Cálculo I Colabore! 
3.2  Função derivada 
A derivada  de uma função f x f ′ = d  f d  x x  
f ′  ( x ) = d  f d  x = lim h → 0 f  ( x + h ) − f  ( x ) h , (3.73)  
quando este limite existe. Dizemos que f derivável  (ou diferenciável ) em um ponto x   (3.73 existe . Se isso ocorre para todo número real x f 
 
Exemplo 3.2.1.
 
A derivada de f  ( x ) = x 2 
f ′  ( x ) = lim h → 0 f  ( x + h ) − f  ( x ) h (3.74)  
= lim h → 0 ( x + h ) 2 − x 2 h (3.75)  
= lim h → 0 x 2 + 2  x  h + h 2 − x 2 h (3.76)  
= lim h → 0 2 x + h = 2 x . (3.77)  
Observamos que este é o caso de uma função derivável em toda parte. A Figura 3.4 f 
 
Figura 3.4 : Gráficos da função f  ( x ) = x 2 f ′  ( x ) = 2  x  
Código 31:  Python 
1 from   sympy   import   Symbol ,   Lambda ,   diff 
2 x   =   Symbol ( 'x' ) 
3 f   =   Lambda ( x ,   x **2) 
4 f_prime   =   diff ( f ( x ),   x ) 
5 print ( f "Derivada:  f'  =  {f_prime}" ) 
 
 
 
 
Observação 3.2.1.(Derivadas laterais) 
 
A derivada lateral  à direita (à esquerda) de uma função f x 
f ± ′  ( x ) = d  f d  x ± = lim h → 0 ± f  ( x + h ) − f  ( x ) h . (3.78)  
Desta forma, no caso de pontos extremos do domínio de uma função, empregamos a derivada lateral correspondente.
 
 
Exemplo 3.2.2.(Derivada da raiz quadrada em zero) 
 
Vamos calcular a derivada de f  ( x ) = x x = 0 
f + ′  ( 0 ) = lim h → 0 + 0 + h − 0 h (3.79)  
= lim h → 0 + h h (3.80)  
= lim h → 0 + 1 h 0 + = + ∞ . (3.81)  
Ou seja, f  ( x ) = x x = 0 x > 0 
f ′  ( x ) = lim h → 0 x + h − x h (3.82)  
= lim h → 0 x + h − x h ⋅ x + h + x x + h + x (3.83)  
= lim h → 0 x + h − x h  ( x + h + x ) (3.84)  
= 1 2  x . (3.85)  
A Figura 3.5 
 
Figura 3.5 : Gráficos da função f  ( x ) = x   
Exemplo 3.2.3.(Diferenciabilidade do valor absoluto) 
 
A função valor absoluto  é derivável para todo x ≠ 0 x = 0  . De fato, para x < 0 
f ′  ( x ) = lim h → 0 | x + h | − | x | h (3.86)  
= lim h → 0 − ( x + h ) + x h (3.87)  
= lim h → 0 − h h = − 1 . (3.88)  
Analogamente, para x > 0 
f ′  ( x ) = lim h → 0 | x + h | − | x | h (3.89)  
= lim h → 0 x + h − x h (3.90)  
= lim h → 0 h h = 1 . (3.91)  
Agora, para x = 0 
f + ′  ( 0 ) = lim h → 0 + | h | − | 0 | h (3.92)  
= lim h → 0 + h h = 1 , (3.93)  
f − ′  ( 0 ) = lim h → 0 − | h | − | 0 | h (3.94)  
= lim h → 0 − − h h = − 1 . (3.95)  
Como as derivadas laterais são diferentes, temos que y = | x | x = 0 3.6 f  ( x ) = | x | 
f ′  ( x ) = { − 1 , x < 0 , 1 , x > 0 (3.96)  
Observamos que f ′  ( x ) = sign  ( x ) x ≠ 0 
 
Figura 3.6 : Gráficos da função f  ( x ) = | x |  
Código 32:  Python 
1 from   sympy   import   Symbol ,   Abs ,   diff 
2 x   =   Symbol ( 'x' ,   nonzero = True ) 
3 f_prime   =   diff ( Abs ( x ),   x ) 
4 print ( f "Derivada:  f'  =  {f_prime}" ) 
 
 
 
 
3.2.1  Diferenciabilidade e continuidade 
Toda função y = f  ( x ) derivável  em x = x 0 contínua  neste ponto . De fato, lembramos que f x = x 0 x 0 
lim x → x 0 f  ( x ) = f  ( x 0 ) . (3.97)  
Fazendo a mudança de variável h = x − x 0 
lim h → 0 f  ( x 0 + h ) = f  ( x 0 ) (3.98)  
ou, ainda,
lim h → 0 [ f  ( x 0 + h ) − f  ( x 0 ) ] = 0 . (3.99)  
Vamos mostrar que este é o caso quando f x = x 0 
lim h → 0 [ f  ( x 0 + h ) − f  ( x 0 ) ] = lim h → 0 [ f  ( x 0 + h ) − f  ( x 0 ) ] ⋅ h h (3.100)  
= lim h → 0 [ f  ( x 0 + h ) − f  ( x 0 ) h f ′  ( x 0 ) ] ⋅ h (3.101)  
= lim h → 0 f ′ ( x 0 ) ⋅ h (3.102)  
= 0 . (3.103)  
Ou seja, de fato, se f x = x 0 f x = x 0 
 
Observação 3.2.2.(Continuidade não implica diferenciabilidade) 
 
A recíproca não é verdadeira, uma função f x = x 0 x = x 0 3.2.3 f  ( x ) = | x | x = 0 2.6.2 
 
 
 
3.2.2  Derivadas de ordens mais altas 
A derivada de uma função y = f  ( x ) x y = f ′  ( x ) a derivada da derivada . Esta é conhecida como a segunda derivada   de f 
f ′′  ( x ) := ( f ′  ( x ) ) ′ (3.104)  
ou
d 2  f d  x 2 := d d  x  [ d  f d  x ] . (3.105)  
 
Exemplo 3.2.4.
 
Seja f  ( x ) = x 3 f 
f ′  ( x ) = lim h → 0 f  ( x + h ) − f  ( x ) h (3.106)  
= lim h → 0 ( x + h ) 3 − x 3 h (3.107)  
= lim h → 0 x 3 + 3  x 2  h + 3  x  h 2 + h 3 − x 3 h (3.108)  
= lim h → 0 3 x 2 + 3  x  h 0 + h 2 0 = 3 x 2 . (3.109)  
De posse da primeira derivada f ′  ( x ) = 3  x 2 f 
f ′′  ( x ) = [ f ′  ( x ) ] ′ (3.110)  
= lim h → 0 f ′  ( x + h ) − f ′  ( x ) h (3.111)  
= lim h → 0 3  ( x + h ) 2 − 3  x 2 h (3.112)  
= lim h → 0 3  x 2 + 6  x  h + h 2 − 3  x 2 h (3.113)  
= lim h → 0 6 x + h 0 = 6 x , (3.114)  
i.e. f ′′  ( x ) = 6  x 3.7 f f ′′ f ′′′ 
 
Figura 3.7 : Gráficos de f  ( x ) = x 3  
Código 33:  Python 
1 from   sympy   import   symbols ,   Lambda ,   diff 
2 x   =   symbols ( 'x' ) 
3 f   =   Lambda ( x ,   x **3) 
4 fll   =   diff ( f ( x ),   x ,   2) 
5 print ( f "Segunda  derivada:  f''  =  {fll}" ) 
 
 
Segunda   derivada :   f ''   =   6* x 
 
 
 
 
Generalizando, quando existe, a n -ésima derivada de uma função  y = f  ( x ) n ≥ 1 
f ( n )  ( x ) := [ f ( n − 1 ) ] ′ (3.115)  
com f ( 3 ) ≡ f ′′′ f ( 2 ) ≡ f ′′ f ( 1 ) ≡ f ′ f ( 0 ) ≡ f 
d n d  x n  f  ( x ) := d d  x  [ d n − 1 d  x n − 1  f  ( x ) ] (3.116)  
 
Exemplo 3.2.5.
 
A terceira derivada de f  ( x ) = x 3 x f ′′′  ( x ) = [ f ′′  ( x ) ] ′ 3.2.4 f ′′  ( x ) = 6  x 
f ′′′  ( x ) = [ 6  x ] ′ (3.117)  
= lim h → 0 6  ( x + h ) − 6  x h (3.118)  
= lim h → 0 6 = 6 . (3.119)  
 
A quarta derivada de f  ( x ) = x 3 x f ( 4 )  ( x ) ≡ 0 f ( 5 )  ( x ) ≡ 0 
 
Código 34:  Python 
1 from   sympy   import   symbols ,   Lambda ,   diff 
2 x   =   symbols ( 'x' ) 
3 f   =   Lambda ( x ,   x **3) 
4 flll   =   diff ( f ( x ),   x ,   3) 
5 print ( f "f'''  =  {flll}" ) 
 
 
 
 
 
3.2.3  Exercícios resolvidos 
ER 3.2.1.
 
Calcule a derivada da função f  ( x ) = x 2 + 2  x + 1 x 
 
 
Resolução.
 
Por definição da derivada, temos
f ′  ( x ) = lim h → 0 f  ( x + h ) − f  ( x ) h (3.120)  
= lim h → 0 ( x + h ) 2 + 2  ( x + h ) + 1 − ( x 2 + 2  x + 1 ) h (3.121)  
= lim h → 0 x 2 + 2  x  h + h 2 + 2  x + 2  h + 1 − x 2 − 2  x − 1 h (3.122)  
= lim h → 0 2  x  h + h 2 + 2  h h (3.123)  
= lim h → 0 2 x + h + 2 = 2 x + 2 . (3.124)  
 
 
ER 3.2.2.
 
Determine os pontos de diferenciabilidade da função f  ( x ) = | x − 1 | 
 
 
Resolução.
 
O gráfico da função f  ( x ) = | x − 1 | x = 1 x < 1 
f ′  ( x ) = lim h → 0 f  ( x + h ) − f  ( x ) h (3.125)  
= lim h → 0 | x + h − 1 ⏞ < 0 | − | x − 1 ⏞ < 0 | h (3.126)  
= lim h → 0 − x − h + 1 + x − 1 h (3.127)  
= lim h → 0 − h h = − 1 . (3.128)  
Para valores de x > 1 
f ′  ( x ) = lim h → 0 f  ( x + h ) − f  ( x ) h (3.129)  
= lim h → 0 | x + h − 1 ⏞ > 0 | − | x − 1 ⏞ > 0 | h (3.130)  
= lim h → 0 x + h − 1 − x + 1 h (3.131)  
= lim h → 0 h h = 1 . (3.132)  
Ou seja, temos que f  ( x ) = | x − 1 | x ≠ 1 x = 1 
f − ′  ( x ) = lim h → 0 − f  ( 1 + h ) − f  ( 1 ) h (3.133)  
= lim h → 0 − | h ⏞ < 0 | − | 1 − 1 | h (3.134)  
= lim h → 0 − − h h = − 1 (3.135)  
f + ′  ( x ) = lim h → 0 + f  ( 1 + h ) − f  ( 1 ) h (3.136)  
= lim h → 0 + | h ⏞ > 0 | − | 1 − 1 | h (3.137)  
= lim h → 0 + h h = 1 (3.138)  
Como f − ′  ( 1 ) ≠ f + ′  ( 1 ) ∄  f ′  ( 1 ) f  ( x ) = | x − 1 | ℝ ∖ { 1 } 
 
 
ER 3.2.3.
 
Calcule a segunda derivada em relação a x 
 
 
Resolução.
 
Começamos calculando a primeira derivada da função:
f ′  ( x ) = lim h → 0 f  ( x + h ) − f  ( x ) h (3.141)  
= lim h → 0 ( x + h ) − ( x + h ) 2 − ( x − x 2 ) h (3.142)  
= lim h → 0 x + h − x 2 − 2  x  h − h 2 − x + x 2 h (3.143)  
= lim h → 0 1 − 2 x − h 0 = 1 − 2 x . (3.144)  
Então, calculamos a segunda derivada como segue
f ′′  ( x ) = [ f ′  ( x ) ] ′ (3.145)  
= lim h → 0 f ′  ( x + h ) − f ′  ( x ) h (3.146)  
= lim h → 0 1 − 2  ( x + h ) − ( 1 − 2  x ) h (3.147)  
= lim h → 0 − 2 = − 2 . (3.148)  
 
 
 
3.2.4  Exercícios 
E. 3.2.1.
 
Calcule a derivada em relação a x 
a)  
 
b)  
 
c)  
 
 
 
 
Resposta 
E. 3.2.2.
 
Calcule a derivada em relação a x 
a)  
 
b)  
 
c)  
 
 
 
 
Resposta 
E. 3.2.3.
 
Calcule a derivada em relação a x 
 
 
Resposta 
E. 3.2.4.
 
Determine os pontos de diferenciabilidade da função f  ( x ) = x − 1 
 
 
Resposta 
E. 3.2.5.
 
Considerando
calcule:
a)  
 
b)  
 
c)  
 
d)  
 
e)  
 
 
 
 
Resposta 
 
a) 2  x − 3  x 2 2 − 6  x − 6 0 0 
 
 
 
 
 
Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas! 
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