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Cálculo I

3 Derivadas 3.1 Derivada no ponto 3.3 Derivada de Funções Constante, Identidade e Potência

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3.2 Função derivada

A derivada de uma função $f$ em relação à variável $x$ é a função $\displaystyle f^{\prime}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ cujo valor em $x$ é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime}(x)% =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},

(3.73)

quando este limite existe. Dizemos que $f$ é derivável (ou diferenciável) em um ponto $x$ de seu domínio, quando o limite acima (3.73) existe. Se isso ocorre para todo número real $x$ , dizemos que $f$ é derivável em toda parte.

Exemplo 3.2.1.

A derivada de $f(x)=x^{2}$ é

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.74)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$		(3.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}$		(3.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}2x+h=2x.$		(3.77)

Observamos que este é o caso de uma função derivável em toda parte. A Figura 3.4 mostra os gráfico de $f$ e de sua derivada.

Refer to caption — Figura 3.4: Gráficos da função $f(x)=x^{2}$ e de sua derivada $f^{\prime}(x)=2x$ .

Código 31: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Lambda, diff

2x = Symbol('x')

3f = Lambda(x, x**2)

4f_prime = diff(f(x), x)

5print(f"Derivada: f' = {f_prime}")

Derivada: f' = 2*x

Observação 3.2.1.(Derivadas laterais)

A derivada lateral à direita (à esquerda) de uma função $f$ em um ponto $x$ é definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f_{\pm}^{% \prime}(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x^{\pm}}=\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(x+% h)-f(x)}{h}.

(3.78)

Desta forma, no caso de pontos extremos do domínio de uma função, empregamos a derivada lateral correspondente.

Exemplo 3.2.2.(Derivada da raiz quadrada em zero)

Vamos calcular a derivada de $f(x)=\sqrt{x}$ . Para $x=0$ , só faz sentido calcular a derivada lateral à direta:

	$\displaystyle f^{\prime}_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}$		(3.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h}}{h}$		(3.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{1}{\cancelto{0^{+}}{\sqrt{h}}% }=+\infty.$		(3.81)

Ou seja, $f(x)=\sqrt{x}$ não é derivável em $x=0$ . Agora, para $x>0$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$		(3.82)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac% {\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$		(3.83)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$		(3.84)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$		(3.85)

A Figura 3.5 contém os gráficos desta função e de sua derivada.

Exemplo 3.2.3.(Diferenciabilidade do valor absoluto)

A função valor absoluto é derivável para todo $x\neq 0$ e não é derivável em $x=0$ . De fato, para $x<0$ temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\|x+h\|-\|x\|}{h}$		(3.86)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-(x+h)+x}{h}$		(3.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.88)

Analogamente, para $x>0$ temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\|x+h\|-\|x\|}{h}$		(3.89)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}$		(3.90)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.91)

Agora, para $x=0$ , devemos verificar as derivadas laterais:

	$\displaystyle f^{\prime}_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\|h\|-\|0\|}{h}$		(3.92)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1,$		(3.93)
	$\displaystyle f^{\prime}_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\|h\|-\|0\|}{h}$		(3.94)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.95)

Como as derivadas laterais são diferentes, temos que $y=|x|$ não é derivável em $x=0$ . A Figura 3.6 contém os gráficos de $f(x)=|x|$ e sua derivada

f^{\prime}(x)=\begin{cases}-1&,x<0,\\ 1&,x>0\end{cases}

(3.96)

Observamos que $f^{\prime}(x)=\operatorname{sign}(x)$ (função sinal) para $x\neq 0$ .

Código 32: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Abs, diff

2x = Symbol('x', nonzero=True)

3f_prime = diff(Abs(x), x)

4print(f"Derivada: f' = {f_prime}")

Derivada: f' = x/Abs(x)

3.2.1 Diferenciabilidade e continuidade

Toda função $y=f(x)$ derivável em $x=x_{0}$ é contínua neste ponto. De fato, lembramos que $f$ é contínua em $x=x_{0}$ quando $x_{0}$ é um ponto de seu domínio e

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).

(3.97)

Fazendo a mudança de variável $h=x-x_{0}$ , isto é equivalente a

\lim_{h\to 0}f(x_{0}+h)=f(x_{0})

(3.98)

ou, ainda,

\lim_{h\to 0}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]=0.

(3.99)

Vamos mostrar que este é o caso quando $f$ é derivável em $x=x_{0}$ . Temos

	$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]=\lim_{h\to 0}\left[% f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]\cdot\frac{h}{h}$		(3.100)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\left[\cancelto{f^{\prime}(x_{0})}{% \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\right]\cdot h$		(3.101)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}f^{\prime}(x_{0})\cdot h$		(3.102)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(3.103)

Ou seja, de fato, se $f$ é derivável em $x=x_{0}$ , então $f$ é contínua em $x=x_{0}$ .

Observação 3.2.2.(Continuidade não implica diferenciabilidade)

A recíproca não é verdadeira, uma função $f$ ser contínua em um ponto $x=x_{0}$ não garante que ela seja derivável em $x=x_{0}$ . No Exemplo 3.2.3, vimos que a função valor absoluto $f(x)=|x|$ não derivável em $x=0$ , enquanto esta função é contínua em todo parte (consultemos, também, o Exemplo 2.6.2).

3.2.2 Derivadas de ordens mais altas

A derivada de uma função $y=f(x)$ em relação a $x$ é a função $y=f^{\prime}(x)$ . Quando esta é diferenciável, podemos calcular a derivada da derivada. Esta é conhecida como a segunda derivada de $f$ , denotamos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime% \prime}(x):=(f^{\prime}(x))^{\prime}

(3.104)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\mathrm% {d}^{2}f}{\mathrm{d}x^{2}}:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\mathrm{% d}f}{\mathrm{d}x}\right].

(3.105)

Exemplo 3.2.4.

Seja $f(x)=x^{3}$ . Então, a primeira derivada de $f$ é

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.106)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}$		(3.107)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}% }{h}$		(3.108)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}3x^{2}+\cancelto{0}{3xh}+\cancelto{0}{h% ^{2}}=3x^{2}.$		(3.109)

De posse da primeira derivada $f^{\prime}(x)=3x^{2}$ , podemos calcular a segunda derivada de $f$ , como segue:

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=[f^{\prime}(x)]^{\prime}$		(3.110)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h}$		(3.111)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}$		(3.112)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{3x^{2}+6xh+h^{2}-3x^{2}}{h}$		(3.113)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}6x+\cancelto{0}{h}=6x,$		(3.114)

i.e. $f^{\prime\prime}(x)=6x$ . A Figura 3.7 contem os gráficos de $f$ , $f^{\prime\prime}$ e $f^{\prime\prime\prime}$ .

Código 33: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, diff

2x = symbols('x')

3f = Lambda(x, x**3)

4fll = diff(f(x), x, 2)

5print(f"Segunda derivada: f'' = {fll}")

Segunda derivada: f'' = 6*x

Generalizando, quando existe, a $n$ -ésima derivada de uma função $y=f(x)$ , $n\geq 1$ , é recursivamente definida (e denotada) por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{(n)}(x):=[% f^{(n-1)}]^{\prime}

(3.115)

com $f^{(3)}\equiv f^{\prime\prime\prime}$ , $f^{(2)}\equiv f^{\prime\prime}$ , $f^{(1)}\equiv f^{\prime}$ e $f^{(0)}\equiv f$ . Ou, equivalentemente,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\mathrm% {d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}f(x):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{% \mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}x^{n-1}}f(x)\right]

(3.116)

Exemplo 3.2.5.

A terceira derivada de $f(x)=x^{3}$ em relação a $x$ é $f^{\prime\prime\prime}(x)=[f^{\prime\prime}(x)]^{\prime}$ . No exemplo anterior (Exemplo 3.2.4), calculamos $f^{\prime\prime}(x)=6x$ . Logo,

	$\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(x)=[6x]^{\prime}$		(3.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{6(x+h)-6x}{h}$		(3.118)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}6=6.$		(3.119)

A quarta derivada de $f(x)=x^{3}$ em relação a $x$ é $f^{(4)}(x)\equiv 0$ , bem como $f^{(5)}(x)\equiv 0$ . Verifique!

Código 34: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, diff

2x = symbols('x')

3f = Lambda(x, x**3)

4flll = diff(f(x), x, 3)

5print(f"f''' = {flll}")

f''' = 6

3.2.3 Exercícios resolvidos

ER 3.2.1.

Calcule a derivada da função $f(x)=x^{2}+2x+1$ em relação a $x$ .

Resolução.

Por definição da derivada, temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.120)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}+2(x+h)+1-(x^{2}+2x+1)}{h}$		(3.121)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h+1-x^{2}-2x-% 1}{h}$		(3.122)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^{2}+2h}{h}$		(3.123)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}2x+h+2=2x+2.$		(3.124)

ER 3.2.2.

Determine os pontos de diferenciabilidade da função $f(x)=|x-1|$ .

Resolução.

O gráfico da função $f(x)=|x-1|$ tem um bico no ponto $x=1$ (verifique!). Para valores de $x<1$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.125)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\|\overbrace{x+h-1}^{<0}\|-\|% \overbrace{x-1}^{<0}\|}{h}$		(3.126)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-x-h+1+x-1}{h}$		(3.127)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.128)

Para valores de $x>1$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.129)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\|\overbrace{x+h-1}^{>0}\|-\|% \overbrace{x-1}^{>0}\|}{h}$		(3.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-1-x+1}{h}$		(3.131)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.132)

Ou seja, temos que $f(x)=|x-1|$ é diferenciável para $x\neq 1$ . Agora, para $x=1$ , temos

$\displaystyle f^{\prime}_{-}(x)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$		(3.133)
$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\|\overbrace{h}^{<0}\|-\|1-1\|}{h}$		(3.134)
$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1$		(3.135)
$\displaystyle f^{\prime}_{+}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	(3.136)
$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\|\overbrace{h}^{>0}\|-\|1-1\|}{h}$		(3.137)
$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1$		(3.138)

Como $f^{\prime}_{-}(1)\neq f^{\prime}_{+}(1)$ , temos que $\nexists f^{\prime}(1)$ . Concluímos que $f(x)=|x-1|$ é diferenciável nos pontos $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

ER 3.2.3.

Calcule a segunda derivada em relação a $x$ da função

f(x)=x-x^{2}.

(3.140)

Resolução.

Começamos calculando a primeira derivada da função:

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-(x+h)^{2}-(x-x^{2})}{h}$		(3.142)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x^{2}-2xh-h^{2}-x+x^{2}}{h}$		(3.143)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}1-2x-\cancelto{0}{h}=1-2x.$		(3.144)

Então, calculamos a segunda derivada como segue

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=[f^{\prime}(x)]^{\prime}$		(3.145)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h}$		(3.146)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1-2(x+h)-(1-2x)}{h}$		(3.147)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}-2=-2.$		(3.148)

3.2.4 Exercícios

E. 3.2.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ de cada uma das seguintes funções:

a)

$f(x)=2$
b)

$g(x)=-3$
c)

$h(x)=\sqrt{e}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 3.2.2.

Calcule a derivada em relação a $x$ de cada uma das seguintes funções:

a)

$f(x)=2x$
b)

$g(x)=-3x$
c)

$h(x)=\sqrt{e}x$

a) $2$ ; b) $-3$ ; c) $\sqrt{e}$

E. 3.2.3.

Calcule a derivada em relação a $x$ da função

f(x)=x^{2}-2x+1.

(3.149)

$f^{\prime}(x)=2x-2$

E. 3.2.4.

Determine os pontos de diferenciabilidade da função $f(x)=\sqrt{x-1}$ .

$(1,\infty)$

E. 3.2.5.

Considerando

f(x)=x^{2}-x^{3},

(3.150)

calcule:

a)

$f^{\prime}(x)$
b)

$f^{\prime\prime}(x)$
c)

$f^{\prime\prime\prime}(x)$
d)

$f^{(4)}$
e)

$f^{(1001)}(x)$

a) $2x-3x^{2}$ ; b) $2-6x$ ; c) $-6$ ; d) $0$ ; e) $0$

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3.2 Função derivada

A derivada de uma função $f$ em relação à variável $x$ é a função $\displaystyle f^{\prime}=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$ cujo valor em $x$ é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime}(x)% =\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},

(3.73)

Exemplo 3.2.1.

A derivada de $f(x)=x^{2}$ é

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.74)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$		(3.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}$		(3.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}2x+h=2x.$		(3.77)

Observamos que este é o caso de uma função derivável em toda parte. A Figura 3.4 mostra os gráfico de $f$ e de sua derivada.

Código 31: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Lambda, diff

2x = Symbol('x')

3f = Lambda(x, x**2)

4f_prime = diff(f(x), x)

5print(f"Derivada: f' = {f_prime}")

Derivada: f' = 2*x

Observação 3.2.1.(Derivadas laterais)

A derivada lateral à direita (à esquerda) de uma função $f$ em um ponto $x$ é definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f_{\pm}^{% \prime}(x)=\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x^{\pm}}=\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(x+% h)-f(x)}{h}.

(3.78)

Desta forma, no caso de pontos extremos do domínio de uma função, empregamos a derivada lateral correspondente.

Exemplo 3.2.2.(Derivada da raiz quadrada em zero)

Vamos calcular a derivada de $f(x)=\sqrt{x}$ . Para $x=0$ , só faz sentido calcular a derivada lateral à direta:

	$\displaystyle f^{\prime}_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}$		(3.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h}}{h}$		(3.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{1}{\cancelto{0^{+}}{\sqrt{h}}% }=+\infty.$		(3.81)

Ou seja, $f(x)=\sqrt{x}$ não é derivável em $x=0$ . Agora, para $x>0$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$		(3.82)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac% {\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$		(3.83)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$		(3.84)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$		(3.85)

A Figura 3.5 contém os gráficos desta função e de sua derivada.

Exemplo 3.2.3.(Diferenciabilidade do valor absoluto)

A função valor absoluto é derivável para todo $x\neq 0$ e não é derivável em $x=0$ . De fato, para $x<0$ temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\|x+h\|-\|x\|}{h}$		(3.86)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-(x+h)+x}{h}$		(3.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.88)

Analogamente, para $x>0$ temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\|x+h\|-\|x\|}{h}$		(3.89)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}$		(3.90)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.91)

Agora, para $x=0$ , devemos verificar as derivadas laterais:

	$\displaystyle f^{\prime}_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\|h\|-\|0\|}{h}$		(3.92)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1,$		(3.93)
	$\displaystyle f^{\prime}_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\|h\|-\|0\|}{h}$		(3.94)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.95)

Como as derivadas laterais são diferentes, temos que $y=|x|$ não é derivável em $x=0$ . A Figura 3.6 contém os gráficos de $f(x)=|x|$ e sua derivada

f^{\prime}(x)=\begin{cases}-1&,x<0,\\ 1&,x>0\end{cases}

(3.96)

Observamos que $f^{\prime}(x)=\operatorname{sign}(x)$ (função sinal) para $x\neq 0$ .

Código 32: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Abs, diff

2x = Symbol('x', nonzero=True)

3f_prime = diff(Abs(x), x)

4print(f"Derivada: f' = {f_prime}")

Derivada: f' = x/Abs(x)

3.2.1 Diferenciabilidade e continuidade

Toda função $y=f(x)$ derivável em $x=x_{0}$ é contínua neste ponto. De fato, lembramos que $f$ é contínua em $x=x_{0}$ quando $x_{0}$ é um ponto de seu domínio e

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).

(3.97)

Fazendo a mudança de variável $h=x-x_{0}$ , isto é equivalente a

\lim_{h\to 0}f(x_{0}+h)=f(x_{0})

(3.98)

ou, ainda,

\lim_{h\to 0}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]=0.

(3.99)

Vamos mostrar que este é o caso quando $f$ é derivável em $x=x_{0}$ . Temos

	$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]=\lim_{h\to 0}\left[% f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]\cdot\frac{h}{h}$		(3.100)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\left[\cancelto{f^{\prime}(x_{0})}{% \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\right]\cdot h$		(3.101)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}f^{\prime}(x_{0})\cdot h$		(3.102)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(3.103)

Ou seja, de fato, se $f$ é derivável em $x=x_{0}$ , então $f$ é contínua em $x=x_{0}$ .

Observação 3.2.2.(Continuidade não implica diferenciabilidade)

3.2.2 Derivadas de ordens mais altas

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime% \prime}(x):=(f^{\prime}(x))^{\prime}

(3.104)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\mathrm% {d}^{2}f}{\mathrm{d}x^{2}}:=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{\mathrm{% d}f}{\mathrm{d}x}\right].

(3.105)

Exemplo 3.2.4.

Seja $f(x)=x^{3}$ . Então, a primeira derivada de $f$ é

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.106)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}$		(3.107)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}% }{h}$		(3.108)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}3x^{2}+\cancelto{0}{3xh}+\cancelto{0}{h% ^{2}}=3x^{2}.$		(3.109)

De posse da primeira derivada $f^{\prime}(x)=3x^{2}$ , podemos calcular a segunda derivada de $f$ , como segue:

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=[f^{\prime}(x)]^{\prime}$		(3.110)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h}$		(3.111)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}$		(3.112)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{3x^{2}+6xh+h^{2}-3x^{2}}{h}$		(3.113)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}6x+\cancelto{0}{h}=6x,$		(3.114)

i.e. $f^{\prime\prime}(x)=6x$ . A Figura 3.7 contem os gráficos de $f$ , $f^{\prime\prime}$ e $f^{\prime\prime\prime}$ .

Código 33: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, diff

2x = symbols('x')

3f = Lambda(x, x**3)

4fll = diff(f(x), x, 2)

5print(f"Segunda derivada: f'' = {fll}")

Segunda derivada: f'' = 6*x

Generalizando, quando existe, a $n$ -ésima derivada de uma função $y=f(x)$ , $n\geq 1$ , é recursivamente definida (e denotada) por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{(n)}(x):=[% f^{(n-1)}]^{\prime}

(3.115)

com $f^{(3)}\equiv f^{\prime\prime\prime}$ , $f^{(2)}\equiv f^{\prime\prime}$ , $f^{(1)}\equiv f^{\prime}$ e $f^{(0)}\equiv f$ . Ou, equivalentemente,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\mathrm% {d}^{n}}{\mathrm{d}x^{n}}f(x):=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\frac{% \mathrm{d}^{n-1}}{\mathrm{d}x^{n-1}}f(x)\right]

(3.116)

Exemplo 3.2.5.

A terceira derivada de $f(x)=x^{3}$ em relação a $x$ é $f^{\prime\prime\prime}(x)=[f^{\prime\prime}(x)]^{\prime}$ . No exemplo anterior (Exemplo 3.2.4), calculamos $f^{\prime\prime}(x)=6x$ . Logo,

	$\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(x)=[6x]^{\prime}$		(3.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{6(x+h)-6x}{h}$		(3.118)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}6=6.$		(3.119)

A quarta derivada de $f(x)=x^{3}$ em relação a $x$ é $f^{(4)}(x)\equiv 0$ , bem como $f^{(5)}(x)\equiv 0$ . Verifique!

Código 34: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, diff

2x = symbols('x')

3f = Lambda(x, x**3)

4flll = diff(f(x), x, 3)

5print(f"f''' = {flll}")

f''' = 6

3.2.3 Exercícios resolvidos

ER 3.2.1.

Calcule a derivada da função $f(x)=x^{2}+2x+1$ em relação a $x$ .

Resolução.

Por definição da derivada, temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.120)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}+2(x+h)+1-(x^{2}+2x+1)}{h}$		(3.121)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h+1-x^{2}-2x-% 1}{h}$		(3.122)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^{2}+2h}{h}$		(3.123)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}2x+h+2=2x+2.$		(3.124)

ER 3.2.2.

Determine os pontos de diferenciabilidade da função $f(x)=|x-1|$ .

Resolução.

O gráfico da função $f(x)=|x-1|$ tem um bico no ponto $x=1$ (verifique!). Para valores de $x<1$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.125)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\|\overbrace{x+h-1}^{<0}\|-\|% \overbrace{x-1}^{<0}\|}{h}$		(3.126)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-x-h+1+x-1}{h}$		(3.127)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.128)

Para valores de $x>1$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.129)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\|\overbrace{x+h-1}^{>0}\|-\|% \overbrace{x-1}^{>0}\|}{h}$		(3.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-1-x+1}{h}$		(3.131)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.132)

Ou seja, temos que $f(x)=|x-1|$ é diferenciável para $x\neq 1$ . Agora, para $x=1$ , temos

$\displaystyle f^{\prime}_{-}(x)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$		(3.133)
$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\|\overbrace{h}^{<0}\|-\|1-1\|}{h}$		(3.134)
$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1$		(3.135)
$\displaystyle f^{\prime}_{+}(x)$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$	(3.136)
$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\|\overbrace{h}^{>0}\|-\|1-1\|}{h}$		(3.137)
$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1$		(3.138)

Como $f^{\prime}_{-}(1)\neq f^{\prime}_{+}(1)$ , temos que $\nexists f^{\prime}(1)$ . Concluímos que $f(x)=|x-1|$ é diferenciável nos pontos $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

ER 3.2.3.

Calcule a segunda derivada em relação a $x$ da função

f(x)=x-x^{2}.

(3.140)

Resolução.

Começamos calculando a primeira derivada da função:

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-(x+h)^{2}-(x-x^{2})}{h}$		(3.142)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x^{2}-2xh-h^{2}-x+x^{2}}{h}$		(3.143)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}1-2x-\cancelto{0}{h}=1-2x.$		(3.144)

Então, calculamos a segunda derivada como segue

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=[f^{\prime}(x)]^{\prime}$		(3.145)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h}$		(3.146)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1-2(x+h)-(1-2x)}{h}$		(3.147)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}-2=-2.$		(3.148)

3.2.4 Exercícios

E. 3.2.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ de cada uma das seguintes funções:

a)

$f(x)=2$
b)

$g(x)=-3$
c)

$h(x)=\sqrt{e}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 3.2.2.

Calcule a derivada em relação a $x$ de cada uma das seguintes funções:

a)

$f(x)=2x$
b)

$g(x)=-3x$
c)

$h(x)=\sqrt{e}x$

a) $2$ ; b) $-3$ ; c) $\sqrt{e}$

E. 3.2.3.

Calcule a derivada em relação a $x$ da função

f(x)=x^{2}-2x+1.

(3.149)

$f^{\prime}(x)=2x-2$

E. 3.2.4.

Determine os pontos de diferenciabilidade da função $f(x)=\sqrt{x-1}$ .

$(1,\infty)$

E. 3.2.5.

Considerando

f(x)=x^{2}-x^{3},

(3.150)

calcule:

a)

$f^{\prime}(x)$
b)

$f^{\prime\prime}(x)$
c)

$f^{\prime\prime\prime}(x)$
d)

$f^{(4)}$
e)

$f^{(1001)}(x)$

a) $2x-3x^{2}$ ; b) $2-6x$ ; c) $-6$ ; d) $0$ ; e) $0$

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Pedro H A Konzen

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