Cálculo I

5 Integración 5.3 Reglas básicas de integración 5.5 Integración por partes

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5.4 Integración por sustitución

Sea $u=u(x)$ . La regla de integración por sustitución es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int f(u(x))% u^{\prime}(x)\,dx=\int f(u)\,du}.

(5.220)

De hecho, si

\int f(u)\,du=F(u)+C,

(5.221)

entonces, por la regla de la cadena³³3Consulte la Sección 3.8 para más información sobre la regla de la cadena., tenemos

	$\displaystyle\frac{d}{dx}F(u(x))=F^{\prime}(u(x))u^{\prime}(x)$		(5.222)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(u(x))u^{\prime}(x),$		(5.223)

es decir, $F(u(x))$ es una primitiva de $f(u(x))u^{\prime}(x)$ .

Ejemplo 5.4.1.

Vamos a aplicar la integración por sustitución para calcular las siguientes integrales:

a)

$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx$ .

Elegimos

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u=x+1}$ (5.224)

donde

$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$ (5.225)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$ (5.226)

Al hacer la sustitución en la integral, obtenemos

$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx=\int\underbrace{u^{2}}_{f(u)}\,du$ (5.227)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{3}+C$ (5.228)

Ahora, sustituyendo de nuevo $u=x+1$ , concluimos que

$\int(x+1)^{2}\,dx=\frac{(x+1)^{3}}{3}+C$ (5.229)
b)

$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx$ Elegimos

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u=2x+1}$ (5.230)

y calculamos

$\displaystyle\frac{du}{dx}=2$ (5.231)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=2\,dx}$ (5.232)

Sustituyendo en la integral, obtenemos

$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx=\int\sqrt{2x+1}\cdot 2\,dx$ (5.233)

$\displaystyle\text{}\quad=\int\sqrt{u}\,du$ (5.234)

$\displaystyle\text{}\quad=\int u^{\frac{1}{2}}\,du$ (5.235)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$ (5.236)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}\sqrt{(2x+1)^{3}}+C$ (5.237)
c)

$\displaystyle\int\pi\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi x)\,dx$ .

Elegimos

$u=\pi x$ (5.238)

y calculamos

$du=\pi\,dx$ (5.239)

Por sustitución, obtenemos

$\displaystyle\int\pi\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi x)\,dx=\int% \mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)\,du$ (5.240)

$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(u)+C$ (5.241)

$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi x)+C.$ (5.242)

Observe que al elegir $u=u(x)$ , su derivada $u^{\prime}(x)$ también debe estar en el integrando. Una excepción es el caso en que $u^{\prime}(x)\equiv k$ es constante. En ese caso, podemos multiplicar el integrando por $k/k$ y usar la regla de multiplicación por escalar.

Ejemplo 5.4.2.

Vamos a calcular

\int(2x+1)^{2}\,dx.

(5.243)

Sustituyendo

u=2x+1

(5.244)

tenemos

du=2\,dx

(5.245)

Por sustitución, obtenemos

	$\displaystyle\int(2x+1)^{2}\,dx=\int(2x+1)^{2}\cdot\frac{2}{2}\,dx$		(5.246)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int(2x+1)^{2}\cdot 2\,dx$		(5.247)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int u^{2}\,du$		(5.248)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{6}+C$		(5.249)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{6}(2x+1)^{3}+C.$		(5.250)

Otra forma equivalente de calcularlo es observar que

	$\displaystyle du=2\,dx$		(5.251)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}dx=\frac{du}{2}}$		(5.252)

Entonces, al hacer la sustitución $u=2x+1$ en la integral original, obtenemos

	$\displaystyle\int(2x+1)^{2}\,dx=\int u^{2}\,\frac{du}{2}$		(5.253)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int u^{2}\,du$		(5.254)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{6}+C$		(5.255)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(2x+1)^{3}}{6}+C$		(5.256)

5.4.1 Integral de la función exponencial

En la Subsección 5.3.5, vimos que

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C

(5.257)

Ahora, con la regla de sustitución, tenemos

	$\displaystyle\int a^{x}\,dx=\int e^{\ln a^{x}}\,dx$		(5.258)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int e^{x\ln a}\,dx,$		(5.259)

con $a>0$ y $a\neq 1$ . Tomando

	$\displaystyle u=x\ln a$		(5.260)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\ln(a)dx.$		(5.261)

Se sigue que

	$\displaystyle\int a^{x}\,dx=\int e^{u}\,\frac{du}{\ln a}$		(5.262)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln a}\int e^{u}\,du$		(5.263)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{u}}{\ln a}+C$		(5.264)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{x\ln a}}{\ln a}+C$		(5.265)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{\ln a^{x}}}{\ln a}+C$		(5.266)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{a^{x}}{\ln a}+C.$		(5.267)

Es decir, concluimos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int a^{x}\,% dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C}.

(5.268)

Ejemplo 5.4.3.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\int 2^{x}\,dx=\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ (5.269)
b)

$\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$ (5.270)

Eligiendo

$\displaystyle u=\frac{x}{2}$ (5.271)

$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\frac{dx}{2}$ (5.272)

Por sustitución, obtenemos

$\displaystyle\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$ (5.273)

$\displaystyle\text{}\quad=\int 2^{u}\cdot 2\,du$ (5.274)

$\displaystyle\text{}\quad=2\int 2^{u}\,du$ (5.275)

$\displaystyle\text{}\quad=2\frac{2^{\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C$ (5.276)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln 2}2^{\frac{x}{2}+1}+C$ (5.277)
c)

$\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx.$ (5.278)

Por sustitución, tomamos

$\displaystyle u=x^{2}$ (5.279)

$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=2x\,dx,$ (5.280)

se sigue

$\displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\int x\cdot 2^{u}\frac{du}{2x}$ (5.281)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\cdot 2^{u}\,du$ (5.282)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{u}}{\ln 2}+C$ (5.283)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C$ (5.284)

Entonces, por el teorema fundamental del cálculo, concluimos que

$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\left.\frac{1}{2}\frac{2^% {x^{2}}}{\ln 2}\right|_{1}^{\sqrt{2}}$ (5.285)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{x^{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$ (5.286)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{(\sqrt{2})^{2}}-2^{1^{2}}\right]$ (5.287)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{2}-2\right]$ (5.288)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln 2}$ (5.289)

5.4.2 Integral de funciones trigonométricas

En la Sección 5.3.6, vimos que

	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\,dx=-\cos(x)+C\quad% \text{e}$		(5.290)
	$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)+C.$		(5.291)

Ejemplo 5.4.4.

Vamos a calcular

\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)\,dx.

(5.292)

Usando la identidad trigonométrica

\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2},

(5.293)

tenemos

	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)\,dx=\int\frac{1-x% \cos(2x)}{2}\,dx$		(5.294)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\cos(2x)\,dx.$		(5.295)

Ahora, tomando $u=2x$ , temos $du=2\,dx$ , donde

	$\displaystyle\int\cos(2x)\,dx=\int\cos(u)\frac{du}{2}$		(5.296)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)+C$		(5.297)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\mathop{\operator@font sen}\nolimits(2x)+C.$		(5.298)

Volviendo a (5.295), obtenemos

\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(2x)}{4}+C.

(5.299)

Ahora, afirmamos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(x)\,dx=\ln|\sec(x)|+C}.

(5.300)

De hecho, observamos que

\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)\,dx=\int\frac{\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)}{\cos(x)}\,dx,

(5.301)

escogemos

	$\displaystyle u=\cos(x)$		(5.302)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=-\mathop{\operator@font sen}\nolimits(% x)\,dx.$		(5.303)

Entonces, por sustitución, calculamos

	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)\,dx=-\int\frac{1}{u}\,du$		(5.304)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\ln\|u\|+C$		(5.305)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\ln\|\cos(x)\|+C$		(5.306)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\left\|\frac{1}{\cos(x)}\right\|+C$		(5.307)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|\sec(x)\|+C.$		(5.308)

Ejemplo 5.4.5.

Vamos a calcular

\int x\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x^{2})\,dx.

(5.309)

Usando la regla de sustitución, elegimos

	$\displaystyle u=x^{2}$		(5.310)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=2x\,du.$		(5.311)

Haciendo la sustitución y calculando, obtenemos

	$\displaystyle\int x\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x^{2})\,dx=\int\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(u)\,\frac{du}{2}$		(5.312)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits(u% )\,du$		(5.313)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.314)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\ln\|\sec(x^{2})\|+C.$		(5.315)

Con razonamiento análogo al utilizado en la integración de la función tangente, obtenemos⁴⁴4Consulte el E.5.4.15.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits(x)\,dx=\ln|\mathop{\operator@font sen}\nolimits(% x)|+C}.

(5.316)

Ahora, vamos a mostrar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\sec(x)% \,dx=\ln|\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)|+C}.

(5.317)

Observamos que

	$\displaystyle\int\sec(x)\,dx=\int\sec(x)\cdot\frac{\sec(x)+\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(x)}{\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)% }\,dx$		(5.318)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\mathop{\operator@font tg% }\nolimits(x)}{\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)}\,dx.$		(5.319)

Entonces, eligiendo

	$\displaystyle u=\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)$		(5.320)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\sec(x)\mathop{\operator@font tg}% \nolimits(x)+\sec^{2}(x),$		(5.321)

tenemos, por sustitución, que

	$\displaystyle\int\sec(x)\,dx=\int\frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(x)}{\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)% }\,dx$		(5.322)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{1}{u}\,du$		(5.323)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|u\|+C$		(5.324)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|\sec(x)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)\|+C.$		(5.325)

Ejemplo 5.4.6.

Vamos calcular

\int\sec\left(\frac{u}{2}\right)\,du.

(5.326)

Haciendo la sustitución

	$\displaystyle v=\frac{u}{2}$		(5.327)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow dv=\frac{du}{2},$		(5.328)

segue

	$\displaystyle\int\sec\left(\frac{u}{2}\right)\,du=\int\sec(v)\cdot 2\,dv$		(5.329)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int\sec(v)\,dv$		(5.330)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\ln\|\sec(v)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(v)\|+C$		(5.331)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\ln\left\|\sec\left(\frac{u}{2}\right)+\mathop{% \operator@font tg}\nolimits\left(\frac{u}{2}\right)\right\|+C.$		(5.332)

Con razonamiento análogo al utilizado en la integración de la función secante, obtenemos⁵⁵5Consultemos el E.5.4.17.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int% \operatorname{cossec}(x)\,dx=-\ln|\operatorname{cossec}(x)+\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits(x)|+C}.

(5.333)

5.4.3 Integrales definidas

La regla de sustitución para integrales definidas es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}% f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du}.

(5.334)

Ejemplo 5.4.7.

Vamos a calcular

\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx.

(5.335)

Por sustitución, elegimos

	$\displaystyle u=-2x$		(5.336)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=-2dx.$		(5.337)

Entonces,

	$\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx=\int_{u(0)}^{u(1)}e^{u}\frac{du}{-2}$		(5.338)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int_{0}^{-2}e^{u}du$		(5.339)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left[e^{u}\right]_{0}^{-2}$		(5.340)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left(e^{-2}-e^{0}\right)$		(5.341)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}-\frac{e^{-2}}{2}.$		(5.342)

Alternativamente, podemos calcular la integral indefinida primero y, luego, aplicar el teorema fundamental del cálculo con la primitiva obtenida. Es decir, tenemos

	$\displaystyle\int e^{-2x}\,dx=\int e^{u}\frac{du}{-2}$		(5.343)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int e^{u}\,du$		(5.344)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}e^{u}+C$		(5.345)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C.$		(5.346)

Entonces, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

	$\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx=\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{1}$		(5.347)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}e^{-2}+\frac{1}{2}e^{0}$		(5.348)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}-\frac{e^{-2}}{2},$		(5.349)

como se esperaba.

5.4.4 Lista de integrales

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(5.350)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,dx$		(5.351)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,~{}r\neq-1$		(5.352)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln u+C$		(5.353)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(5.354)
	$\displaystyle\int a^{u}\,dx=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(5.355)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)\,du=-\cos(u)+C$		(5.356)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,dx=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)+C$		(5.357)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font tg}\nolimits(u)\,dx=\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.358)
	$\displaystyle\int\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\,dx=\ln\|\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(u)\|+C$		(5.359)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,dx=\ln\|\sec(u)+\mathop{\operator@font tg}\nolimits(u% )\|+C$		(5.360)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,dx=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\|+C$		(5.361)

5.4.5 Ejercicios resueltos

ER 5.4.1.

Calcule

\int\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx.

(5.362)

Resolución.

Usamos la regla de integración por sustitución

\int f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int f(u)\,du.

(5.363)

Elegimos

u=x-1,

(5.364)

y calculamos

	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.365)
	$\displaystyle du=dx.$		(5.366)

Entonces, por la fórmula, obtenemos

	$\displaystyle\int\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx=\int\frac{7}{u^{2}}\,du$		(5.367)
	$\displaystyle\text{}\quad=7\int u^{-2}\,du$		(5.368)
	$\displaystyle\text{}\quad=7\frac{u^{-2+1}}{-2+1}$		(5.369)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{7}{u}$		(5.370)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{7}{1-x}+C.$		(5.371)

ER 5.4.2.

Calcule

\int\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx.

(5.372)

Resolución.

Haciendo la sustitución

	$\displaystyle u=e^{x}-1$		(5.373)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=e^{x}\,dx,$		(5.374)

tenemos

	$\displaystyle\int\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx=\int\frac{1}{u}\,du$		(5.375)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|u\|+C$		(5.376)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|e^{x}-1\|+C.$		(5.377)

ER 5.4.3.

Calcule

\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

(5.378)

Resolución.

Veamos las siguientes formas de calcular esta integral definida.

Solución 1: aplicando la regla de sustitución en integrales definidas.

$\int_{a}^{b}f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du.$ (5.379)

Eligiendo, $u=1-x^{2}$ , tenemos $du=-2x\,dx$ . De ahí, sigue

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int_{u(0)}^{u(1)}x\sqrt{u}\,% \frac{du}{-2x}$ (5.380)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}u^{\frac{1}{2}}\,du$ (5.381)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left.\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{% 2}+1}\right|_{u=1}^{0}$ (5.382)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{u^{3}}\right|_{u=1}^{0}$ (5.383)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}.$ (5.384)
Solución 2: calculando una primitiva en función de $x$ .

Para obtener una primitiva en función de $x$ , calculamos la integral indefinida

$\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.$ (5.385)

Como anteriormente, usamos la regla de sustitución. Eligiendo $u=1-x^{2}$ , tenemos $du=-2x\,dx$ y, por lo tanto

$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$ (5.386)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du$ (5.387)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$ (5.388)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{u^{3}}$ (5.389)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^{2})^{3}}+C.$ (5.390)

Entonces, por el teorema fundamental del cálculo, tenemos

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{(1-x^{2})% ^{3}}\right|_{0}^{1}$ (5.391)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}.$ (5.392)

5.4.6 Ejercicios

E. 5.4.1.

Calcule

\int 2(2x+1)^{2}\,dx

(5.393)

a)

por integración directa.
b)

por sustitución.

$\displaystyle\int 2(2x+1)^{2}\,dx=\frac{8}{3}x^{3}+4x^{2}+2x+C$

E. 5.4.2.

Use el método de sustitución para calcular las siguientes integrales:

a)

$\displaystyle\int 2(2x+1)^{3}\,dx$
b)

$\displaystyle\int\sqrt{2x+1}\,dx$
c)

$\displaystyle\int 2x(x^{2}-2)\,dx$
d)

$\displaystyle\int(2x^{2}+4x-3)^{4}(x+1)\,dx$

a) $\displaystyle 4x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+2x+C$ ; b) $\displaystyle\frac{\sqrt{(2x+1)^{3}}}{3}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}(x^{2}-2)^{2}+C$ ; d) $\frac{1}{20}(2x^{2}+4x-3)^{5}+C$

E. 5.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\frac{1}{x+1}\,dx$
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{3x-2}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\frac{6x+1}{x+3x^{2}}\,dx$

a) $\displaystyle\ln|x+1|+C$ ; b) $\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left|x-\frac{2}{3}\right|+C$ ; c) $\displaystyle\ln\left|x+3x^{2}\right|+C$ ;

E. 5.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 3e^{3x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int e^{2x-1}\,dx$
c)

$\displaystyle\int xe^{x^{2}}\,dx$

a) $\displaystyle e^{3x}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{1}{2}e^{2x-1}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C$

E. 5.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 2^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x-3^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\frac{x}{2^{x^{2}}}\,dx$

a) $\displaystyle\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ ; b) $\frac{x^{2}}{2}-\frac{3^{x}}{\ln 3}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2\cdot 2^{x^{2}}\ln 2}+C$

E. 5.4.6.

Calcule

\int_{-1}^{0}\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx.

(5.394)

$\frac{7}{2}$

E. 5.4.7.

Calcule

\int_{0}^{\ln 3}e^{2x}\,dx.

(5.395)

$4$

E. 5.4.8.

Calcule

\int_{0}^{\sqrt{e-1}}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

(5.396)

$\frac{1}{2}$

E. 5.4.9.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int\mathop{\operator@font sen}\nolimits(2x)\,dx$

a) $\displaystyle\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits^{2}(x)}{2}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{-\cos(2x)}{2}+C$ ;

E. 5.4.10.

Calcule

\int\cos^{2}(x)\,dx.

(5.397)

$\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(2x)}{4}+C$

E. 5.4.11.

Calcule

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(2x)\,dx.

(5.398)

$1/2$

E. 5.4.12.

Calcule

\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}(x)e^{\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)}\,dx.

(5.399)

$e-1$

E. 5.4.13.

Calcule

\int\sec^{2}(x)\mathop{\operator@font tg}\nolimits(x)\,dx

(5.400)

$\frac{1}{2}\mathop{\operator@font tg}\nolimits^{2}(x)+C$

E. 5.4.14.

Calcule

\int\frac{\ln(x^{3})}{x}\,dx.

(5.401)

$\displaystyle\frac{3\ln^{2}(x)}{2}+C$

E. 5.4.15.

Use la regla de sustitución para mostrar que

\int\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(x)\,dx=\ln|\mathop{\operator@font sen% }\nolimits(x)|+C.

(5.402)

E. 5.4.16.

Calcule

\int\cos^{2}(x)\,dx.

(5.403)

$\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\cos(x)}% {2}+C$

E. 5.4.17.

Use el método de sustitución para mostrar que

\int\operatorname{cossec}(x)\,dx=-\ln|\operatorname{cossec}(x)+\mathop{% \operator@font cotg}\nolimits(x)|+C.

(5.404)

Sugerencia: Multiplique el numerador y el denominador por $\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(X)+\operatorname{cossec}(x)$ .

E. 5.4.18.

Calcule

\int\frac{x}{x^{2}-4x+8}\,dx

(5.405)

Sugerencia: Complete el cuadrado en el denominador y luego haga la sustitución adecuada.

$\frac{1}{2}\ln|(x-2)^{2}+4|+\operatorname{arc}\mathop{\operator@font tg}% \nolimits\left(\frac{x-2}{2}\right)+C$

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	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.225)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$		(5.226)

	$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx=\int\underbrace{u^{2}}_{f(u)}\,du$		(5.227)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{3}+C$		(5.228)

	$\displaystyle\frac{du}{dx}=2$		(5.231)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=2\,dx}$		(5.232)

	$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx=\int\sqrt{2x+1}\cdot 2\,dx$		(5.233)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\sqrt{u}\,du$		(5.234)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int u^{\frac{1}{2}}\,du$		(5.235)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$		(5.236)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}\sqrt{(2x+1)^{3}}+C$		(5.237)

	$\displaystyle\int\pi\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi x)\,dx=\int% \mathop{\operator@font sen}\nolimits(u)\,du$		(5.240)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(u)+C$		(5.241)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi x)+C.$		(5.242)

	$\displaystyle u=\frac{x}{2}$		(5.271)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\frac{dx}{2}$		(5.272)

	$\displaystyle\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$		(5.273)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 2^{u}\cdot 2\,du$		(5.274)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int 2^{u}\,du$		(5.275)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\frac{2^{\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C$		(5.276)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln 2}2^{\frac{x}{2}+1}+C$		(5.277)

	$\displaystyle u=x^{2}$		(5.279)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=2x\,dx,$		(5.280)

	$\displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\int x\cdot 2^{u}\frac{du}{2x}$		(5.281)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\cdot 2^{u}\,du$		(5.282)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{u}}{\ln 2}+C$		(5.283)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C$		(5.284)

	$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\left.\frac{1}{2}\frac{2^% {x^{2}}}{\ln 2}\right\|_{1}^{\sqrt{2}}$		(5.285)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{x^{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$		(5.286)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{(\sqrt{2})^{2}}-2^{1^{2}}\right]$		(5.287)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{2}-2\right]$		(5.288)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln 2}$		(5.289)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int_{u(0)}^{u(1)}x\sqrt{u}\,% \frac{du}{-2x}$		(5.380)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}u^{\frac{1}{2}}\,du$		(5.381)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left.\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{% 2}+1}\right\|_{u=1}^{0}$		(5.382)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{u^{3}}\right\|_{u=1}^{0}$		(5.383)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}.$		(5.384)

	$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$		(5.386)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du$		(5.387)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$		(5.388)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{u^{3}}$		(5.389)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^{2})^{3}}+C.$		(5.390)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{(1-x^{2})% ^{3}}\right\|_{0}^{1}$		(5.391)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}.$		(5.392)

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

5.4 Integración por sustitución

Ejemplo 5.4.1.

Ejemplo 5.4.2.

5.4.1 Integral de la función exponencial

Ejemplo 5.4.3.

5.4.2 Integral de funciones trigonométricas

Ejemplo 5.4.4.

Ejemplo 5.4.5.

Ejemplo 5.4.6.

5.4.3 Integrales definidas

Ejemplo 5.4.7.

5.4.4 Lista de integrales

5.4.5 Ejercicios resueltos

ER 5.4.1.

Resolución.

ER 5.4.2.

Resolución.

ER 5.4.3.

Resolución.

5.4.6 Ejercicios

E. 5.4.1.

E. 5.4.2.

E. 5.4.3.

E. 5.4.4.

E. 5.4.5.

E. 5.4.6.

E. 5.4.7.

E. 5.4.8.

E. 5.4.9.

E. 5.4.10.

E. 5.4.11.

E. 5.4.12.

E. 5.4.13.

E. 5.4.14.

E. 5.4.15.

E. 5.4.16.

E. 5.4.17.

E. 5.4.18.

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