Seja . A regra de integração por substituição é
(4.222) |
De fato, se
(4.223) |
então, da regra da cadeira4444endnote: 44Consulte a Seção 2.7 para mais informações sobre a regra da cadeia., temos
(4.224) | ||||
(4.225) |
i.e. é primitiva de .
Vamos aplicar integração por substituição para calcular as seguintes integrais:
.
Escolhemos
(4.226) |
donde
(4.227) | |||
(4.228) |
Fazendo a substituição na integral, obtemos
Agora, substituindo de volta , concluímos que
(4.229) |
Escolhemos
(4.230) |
e calculamos
(4.231) | |||
(4.232) |
Substituindo na integral, obtemos
.
Escolhemos
(4.233) |
e calculamos
(4.234) |
Por substituição, obtemos
(4.235) | ||||
(4.236) | ||||
(4.237) |
Observe que ao escolhermos , sua derivada também precisa estar no integrando. Uma exceção é o caso em que é constante. Neste, podemos multiplicar o integrando por e usar a regra da multiplicação por escalar.
Vamos calcular
(4.238) |
Substituindo
(4.239) |
temos
(4.240) |
Por substituição, obtemos
(4.241) | ||||
(4.242) | ||||
(4.243) | ||||
(4.244) | ||||
(4.245) |
Outra forma equivalente de calcularmos, é observarmos que
(4.246) | |||
(4.247) |
Então, ao fazermos a substituição na integral original, obtemos
(4.248) | ||||
(4.249) | ||||
(4.250) | ||||
(4.251) |
Na Subseção 4.3.5, vimos que
(4.252) |
Agora, com a regra da substituição, temos
(4.253) | ||||
(4.254) |
com e . Tomando
(4.255) | |||
(4.256) |
Segue que
(4.257) | ||||
(4.258) | ||||
(4.259) | ||||
(4.260) | ||||
(4.261) | ||||
(4.262) |
Ou seja, concluímos que
(4.263) |
Estudamos os seguintes casos:
(4.264) |
(4.265) |
Escolhendo
(4.266) | |||
(4.267) |
Por substituição, obtemos
(4.268) | ||||
(4.269) | ||||
(4.270) | ||||
(4.271) | ||||
(4.272) |
(4.273) |
Por substituição, tomamos
(4.274) | |||
(4.275) |
segue
(4.276) | ||||
(4.277) | ||||
(4.278) | ||||
(4.279) |
Então, pelo Teorema Fundamental do Cálculo, concluímos que
(4.280) | ||||
(4.281) | ||||
(4.282) | ||||
(4.283) | ||||
(4.284) |
Na Seção 4.3.6, vimos que
(4.285) | |||
(4.286) |
Vamos calcular
(4.287) |
Usando a identidade trigonométrica
(4.288) |
temos
(4.289) | ||||
(4.290) |
Agora, tomando , temos , donde
(4.291) | ||||
(4.292) | ||||
(4.293) |
Retornando a 4.290, obtemos
(4.294) |
Agora, afirmamos que
(4.295) |
De fato, no que observamos que
(4.296) |
escolhemos
(4.297) | |||
(4.298) |
Então, por substituição, calculamos
(4.299) | ||||
(4.300) | ||||
(4.301) | ||||
(4.302) | ||||
(4.303) |
Vamos calcular
(4.304) |
Usando a regra de substituição, escolhemos
(4.305) | |||
(4.306) |
Fazendo a substituição e calculando, obtemos
(4.307) | ||||
(4.308) | ||||
(4.309) | ||||
(4.310) |
Com raciocínio análogo ao utilizado na integração da função tangente, obtemos4545endnote: 45Veja o Exercício 4.4.15.
(4.311) |
Agora, vamos mostrar que
(4.312) |
Observamos que
(4.313) | ||||
(4.314) |
Então, escolhendo
(4.315) |
temos, por substituição, que
(4.316) | ||||
(4.317) | ||||
(4.318) | ||||
(4.319) |
Vamos calcular
(4.320) |
Fazendo a substituição
(4.321) |
segue
(4.322) | ||||
(4.323) | ||||
(4.324) | ||||
(4.325) |
Com raciocínio análogo ao utilizado na integração da função secante, obtemos4646endnote: 46Veja o Exercício 4.4.17.
(4.326) |
A regra de substituição para integrais definidas é
(4.327) |
Vamos calcular
(4.328) |
Por substituição, escolhemos
(4.329) |
Logo,
(4.330) | ||||
(4.331) | ||||
(4.332) | ||||
(4.333) | ||||
(4.334) |
Alternativamente, podemos calcular a integral indefinida primeiramente e, então, usar o Teorema Fundamental do Cálculo com a primitiva obtida. Ou seja, temos
(4.335) | ||||
(4.336) | ||||
(4.337) | ||||
(4.338) |
Então, do Teorema Fundamental do Cálculo, temos
(4.339) | ||||
(4.340) | ||||
(4.341) |
como esperado.
(4.342) | |||
(4.343) | |||
(4.344) | |||
(4.345) | |||
(4.346) | |||
(4.347) | |||
(4.348) | |||
(4.349) | |||
(4.350) | |||
(4.351) | |||
(4.352) | |||
(4.353) |
Calcule
(4.354) |
Usamos a regra de integração por substituição
(4.355) |
Escolhemos
(4.356) |
e calculamos
(4.357) | |||
(4.358) |
Então, da fórmula, obtemos
(4.359) | ||||
(4.360) | ||||
(4.361) | ||||
(4.362) | ||||
(4.363) |
Calcule
(4.364) |
Fazendo a substituição
(4.365) | |||
(4.366) |
temos
(4.367) | ||||
(4.368) | ||||
(4.369) |
Calcule
(4.370) |
Vejamos as seguintes formas de calcular esta integral definida.
Solução 1: aplicando a regra de substituição em integrais definidas.
(4.371) |
Escolhendo, , temos . Daí, segue
(4.372) | ||||
(4.373) | ||||
(4.374) | ||||
(4.375) | ||||
(4.376) |
Solução 2: calculando uma primitiva em função de . Para obtermos uma primitiva em função de , calculamos a integral indefinida
(4.377) |
Como anteriormente, usamos a regra de substituição. Escolhendo , temos e, portanto
(4.378) | ||||
(4.379) | ||||
(4.380) | ||||
(4.381) | ||||
(4.382) |
Então, do teorema fundamental do cálculo, temos
(4.383) |
Calcule
(4.384) |
por integração direta.
por substituição.
Use o método da substituição para calcular as seguintes integrais:
a) ; b) ; c) ; d)
Calcule
a) ; b) ; c) ;
Calcule
a) ; b) ; c)
Calcule
a) ; b) ; c)
Calcule
(4.385) |
Calcule
(4.386) |
Calcule
(4.387) |
Calcule
a) ; b) ;
Calcule
(4.388) |
Calcule
(4.389) |
Calcule
(4.390) |
Calcule
(4.391) |
Calcule
(4.392) |
Use a regra da substituição para mostrar que
(4.393) |
Calcule
(4.394) |
Use o método da substituição para mostrar que
(4.395) |
Dica: Multiplique o numerador e o denominador por .
Calcule
(4.396) |
Dica: Complete o quadrado no denominador e então faça a substituição adequada.
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