Cálculo I

3 Derivadas 3 Derivadas 3.2 Función derivada

Ayuda a mantener el sitio libre, gratuito y sin publicidad. ¡Colabora!

3.1 Derivada en un punto

Vamos a estudiar la definición de derivada de una función en un punto. Comenzaremos con las nociones de recta secante y de recta tangente al gráfico de una función. A continuación, estudiaremos las nociones de tasa de variación media y tasa de variación instantánea. Finalmente, definiremos la derivada de una función en un punto.

3.1.1 Rectas secante y tangente

Definimos la recta secante al gráfico de una dada función $f$ por los puntos ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}}$ y ${\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{1}}$ , $x_{0}\neq x_{1}$ , como la recta determinada por la ecuación

y=\underbrace{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}}_{m_{\text{sec}}}(x-{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}})+f({\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}}).

(3.1)

Es decir, es la recta que pasa por los puntos $(x_{0},f(x_{0}))$ y $(x_{1},f(x_{1}))$ . Consultemos la Figura 3.1. El coeficiente angular de la recta secante es

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{sec}}=\frac{f(x_% {1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.

(3.2)

Refer to caption — Figura 3.1: Recta secante (línea trazos-punto) y recta tangente (línea discontinua) al gráfico de una función (línea continua).

La recta tangente al gráfico de una función $f$ en $x={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}}$ es la recta que pasa por el punto $\left({\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}}% ,{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f(x_{0})}\right)$ y tiene coeficiente angular

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{tg}}% =\mathop{\operator@font lim}_{x_{1}\to x_{0}}\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_% {0}}.

(3.3)

Es decir, la recta de ecuación

y={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{% tg}}}(x-{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0% }})+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f(x_{0})}.

(3.4)

Menos formal, es la recta límite de las rectas secantes al gráfico de la función por los puntos $x_{0}$ y $x_{1}$ , cuando $x_{1}\to x_{0}$ . Consultemos la Figura 3.1.

Haciendo el cambio de variable $h=x_{1}-x_{0}$ , vemos que (3.3) es equivalente a

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}m_{\text{tg}}% =\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.

(3.5)

De hecho, por el cambio de variable, tenemos $x_{1}=x_{0}+h$ y cuando $x_{1}\to x_{0}$ , $h=x_{1}-x_{0}\to 0$ . Es decir,

	$\displaystyle m_{\text{tg}}=\mathop{\operator@font lim}_{x_{1}\to x_{0}}\frac{% f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$		(3.6)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)% -f(x_{0})}{h}.$		(3.7)

Ejemplo 3.1.1.

Sean $f(x)=x^{2}$ y $x_{0}=1$ . El coeficiente angular de la recta secante al gráfico de $f$ por los puntos $x_{0}=1$ y $x_{1}=2$ es

	$\displaystyle m_{\text{sec}}=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$		(3.8)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$		(3.9)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4-1}{1}=3.$		(3.10)

Por tanto, la recta secante al gráfico de $f$ por los puntos $x_{0}=1$ y $x_{1}=2$ tiene ecuación

	$\displaystyle y=m_{\text{sec}}(x-x_{0})+f(x_{0})$		(3.11)
	$\displaystyle y=3(x-1)+f(1)$		(3.12)
	$\displaystyle y=3x-2.$		(3.13)

En la Figura 3.2, mostramos los gráficos de la función y de la recta secante.

Código 29: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Lambda

2x = Symbol('x')

3x0 = 1

4x1 = 2

5f = Lambda(x, x**2)

6m_sec = (f(x1)-f(x0))/(x1-x0)

7r_sec = Lambda(x, m_sec*(x - x0) + f(x0))

8print(f"Recta secante: y = {r_sec(x)}")

Recta secante: y = 3*x - 2

Ahora, el coeficiente angular de la recta tangente al gráfico de $f$ en el punto $x_{0}$ es

	$\displaystyle m_{\text{tg}}=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+% h)-f(x_{0})}{h}$		(3.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{(1+h)^{2}-% 1}{h}$		(3.15)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{1+2h+h^{2}% -1}{h}$		(3.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{2+h}{1}=2.$		(3.17)

Así, la recta tangente al gráfico de $f(x)=x^{2}$ en el punto $x_{0}=1$ tiene coeficiente angular $m_{\text{tg}}=2$ y ecuación

y=2(x-1)+1=2x-1.

(3.18)

En la Figura 3.2, tenemos los gráficos de la función y de la recta tangente.

Código 30: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, limit

2x, h = symbols('x,h')

3x0 = 1

4x1 = 2

5f = Lambda(x, x**2)

6m_tg = limit((f(x0+h)-f(x0))/h, h, 0)

7r_tg = Lambda(x, m_tg*(x - x0) + f(x0))

8print(f"Recta tangente: y = {r_tg(x)}")

Recta tangente: y = 2*x - 1

3.1.2 Tasa de variación

La tasa de variación media de una función $f$ cuando $x$ varía de $x_{0}$ a $x_{1}$ se define como

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\Delta y% }{\Delta x}:=\frac{f(x_{1})-f(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}.

(3.19)

De esto se deriva la tasa de variación instantánea de $f$ en el punto $x_{0}$ , la cual se define como

	$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right\|_{x=x_{0}}:=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}\frac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}$		(3.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)% -f(x_{0})}{h}.$		(3.21)

En muchas áreas del conocimiento, estas tasas reciben nombres específicos.

Ejemplo 3.1.2.(Velocidad)

Sea $s=s(t)$ la función distancia recorrida por un objeto en el tiempo. La velocidad media (tasa de variación media de la distancia) desde el tiempo $t_{0}$ hasta el tiempo $t_{1}$ es

\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{s(t_{1})-s(t_{0})}{t_{1}-t_{0}}.

(3.22)

Por ejemplo, si $s(t)=15t^{2}+t$ (km), entonces la velocidad media del objeto entre $t_{0}=1$ h y $t_{1}=3$ h es

	$\displaystyle\frac{\Delta s}{\Delta t}=\frac{(15t_{1}^{2}+t_{1})-(15t_{0}^{2}+% t_{0})}{t_{1}-t_{0}}$		(3.23)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{15\cdot 3^{2}+3-(15\cdot 1^{2}+1)}{3-1}$		(3.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{135+3-15-1}{2}$		(3.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=61~{}\frac{\text{km}}{\text{h}}.$		(3.26)

La velocidad (tasa de variación instantánea de la distancia) en el tiempo $t_{0}=1$ es

	$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}s}{\mathrm{d}t}\right\|_{t=t_{0}}=\mathop{% \operator@font lim}_{h\to 0}\frac{s(t_{0}+h)-s(t_{0})}{h}$		(3.27)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{15(t_{0}+h% )^{2}+(t_{0}+h)-\left(15t_{0}^{2}+t_{0}\right)}{h}$		(3.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{15t_{0}^{2% }+30t_{0}h+15h^{2}+t_{0}+h-15t_{0}^{2}-t_{0}}{h}$		(3.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{30t_{0}h+1% 5h^{2}+h}{h}$		(3.30)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}30t_{0}+15h+1$		(3.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=30t_{0}+1=31~{}\frac{\text{km}}{\text{h}}.$		(3.32)

Ejemplo 3.1.3.(Costo marginal)

Sea $c(x)=\sqrt{x}$ (millones de reales) el costo de producción en una empresa en función del número de unidades producidas (miles). El costo medio de producción de $x_{0}=4$ a $x_{1}=9$ es

	$\displaystyle\frac{\Delta c}{\Delta x}=\frac{c(x_{1})-c(x_{0})}{x_{1}-x_{0}}$		(3.33)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{x_{1}}-\sqrt{x_{0}}}{x_{1}-x_{0}}$		(3.34)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{9}-\sqrt{4}}{9-4}$		(3.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{3-2}{5}$		(3.36)
	$\displaystyle\text{}\quad=0,2~{}\frac{\text{R\$}}{\text{un}}.$		(3.37)

El costo marginal (tasa de variación instantánea del costo) cuando la empresa está produciendo $x_{0}=4$ millones de unidades es

	$\displaystyle\left.\frac{\mathrm{d}c}{\mathrm{d}x}\right\|_{x=x_{0}=4}=\mathop{% \operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\sqrt{x_{0}+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}$		(3.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\sqrt{x_{0% }+h}-\sqrt{x_{0}}}{h}\cdot\frac{\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}}}{\sqrt{x_{0}+h}+% \sqrt{x_{0}}}$		(3.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_% {0}}{h(\sqrt{x_{0}+h}+\sqrt{x_{0}})}$		(3.40)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{1}{\sqrt{x% _{0}+\cancelto{0}{h}}+\sqrt{x_{0}}}$		(3.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}=\frac{\sqrt{x_{0}}}{2x_{0}}$		(3.42)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{4}}{2\cdot 4}=0,25~{}\frac{\text{R\$}}{% \text{un}}.$		(3.43)

Observación 3.1.1.(Rendimiento y beneficio marginales)

Análogamente al costo marginal, tenemos las nociones de rendimiento marginal y beneficio marginal.

3.1.3 Derivada en el punto

La derivada de una función $f$ en el punto $x=x_{0}$ se define por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime}(x_% {0})=\left.\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\right|_{x=x_{0}}:=\mathop{% \operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}.

(3.44)

Ejemplo 3.1.4.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$f(x)=k$ , $k$ constante.

$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x_% {0}+h)-f(x_{0})}{h}$ (3.45)

$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{k-k}{h}=0.$ (3.46)
b)

$f(x)=x$ .

$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x_% {0}+h)-f(x_{0})}{h}$ (3.47)

$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_% {0}}{h}=1.$ (3.48)
c)

$f(x)=\sqrt{x}$ , $x_{0}=1$ .

$\displaystyle f^{\prime}(1)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+% h}-\sqrt{1}}{h}$ (3.49)

$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}% -\sqrt{1}}{h}\cdot\frac{\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}{\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}$ (3.50)

$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{1+h-1}{h(% \sqrt{1+h}+1)}=\frac{1}{2}.$ (3.51)

Ejemplo 3.1.5.(Rendimiento marginal)

Suponga que el rendimiento de una empresa está modelado por $r(x)=x^{2}$ (millones de reales), donde $x$ es el número en millones de unidades vendidas. El rendimiento marginal cuando $x=x_{0}=1$ es

	$\displaystyle r^{\prime}(x_{0})=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{(x_{% 0}+h)^{2}-x_{0}^{2}}{h}$		(3.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x_{0}^{2}+% 2x_{0}h+h^{2}-x_{0}^{2}}{h}$		(3.53)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{2x_{0}h+h^% {2}}{h}$		(3.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}(2x_{0}+h)=2x_{0% }=2~{}\frac{\text{R\$}}{\text{un}}.$		(3.55)

3.1.4 Ejercicios resueltos

ER 3.1.1.

Determine la ecuación de la recta tangente al gráfico de $f(x)=\sqrt{x}$ en el punto $x_{0}=4$ . Haga, entonces, los bocetos de las gráficas de $f$ y de la recta tangente en un mismo plano cartesiano.

Resolución.

La ecuación de la recta tangente al gráfico de la función $f$ en el punto $x_{0}=4$ es

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(3.56)

La derivada de $f$ en el punto $x_{0}$ es

	$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}\frac{% f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(3.57)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 4}\frac{\sqrt{4+h}% -\sqrt{4}}{h}$		(3.58)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 4}\frac{\sqrt{4+h}% -2}{h}\cdot\frac{\sqrt{4+h}+2}{\sqrt{4+h}+2}$		(3.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 4}\frac{4+h-4}{h(% \sqrt{4+h}+2)}$		(3.60)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{\sqrt{4}+2}=\frac{1}{4}.$		(3.61)

Por tanto, la ecuación de la recta tangente es

	$\displaystyle y=\frac{1}{4}(x-4)+\sqrt{4}$		(3.62)
	$\displaystyle y=\frac{1}{4}x+1.$		(3.63)

Consulte la Figura 3.3 para los bocetos de las gráficas de $f$ y de la recta tangente.

ER 3.1.2.

Considere que la producción en una empresa tiene costo

c(x)=\sqrt{x}

(3.64)

y rendimiento

r(x)=x^{2},

(3.65)

donde $x$ es el número de unidades (en millones) producidas. Calcule el lucro marginal de la empresa cuando $x=1$ .

Resolución.

El lucro es

l(x)=r(x)-c(x).

(3.66)

De esta forma, el lucro marginal en el punto $x_{0}=1$ es

	$\displaystyle l^{\prime}(x_{0})=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{l(x_% {0}+h)-l(x_{0})}{h}$		(3.67)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)% -c(x_{0}+h)-(r(x_{0})-c(x_{0}))}{h}$		(3.68)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)% -r(x_{0})-(c(x_{0}+h)-c(x_{0}))}{h}$		(3.69)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{r(x_{0}+h)% -r(x_{0})}{h}-\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{c(x_{0}+h)-c(x_{0})}{h}$		(3.70)
	$\displaystyle\text{}\quad=r^{\prime}(x_{0})-c^{\prime}(x_{0})$		(3.71)
	$\displaystyle\text{}\quad=2x_{0}-\frac{1}{2\sqrt{x_{0}}}$		(3.72)
	$\displaystyle\text{}\quad=2-\frac{1}{2}=1,5~{}\frac{\text{R\$}}{\text{un}}.$		(3.73)

3.1.5 Ejercicios

E. 3.1.1.

Calcule las derivadas según se indica:

a)

$f(x)=2$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=10^{6}$ , $g^{\prime}(10^{8})$ ;
c)

$h(x)=\ln 2e$ , $h^{\prime}(-\pi)$ ;

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 3.1.2.

Calcule las derivadas según se indica:

a)

$f(x)=2+x$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=10^{6}-2x$ , $g^{\prime}(-3)$ ;
c)

$h(x)=\ln(2e)+ex$ , $h^{\prime}(10^{6})$ ;

a) $1$ ; b) $-2$ ; c) $e$

E. 3.1.3.

Calcule las derivadas según se indica:

a)

$f(x)=x$ , $f^{\prime}(-1)$ ;
b)

$g(x)=-2x$ , $g^{\prime}(-3)$ ;
c)

$h(x)=ex$ , $h^{\prime}(10^{6})$ ;

a) $1$ ; b) $-2$ ; c) $e$

E. 3.1.4.

Determine la recta secante al gráfico de $f(x)=5-x^{2}$ por los puntos $x_{0}=1$ y $x_{1}=2$ . Luego, determine la recta tangente al gráfico de $f$ en el punto $x_{0}=1$ . Por último, haga los bocetos de las gráficas de $f$ , de la recta secante y de la recta tangente en un mismo plano cartesiano.

recta secante: $y=-3x+7$ ; recta tangente: $y=-2x+6$ ; sugerencia: verifique sus bocetos graficando las funciones en el ordenador

E. 3.1.5.

Asumiendo que, en una empresa, la producción tenga el costo $c(x)=2\sqrt{x}$ y rendimiento $r(x)=\frac{1}{100}x^{3}$ , dados en millones de reales con $x$ en miles de unidades. Calcule:

a)

el costo marginal cuando $x=1$ ;
b)

el rendimiento marginal cuando $x=1$ ;
c)

el lucro marginal cuando $x=1$ .

a) $1000~{}\frac{\text{R}\$}{\text{un}}$ ; b) $30~{}\frac{\text{R\$}}{\text{un}}$ ; c) $-970~{}\frac{\text{R\$}}{\text{un}}$ .

Envía tu comentario

Aprovecho para agradecer a todas/os que de forma asidua o esporádica contribuyen enviando correcciones, sugerencias y críticas.

Este texto se publica bajo los términos de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional. Los íconos y elementos gráficos pueden estar sujetos a condiciones adicionales.

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

3.1 Derivada en un punto

3.1.1 Rectas secante y tangente

Ejemplo 3.1.1.

3.1.2 Tasa de variación

Ejemplo 3.1.2.(Velocidad)

Ejemplo 3.1.3.(Costo marginal)

Observación 3.1.1.(Rendimiento y beneficio marginales)

3.1.3 Derivada en el punto

Ejemplo 3.1.4.

Ejemplo 3.1.5.(Rendimiento marginal)

3.1.4 Ejercicios resueltos

ER 3.1.1.

Resolución.

ER 3.1.2.

Resolución.

3.1.5 Ejercicios

E. 3.1.1.

E. 3.1.2.

E. 3.1.3.

E. 3.1.4.

E. 3.1.5.

Envía tu comentario

	$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x_% {0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(3.45)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{k-k}{h}=0.$		(3.46)

	$\displaystyle f^{\prime}(x_{0})=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x_% {0}+h)-f(x_{0})}{h}$		(3.47)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x_{0}+h-x_% {0}}{h}=1.$		(3.48)

	$\displaystyle f^{\prime}(1)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+% h}-\sqrt{1}}{h}$		(3.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{\sqrt{1+h}% -\sqrt{1}}{h}\cdot\frac{\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}{\sqrt{1+h}+\sqrt{1}}$		(3.50)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{1+h-1}{h(% \sqrt{1+h}+1)}=\frac{1}{2}.$		(3.51)