Cálculo I

3 Derivadas 3.2 Función derivada 3.4 Derivada de función exponencial y logarítmica

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3.3 Derivada de funciones constante, identidad y potencia

En esta sección vamos a estudiar las derivadas de la función constante, de la función identidad y de la función potencia.

3.3.1 Derivada de la función constante

La derivada de la función constante $f(x)\equiv k$ , con $k$ constante, es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(k)^{\prime}% =0}

(3.152)

De hecho, por la definición de derivada tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.153)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{k-k}{h}$		(3.154)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}0=0.$		(3.155)

Ejemplo 3.3.1.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$(2)^{\prime}=0$

Código 35: Python

⬇

1from sympy import diff

2diff(2)

⬇

0
b)

$(-3)^{\prime}=0$
c)

$(\pi)^{\prime}=0$

Código 36: Python

⬇

1from sympy import diff, pi

2diff(pi)

⬇

0
d)

$(a)^{\prime}=0$ para cualquier $a\in\mathbb{R}$

Código 37: Python

⬇

1from sympy import symbols, diff

2x = symbols('x')

3a = symbols('a', const=True)

4diff(a, x)

⬇

0

3.3.2 Derivada de la función identidad

La derivada de la función identidad $f(x)=x$ es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(x)^{\prime}% =1}

(3.156)

De hecho, por la definición de derivada tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.157)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}$		(3.158)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.159)

Código 38: Python

⬇

1from sympy import diff, symbols

2x = symbols('x')

3diff(x)

3.3.3 Derivada de la función potencia

La derivada de la función potencia $f(x)=x^{n}$ , con $n$ entero positivo, es

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\left(x^{n}% \right)^{\prime}=nx^{n-1}}

(3.161)

Por la definición de derivada, tenemos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f% (x)}{h}$		(3.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{(x+h)^{n}-% x^{n}}{h}$		(3.163)

Usando el binomio de Newton¹¹1Isaac Newton, 1643 - 1727, matemático inglés. Fuente: Wikipedia., se tiene

(x+h)^{n}=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}x^{n-k}h^{k},

(3.164)

donde los coeficientes binomiales son

\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.

(3.165)

Así, se sigue que

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}\frac{x^{n}+nx% ^{n-1}h+\frac{n(n-1)}{2}x^{n-2}h^{2}+\cdots+h^{n}-x^{n}}{h}$		(3.166)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{h\to 0}nx^{n-1}+\frac{n% (n-1)}{2}x^{n-2}h+\cdots+h^{n-1}$		(3.167)
	$\displaystyle\text{}\quad=nx^{n-1}.$		(3.168)

Ejemplo 3.3.2.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\left(x^{2}\right)^{\prime}=2x^{1-1}=2x$

Código 39: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import diff

3diff(x**2)

⬇

2*x
b)

$\displaystyle\left(x^{5}\right)^{\prime}=5x^{5-1}=5x^{4}$
c)

$\displaystyle\left(x^{2001}\right)^{\prime}=2001x^{2000}$
d)

$\displaystyle\left(x^{m}\right)^{\prime}=mx^{m-1}$ para cualquier $m$ entero positivo.

Código 40: Python

⬇

1from sympy import symbols, diff, simplify

2 x = symbols('x')

3 m = symbols('m', integer=True, positive=True)

4 simplify(diff(x**m, x))

⬇

m*x**(m - 1)

Observación 3.3.1.(Derivada de potencia real)

A lo largo de las notas de Cálculo estudiaremos que la fórmula de derivación

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}(x^{r})^{% \prime}=rx^{r-1}}

(3.169)

vale para cualquier $r$ número real no nulo, considerando el dominio natural de las funciones potencia. Por tanto, la aplicaremos a cualquier función potencia a partir de ahora.

Ejemplo 3.3.3.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\left(x^{-1}\right)^{\prime}=-1x^{-1-1}=-x^{-2}$

Código 41: Python

⬇

1from sympy import symbols, diff

2 x = symbols('x')

3 diff(x**(-1))

⬇

-1/x**2
b)

$\displaystyle\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1% }=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}$

Código 42: Python

⬇

1from sympy import symbols, diff, sqrt

2 x = symbols('x')

3 diff(sqrt(x))

⬇

1/(2*sqrt(x))
c)

$\displaystyle\left(x^{e}\right)^{\prime}=ex^{e-1}$

Código 43: Python

⬇

1from sympy import symbols, diff, E

2 x = symbols('x')

3 diff(x**E)

⬇

E*x**(E - 1)

3.3.4 Lista de derivadas

	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(3.170)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(3.171)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(3.172)

3.3.5 Ejercicios resueltos

ER 3.3.1.

Calcule el ángulo de inclinación de la recta tangente al gráfico de cada una de las siguientes funciones en un punto fijo $x=x_{0}$ .

a)

Función constante $f(x)\equiv k$
b)

Función identidad $f(x)=x$

Resolución.

El ángulo $\theta$ de inclinación de la recta tangente al gráfico de una función $f$ en un punto $x=x_{0}$ es

\theta=\mathop{\operator@font arc\,tg}\nolimits(f^{\prime}(x_{0})).

(3.173)

a)

Función constante $f(x)\equiv k$

En este caso, $f^{\prime}(x)=0$ para todo $x$ , por lo que

$\displaystyle\theta=\mathop{\operator@font arc\,tg}\nolimits(0)$ (3.174)

$\displaystyle\text{}\quad=0.$ (3.175)
b)

Función identidad $f(x)=x$

En este caso, $f^{\prime}(x)=1$ para todo $x$ , por lo que

$\displaystyle\theta=\mathop{\operator@font arc\,tg}\nolimits(1)$ (3.176)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}$ (3.177)

ER 3.3.2.

Determine la ecuación de la recta tangente al gráfico de la función $f(x)=x^{2}$ en el punto $x=1$ .

Resolución.

La ecuación de la recta tangente de una función $f$ en un punto $x=x_{0}$ es

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0})

(3.178)

En este caso,

y=f^{\prime}(1)(x-1)+f(1)

(3.179)

Tenemos $f(1)=1^{2}=1$ . Ahora, por la regla de la potencia, tenemos

f^{\prime}(x)=(x^{2})^{\prime}=2x

(3.180)

Luego,

f^{\prime}(1)=2\cdot 1=2

(3.181)

Concluimos que la ecuación de la recta tangente es

	$\displaystyle y=2(x-1)+1$		(3.182)
	$\displaystyle y=2x-1.$		(3.183)

3.3.6 Ejercicios

E. 3.3.1.

Calcule las siguientes derivadas:

a)

$(7)^{\prime}$
b)

$(-1,7)^{\prime}$
c)

$\left(\sqrt{2}\right)^{\prime}$
d)

$\left(\sec(\pi)\right)^{\prime}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $0$

E. 3.3.2.

Calcule las siguientes derivadas:

a)

$\left(x\right)^{\prime}$
b)

$\left(x^{3}\right)^{\prime}$
c)

$\left(\sqrt{x}\right)^{\prime}$
d)

$\displaystyle\left(\frac{1}{x}\right)^{\prime}$
e)

$\displaystyle\left(\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\right)^{\prime}$
f)

$\left(x^{\pi}\right)^{\prime}$

a) $1$ ; b) $3x^{2}$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2\sqrt{x}}$ ; d) $\displaystyle-\frac{1}{x^{2}}$ ; e) $\displaystyle-\frac{2}{3\sqrt[3]{x^{5}}}$ ; f) $\pi x^{\pi-1}$

E. 3.3.3.

Calcule las siguientes derivadas de orden superior:

a)

$(2)^{\prime\prime}$
b)

$\left(2^{1001}\right)^{\prime\prime\prime}$
c)

$\left[(-3)^{4}\right]^{(4)}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 3.3.4.

Calcule el coeficiente angular de la recta tangente $y=mx+b$ al gráfico de la función $f(x)=x^{3}$ en el punto $x=0$ . Haga el boceto del gráfico de esta función.

$0$

E. 3.3.5.

Calcule el punto de intersección de las rectas tangentes al gráfico de la función $f(x)=x^{2}$ en los puntos $x_{0}=-1$ y $x_{1}=1$ . Haga, en un mismo boceto, los gráficos de $f$ y de las rectas tangentes calculadas.

$(0,-1)$

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Cálculo I

3.3 Derivada de funciones constante, identidad y potencia

3.3.1 Derivada de la función constante

Ejemplo 3.3.1.

3.3.2 Derivada de la función identidad

3.3.3 Derivada de la función potencia

Ejemplo 3.3.2.

Observación 3.3.1.(Derivada de potencia real)

Ejemplo 3.3.3.

3.3.4 Lista de derivadas

3.3.5 Ejercicios resueltos

ER 3.3.1.

Resolución.

ER 3.3.2.

Resolución.

3.3.6 Ejercicios

E. 3.3.1.

E. 3.3.2.

E. 3.3.3.

E. 3.3.4.

E. 3.3.5.

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	$\displaystyle\theta=\mathop{\operator@font arc\,tg}\nolimits(0)$		(3.174)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(3.175)

	$\displaystyle\theta=\mathop{\operator@font arc\,tg}\nolimits(1)$		(3.176)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\pi}{4}$		(3.177)