Cálculo I

3 Derivadas 3.1 Derivada no ponto 3.3 Derivada de funções constante, identidade e potência

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3.2 Função derivada

A derivada de uma função $f$ em relação à variável $x$ é a função $\displaystyle f^{\prime}=\frac{df}{dx}$ cujo valor em $x$ é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime}(x)% =\frac{df}{dx}=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h},

(3.74)

quando este limite existe. Dizemos que $f$ é derivável (ou diferenciável) em um ponto $x$ de seu domínio, quando o limite acima (3.74) existe. Se isso ocorre para todo número real $x$ , dizemos que $f$ é derivável em toda parte.

Exemplo 3.2.1.

A derivada de $f(x)=x^{2}$ é

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.75)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}-x^{2}}{h}$		(3.76)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}$		(3.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}2x+h=2x.$		(3.78)

Observamos que este é o caso de uma função derivável em toda parte. A Figura 3.4 mostra os gráfico de $f$ e de sua derivada.

Refer to caption — Figura 3.4: Gráficos da função $f(x)=x^{2}$ e de sua derivada $f^{\prime}(x)=2x$ .

Código 31: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Lambda, diff

2x = Symbol('x')

3f = Lambda(x, x**2)

4f_prime = diff(f(x), x)

5print(f"Derivada: f' = {f_prime}")

Derivada: f' = 2*x

Observação 3.2.1.(Derivadas laterais)

A derivada lateral à direita (à esquerda) de uma função $f$ em um ponto $x$ é definida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f_{\pm}^{% \prime}(x)=\frac{df}{dx^{\pm}}=\lim_{h\to 0^{\pm}}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}.

(3.79)

Desta forma, no caso de pontos extremos do domínio de uma função, empregamos a derivada lateral correspondente.

Exemplo 3.2.2.(Derivada da raiz quadrada em zero)

Vamos calcular a derivada de $f(x)=\sqrt{x}$ . Para $x=0$ , só faz sentido calcular a derivada lateral à direta:

	$\displaystyle f^{\prime}_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{0+h}-\sqrt{0}}{h}$		(3.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\sqrt{h}}{h}$		(3.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{1}{\cancelto{0^{+}}{\sqrt{h}}% }=+\infty.$		(3.82)

Ou seja, $f(x)=\sqrt{x}$ não é derivável em $x=0$ . Agora, para $x>0$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}$		(3.83)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\sqrt{x+h}-\sqrt{x}}{h}\cdot\frac% {\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}{\sqrt{x+h}+\sqrt{x}}$		(3.84)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h(\sqrt{x+h}+\sqrt{x})}$		(3.85)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$		(3.86)

A Figura 3.5 contém os gráficos desta função e de sua derivada.

Exemplo 3.2.3.(Diferenciabilidade do valor absoluto)

A função valor absoluto é derivável para todo $x\neq 0$ e não é derivável em $x=0$ . De fato, para $x<0$ temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\|x+h\|-\|x\|}{h}$		(3.87)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-(x+h)+x}{h}$		(3.88)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.89)

Analogamente, para $x>0$ temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{\|x+h\|-\|x\|}{h}$		(3.90)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x}{h}$		(3.91)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.92)

Agora, para $x=0$ , devemos verificar as derivadas laterais:

	$\displaystyle f^{\prime}_{+}(0)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\|h\|-\|0\|}{h}$		(3.93)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1,$		(3.94)
	$\displaystyle f^{\prime}_{-}(0)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\|h\|-\|0\|}{h}$		(3.95)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.96)

Como as derivadas laterais são diferentes, temos que $y=|x|$ não é derivável em $x=0$ . A Figura 3.6 contém os gráficos de $f(x)=|x|$ e sua derivada

f^{\prime}(x)=\begin{cases}-1&,x<0,\\ 1&,x>0\end{cases}

(3.97)

Observamos que $f^{\prime}(x)=\operatorname{sign}(x)$ (função sinal) para $x\neq 0$ .

Código 32: Python

⬇

1from sympy import Symbol, Abs, diff

2x = Symbol('x', nonzero=True)

3f_prime = diff(Abs(x), x)

4print(f"Derivada: f' = {f_prime}")

Derivada: f' = x/Abs(x)

3.2.1 Diferenciabilidade e continuidade

Toda função $y=f(x)$ derivável em $x=x_{0}$ é contínua neste ponto. De fato, lembramos que $f$ é contínua em $x=x_{0}$ quando $x_{0}$ é um ponto de seu domínio e

\lim_{x\to x_{0}}f(x)=f(x_{0}).

(3.98)

Fazendo a mudança de variável $h=x-x_{0}$ , isto é equivalente a

\lim_{h\to 0}f(x_{0}+h)=f(x_{0})

(3.99)

ou, ainda,

\lim_{h\to 0}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]=0.

(3.100)

Vamos mostrar que este é o caso quando $f$ é derivável em $x=x_{0}$ . Temos

	$\displaystyle\lim_{h\to 0}\left[f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]=\lim_{h\to 0}\left[% f(x_{0}+h)-f(x_{0})\right]\cdot\frac{h}{h}$		(3.101)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\left[\cancelto{f^{\prime}(x_{0})}{% \frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}}\right]\cdot h$		(3.102)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}f^{\prime}(x_{0})\cdot h$		(3.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=0.$		(3.104)

Ou seja, de fato, se $f$ é derivável em $x=x_{0}$ , então $f$ é contínua em $x=x_{0}$ .

Observação 3.2.2.(Continuidade não implica diferenciabilidade)

A recíproca não é verdadeira, uma função $f$ ser contínua em um ponto $x=x_{0}$ não garante que ela seja derivável em $x=x_{0}$ . No Exemplo 3.2.3, vimos que a função valor absoluto $f(x)=|x|$ não derivável em $x=0$ , enquanto esta função é contínua em todo parte (consultemos, também, o Exemplo 2.6.2).

3.2.2 Derivadas de ordens mais altas

A derivada de uma função $y=f(x)$ em relação a $x$ é a função $y=f^{\prime}(x)$ . Quando esta é diferenciável, podemos calcular a derivada da derivada. Esta é conhecida como a segunda derivada de $f$ , denotamos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{\prime% \prime}(x):=(f^{\prime}(x))^{\prime}

(3.105)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{d^{2}f}% {dx^{2}}:=\frac{d}{dx}\left[\frac{df}{dx}\right].

(3.106)

Exemplo 3.2.4.

Seja $f(x)=x^{3}$ . Então, a primeira derivada de $f$ é

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.107)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{3}-x^{3}}{h}$		(3.108)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x^{3}+3x^{2}h+3xh^{2}+h^{3}-x^{3}% }{h}$		(3.109)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}3x^{2}+\cancelto{0}{3xh}+\cancelto{0}{h% ^{2}}=3x^{2}.$		(3.110)

De posse da primeira derivada $f^{\prime}(x)=3x^{2}$ , podemos calcular a segunda derivada de $f$ , como segue:

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=[f^{\prime}(x)]^{\prime}$		(3.111)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h}$		(3.112)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{3(x+h)^{2}-3x^{2}}{h}$		(3.113)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{3x^{2}+6xh+h^{2}-3x^{2}}{h}$		(3.114)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}6x+\cancelto{0}{h}=6x,$		(3.115)

i.e. $f^{\prime\prime}(x)=6x$ . A Figura 3.7 contem os gráficos de $f$ , $f^{\prime\prime}$ e $f^{\prime\prime\prime}$ .

Código 33: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, diff

2x = symbols('x')

3f = Lambda(x, x**3)

4fll = diff(f(x), x, 2)

5print(f"Segunda derivada: f'' = {fll}")

Segunda derivada: f'' = 6*x

Generalizando, quando existe, a $n$ -ésima derivada de uma função $y=f(x)$ , $n\geq 1$ , é recursivamente definida (e denotada) por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}f^{(n)}(x):=[% f^{(n-1)}]^{\prime}

(3.116)

com $f^{(3)}\equiv f^{\prime\prime\prime}$ , $f^{(2)}\equiv f^{\prime\prime}$ , $f^{(1)}\equiv f^{\prime}$ e $f^{(0)}\equiv f$ . Ou, equivalentemente,

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{d^{n}}{% dx^{n}}f(x):=\frac{d}{dx}\left[\frac{d^{n-1}}{dx^{n-1}}f(x)\right]

(3.117)

Exemplo 3.2.5.

A terceira derivada de $f(x)=x^{3}$ em relação a $x$ é $f^{\prime\prime\prime}(x)=[f^{\prime\prime}(x)]^{\prime}$ . No exemplo anterior (Exemplo 3.2.4), calculamos $f^{\prime\prime}(x)=6x$ . Logo,

	$\displaystyle f^{\prime\prime\prime}(x)=[6x]^{\prime}$		(3.118)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{6(x+h)-6x}{h}$		(3.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}6=6.$		(3.120)

A quarta derivada de $f(x)=x^{3}$ em relação a $x$ é $f^{(4)}(x)\equiv 0$ , bem como $f^{(5)}(x)\equiv 0$ . Verifique!

Código 34: Python

⬇

1from sympy import symbols, Lambda, diff

2x = symbols('x')

3f = Lambda(x, x**3)

4flll = diff(f(x), x, 3)

5print(f"f''' = {flll}")

f''' = 6

3.2.3 Exercícios resolvidos

ER 3.2.1.

Calcule a derivada da função $f(x)=x^{2}+2x+1$ em relação a $x$ .

Resolução.

Por definição da derivada, temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.121)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)^{2}+2(x+h)+1-(x^{2}+2x+1)}{h}$		(3.122)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x^{2}+2xh+h^{2}+2x+2h+1-x^{2}-2x-% 1}{h}$		(3.123)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{2xh+h^{2}+2h}{h}$		(3.124)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}2x+h+2=2x+2.$		(3.125)

ER 3.2.2.

Determine os pontos de diferenciabilidade da função $f(x)=|x-1|$ .

Resolução.

O gráfico da função $f(x)=|x-1|$ tem um bico no ponto $x=1$ (verifique!). Para valores de $x<1$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.126)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\|\overbrace{x+h-1}^{<0}\|-\|% \overbrace{x-1}^{<0}\|}{h}$		(3.127)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-x-h+1+x-1}{h}$		(3.128)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{-h}{h}=-1.$		(3.129)

Para valores de $x>1$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{\|\overbrace{x+h-1}^{>0}\|-\|% \overbrace{x-1}^{>0}\|}{h}$		(3.131)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-1-x+1}{h}$		(3.132)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{h}{h}=1.$		(3.133)

Ou seja, temos que $f(x)=|x-1|$ é diferenciável para $x\neq 1$ . Agora, para $x=1$ , temos

	$\displaystyle f^{\prime}_{-}(x)=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$		(3.134)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{\|\overbrace{h}^{<0}\|-\|1-1\|}{h}$		(3.135)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{-}}\frac{-h}{h}=-1$		(3.136)
	$\displaystyle f^{\prime}_{+}(x)=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{f(1+h)-f(1)}{h}$		(3.137)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{\|\overbrace{h}^{>0}\|-\|1-1\|}{h}$		(3.138)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}\frac{h}{h}=1$		(3.139)

Como $f^{\prime}_{-}(1)\neq f^{\prime}_{+}(1)$ , temos que $\nexists f^{\prime}(1)$ . Concluímos que $f(x)=|x-1|$ é diferenciável nos pontos $\mathbb{R}\setminus\{1\}$ .

ER 3.2.3.

Calcule a segunda derivada em relação a $x$ da função

f(x)=x-x^{2}.

(3.141)

Resolução.

Começamos calculando a primeira derivada da função:

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$		(3.142)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{(x+h)-(x+h)^{2}-(x-x^{2})}{h}$		(3.143)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{x+h-x^{2}-2xh-h^{2}-x+x^{2}}{h}$		(3.144)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}1-2x-\cancelto{0}{h}=1-2x.$		(3.145)

Então, calculamos a segunda derivada como segue

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=[f^{\prime}(x)]^{\prime}$		(3.146)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{f^{\prime}(x+h)-f^{\prime}(x)}{h}$		(3.147)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}\frac{1-2(x+h)-(1-2x)}{h}$		(3.148)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0}-2=-2.$		(3.149)

3.2.4 Exercícios

E. 3.2.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ de cada uma das seguintes funções:

a)

$f(x)=2$
b)

$g(x)=-3$
c)

$h(x)=\sqrt{e}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 3.2.2.

Calcule a derivada em relação a $x$ de cada uma das seguintes funções:

a)

$f(x)=2x$
b)

$g(x)=-3x$
c)

$h(x)=\sqrt{e}x$

a) $2$ ; b) $-3$ ; c) $\sqrt{e}$

E. 3.2.3.

Calcule a derivada em relação a $x$ da função

f(x)=x^{2}-2x+1.

(3.150)

$f^{\prime}(x)=2x-2$

E. 3.2.4.

Determine os pontos de diferenciabilidade da função $f(x)=\sqrt{x-1}$ .

$(1,\infty)$

E. 3.2.5.

Considerando

f(x)=x^{2}-x^{3},

(3.151)

calcule:

a)

$f^{\prime}(x)$
b)

$f^{\prime\prime}(x)$
c)

$f^{\prime\prime\prime}(x)$
d)

$f^{(4)}$
e)

$f^{(1001)}(x)$

a) $2x-3x^{2}$ ; b) $2-6x$ ; c) $-6$ ; d) $0$ ; e) $0$

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Cálculo I

3.2 Função derivada

Exemplo 3.2.1.

Observação 3.2.1.(Derivadas laterais)

Exemplo 3.2.2.(Derivada da raiz quadrada em zero)

Exemplo 3.2.3.(Diferenciabilidade do valor absoluto)

3.2.1 Diferenciabilidade e continuidade

Observação 3.2.2.(Continuidade não implica diferenciabilidade)

3.2.2 Derivadas de ordens mais altas

Exemplo 3.2.4.

Exemplo 3.2.5.

3.2.3 Exercícios resolvidos

ER 3.2.1.

Resolução.

ER 3.2.2.

Resolução.

ER 3.2.3.

Resolução.

3.2.4 Exercícios

E. 3.2.1.

E. 3.2.2.

E. 3.2.3.

E. 3.2.4.

E. 3.2.5.

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