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4 Integração 4.4 Integração por substituição 4.6 Integração por substituição trigonométrica

4.5 Integração por partes

Sejam $u=u(x)$ e $v=v(x)$ funções diferenciáveis, então da regra do produto para derivadas temos

\frac{d}{dx}(uv)=\frac{du}{dx}v+u\frac{dv}{dx}.

(4.397)

Integrando em ambos os lados, obtemos

\int\frac{d(uv)}{dx}dx=\int\frac{du}{dx}vdx+\int u\frac{dv}{dx}dx,

(4.398)

donde

uv=\int vdu+\int udv.

(4.399)

Daí, segue a fórmula de integração por partes

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int udv=uv-% \int vdu}.

(4.400)

Exemplo 4.5.1.

Vamos calcular

\int xe^{x}\,dx.

(4.401)

usando integração por partes. Escolhemos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u=x}$		(4.402)
	$\displaystyle\frac{du}{dx}=1$		(4.403)
	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}du=dx}$		(4.404)

	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}dv=e^{x}\,dx}$		(4.405)
	$\displaystyle\int dv=\int e^{x}\,dx$		(4.406)
	$\displaystyle{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0% }\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}v=e^{x}}.$		(4.407)

Observamos que no cálculo de $v$ , desprezamos a constante indeterminada. Então, da fórmula de integração por partes, temos

$\displaystyle\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}x}{% \color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}e^{x}\,dx}$	$\displaystyle=\int{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u}{% \color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}dv}$	(4.408)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}u}{% \color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}v}-\int{\color% [rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}v}{\color[rgb]% {0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke% {0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}du}$	(4.409)
	$\displaystyle=xe^{x}-\int e^{x}dx$	(4.410)
	$\displaystyle=xe^{x}-e^{x}+C.$	(4.411)

Verifique computando esta integral com Python+SymPy!

Em alguns casos, é possível fazer mais de uma escolha na aplicação da integração por partes.

4.5.1 A integral do logaritmo natural

Vamos calcular

\int\ln x\,dx.

(4.412)

Usando integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=\ln x$		(4.413)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(4.414)

	$\displaystyle dv=dx$		(4.415)
	$\displaystyle v=\int dx=x$		(4.416)

Pela fórmula de integração por partes, segue que

$\displaystyle\int\ln x\,dx$	$\displaystyle=\int u\,dv$	(4.417)
	$\displaystyle=uv-\int v\,du$	(4.418)
	$\displaystyle=x\ln(x)-\int x\frac{1}{x}\,dx$	(4.419)
	$\displaystyle=x\ln(x)-\int dx$	(4.420)
	$\displaystyle=x\ln(x)-x+C.$	(4.421)

Ou seja, concluímos que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int\ln x\,dx=% x\ln(x)-x+C}.

(4.422)

Exemplo 4.5.2.

Calculamos as seguintes integrais:

a)

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$

$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$ $\displaystyle=\left.x\ln(x)-x\right|_{1}^{e}$ (4.423)

$\displaystyle=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$ (4.424)

$\displaystyle=e\ln(e)-e+1$ (4.425)
b)

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$

Usando o método da substituição⁴⁷⁴⁷endnote: ⁴⁷Consulte a Seção 4.4 para mais informações sobre integração por substituição., escolhemos

$\displaystyle u=2x$ (4.426)

$\displaystyle\Rightarrow du=2\,dx.$ (4.427)

Fazendo a substituição e calculando, temos

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$ $\displaystyle=\int\ln(u)\frac{du}{2}$ (4.428)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$ (4.429)

$\displaystyle=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$ (4.430)

$\displaystyle=x\ln(2x)-x+C.$ (4.431)

Verifique as soluções com o Python+SymPy!

4.5.2 Integral definida

Sejam $u=u(x)$ e $v=v(x)$ funções diferenciáveis em $x$ . Segue que $du=u^{\prime}(x)\,dx$ e $dv=v^{\prime}(x)\,dx$ . Segue que a fórmula de integração por partes para integrais definidas é

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int_{x=a}^{b}% u\,dv=\left.uv\right|_{x=a}^{b}-\int_{x=a}^{b}v\,du}.

(4.432)

Exemplo 4.5.3.

Vamos calcular

\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx.

(4.433)

Para aplicar integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=x$		(4.434)
	$\displaystyle du=dx$		(4.435)

	$\displaystyle dv=e^{-x}\,dx$		(4.436)
	$\displaystyle v=-e^{-x}$		(4.437)

Segue da fórmula de integração por partes para integrais definidas que

$\displaystyle\int_{0}^{2}xe^{-x}\,dx$	$\displaystyle=\left.uv\right\|_{x=0}^{2}-\int_{x=0}^{2}e^{-x}\,dx$	(4.438)
	$\displaystyle=\left.-xe^{-x}\right\|_{0}^{2}+\int_{0}^{2}e^{-x}\,dx$	(4.439)
	$\displaystyle=-2e^{-2}+\left[-e^{-x}\right]_{0}^{2}$	(4.440)
	$\displaystyle=-3e^{-2}+1.$	(4.441)

Verifique computando com o Python+SymPy!

4.5.3 Tabela de integrais

	$\displaystyle\int k\cdot f(u)\,du=k\cdot\int f(u)\,du$		(4.442)
	$\displaystyle\int\left[f(u)\pm g(u)\right]\,du=\int f(u)\,du\pm\int g(u)\,du$		(4.443)
	$\displaystyle\int u^{r}\,du=\frac{u^{r+1}}{r+1}+C,\quad r\neq-1$		(4.444)
	$\displaystyle\int\frac{1}{u}\,du=\ln\|u\|+C$		(4.445)
	$\displaystyle\int e^{u}\,du=e^{u}+C$		(4.446)
	$\displaystyle\int a^{u}\,du=\frac{a^{u}}{\ln a}+C$		(4.447)
	$\displaystyle\int\ln u\,du=u\ln(u)-u+C$		(4.448)
	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(u)\,du=-\cos(u)+C$		(4.449)
	$\displaystyle\int\cos(u)\,du=\operatorname{sen}(u)+C$		(4.450)
	$\displaystyle\int\operatorname{tg}(u)\,du=\ln\|\sec(u)\|+C$		(4.451)
	$\displaystyle\int\operatorname{cotg}(u)\,du=\ln\|\operatorname{sen}(u)\|+C$		(4.452)
	$\displaystyle\int\sec(u)\,du=\ln\|\sec(u)+\operatorname{tg}(u)\|+C$		(4.453)
	$\displaystyle\int\operatorname{cossec}(u)\,du=-\ln\|\operatorname{cossec}(u)+% \operatorname{cotg}(u)\|+C$		(4.454)

4.5.4 Exercícios resolvidos

ER 4.5.1.

Calcule

\int x\ln x\,dx.

(4.455)

Solução.

Usamos a fórmula de integração por partes

\int udv=uv-\int vdu.

(4.456)

Para tanto, escolhemos

	$\displaystyle u=\ln x$		(4.457)
	$\displaystyle du=\frac{1}{x}\,dx$		(4.458)

	$\displaystyle dv=x\,dx$		(4.459)
	$\displaystyle v=\frac{x^{2}}{2}$		(4.460)

Segue que

$\displaystyle\int x\ln x\,dx$	$\displaystyle=\int udv$	(4.461)
	$\displaystyle=uv-\int v\,du$	(4.462)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\int\frac{x^{2}}{2}\frac{1}{x}\,dx$	(4.463)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\int x\,dx$	(4.464)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{1}{2}\frac{x^{2}}{2}+C$	(4.465)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}\ln x-\frac{x^{2}}{4}+C.$	(4.466)

Com o Python+SymPy, computamos este integral com os seguintes comandos:

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(x*log(x))

4 x**2*log(x)/2 - x**2/4

ER 4.5.2.

Calcule

\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx.

(4.467)

Solução.

Primeiramente, vamos calcular

\int xe^{-x}\,dx

(4.468)

Por integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=x$		(4.469)
	$\displaystyle du=dx$		(4.470)

	$\displaystyle dv=e^{x}\,dx$		(4.471)
	$\displaystyle v=e^{x}$		(4.472)

Segue que

$\displaystyle\int xe^{x}\,dx$	$\displaystyle=uv-\int v\,du$	(4.473)
	$\displaystyle=xe^{x}-\int e^{x}\,dx$	(4.474)
	$\displaystyle=xe^{x}-e^{x}+C$	(4.475)

Então, aplicamos o Teorema Fundamental do Cálculo como segue

$\displaystyle\int_{-1}^{1}xe^{x}\,dx$	$\displaystyle=\left.xe^{x}-e^{x}\right\|_{-1}^{1}$	(4.476)
	$\displaystyle=1\cdot e^{1}-e^{1}$	(4.477)
	$\displaystyle-(-1\cdot e^{-1}-e^{-1})$	(4.478)
	$\displaystyle=\frac{2}{e}$	(4.479)

Com o Python+sympy, computamos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(x*exp(x), (x, -1, 1))

4 2*exp(-1)

ER 4.5.3.

Calcule

\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx.

(4.480)

Solução.

Por integração por partes, escolhemos

	$\displaystyle u=e^{x}$		(4.481)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(4.482)

	$\displaystyle dv=\operatorname{sen}(x)\,dx$		(4.483)
	$\displaystyle v=-\cos(x)$		(4.484)

Então, segue que

	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx$	$\displaystyle=uv-\int v\,du$		(4.485)
		$\displaystyle=-e^{x}\cos(x)+{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}% \pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int e^{x}\cos(x)\,dx}$		(4.486)

Por sua vez, integramos por partes esta última, escolhendo

	$\displaystyle u=e^{x}$		(4.487)
	$\displaystyle du=e^{x}\,dx$		(4.488)

	$\displaystyle dv=\cos(x)\,dx$		(4.489)
	$\displaystyle v=\operatorname{sen}(x)$		(4.490)

Com isso, temos

	$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int e^{x}% \cos(x)\,dx}$	$\displaystyle=uv-\int v\,du$		(4.491)
		$\displaystyle=e^{x}\operatorname{sen}(x)-\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx$		(4.492)

Então, voltamos a (4.485) e obtemos

	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=-e^{x}\cos(x)+{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{% 0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}e^{x}\operatorname{sen}(x)-\int e^{x}% \operatorname{sen}(x)\,dx}$		(4.493)
	$\displaystyle 2\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=-e^{x}\cos(x)+e^{x}% \operatorname{sen}(x)$		(4.494)
	$\displaystyle\int e^{x}\operatorname{sen}(x)\,dx=\frac{1}{2}e^{x}\operatorname% {sen}(x)-\frac{1}{2}e^{x}\cos(x)+C$		(4.495)

Com o Python+SymPy, computamos esta integral com os seguintes códigos

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(exp(x)*sin(x))

4 exp(x)*sin(x)/2 - exp(x)*cos(x)/2

4.5.5 Exercícios

E. 4.5.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int(x-1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int x^{2}\ln(x)\,dx$

Resposta.

a) $\frac{2x-1}{4}e^{2x}+C$ ; b) $xe^{x}+C$ ; c) $\frac{x^{3}}{3}\ln(x)-\frac{x^{3}}{9}+C$

E. 4.5.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{1}xe^{2x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}(x+1)e^{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int x^{2}\ln(x)\,dx$

Resposta.

a) $\frac{1}{4}+\frac{e^{2}}{4}$ ; b) $2\ln 2$ ; c) $\frac{1}{9}+\frac{2}{9}e^{3}$

E. 4.5.3.

Calcule

\int\log_{2}(x)\,dx.

(4.496)

Resposta.

$\displaystyle\frac{x\ln(x)}{\log_{2}(x)}-\frac{x}{\log_{2}(x)}+C$

E. 4.5.4.

Calcule

\int_{-1}^{1}x^{2}e^{x}\,dx.

(4.497)

Resposta.

$-\frac{5}{e}+e$

E. 4.5.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x\operatorname{sen}(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int x\cos(x)\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle\operatorname{sen}(x)-x\cos(x)+C$ ; b) $\displaystyle\cos(x)+x\operatorname{sen}(x)+C$ ;

E. 4.5.6.

Calcule

a)

$\displaystyle\int x^{2}e^{x}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x^{2}\operatorname{sen}(x)\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle\left(x^{2}-2x+2\right)e^{x}+C$ ; b) $\displaystyle-x^{2}\cos(x)+2x\operatorname{sen}(x)+2\cos(x)+C$

E. 4.5.7.

Calcule

\int e^{x}\cos(x)\,dx.

(4.498)

Resposta.

$\displaystyle\frac{\operatorname{sen}(x)+\cos(x)}{2}e^{x}+C$

E. 4.5.8.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}x\operatorname{sen}(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{0}x\cos(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{2}\ln(x)\,dx$

Resposta.

a) $1$ ; b) $2$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{9}+\frac{2e^{3}}{9}$

E. 4.5.9.

Calcule

\int\sec^{3}(x)\,dx

(4.499)

Resposta.

$\displaystyle\frac{\sec(x)\operatorname{tg}(x)}{2}+\frac{1}{2}\ln|\sec(x)+% \operatorname{tg}(x)|+C$

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$\displaystyle\int_{1}^{e}\ln(x)\,dx$	$\displaystyle=\left.x\ln(x)-x\right\|_{1}^{e}$	(4.423)
	$\displaystyle=e\ln(e)-e-[1\cdot\ln(1)-1]$	(4.424)
	$\displaystyle=e\ln(e)-e+1$	(4.425)

	$\displaystyle u=2x$		(4.426)
	$\displaystyle\Rightarrow du=2\,dx.$		(4.427)

$\displaystyle\int\ln(2x)\,dx$	$\displaystyle=\int\ln(u)\frac{du}{2}$	(4.428)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\ln(u)\,du$	(4.429)
	$\displaystyle=\frac{u\ln(u)}{2}-\frac{u}{2}+C$	(4.430)
	$\displaystyle=x\ln(2x)-x+C.$	(4.431)