Cálculo I

3 Derivadas 3.1 Derivada en un punto 3.3 Derivada de funciones constante, identidad y potencia

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3.2 Función derivada

La derivada de una función $f$ con respecto a la variable $x$ es la función $\displaystyle f^{\prime}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ cuyo valor en $x$ es

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime}(x)% =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x% +h)-f(x)}{h},

(3.74)

cuando este límite existe. Decimos que $f$ es derivable (o diferenciable) en un punto $x$ de su dominio cuando el límite anterior (3.74) existe. Si esto ocurre para todo número real $x$ , decimos que $f$ es derivable en todas partes.

Ejemplo 3.2.1.

La derivada de $f(x)=x^{2}$ es

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}-% x^{2}}{h}$		(3.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x^{2}+2xh+% h^{2}-x^{2}}{h}$		(3.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}2x+h=2x.$		(3.78)

Observamos que este es el caso de una función derivable en todas partes. La Figura 3.4 muestra los gráficos de $f$ y de su derivada.

Refer to caption — Figura 3.4: Gráficas de la función $f(x)=x^{2}$ y de su derivada $f^{\prime}(x)=2x$ .

Código 31: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Lambda, diff

2x = Symbol('x')

3f = Lambda(x, x**2)

4f_prime = diff(f(x), x)

5print(f"Derivada: f' = {f_prime}")

Derivada: f' = 2*x

Observación 3.2.1.(Derivadas laterales)

La derivada lateral por la derecha (por la izquierda) de una función $f$ en un punto $x$ se define por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f_{\pm}^{% \prime}(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x^{\pm}}=\mathop{\operator@font lim}_{% h\to 0^{\pm}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

(3.79)

De este modo, en el caso de puntos extremos del dominio de una función, empleamos la derivada lateral correspondiente.

Ejemplo 3.2.2.(Derivada de la raíz cuadrada en cero)

Vamos a calcular la derivada de $f(x)=\sqrt{x}$ . Para $x=0$ , sólo tiene sentido calcular la derivada lateral por la derecha:

	$\displaystyle f^{\prime}_{+}(0)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{+}}\frac{% \sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}$		(3.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{% h}}{h}$		(3.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{+}}\frac{1}{% \cancelto{0^{+}}{\sqrt{h}}}=+\infty.$		(3.82)

Es decir, $f(x)=\sqrt{x}$ no es derivable en $x=0$ . Ahora, para $x>0$ , tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+% h}-\sqrt{x}}{h}$		(3.83)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}% -\sqrt{x}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$		(3.84)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h(% \sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$		(3.85)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$		(3.86)

La Figura 3.5 contiene los gráficos de esta función y de su derivada.

Ejemplo 3.2.3.(Diferenciabilidad del valor absoluto)

La función valor absoluto es derivable para todo $x\neq 0$ y no es derivable en $x=0$ . De hecho, para $x<0$ tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\|x+h\|-\|x% \|}{h}$		(3.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{-(x+h)+x}{h}$		(3.88)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.89)

Análogamente, para $x>0$ tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\|x+h\|-\|x% \|}{h}$		(3.90)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}$		(3.91)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.92)

Ahora, para $x=0$ , debemos verificar las derivadas laterales:

	$\displaystyle f^{\prime}_{+}(0)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{+}}\frac{% \|h\|-\|0\|}{h}$		(3.93)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1,$		(3.94)
	$\displaystyle f^{\prime}_{-}(0)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{-}}\frac{% \|h\|-\|0\|}{h}$		(3.95)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}% =-1.$		(3.96)

Como las derivadas laterales son diferentes, $y=|x|$ no es derivable en $x=0$ . La Figura 3.6 contiene los gráficos de $f(x)=|x|$ y su derivada

f^{\prime}(x)=\begin{cases}-1&,x<0,\\ 1&,x>0\end{cases}

(3.97)

Observamos que $f^{\prime}(x)=\operatorname{sign}(x)$ (función signo) para $x\neq 0$ .

Código 32: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Abs, diff

2x = Symbol('x', nonzero=True)

3f_prime = diff(Abs(x), x)

4print(f"Derivada: f' = {f_prime}")

Derivada: f' = x/Abs(x)

3.2.1 Diferenciabilidad y continuidad

Toda función $y=f(x)$ derivable en $x=x_{0}$ es continua en este punto. De hecho, recordamos que $f$ es continua en $x=x_{0}$ cuando $x_{0}$ es un punto de su dominio y

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).

(3.98)

Haciendo el cambio de variable $h=x-x_{0}$ , esto equivale a

\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}f(x_{0}+h)=f(x_{0})

(3.99)

o, equivalentemente,

\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]=0.

(3.100)

Vamos a mostrar que esto ocurre cuando $f$ es derivable en $x=x_{0}$ . Tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})% \right]=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]% \cdot\frac{h}{h}$		(3.101)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\left[\cancelto{% f^{\prime}(x_{0})}{\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\right]\cdot h$		(3.102)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}f^{\prime}(x_{0}% )\cdot h$		(3.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(3.104)

Es decir, si $f$ es derivable en $x=x_{0}$ , entonces $f$ es continua en $x=x_{0}$ .

Observación 3.2.2.(La continuidad no implica diferenciabilidad)

La recíproca no es verdadera: que una función $f$ sea continua en un punto $x=x_{0}$ no garantiza que sea derivable en $x=x_{0}$ . En Ejemplo 3.2.3 vimos que la función valor absoluto $f(x)=|x|$ no es derivable en $x=0$ , mientras que dicha función es continua en todas partes (véase también Ejemplo 2.6.2).

3.2.2 Derivadas de orden superior

La derivada de una función $y=f(x)$ con respecto a $x$ es la función $y=f^{\prime}(x)$ . Cuando ésta es diferenciable, podemos calcular la derivada de la derivada. Ésta es conocida como la segunda derivada de $f$ , y la denotamos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime% \prime}(x):=(f^{\prime}(x))^{\prime}

(3.105)

o bien

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\mathrm% {d}^{2}f}{\mathrm{d}x^{2}}:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\mathrm{% d}f}{\mathrm{d}x}\right].

(3.106)

Ejemplo 3.2.4.

Sea $f(x)=x^{3}$ . Entonces, la primera derivada de $f$ es

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.107)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-% x^{3}}{h}$		(3.108)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x^{3}+3x^{% 2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}}{h}$		(3.109)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}3x^{2}+\cancelto% {0}{3xh}+\cancelto{0}{h^{2}}=3x^{2}.$		(3.110)

Teniendo la primera derivada $f^{\prime}(x)=3x^{2}$ , podemos calcular la segunda derivada de $f$ como sigue:

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=[f^{\prime}(x)]^{\prime}$		(3.111)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f^{\prime}% (x+h)-f^{\prime}(x)}{h}$		(3.112)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{3(x+h)^{2}% -3x^{2}}{h}$		(3.113)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{3x^{2}+6xh% +h^{2}-3x^{2}}{h}$		(3.114)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}6x+\cancelto{0}{% h}=6x,$		(3.115)

es decir, $f^{\prime\prime}(x)=6x$ . La Figura 3.7 contiene los gráficos de $f$ , $f^{\prime\prime}$ y $f^{\prime\prime\prime}$ .

Código 33: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, diff

2x = symbols('x')

3f = Lambda(x, x**3)

4fll = diff(f(x), x, 2)

5print(f"Segunda derivada: f'' = {fll}")

Segunda derivada: f'' = 6*x

Generalizando, cuando existe, la $n$ -ésima derivada de una función $y=f(x)$ , $n\geq 1$ , se define recursivamente (y se denota) por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{(n)}(x):=[% f^{(n-1)}]^{\prime}

(3.116)

con $f^{(3)}\equiv f^{\prime\prime\prime}$ , $f^{(2)}\equiv f^{\prime\prime}$ , $f^{(1)}\equiv f^{\prime}$ y $f^{(0)}\equiv f$ . O, equivalentemente,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\mathrm% {d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}f(x):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{% \mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}x^{n-1}}f(x)\right]

(3.117)

Ejemplo 3.2.5.

La tercera derivada de $f(x)=x^{3}$ con respecto a $x$ es $f^{\prime\prime\prime}(x)=[f^{\prime\prime}(x)]^{\prime}$ . En el ejemplo anterior (Ejemplo 3.2.4) calculamos $f^{\prime\prime}(x)=6x$ . Entonces,

	$\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(x)=[6x]^{\prime}$		(3.118)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{6(x+h)-6x}% {h}$		(3.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}6=6.$		(3.120)

La cuarta derivada de $f(x)=x^{3}$ con respecto a $x$ es $f^{(4)}(x)\equiv 0$ , así como $f^{(5)}(x)\equiv 0$ . ¡Compruébelo!

Código 34: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, diff

2x = symbols('x')

3f = Lambda(x, x**3)

4flll = diff(f(x), x, 3)

5print(f"f''' = {flll}")

f''' = 6

3.2.3 Ejercicios resueltos

ER 3.2.1.

Calcule la derivada de la función $f(x)=x^{2}+2x+1$ con respecto a $x$ .

Resolución.

Por definición de la derivada, tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.121)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}+% 2(x+h)+1-(x^{2}+2x+1)}{h}$		(3.122)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x^{2}+2xh+% h^{2}+2x+2h+1-x^{2}-2x-1}{h}$		(3.123)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{2xh+h^{2}+% 2h}{h}$		(3.124)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}2x+h+2=2x+2.$		(3.125)

ER 3.2.2.

Determine los puntos de diferenciabilidad de la función $f(x)=|x-1|$ .

Resolución.

El gráfico de la función $f(x)=|x-1|$ tiene un pico en $x=1$ (¡compruébelo!). Para valores de $x<1$ , tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.126)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\|% \overbrace{x+h-1}^{<0}\|-\|\overbrace{x-1}^{<0}\|}{h}$		(3.127)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{-x-h+1+x-1% }{h}$		(3.128)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.129)

Para valores de $x>1$ , tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\|% \overbrace{x+h-1}^{>0}\|-\|\overbrace{x-1}^{>0}\|}{h}$		(3.131)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x+h-1-x+1}% {h}$		(3.132)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.133)

Es decir, $f(x)=|x-1|$ es diferenciable para $x\neq 1$ . Ahora, para $x=1$ , tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}_{-}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{-}}\frac{% f(1+h)-f(1)}{h}$		(3.134)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{-}}\frac{\|% \overbrace{h}^{<0}\|-\|1-1\|}{h}$		(3.135)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}% =-1$		(3.136)
	$\displaystyle f^{\prime}_{+}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{+}}\frac{% f(1+h)-f(1)}{h}$		(3.137)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{+}}\frac{\|% \overbrace{h}^{>0}\|-\|1-1\|}{h}$		(3.138)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1$		(3.139)

Como $f^{\prime}_{-}(1)\neq f^{\prime}_{+}(1)$ , no existe $f^{\prime}(1)$ . Concluimos que $f(x)=|x-1|$ es diferenciable en los puntos $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

ER 3.2.3.

Calcule la segunda derivada con respecto a $x$ de la función

f(x)=x-x^{2}.

(3.141)

Resolución.

Comenzamos calculando la primera derivada de la función:

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.142)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{(x+h)-(x+h% )^{2}-(x-x^{2})}{h}$		(3.143)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x+h-x^{2}-% 2xh-h^{2}-x+x^{2}}{h}$		(3.144)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}1-2x-\cancelto{0% }{h}=1-2x.$		(3.145)

Luego, calculamos la segunda derivada como sigue

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=[f^{\prime}(x)]^{\prime}$		(3.146)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f^{\prime}% (x+h)-f^{\prime}(x)}{h}$		(3.147)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{1-2(x+h)-(% 1-2x)}{h}$		(3.148)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}-2=-2.$		(3.149)

3.2.4 Ejercicios

E. 3.2.1.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de cada una de las siguientes funciones:

a)

$f(x)=2$
b)

$g(x)=-3$
c)

$h(x)=\sqrt{e}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 3.2.2.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de cada una de las siguientes funciones:

a)

$f(x)=2x$
b)

$g(x)=-3x$
c)

$h(x)=\sqrt{e}x$

a) $2$ ; b) $-3$ ; c) $\sqrt{e}$

E. 3.2.3.

Calcule la derivada con respecto a $x$ de la función

f(x)=x^{2}-2x+1.

(3.150)

$f^{\prime}(x)=2x-2$

E. 3.2.4.

Determine los puntos de diferenciabilidad de la función $f(x)=\sqrt{x-1}$ .

$(1,\infty)$

E. 3.2.5.

Considerando

f(x)=x^{2}-x^{3},

(3.151)

calcule:

a)

$f^{\prime}(x)$
b)

$f^{\prime\prime}(x)$
c)

$f^{\prime\prime\prime}(x)$
d)

$f^{(4)}$
e)

$f^{(1001)}(x)$

a) $2x-3x^{2}$ ; b) $2-6x$ ; c) $-6$ ; d) $0$ ; e) $0$

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Cálculo I

3.2 Función derivada

Ejemplo 3.2.1.

Observación 3.2.1.(Derivadas laterales)

Ejemplo 3.2.2.(Derivada de la raíz cuadrada en cero)

Ejemplo 3.2.3.(Diferenciabilidad del valor absoluto)

3.2.1 Diferenciabilidad y continuidad

Observación 3.2.2.(La continuidad no implica diferenciabilidad)

3.2.2 Derivadas de orden superior

Ejemplo 3.2.4.

Ejemplo 3.2.5.

3.2.3 Ejercicios resueltos

ER 3.2.1.

Resolución.

ER 3.2.2.

Resolución.

ER 3.2.3.

Resolución.

3.2.4 Ejercicios

E. 3.2.1.

E. 3.2.2.

E. 3.2.3.

E. 3.2.4.

E. 3.2.5.

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