Cálculo I

3 Derivadas 3.7 Linealización y diferenciales 3.9 Diferenciabilidad de la función inversa

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3.8 Regla de la cadena

Regla de la cadena es el nombre que se da a la técnica de derivación de una función compuesta. Sean $f$ y $g$ , con $g$ derivable en $x$ y $f$ derivable en $g(x)$ , entonces $(f\circ g)$ es derivable en $x$ y vale la siguiente regla de derivación

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(f\circ g)^{% \prime}(x)=[f(g(x))]^{\prime}=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)},

(3.437)

Antes de mostrar la validez de esta regla, estudiemos un ejemplo de su aplicación.

Ejemplo 3.8.1.

La derivada con respecto a $x$ de $h(x)=(x+1)^{2}$ puede calcularse de las siguientes maneras:

a)

mediante la regla de la cadena.

La función $h$ es la composición de la función $f(x)=x^{2}$ con la función $g(x)=x+1$ , i.e. $h(x)=f(g(x))$ . Tenemos $f^{\prime}(x)=2x$ y $g^{\prime}(x)=1$ . Entonces, se sigue por la regla de la cadena

$\displaystyle h^{\prime}(x)=[f(g(x))]^{\prime}$ (3.438)

$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)$ (3.439)

$\displaystyle\text{}\quad=2(x+1)\cdot 1$ (3.440)

$\displaystyle\text{}\quad=2x+2.$ (3.441)
b)

por cálculo directo.

Observando que $h(x)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ , tenemos

$\displaystyle h^{\prime}(x)=(x^{2}+2x+1)^{\prime}$ (3.442)

$\displaystyle\text{}\quad=(x^{2})^{\prime}+(2x)^{\prime}+(1)^{\prime}$ (3.443)

$\displaystyle\text{}\quad=2x+2.$ (3.444)

Código 66: Python

⬇

1from sympy import Symbol, diff

2x = Symbol('x')

3h = (x + 1)**2

4print(f'h(x) = {h}')

5print(f'h\’(x) = {diff(h, x)}')

h(x) = (x + 1)**2

h'(x) = 2*x + 2

La validez de la regla de la cadena puede mostrarse como sigue. Sean diferenciables las funciones $y=f(u)$ , con $u=g(x)$ . Queremos calcular

(f\circ g)^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{\Delta x\to 0% }\frac{\Delta y}{\Delta x},

(3.445)

donde $\Delta y=f(g(x+\Delta x))-f(g(x))$ . De la ecuación (3.418), tenemos

\Delta y=f^{\prime}(u)\Delta u+\varepsilon_{f}\Delta u,

(3.446)

en la que $\varepsilon_{f}\to 0$ cuando $\Delta u\to 0$ . Por otro lado, como $g$ es diferenciable en $x$ , se sigue que

	$\displaystyle\Delta u=g(x+\Delta x)-g(x)$		(3.447)
	$\displaystyle\text{}\quad=g^{\prime}(x)\Delta x+\varepsilon_{g}\Delta x,$		(3.448)

en la que $\varepsilon_{g}\to 0$ cuando $\Delta x\to 0$ . Sustituyendo la segunda ecuación en la primera, obtenemos

	$\displaystyle\Delta y=f^{\prime}(u)(g^{\prime}(x)\Delta x+\varepsilon_{g}% \Delta x)+\varepsilon_{f}(g^{\prime}(x)\Delta x+\varepsilon_{g}\Delta x)$		(3.449)
	$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)\Delta x+f^{\prime}(u)% \varepsilon_{g}\Delta x+\varepsilon_{f}g^{\prime}(x)\Delta x+\varepsilon_{f}% \varepsilon_{g}\Delta x$		(3.450)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left[f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(u)% \varepsilon_{g}+\varepsilon_{f}g^{\prime}(x)+\varepsilon_{f}\varepsilon_{g}% \right]\Delta x.$		(3.451)

Por tanto, se sigue que

	$\displaystyle(f\circ g)^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}$		(3.452)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{\Delta x% \to 0}\left[f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(u)\varepsilon_{g}+% \varepsilon_{f}g^{\prime}(x)+\varepsilon_{f}\varepsilon_{g}\right]$		(3.453)
	$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x)+f^{\prime}(u)\cdot 0+0% \cdot g^{\prime}(x)+0\cdot 0$		(3.454)
	$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(u)g^{\prime}(x).$		(3.455)

Teorema 3.8.1.(Regla de la cadena)

Sean $f$ y $g$ , con $g$ derivable en $x$ y $f$ derivable en $u=g(x)$ . Entonces, $(f\circ g)$ es derivable en $x$ y vale la siguiente regla de derivación

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\mathrm% {d}}{\mathrm{d}x}f(u)=f^{\prime}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(3.456)

Observación 3.8.1.(Derivada de función potencia)

En secciones anteriores, ya vimos que

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{n}=nx^{n-1},

(3.457)

para cualquier $n$ entero⁹⁹9Más precisamente, para $n\neq 0$ y $n\neq 1$ .. Ahora, si $r\neq 0$ y $r\neq 1$ es un número real, tenemos

	$\displaystyle y=x^{r}$		(3.458)
	$\displaystyle\ln y=\ln x^{r}=r\ln x.$		(3.459)

De ahí, derivando ambos lados de esta última ecuación y observando que $y=y(x)$ , obtenemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x% }r\ln x$		(3.460)
	$\displaystyle\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{r}{x}$		(3.461)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{r}{x}y$		(3.462)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=rx^{r-1}.$		(3.463)

Es decir, la regla de la potencia

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{r}=rx^{r-1},

(3.464)

vale para todo $r$ real, con $r\neq 0$ y $r\neq 1$ .

Ejemplo 3.8.2.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\left(x^{\frac{1}{2}}% \right)^{\prime}$ (3.465)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$ (3.466)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$ (3.467)
b)

$\left(x^{\sqrt{2}}\right)^{\prime}=\sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1}.$ (3.468)

Observación 3.8.2.(Regla de la cadena para función potencia)

La regla de la cadena aplicada a la derivada de una función potencia es

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}u^{r}=ru^{r-1}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(3.469)

Ejemplo 3.8.3.

Vamos a calcular la derivada con respecto a $x$ de

f(x)=\sqrt{x^{2}+1}

(3.470)

Vamos a usar (3.469), con

u=x^{2}+1

(3.471)

y $r=1/2$ . Se sigue que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{dx}$		(3.472)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\cdot 2x$		(3.473)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$		(3.474)

Código 67: Python

⬇

1from sympy import sqrt, diff

2from sympy.abc import x

3diff(sqrt(x**2 + 1), x)

x/sqrt(x**2 + 1)

La regla de la cadena puede extenderse para calcular la derivada de una composición encadenada de tres o más funciones. Por ejemplo,

	$\displaystyle[f(g(h(x)))]^{\prime}=f^{\prime}(g(h(x)))\cdot[g(h(x))]^{\prime}$		(3.475)
	$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(g(h(x)))\cdot g^{\prime}(h(x))\cdot h^{% \prime}(x).$		(3.476)

En este caso, la regla es válida para todo punto tal que $h$ es derivable en $x$ , $g$ es derivable en $h(x)$ y $f$ es derivable en $f(g(h(x)))$ .

Ejemplo 3.8.4.

Vamos a calcular la derivada con respecto a $x$ de $f(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\cos(x^{2}))$ . Por la regla de la cadena, tenemos

	$\displaystyle[\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\cos(x^{2}))]=\cos(\cos(x^{% 2}))\cdot[\cos(x^{2})]^{\prime}$		(3.477)
	$\displaystyle\text{}\quad=\cos(\cos(x^{2}))\cdot[-\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x^{2})\cdot(x^{2})^{\prime}]$		(3.478)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\cos(\cos(x^{2}))\cdot\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(x^{2})\cdot 2x.$		(3.479)

3.8.1 Lista de derivadas

	$\displaystyle(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$		(3.480)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(3.481)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(3.482)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(3.483)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.484)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.485)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}u^{n}}{\mathrm{d}x}=nu^{n-1}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.486)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}a^{u}}{\mathrm{d}x}=a^{u}\ln a\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.487)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}e^{u}}{\mathrm{d}x}=e^{u}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(3.488)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}u=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{% d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.489)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits u=\cos(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.490)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos u=-\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.491)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathop{\operator@font tg}\nolimits u% =\sec^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.492)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\mathop{\operator@font cotg}% \nolimits u=-\operatorname{cossec}^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.493)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec u=\sec(u)\mathop{% \operator@font tg}\nolimits(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.494)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{cossec}u=-% \operatorname{cossec}(u)\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(u)\frac{\mathrm{% d}u}{\mathrm{d}x}$		(3.495)

3.8.2 Ejercicios resueltos

ER 3.8.1.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de

f(x)=e^{\sqrt{x+1}}.

(3.496)

Resolución.

De la regla de la cadena aplicada a la función exponencial, tenemos

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{u}=e^{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(3.497)

Entonces, con $u=\sqrt{x+1}$ , se sigue

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\sqrt{x+1}}$		(3.498)
	$\displaystyle\text{}\quad=e^{\sqrt{x+1}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(% \sqrt{x+1}\right).$		(3.499)

Ahora aplicamos la regla de la cadena para la función raíz cuadrada, i.e.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x},

(3.500)

con $u=x+1$ . Se sigue, entonces,

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x+1}=\frac{1}{2}(x+1)^{\frac{% 1}{2}-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x+1)$		(3.501)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.$		(3.502)

Por tanto, concluimos que

f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}e^{\sqrt{x+1}}.

(3.503)

Código 68: Python

⬇

1from sympy import exp, sqrt, diff

2from sympy.abc import x

3diff(exp(sqrt(x + 1)), x)

exp(sqrt(x + 1))/(2*sqrt(x + 1))

ER 3.8.2.(Función logística)

Demuestre que la función logística

f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}

(3.504)

satisface la ecuación diferencial

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=f(x)(1-f(x)).

(3.505)

Resolución.

Vamos a calcular la derivada con respecto a $x$ de la función logística, i.e.

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}% \left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)$		(3.506)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(1+e^{-x}% \right)^{-1}\right]$		(3.507)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1\cdot\left(1+e^{-x}\right)^{-2}\cdot\underbrace{% \left(1+e^{-x}\right)^{\prime}}_{=-e^{-x}}$		(3.508)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}.$		(3.509)

Por otro lado, tenemos

	$\displaystyle f(x)(1-f(x))=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\left(1-\frac{1}{1+e^{-x}}\right)$		(3.510)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\left(\frac{1+e^{-x}-1}{1+e^{% -x}}\right)$		(3.511)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}.$		(3.512)

Es decir, de hecho tenemos

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=f(x)(1-f(x)).

(3.513)

Código 69: Python

⬇

1from sympy import exp, diff, Eq, simplify

2from sympy.abc import x

3f = 1/(1 + exp(-x))

4dfdx = diff(f, x)

5rhs = f * (1 - f)

6eq = Eq(dfdx, rhs)

7simplify(eq)

True

ER 3.8.3.

Suponga que el costo de producción de una unidad empresarial está modelado por la función

c(x)=\sqrt{x-1}+e^{x-7},

(3.514)

donde $c$ es el costo en función de la producción $x$ . Determine el costo marginal cuando $x=3$ .

Resolución.

El costo marginal es la función derivada del costo con respecto a la producción. Calculando, tenemos

	$\displaystyle c^{\prime}(x)=\left(\sqrt{x-1}+e^{x-7}\right)$		(3.515)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{\left(\sqrt{x-1}\right)^{\prime}}_{(u^{n% })^{\prime}=nu^{n-1}u^{\prime}}+\underbrace{\left(e^{x-7}\right)^{\prime}}_{(e% ^{u})^{\prime}=e^{u}u^{\prime}}$		(3.516)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+e^{x-7}.$		(3.517)

Luego, el costo marginal cuando $x=3$ es

	$\displaystyle c^{\prime}(3)=\frac{1}{2\sqrt{3-1}}+e^{3-7}$		(3.518)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{2}+e^{-4}.$		(3.519)

Código 70: Python

⬇

1from sympy import sqrt, exp, diff

2from sympy.abc import x

3c = sqrt(x - 1) + exp(x - 7)

4dc_dx = diff(c, x)

5dc_dx_at_3 = dc_dx.subs(x, 3)

6dc_dx_at_3

exp(-4) + sqrt(2)/4

ER 3.8.4.

Muestre que $\ln(1+x)\approx x$ para $x$ próximo a $0$ .

Resolución.

Basta calcular la linealización de $f(x)=\ln(1+x)$ en $x_{0}=0$ , es decir,

\ln(1+x)\approx l(x)=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.520)

Para calcular la derivada $f^{\prime}(x)$ , usamos la regla de la cadena, es decir,

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln u=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x},

(3.521)

con $u=1+x$ . De ello sigue que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\frac{1}{1+x}\cdot 1$		(3.522)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{1+x}.$		(3.523)

Luego, $f^{\prime}(0)=1$ . Por otro lado, $f(0)=\ln(1)=0$ . Por lo tanto, la linealización de $f$ en $x_{0}=0$ es

l(x)=1\cdot(x-0)+0=x.

(3.524)

Es decir, $\ln(1+x)\approx x$ para $x$ próximo a $0$ .

3.8.3 Ejercicios

E. 3.8.1.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de las siguientes funciones

a)

$\displaystyle f(x)=(2x-3)^{9}$
b)

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{(2x-3)^{51}}$
c)

$\displaystyle h(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=18(2x-3)^{8}$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=-\frac{102}{(2x-3)^{52}}$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

E. 3.8.2.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de las siguientes funciones

a)

$\displaystyle f(x)=2^{3x-1}$
b)

$\displaystyle g(x)=e^{-x^{2}}$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=3\cdot 2^{3x-1}\ln 2$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=-2xe^{-x^{2}}$ .

E. 3.8.3.

Calcule las siguientes derivadas

a)

$\displaystyle\left[\ln\left(x^{2}-1\right)\right]^{\prime}$
b)

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left[\log_{2}(x-1)+\log_{2}(x+1)\right]$

a) $\displaystyle\frac{2x}{x^{2}-1}$ ; b) $\displaystyle\frac{2x}{(x^{2}-1)\ln 2}$

E. 3.8.4.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de las siguientes funciones

a)

$\displaystyle f(x)=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(\pi x)$
b)

$\displaystyle g(x)=\cos(\sqrt{x})$
c)

$\displaystyle h(x)=\mathop{\operator@font tg}\nolimits(2x)$
d)

$\displaystyle u(x)=\mathop{\operator@font cotg}\nolimits(3-x)$
e)

$\displaystyle v(x)=\sec\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$
f)

$\displaystyle z(x)=\operatorname{cossec}\left(5x+x^{2}\right)$

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\pi\cos(\pi x)$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(\sqrt{x})$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=2\sec^{2}(2x)$ ; d) $\displaystyle u^{\prime}(x)=\operatorname{cossec}^{2}(3-x)$ ; e) $\displaystyle v^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^{2}}\sec\left(\frac{1}{x^{2}}\right)% \mathop{\operator@font tg}\nolimits\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ ;
f) $\displaystyle z^{\prime}(x)=-(5+2x)\operatorname{cossec}\left(5x+x^{2}\right)% \mathop{\operator@font cotg}\nolimits\left(5x+x^{2}\right)$

E. 3.8.5.

Encuentre la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función

f(x)=e^{\sqrt{x+1}}

(3.525)

en el punto $x=3$ .

$y=\frac{e^{2}}{4}x+\frac{e^{2}}{4}$

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Cálculo I

3.8 Regla de la cadena

Ejemplo 3.8.1.

Teorema 3.8.1.(Regla de la cadena)

Observación 3.8.1.(Derivada de función potencia)

Ejemplo 3.8.2.

Observación 3.8.2.(Regla de la cadena para función potencia)

Ejemplo 3.8.3.

Ejemplo 3.8.4.

3.8.1 Lista de derivadas

3.8.2 Ejercicios resueltos

ER 3.8.1.

Resolución.

ER 3.8.2.(Función logística)

Resolución.

ER 3.8.3.

Resolución.

ER 3.8.4.

Resolución.

3.8.3 Ejercicios

E. 3.8.1.

E. 3.8.2.

E. 3.8.3.

E. 3.8.4.

E. 3.8.5.

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	$\displaystyle h^{\prime}(x)=[f(g(x))]^{\prime}$		(3.438)
	$\displaystyle\text{}\quad=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)$		(3.439)
	$\displaystyle\text{}\quad=2(x+1)\cdot 1$		(3.440)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x+2.$		(3.441)

	$\displaystyle h^{\prime}(x)=(x^{2}+2x+1)^{\prime}$		(3.442)
	$\displaystyle\text{}\quad=(x^{2})^{\prime}+(2x)^{\prime}+(1)^{\prime}$		(3.443)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x+2.$		(3.444)

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}=\left(x^{\frac{1}{2}}% \right)^{\prime}$		(3.465)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$		(3.466)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$		(3.467)