Cálculo I

5 Integração 5.3 Regras básicas de integração 5.5 Integração por partes

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5.4 Integração por substituição

Seja $u=u(x)$ . A regra de integração por substituição é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int f(u(x))% u^{\prime}(x)\,dx=\int f(u)\,du}.

(5.220)

De fato, se

\int f(u)\,du=F(u)+C,

(5.221)

então, da regra da cadeira²²²²endnote: ²²Consulte a Seção 3.8 para mais informações sobre a regra da cadeia., temos

	$\displaystyle\frac{d}{dx}F(u(x))=F^{\prime}(u(x))u^{\prime}(x)$		(5.222)
	$\displaystyle\text{}\quad=f(u(x))u^{\prime}(x),$		(5.223)

i.e. $F(u(x))$ é primitiva de $f(u(x))u^{\prime}(x)$ .

Exemplo 5.4.1.

Vamos aplicar integração por substituição para calcular as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx$ .

Escolhemos

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u=x+1}$ (5.224)

donde

$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$ (5.225)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$ (5.226)

Fazendo a substituição na integral, obtemos

$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx=\int\underbrace{u^{2}}_{f(u)}\,du$ (5.227)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{3}+C$ (5.228)

Agora, substituindo de volta $u=x+1$ , concluímos que

$\int(x+1)^{2}\,dx=\frac{(x+1)^{3}}{3}+C$ (5.229)
b)

$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx$ Escolhemos

${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}u=2x+1}$ (5.230)

e calculamos

$\displaystyle\frac{du}{dx}=2x$ (5.231)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=2\,dx}$ (5.232)

Substituindo na integral, obtemos

$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx=\int\sqrt{2x+1}\cdot 2\,dx$ (5.233)

$\displaystyle\text{}\quad=\int\sqrt{u}\,du$ (5.234)

$\displaystyle\text{}\quad=\int u^{\frac{1}{2}}\,du$ (5.235)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$ (5.236)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}\sqrt{(2x+1)^{3}}+C$ (5.237)
c)

$\displaystyle\int\pi\operatorname{sen}(\pi x)\,dx$ .

Escolhemos

$u=\pi x$ (5.238)

e calculamos

$du=\pi\,dx$ (5.239)

Por substituição, obtemos

$\displaystyle\int\pi\operatorname{sen}(\pi x)\,dx=\int\operatorname{sen}(u)\,du$ (5.240)

$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(u)+C$ (5.241)

$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi x)+C.$ (5.242)

Observe que ao escolhermos $u=u(x)$ , sua derivada $u^{\prime}(x)$ também precisa estar no integrando. Uma exceção é o caso em que $u^{\prime}(x)\equiv k$ é constante. Neste, podemos multiplicar o integrando por $k/k$ e usar a regra da multiplicação por escalar.

Exemplo 5.4.2.

Vamos calcular

\int(2x+1)^{2}\,dx.

(5.243)

Substituindo

u=2x+1

(5.244)

temos

du=2\,dx

(5.245)

Por substituição, obtemos

	$\displaystyle\int(2x+1)^{2}\,dx=\int(2x+1)^{2}\cdot\frac{2}{2}\,dx$		(5.246)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int(2x+1)^{2}\cdot 2\,dx$		(5.247)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int u^{2}\,du$		(5.248)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{6}+C$		(5.249)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{6}(2x+1)^{3}+C.$		(5.250)

Outra forma equivalente de calcularmos, é observarmos que

	$\displaystyle du=2\,dx$		(5.251)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}dx=\frac{du}{2}}$		(5.252)

Então, ao fazermos a substituição $u=2x+1$ na integral original, obtemos

	$\displaystyle\int(2x+1)^{2}\,dx=\int u^{2}\,\frac{du}{2}$		(5.253)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int u^{2}\,du$		(5.254)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{6}+C$		(5.255)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{(2x+1)^{3}}{6}+C$		(5.256)

5.4.1 Integral de função exponencial

Na Subseção 5.3.5, vimos que

\int e^{x}\,dx=e^{x}+C

(5.257)

Agora, com a regra da substituição, temos

	$\displaystyle\int a^{x}\,dx=\int e^{\ln a^{x}}\,dx$		(5.258)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int e^{x\ln a}\,dx,$		(5.259)

com $a>0$ e $a\neq 1$ . Tomando

	$\displaystyle u=x\ln a$		(5.260)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\ln(a)dx.$		(5.261)

Segue que

	$\displaystyle\int a^{x}\,dx=\int e^{u}\,\frac{du}{\ln a}$		(5.262)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln a}\int e^{u}\,du$		(5.263)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{u}}{\ln a}+C$		(5.264)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{x\ln a}}{\ln a}+C$		(5.265)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{\ln a^{x}}}{\ln a}+C$		(5.266)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{a^{x}}{\ln a}+C.$		(5.267)

Ou seja, concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int a^{x}\,% dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C}.

(5.268)

Exemplo 5.4.3.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\int 2^{x}\,dx=\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ (5.269)
b)

$\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$ (5.270)

Escolhendo

$\displaystyle u=\frac{x}{2}$ (5.271)

$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\frac{dx}{2}$ (5.272)

Por substituição, obtemos

$\displaystyle\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$ (5.273)

$\displaystyle\text{}\quad=\int 2^{u}\,\frac{du}{2}$ (5.274)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int 2^{u}\,du$ (5.275)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C$ (5.276)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{2^{x}}}{2\ln 2}+C$ (5.277)
c)

$\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx.$ (5.278)

Por substituição, tomamos

$\displaystyle u=x^{2}$ (5.279)

$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=2x\,dx,$ (5.280)

segue

$\displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\int\cdot 2^{u}\frac{du}{2}$ (5.281)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\cdot 2^{u}\,du$ (5.282)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{u}}{\ln 2}+C$ (5.283)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C$ (5.284)

Então, pelo teorema fundamental do cálculo, concluímos que

$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\left.\frac{1}{2}\frac{2^% {x^{2}}}{\ln 2}\right|_{1}^{\sqrt{2}}$ (5.285)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{x^{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$ (5.286)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{(\sqrt{2})^{2}}-2^{1^{2}}\right]$ (5.287)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{2}-2\right]$ (5.288)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln 2}$ (5.289)

5.4.2 Integral de funções trigonométricas

Na Seção 5.3.6, vimos que

	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C\quad\text{e}$		(5.290)
	$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x)+C.$		(5.291)

Exemplo 5.4.4.

Vamos calcular

\int\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx.

(5.292)

Usando a identidade trigonométrica

\operatorname{sen}^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2},

(5.293)

temos

	$\displaystyle\int\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx=\int\frac{1-x\cos(2x)}{2}\,dx$		(5.294)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int dx-\frac{1}{2}\int\cos(2x)\,dx.$		(5.295)

Agora, tomando $u=2x$ , temos $du=2\,dx$ , donde

	$\displaystyle\int\cos(2x)\,dx=\int\cos(u)\frac{du}{2}$		(5.296)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(u)+C$		(5.297)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(2x)+C.$		(5.298)

Retornando a (5.295), obtemos

\int\operatorname{sen}^{2}(x)\,dx=\frac{x}{2}-\frac{\operatorname{sen}(2x)}{4}% +C.

(5.299)

Agora, afirmamos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int% \operatorname{tg}(x)\,dx=\ln|\sec(x)|+C}.

(5.300)

De fato, no que observamos que

\int\operatorname{tg}(x)\,dx=\int\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}\,dx,

(5.301)

escolhemos

	$\displaystyle u=\cos(x)$		(5.302)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=-\operatorname{sen}(x)\,dx.$		(5.303)

Então, por substituição, calculamos

	$\displaystyle\int\operatorname{tg}(x)\,dx=-\int\frac{1}{u}\,du$		(5.304)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\ln\|u\|+C$		(5.305)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\ln\|\cos(x)\|+C$		(5.306)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\left\|\frac{1}{\cos(x)}\right\|+C$		(5.307)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|\sec(x)\|+C.$		(5.308)

Exemplo 5.4.5.

Vamos calcular

\int x\operatorname{tg}(x^{2})\,dx.

(5.309)

Usando a regra de substituição, escolhemos

	$\displaystyle u=x^{2}$		(5.310)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=2x\,du.$		(5.311)

Fazendo a substituição e calculando, obtemos

	$\displaystyle\int x\operatorname{tg}(x^{2})\,dx=\int\operatorname{tg}(u)\,% \frac{du}{2}$		(5.312)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\operatorname{tg}(u)\,du$		(5.313)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.314)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\ln\|\sec(x^{2})\|+C.$		(5.315)

Com raciocínio análogo ao utilizado na integração da função tangente, obtemos²³²³endnote: ²³Consulte o E.5.4.15.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int% \operatorname{cotg}(x)\,dx=\ln|\operatorname{sen}(x)|+C}.

(5.316)

Agora, vamos mostrar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int\sec(x)% \,dx=\ln|\sec(x)+\operatorname{tg}(x)|+C}.

(5.317)

Observamos que

	$\displaystyle\int\sec(x)\,dx=\int\sec(x)\cdot\frac{\sec(x)+\operatorname{tg}(x% )}{\sec(x)+\operatorname{tg}(x)}\,dx$		(5.318)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\operatorname{tg}(x)}{% \sec(x)+\operatorname{tg}(x)}\,dx.$		(5.319)

Então, escolhendo

	$\displaystyle u=\sec(x)+\operatorname{tg}(x)$		(5.320)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\sec(x)\operatorname{tg}(x)+\sec^{2}(x),$		(5.321)

temos, por substituição, que

	$\displaystyle\int\sec(x)\,dx=\int\frac{\sec^{2}(x)+\sec(x)\operatorname{tg}(x)% }{\sec(x)+\operatorname{tg}(x)}\,dx$		(5.322)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\frac{1}{u}\,du$		(5.323)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|u\|+C$		(5.324)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|\sec(x)+\operatorname{tg}(x)\|+C.$		(5.325)

Exemplo 5.4.6.

Vamos calcular

\int\sec\left(\frac{u}{2}\right)\,du.

(5.326)

Fazendo a substituição

	$\displaystyle v=\frac{u}{2}$		(5.327)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow dv=\frac{du}{2},$		(5.328)

segue

	$\displaystyle\int\sec\left(\frac{u}{2}\right)\,du=\int\sec(v)\cdot 2\,dv$		(5.329)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\int\sec(v)\,dv$		(5.330)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\ln\|\sec(v)+\operatorname{tg}(v)\|+C$		(5.331)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\ln\left\|\sec\left(\frac{u}{2}\right)+\operatorname% {tg}\left(\frac{u}{2}\right)\right\|+C.$		(5.332)

Com raciocínio análogo ao utilizado na integração da função secante, obtemos²⁴²⁴endnote: ²⁴Consultemos o E.5.4.17.

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int% \operatorname{cossec}(x)\,dx=-\ln|\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{cotg}% (x)|+C}.

(5.333)

5.4.3 Integrais definidas

A regra de substituição para integrais definidas é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\int_{a}^{b}% f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du}.

(5.334)

Exemplo 5.4.7.

Vamos calcular

\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx.

(5.335)

Por substituição, escolhemos

	$\displaystyle u=-2x$		(5.336)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=-2dx.$		(5.337)

Logo,

	$\displaystyle\int 0^{1}e^{-2x}\,dx=\int_{u(0)}^{u(1)}e^{u}\frac{du}{-2}$		(5.338)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int_{0}^{-2}e^{u}du$		(5.339)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left[e^{u}\right]_{0}^{-2}$		(5.340)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left(e^{-2}-e^{0}\right)$		(5.341)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}-\frac{e^{-2}}{2}.$		(5.342)

Alternativamente, podemos calcular a integral indefinida primeiramente e, então, usar o teorema fundamental do cálculo com a primitiva obtida. Ou seja, temos

	$\displaystyle\int e^{-2x}\,dx=\int e^{u}\frac{du}{-2}$		(5.343)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int e^{u}\,du$		(5.344)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}e^{u}+C$		(5.345)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}e^{-2x}+C.$		(5.346)

Então, do teorema fundamental do cálculo, temos

	$\displaystyle\int_{0}^{1}e^{-2x}\,dx=\left[-\frac{1}{2}e^{-2x}\right]_{0}^{1}$		(5.347)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}e^{-2}+\frac{1}{2}e^{0}$		(5.348)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}-\frac{e^{-2}}{2},$		(5.349)

como esperado.

5.4.4 Tabela de integrais

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(5.350)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,dx$		(5.351)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,\leavevmode\nobreak\ r\neq-1$		(5.352)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln u+C$		(5.353)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(5.354)
	$\displaystyle\int a^{u}\,dx=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(5.355)
	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(u)\,du=-\cos(u)+C$		(5.356)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,dx=\operatorname{sen}(u)+C$		(5.357)
	$\displaystyle\int\operatorname{tg}(u)\,dx=\ln\|\sec(u)\|+C$		(5.358)
	$\displaystyle\int\operatorname{cotg}(u)\,dx=\ln\|\operatorname{sen}(u)\|+C$		(5.359)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,dx=\ln\|\sec(u)+\operatorname{tg}(u)\|+C$		(5.360)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,dx=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \operatorname{cotg}(u)\|+C$		(5.361)

5.4.5 Exercícios resolvidos

ER 5.4.1.

Calcule

\int\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx.

(5.362)

Resolução.

Usamos a regra de integração por substituição

\int f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int f(u)\,du.

(5.363)

Escolhemos

u=x-1,

(5.364)

e calculamos

	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.365)
	$\displaystyle du=dx.$		(5.366)

Então, da fórmula, obtemos

	$\displaystyle\int\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx=\int\frac{7}{u^{2}}\,du$		(5.367)
	$\displaystyle\text{}\quad=7\int u^{-2}\,du$		(5.368)
	$\displaystyle\text{}\quad=7\frac{u^{-2+1}}{-2+1}$		(5.369)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{7}{u}$		(5.370)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{7}{1-x}+C.$		(5.371)

ER 5.4.2.

Calcule

\int\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx.

(5.372)

Resolução.

Fazendo a substituição

	$\displaystyle u=e^{x}-1$		(5.373)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=e^{x}\,dx,$		(5.374)

temos

	$\displaystyle\int\frac{e^{x}}{e^{x}-1}\,dx=\int\frac{1}{u}\,du$		(5.375)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|u\|+C$		(5.376)
	$\displaystyle\text{}\quad=\ln\|e^{x}-1\|+C.$		(5.377)

ER 5.4.3.

Calcule

\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.

(5.378)

Resolução.

Vejamos as seguintes formas de calcular esta integral definida.

•

Solução 1: aplicando a regra de substituição em integrais definidas.

$\int_{a}^{b}f(u(x))u^{\prime}(x)\,dx=\int_{u(a)}^{u(b)}f(u)\,du.$ (5.379)

Escolhendo, $u=1-x^{2}$ , temos $du=-2x\,dx$ . Daí, segue

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int_{u(0)}^{u(1)}x\sqrt{u}\,% \frac{du}{-2x}$ (5.380)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}u^{\frac{1}{2}}\,du$ (5.381)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left.\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{% 2}+1}\right|_{u=1}^{0}$ (5.382)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{u^{3}}\right|_{u=1}^{0}$ (5.383)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}.$ (5.384)
•

Solução 2: calculando uma primitiva em função de $x$ . Para obtermos uma primitiva em função de $x$ , calculamos a integral indefinida

$\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx.$ (5.385)

Como anteriormente, usamos a regra de substituição. Escolhendo $u=1-x^{2}$ , temos $du=-2x\,dx$ e, portanto

$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$ (5.386)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du$ (5.387)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$ (5.388)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{u^{3}}$ (5.389)

$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^{2})^{3}}+C.$ (5.390)

Então, do teorema fundamental do cálculo, temos

$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{(1-x^{2})% ^{3}}\right|_{0}^{1}$ (5.391)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}.$ (5.392)

5.4.6 Exercícios

E. 5.4.1.

Calcule

\int 2(2x+1)^{2}\,dx

(5.393)

a)

por integração direta.
b)

por substituição.

$\displaystyle\int 2(2x+1)^{2}\,dx=\frac{8}{3}x^{3}+4x^{2}+2x+C$

E. 5.4.2.

Use o método da substituição para calcular as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int 2(2x+1)^{3}\,dx$
b)

$\displaystyle\int\sqrt{2x+1}\,dx$
c)

$\displaystyle\int 2x(x^{2}-2)\,dx$
d)

$\displaystyle\int(2x^{2}+4x-3)^{4}(x+1)\,dx$

a) $\displaystyle 4x^{4}+8x^{3}+6x^{2}+2x+C$ ; b) $\displaystyle\frac{\sqrt{(2x+1)^{3}}}{3}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{3}(x^{2}-2)^{3}+C$ ; d) $\frac{1}{20}(2x^{2}+4x-3)^{5}+C$

E. 5.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\frac{1}{x+1}\,dx$
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{3x-2}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\frac{6x+1}{x+3x^{2}}\,dx$

a) $\displaystyle\ln|x+1|+C$ ; b) $\displaystyle\frac{1}{3}\ln\left|x-\frac{2}{3}\right|+C$ ; c) $\displaystyle\ln\left|x+3x^{2}\right|+C$ ;

E. 5.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 3e^{3x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int e^{2x-1}\,dx$
c)

$\displaystyle\int xe^{x^{2}}\,dx$

a) $\displaystyle e^{3x}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{1}{2}e^{2x-1}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}e^{x^{2}}+C$

E. 5.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 2^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x-3^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\frac{x}{2^{x^{2}}}\,dx$

a) $\displaystyle\frac{2^{x}}{\ln 2}+C$ ; b) $\frac{x^{2}}{2}-\frac{3^{x}}{\ln 3}+C$ ; c) $\displaystyle-\frac{1}{2\cdot 2^{x^{2}}\ln 2}+C$

E. 5.4.6.

Calcule

\int_{-1}^{0}\frac{7}{(x-1)^{2}}\,dx.

(5.394)

$\frac{7}{2}$

E. 5.4.7.

Calcule

\int_{0}^{\ln 3}e^{2x}\,dx.

(5.395)

$4$

E. 5.4.8.

Calcule

\int_{0}^{\sqrt{e-1}}\frac{x}{x^{2}+1}\,dx.

(5.396)

$\frac{1}{2}$

E. 5.4.9.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\operatorname{sen}(x)\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int\operatorname{sen}(2x)\,dx$

a) $\displaystyle\frac{\operatorname{sen}^{2}(x)}{2}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{-\cos(2x)}{2}+C$ ;

E. 5.4.10.

Calcule

\int\cos^{2}(x)\,dx.

(5.397)

$\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{\operatorname{sen}(2x)}{4}+C$

E. 5.4.11.

Calcule

\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\cos(2x)\,dx.

(5.398)

$1/2$

E. 5.4.12.

Calcule

\int_{0}^{\pi/4}\sec^{2}(x)e^{\operatorname{tg}(x)}\,dx.

(5.399)

$e-1$

E. 5.4.13.

Calcule

\int\sec^{2}(x)\operatorname{tg}(x)\,dx

(5.400)

$\frac{1}{2}\operatorname{tg}^{2}(x)+C$

E. 5.4.14.

Calcule

\int\frac{\ln(x^{3})}{x}\,dx.

(5.401)

$\displaystyle\frac{3\ln^{2}(x)}{2}+C$

E. 5.4.15.

Use a regra da substituição para mostrar que

\int\operatorname{cotg}(x)\,dx=\ln|\operatorname{sen}(x)|+C.

(5.402)

E. 5.4.16.

Calcule

\int\cos^{2}(x)\,dx.

(5.403)

$\displaystyle\frac{x}{2}+\frac{\operatorname{sen}(x)\cos(x)}{2}+C$

E. 5.4.17.

Use o método da substituição para mostrar que

\int\operatorname{cossec}(x)\,dx=-\ln|\operatorname{cossec}(x)+\operatorname{% cotg}(x)|+C.

(5.404)

Dica: Multiplique o numerador e o denominador por $\operatorname{cotg}(X)+\operatorname{cossec}(x)$ .

E. 5.4.18.

Calcule

\int\frac{x}{x^{2}-4x+8}\,dx

(5.405)

Dica: Complete o quadrado no denominador e então faça a substituição adequada.

$\frac{1}{2}\ln|(x-2)^{2}+4|+\operatorname{arc}\operatorname{tg}\left(\frac{x-2% }{2}\right)+C$

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	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(5.225)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=dx}$		(5.226)

	$\displaystyle\int(x+1)^{2}\,dx=\int\underbrace{u^{2}}_{f(u)}\,du$		(5.227)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{u^{3}}{3}+C$		(5.228)

	$\displaystyle\frac{du}{dx}=2x$		(5.231)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }du=2\,dx}$		(5.232)

	$\displaystyle\int 2\sqrt{2x+1}\,dx=\int\sqrt{2x+1}\cdot 2\,dx$		(5.233)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int\sqrt{u}\,du$		(5.234)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int u^{\frac{1}{2}}\,du$		(5.235)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}}+C$		(5.236)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{3}\sqrt{(2x+1)^{3}}+C$		(5.237)

	$\displaystyle\int\pi\operatorname{sen}(\pi x)\,dx=\int\operatorname{sen}(u)\,du$		(5.240)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(u)+C$		(5.241)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\pi x)+C.$		(5.242)

	$\displaystyle u=\frac{x}{2}$		(5.271)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=\frac{dx}{2}$		(5.272)

	$\displaystyle\int\sqrt{2^{x}}\,dx=\int 2^{\frac{x}{2}}\,dx$		(5.273)
	$\displaystyle\text{}\quad=\int 2^{u}\,\frac{du}{2}$		(5.274)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int 2^{u}\,du$		(5.275)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{\frac{x}{2}}}{\ln 2}+C$		(5.276)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{2^{x}}}{2\ln 2}+C$		(5.277)

	$\displaystyle u=x^{2}$		(5.279)
	$\displaystyle\text{}\quad\Rightarrow du=2x\,dx,$		(5.280)

	$\displaystyle\int x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\int\cdot 2^{u}\frac{du}{2}$		(5.281)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\int\cdot 2^{u}\,du$		(5.282)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{u}}{\ln 2}+C$		(5.283)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\frac{2^{x^{2}}}{\ln 2}+C$		(5.284)

	$\displaystyle\int_{1}^{\sqrt{2}}x\cdot 2^{x^{2}}\,dx=\left.\frac{1}{2}\frac{2^% {x^{2}}}{\ln 2}\right\|_{1}^{\sqrt{2}}$		(5.285)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{x^{2}}\right]_{1}^{\sqrt{2}}$		(5.286)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{(\sqrt{2})^{2}}-2^{1^{2}}\right]$		(5.287)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\ln 2}\left[2^{2}-2\right]$		(5.288)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\ln 2}$		(5.289)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int_{u(0)}^{u(1)}x\sqrt{u}\,% \frac{du}{-2x}$		(5.380)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int_{1}^{0}u^{\frac{1}{2}}\,du$		(5.381)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\left.\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{% 2}+1}\right\|_{u=1}^{0}$		(5.382)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{u^{3}}\right\|_{u=1}^{0}$		(5.383)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}.$		(5.384)

	$\displaystyle\int x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=\int x\sqrt{u}\,\frac{du}{-2x}$		(5.386)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\int u^{\frac{1}{2}}\,du$		(5.387)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{2}\frac{u^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}$		(5.388)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{u^{3}}$		(5.389)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\sqrt{(1-x^{2})^{3}}+C.$		(5.390)

	$\displaystyle\int_{0}^{1}x\sqrt{1-x^{2}}\,dx=-\frac{1}{3}\left.\sqrt{(1-x^{2})% ^{3}}\right\|_{0}^{1}$		(5.391)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{3}.$		(5.392)

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Cálculo I

5.4 Integração por substituição

Exemplo 5.4.1.

Exemplo 5.4.2.

5.4.1 Integral de função exponencial

Exemplo 5.4.3.

5.4.2 Integral de funções trigonométricas

Exemplo 5.4.4.

Exemplo 5.4.5.

Exemplo 5.4.6.

5.4.3 Integrais definidas

Exemplo 5.4.7.

5.4.4 Tabela de integrais

5.4.5 Exercícios resolvidos

ER 5.4.1.

Resolução.

ER 5.4.2.

Resolução.

ER 5.4.3.

Resolução.

5.4.6 Exercícios

E. 5.4.1.

E. 5.4.2.

E. 5.4.3.

E. 5.4.4.

E. 5.4.5.

E. 5.4.6.

E. 5.4.7.

E. 5.4.8.

E. 5.4.9.

E. 5.4.10.

E. 5.4.11.

E. 5.4.12.

E. 5.4.13.

E. 5.4.14.

E. 5.4.15.

E. 5.4.16.

E. 5.4.17.

E. 5.4.18.

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