales:

a)

$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx$ .

Elegimos

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u=x+1}$ (5.224)

donde

$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$ (5.225)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$ (5.226)

Al hacer la sustitución en la integral, obtenemos

$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx=\int\underbrace{u^{2}}_{f(u)}\,du$ (5.227)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{3}+C$ (5.228)

Ahora, sustituyendo de nuevo $u=x+1$ , concluimos que

$\int(x+1)^{2}\,dx=\frac{(x+1)^{3}}{3}+C$ (5.229)
b)

$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx$ Elegimos

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u=2x+1}$ (5.230)

y calculamos

$\displaystyle\frac{du}{dx}=2x$ (5.231)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=2\,dx}$ (5.232)

Sustituyendo en la integral, obtenemos

$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx=\int\sqrt{2x+1}\cdot 2\,dx$ (5.233)

$\displaystyle\text{}\quad=\int\sqrt{u}\,du$ (5.234)

$\displaystyle\text{}\quad=\int u^{\frac{1}{2}}\,du$ (5.235)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$ (5.236)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}\sqrt{(2x+1)^{3}}+C$ (5.237)
c)

$\displaystyle\int\pi\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi x)\,dx$ .

Elegimos

$u=\pi x$ (5.238)

y calculamos

$du=\pi\,dx$ (5.239)

Por sustitución, obtenemos

$\displaystyle\int\pi\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi x)\,dx=\int% \mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)\,du$ (5.240)

$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(u)+C$ (5.241)

$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi x)+C\mathchar 46\relax$ (5.242)

Observe que al elegir $u=u(x)$ , su derivada $u^{\prime}(x)$ también debe estar en el integrando. Una excepción es el caso en que $u^{\prime}(x)\equiv k$ es constante. En ese caso, podemos multiplicar el integrando por $k/k$ y usar la regla de multiplicación por escalar.

Ejemplo 5.4.2.

Vamos a calcular

\int(2x+1)^{2}\,dx\mathchar 46\relax

(5.243)

Sustituyendo

u=2x+1

(5.244)

tenemos

du=2\,dx

(5.245)

Por sustitución, obtenemos

	$\displaystyle\int(2x+1)^{2}\,dx=\int(2x+1)^{2}\cdot\frac{2}{2}\,dx$		(5.246)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int(2x+1)^{2}\cdot 2\,dx$		(5.247)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int u^{2}\,du$		(5.248)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{6}+C$		(5.249)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{6}(2x+1)^{3}+C\mathchar 46\relax$		(5.250)

Otra forma equivalente de calcularlo es observar que

	$\displaystyle du=2\,dx$		(5.251)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}dx=\frac{du}{2}}$		(5.252)

Entonces, al hacer la sustitución $u=2x+1$ en la integral original, obtenemos

	$\displaystyle\int(2x+1)^{2}\,dx=\int u^{2}\,\frac{du}{2}$		(5.253)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int u^{2}\,du$		(5.254)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{6}+C$		(5.255)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(2x+1)^{3}}{6}+C$		(5.256)

5.4.1 Integral de la función exponencial

En la Subsección 5.3.5, vimos que

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C

(5.257)

Ahora, con la regla de sustitución, tenemos

	$\displaystyle\int a^{x}\,dx=\int e^{\ln a^{x}}\,dx$		(5.258)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int e^{x\ln a}\,dx,$		(5.259)

con $a>0$ y $a\neq 1$ . Tomando

	$\displaystyle u=x\ln a$		(5.260)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\ln(a)dx\mathchar 46\relax$		(5.261)

Se sigue que

	$\displaystyle\int a^{x}\,dx=\int e^{u}\,\frac{du}{\ln a}$		(5.262)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln a}\int e^{u}\,du$		(5.263)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{u}}{\ln a}+C$		(5.264)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{x\ln a}}{\ln a}+C$		(5.265)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{\ln a^{x}}}{\ln a}+C$		(5.266)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{a^{x}}{\ln a}+C\mathchar 46\relax$		(5.267)

Es decir, concluimos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int a^{x}\,% dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C}\mathchar 46\relax

(5.268)

Ejemplo 5.4.3.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\int 2^{x}\,dx=\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ (5.269)
b)

$\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$ (5.270)

Eligiendo

$\displaystyle u=\frac{x}{2}$ (5.271)

$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\frac{dx}{2}$ (5.272)

Por sustitución, obtenemos

$\displaystyle\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$ (5.273)

$\displaystyle\text{}\quad=\int 2^{u}\cdot 2\,du$ (5.274)

$\displaystyle\text{}\quad=2\int 2^{u}\,du$ (5.275)

$\displaystyle\text{}\quad=2\frac{2^{\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C$ (5.276)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln 2}2^{\frac{x}{2}+1}+C$ (5.277)
c)

$\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx\mathchar 46\relax$ (5.278)

Por sustitución, tomamos

$\displaystyle u=x^{2}$ (5.279)

$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=2x\,dx,$ (5.280)

se sigue

$\displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\int x\cdot 2^{u}\frac{du}{2x}$ (5.281)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\cdot 2^{u}\,du$ (5.282)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{u}}{\ln 2}+C$ (5.283)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C$ (5.284)

Entonces, por el teorema fundamental del cálculo, concluimos que

$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\left\mathchar 46\relax% \frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}\right|_{1}^{\sqrt{2}}$ (5.285)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{x^{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$ (5.286)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{(\sqrt{2})^{2}}-2^{1^{2}}\right]$ (5.287)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{2}-2\right]$ (5.288)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln 2}$ (5.289)

5.4.2 Integral de funciones trigonométricas

En la Sección 5.3.6, vimos que

	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-\cos(x)+C\quad% \text{e}$		(5.290)
	$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C% \mathchar 46\relax$		(5.291)

Ejemplo 5.4.4.

Vamos a calcular

\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)\,dx\mathchar 46\relax

(5.292)

Usando la identidad trigonométrica

\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2},

(5.293)

tenemos

	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)\,dx=\int\frac{1-x% \cos(2x)}{2}\,dx$		(5.294)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\cos(2x)\,dx% \mathchar 46\relax$		(5.295)

Ahora, tomando $u=2x$ , temos $du=2\,dx$ , donde

	$\displaystyle\int\cos(2x)\,dx=\int\cos(u)\frac{du}{2}$		(5.296)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)+C$		(5.297)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(2x)+% C\mathchar 46\relax$		(5.298)

Volviendo a (5.295), obtenemos

\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(2x)}{4}+C\mathchar 46\relax

(5.299)

Ahora, afirmamos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(x)\,dx=\ln|\sec(x)|+C}\mathchar 46\relax

(5.300)

De hecho, observamos que

\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)\,dx=\int\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)}{\cos(x)}\,dx,

(5.301)

escogemos

	$\displaystyle u=\cos(x)$		(5.302)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(% x)\,dx\mathchar 46\relax$		(5.303)

Entonces, por sustitución, calculamos

	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)\,dx=-\int\frac{1}{u}\,du$		(5.304)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\ln\|u\|+C$		(5.305)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\ln\|\cos(x)\|+C$		(5.306)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\left\|\frac{1}{\cos(x)}\right\|+C$		(5.307)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|\sec(x)\|+C\mathchar 46\relax$		(5.308)

Ejemplo 5.4.5.

Vamos a calcular

\int x\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x^{2})\,dx\mathchar 46\relax

(5.309)

Usando la regla de sustitución, elegimos

	$\displaystyle u=x^{2}$		(5.310)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=2x\,du\mathchar 46\relax$		(5.311)

Haciendo la sustitución y calculando, obtenemos

	$\displaystyle\int x\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x^{2})\,dx=\int\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(u)\,\frac{du}{2}$		(5.312)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits(u% )\,du$		(5.313)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.314)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\ln\|\sec(x^{2})\|+C\mathchar 46\relax$		(5.315)

Con razonamiento análogo al utilizado en la integración de la función tangente, obtenemos⁴⁴4Consulte el E.5.4.15.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits(x)\,dx=\ln|\mathop{\operator@font sen}\nolimits(% x)|+C}\mathchar 46\relax

(5.316)

Ahora, vamos a mostrar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\sec(x)% \,dx=\ln|\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)|+C}\mathchar 46\relax

(5.317)

Observamos que

	$\displaystyle\int\sec(x)\,dx=\int\sec(x)\cdot\frac{\sec(x)+\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(x)}{\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)% }\,dx$		(5.318)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\mathop{\operator@font tg% }\nolimits(x)}{\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)}\,dx\mathchar 46\relax$		(5.319)

Entonces, eligiendo

	$\displaystyle u=\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)$		(5.320)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\sec(x)\mathop{\operator@font tg}% \nolimits(x)+\sec^{2}(x),$		(5.321)

tenemos, por sustitución, que

	$\displaystyle\int\sec(x)\,dx=\int\frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(x)}{\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)% }\,dx$		(5.322)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{1}{u}\,du$		(5.323)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|u\|+C$		(5.324)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)\|+% C\mathchar 46\relax$		(5.325)

Ejemplo 5.4.6.

Vamos calcular

\int\sec\left(\frac{u}{2}\right)\,du\mathchar 46\relax

(5.326)

Haciendo la sustitución

	$\displaystyle v=\frac{u}{2}$		(5.327)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow dv=\frac{du}{2},$		(5.328)

segue

	$\displaystyle\int\sec\left(\frac{u}{2}\right)\,du=\int\sec(v)\cdot 2\,dv$		(5.329)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int\sec(v)\,dv$		(5.330)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\ln\|\sec(v)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(v)\|+C$		(5.331)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\ln\left\|\sec\left(\frac{u}{2}\right)+\mathop{% \operator@font tg}\nolimits\left(\frac{u}{2}\right)\right\|+C\mathchar 46\relax$		(5.332)

Con razonamiento análogo al utilizado en la integración de la función secante, obtenemos⁵⁵5Consultemos el E.5.4.17.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int% \operatorname{cossec}(x)\,dx=-\ln|\operatorname{cossec}(x)+\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits(x)|+C}\mathchar 46\relax

(5.333)

5.4.3 Integrales definidas

La regla de sustitución para integrales definidas es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}% f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du}\mathchar 46\relax

(5.334)

Ejemplo 5.4.7.

Vamos a calcular

\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx\mathchar 46\relax

(5.335)

Por sustitución, elegimos

	$\displaystyle u=-2x$		(5.336)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=-2dx\mathchar 46\relax$		(5.337)

Entonces,

	$\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx=\int_{u(0)}^{u(1)}e^{u}\frac{du}{-2}$		(5.338)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int_{0}^{-2}e^{u}du$		(5.339)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left[e^{u}\right]_{0}^{-2}$		(5.340)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left(e^{-2}-e^{0}\right)$		(5.341)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}-\frac{e^{-2}}{2}\mathchar 46\relax$		(5.342)

Alternativamente, podemos calcular la integral indefinida primero y, luego, aplicar el teorema fundamental del cálculo con la primitiva obtenida. Es decir, tenemos

	$\displaystyle\int e^{-2x}\,dx=\int e^{u}\frac{du}{-2}$		(5.343)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int e^{u}\,du$		(5.344)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}e^{u}+C$		(5.345)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C\mathchar 46\relax$		(5.346)

Entonces, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

	$\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx=\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{1}$		(5.347)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}e^{-2}+\frac{1}{2}e^{0}$		(5.348)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}-\frac{e^{-2}}{2},$		(5.349)

como se esperaba.

5.4.4 Lista de integrales

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(5.350)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,dx$		(5.351)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,~{}r\neq-1$		(5.352)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln u+C$		(5.353)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(5.354)
	$\displaystyle\int a^{u}\,dx=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(5.355)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)\,du=-\cos(u)+C$		(5.356)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,dx=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)+C$		(5.357)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits(u)\,dx=\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.358)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\,dx=\ln\|\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(u)\|+C$		(5.359)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,dx=\ln\|\sec(u)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(u% )\|+C$		(5.360)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,dx=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\|+C$		(5.361)

5.4.5 Ejercicios resueltos

ER 5.4.1.

Calcule

\int\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx\mathchar 46\relax

(5.362)

Resolución.

Usamos la regla de integración por sustitución

\int f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int f(u)\,du\mathchar 46\relax

(5.363)

Elegimos

u=x-1,

(5.364)

y calculamos

	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.365)
	$\displaystyle du=dx\mathchar 46\relax$		(5.366)

Entonces, por la fórmula, obtenemos

	$\displaystyle\int\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx=\int\frac{7}{u^{2}}\,du$		(5.367)
	$\displaystyle\text{}\quad=7\int u^{-2}\,du$		(5.368)
	$\displaystyle\text{}\quad=7\frac{u^{-2+1}}{-2+1}$		(5.369)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{7}{u}$		(5.370)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{7}{1-x}+C\mathchar 46\relax$		(5.371)

ER 5.4.2.

Calcule

\int\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx\mathchar 46\relax

(5.372)

Resolución.

Haciendo la sustitución

	$\displaystyle u=e^{x}-1$		(5.373)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=e^{x}\,dx,$		(5.374)

tenemos

	$\displaystyle\int\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx=\int\frac{1}{u}\,du$		(5.375)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|u\|+C$		(5.376)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|e^{x}-1\|+C\mathchar 46\relax$		(5.377)

ER 5.4.3.

Calcule

\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx\mathchar 46\relax

(5.378)

Resolución.

Veamos las siguientes formas de calcular esta integral definida.

Solución 1: aplicando la regla de sustitución en integrales definidas.

$\int_{a}^{b}f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du\mathchar 46\relax$ (5.379)

Eligiendo, $u=1-x^{2}$ , tenemos $du=-2x\,dx$ . De ahí, sigue

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int_{u(0)}^{u(1)}x\sqrt{u}\,% \frac{du}{-2x}$ (5.380)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}u^{\frac{1}{2}}\,du$ (5.381)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left\mathchar 46\relax\frac{u^{\frac{1}% {2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right|_{u=1}^{0}$ (5.382)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\left\mathchar 46\relax\sqrt{u^{3}}% \right|_{u=1}^{0}$ (5.383)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\mathchar 46\relax$ (5.384)
Solución 2: calculando una primitiva en función de $x$ .

Para obtener una primitiva en función de $x$ , calculamos la integral indefinida

$\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx\mathchar 46\relax$ (5.385)

Como anteriormente, usamos la regla de sustitución. Eligiendo $u=1-x^{2}$ , tenemos $du=-2x\,dx$ y, por lo tanto

$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$ (5.386)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du$ (5.387)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$ (5.388)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{u^{3}}$ (5.389)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^{2})^{3}}+C\mathchar 46\relax$ (5.390)

Entonces, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{3}\left\mathchar 46% \relax\sqrt{(1-x^{2})^{3}}\right|_{0}^{1}$ (5.391)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\mathchar 46\relax$ (5.392)

5.4.6 Ejercicios

E. 5.4.1.

Calcule

\int 2(2x+1)^{2}\,dx

(5.393)

a)

por integração direta.
b)

por substituição.

$\displaystyle\int 2(2x+1)^{2}\,dx=\frac{8}{3}x^{3}+4x^{2}+2x+C$

E. 5.4.2.

Use el método de sustitución para calcular las siguientes integrales:

a)

$\displaystyle\int 2(2x+1)^{3}\,dx$
b)

$\displaystyle\int\sqrt{2x+1}\,dx$
c)

$\displaystyle\int 2x(x^{2}-2)\,dx$
d)

$\displaystyle\int(2x^{2}+4x-3)^{4}(x+1)\,dx$

a) $\displaystyle 4x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+2x+C$ ; b) $\displaystyle\frac{\sqrt{(2x+1)^{3}}}{3}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}(x^{2}-2)^{2}+C$ ; d) $\frac{1}{20}(2x^{2}+4x-3)^{5}+C$

E. 5.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\frac{1}{x+1}\,dx$
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{3x-2}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\frac{6x+1}{x+3x^{2}}\,dx$

a) $\displaystyle\ln|x+1|+C$ ; b) $\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left|x-\frac{2}{3}\right|+C$ ; c) $\displaystyle\ln\left|x+3x^{2}\right|+C$ ;

E. 5.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 3e^{3x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int e^{2x-1}\,dx$
c)

$\displaystyle\int xe^{x^{2}}\,dx$

a) $\displaystyle e^{3x}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{1}{2}e^{2x-1}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C$

E. 5.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 2^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x-3^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\frac{x}{2^{x^{2}}}\,dx$

a) $\displaystyle\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ ; b) $\frac{x^{2}}{2}-\frac{3^{x}}{\ln 3}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2\cdot 2^{x^{2}}\ln 2}+C$

E. 5.4.6.

Calcule

\int_{-1}^{0}\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx\mathchar 46\relax

(5.394)

$\frac{7}{2}$

E. 5.4.7.

Calcule

\int_{0}^{\ln 3}e^{2x}\,dx\mathchar 46\relax

(5.395)

$4$

E. 5.4.8.

Calcule

\int_{0}^{\sqrt{e-1}}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx\mathchar 46\relax

(5.396)

$\frac{1}{2}$

E. 5.4.9.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(2x)\,dx$

a) $\displaystyle\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)}{2}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{-\cos(2x)}{2}+C$ ;

E. 5.4.10.

Calcule

\int\cos^{2}(x)\,dx\mathchar 46\relax

(5.397)

$\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(2x)}{4}+C$

E. 5.4.11.

Calcule

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(2x)\,dx\mathchar 46\relax

(5.398)

$1/2$

E. 5.4.12.

Calcule

\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}(x)e^{\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)}\,dx% \mathchar 46\relax

(5.399)

$e-1$

E. 5.4.13.

Calcule

\int\sec^{2}(x)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)\,dx

(5.400)

$\frac{1}{2}\mathop{\operator@font tg}\nolimits^{2}(x)+C$

E. 5.4.14.

Calcule

\int\frac{\ln(x^{3})}{x}\,dx\mathchar 46\relax

(5.401)

$\displaystyle\frac{3\ln^{2}(x)}{2}+C$

E. 5.4.15.

Use la regla de sustitución para mostrar que

\int\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(x)\,dx=\ln|\mathop{\operator@font sen% }\nolimits(x)|+C\mathchar 46\relax

(5.402)

E. 5.4.16.

Calcule

\int\cos^{2}(x)\,dx\mathchar 46\relax

(5.403)

$\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\cos(x)}% {2}+C$

E. 5.4.17.

Use el método de sustitución para mostrar que

\int\operatorname{cossec}(x)\,dx=-\ln|\operatorname{cossec}(x)+\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits(x)|+C\mathchar 46\relax

(5.404)

Sugerencia: Multiplique el numerador y el denominador por $\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(X)+\operatorname{cossec}(x)$ .

E. 5.4.18.

Calcule

\int\frac{x}{x^{2}-4x+8}\,dx

(5.405)

Sugerencia: Complete el cuadrado en el denominador y luego haga la sustitución adecuada.

$\frac{1}{2}\ln|(x-2)^{2}+4|+\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}% \nolimits\left(\frac{x-2}{2}\right)+C$

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	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.225)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$		(5.226)

	$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx=\int\underbrace{u^{2}}_{f(u)}\,du$		(5.227)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{3}+C$		(5.228)

	$\displaystyle\frac{du}{dx}=2x$		(5.231)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=2\,dx}$		(5.232)

	$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx=\int\sqrt{2x+1}\cdot 2\,dx$		(5.233)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\sqrt{u}\,du$		(5.234)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int u^{\frac{1}{2}}\,du$		(5.235)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$		(5.236)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}\sqrt{(2x+1)^{3}}+C$		(5.237)

	$\displaystyle\int\pi\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi x)\,dx=\int% \mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)\,du$		(5.240)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(u)+C$		(5.241)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi x)+C\mathchar 46\relax$		(5.242)

	$\displaystyle u=\frac{x}{2}$		(5.271)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\frac{dx}{2}$		(5.272)

	$\displaystyle\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$		(5.273)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 2^{u}\cdot 2\,du$		(5.274)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int 2^{u}\,du$		(5.275)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\frac{2^{\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C$		(5.276)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln 2}2^{\frac{x}{2}+1}+C$		(5.277)

	$\displaystyle u=x^{2}$		(5.279)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=2x\,dx,$		(5.280)

	$\displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\int x\cdot 2^{u}\frac{du}{2x}$		(5.281)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\cdot 2^{u}\,du$		(5.282)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{u}}{\ln 2}+C$		(5.283)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C$		(5.284)

	$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\left\mathchar 46\relax% \frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}\right\|_{1}^{\sqrt{2}}$		(5.285)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{x^{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$		(5.286)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{(\sqrt{2})^{2}}-2^{1^{2}}\right]$		(5.287)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{2}-2\right]$		(5.288)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln 2}$		(5.289)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int_{u(0)}^{u(1)}x\sqrt{u}\,% \frac{du}{-2x}$		(5.380)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}u^{\frac{1}{2}}\,du$		(5.381)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left\mathchar 46\relax\frac{u^{\frac{1}% {2}+1}}{\frac{1}{2}+1}\right\|_{u=1}^{0}$		(5.382)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\left\mathchar 46\relax\sqrt{u^{3}}% \right\|_{u=1}^{0}$		(5.383)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\mathchar 46\relax$		(5.384)

	$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$		(5.386)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du$		(5.387)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$		(5.388)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{u^{3}}$		(5.389)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^{2})^{3}}+C\mathchar 46\relax$		(5.390)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{3}\left\mathchar 46% \relax\sqrt{(1-x^{2})^{3}}\right\|_{0}^{1}$		(5.391)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}\mathchar 46\relax$		(5.392)

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

5.4 Integración por sustitución

Ejemplo 5.4.1.

Ejemplo 5.4.2.

5.4.1 Integral de la función exponencial

Ejemplo 5.4.3.

5.4.2 Integral de funciones trigonométricas

Ejemplo 5.4.4.

Ejemplo 5.4.5.

Ejemplo 5.4.6.

5.4.3 Integrales definidas

Ejemplo 5.4.7.

5.4.4 Lista de integrales

5.4.5 Ejercicios resueltos

ER 5.4.1.

Resolución.

ER 5.4.2.

Resolución.

ER 5.4.3.

Resolución.

5.4.6 Ejercicios

E. 5.4.1.

E. 5.4.2.

E. 5.4.3.

E. 5.4.4.

E. 5.4.5.

E. 5.4.6.

E. 5.4.7.

E. 5.4.8.

E. 5.4.9.

E. 5.4.10.

E. 5.4.11.

E. 5.4.12.

E. 5.4.13.

E. 5.4.14.

E. 5.4.15.

E. 5.4.16.

E. 5.4.17.

E. 5.4.18.

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