Colabore! Saiba mais screen_rotation

Ao navegar por este site , você concorda com a Política de Uso de Dados.

| | | | |

4 Integração 4.2 Propriedades de integração 4.4 Integração por substituição

4.3 Regras básicas de integração

Na Seção 4.2, definimos a integral indefinida por

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int f(x)\,dx=% F(x)+C,

(4.116)

onde $F$ é uma primitiva de $f$ , i.e. $F^{\prime}=f$ , e $C$ é uma constante indeterminada. Na sequência, vamos discutir sobre as regras básicas para o cálculo de integrais.

4.3.1 Integral de função potência

Com base na derivada de função potência³⁸³⁸endnote: ³⁸Consulte Subseção 2.3.3 sobre a derivada de função potência., podemos afirmar que

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int x^{r}\,dx% =\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,\quad r\neq-1}.

(4.117)

De fato, para $r\neq-1$ , temos

$\displaystyle F(x)$	$\displaystyle=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C$	(4.118)
$\displaystyle F^{\prime}(x)$	$\displaystyle=(r+1)\frac{x^{r}}{r+1}$	(4.119)
	$\displaystyle=x^{r}.$	(4.120)

Exemplo 4.3.1.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}+C.$ (4.121)
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}\,dx$ $\displaystyle=\int x^{-2}\,dx$ (4.122)

$\displaystyle=-x^{-1}+C$ (4.123)

$\displaystyle=-\frac{1}{x}+C.$ (4.124)

Verifique com o Python+SymPy!

Exemplo 4.3.2.

Vamos calcular

\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx.

(4.125)

Da regra da potência, temos

\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.

(4.126)

Logo, do Teorema Fundamental do Cálculo, temos

$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{2}\,dx$	$\displaystyle=\left.\frac{x^{3}}{3}\right\|_{-1}^{1}$	(4.127)
	$\displaystyle=\frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3}$	(4.128)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}+\frac{1}{3}=\frac{2}{3}.$	(4.129)

Verifique com o Python+SymPy!

4.3.2 Regra da multiplicação por constante

Seja $k$ uma constante. Então, temos a seguinte regra da multiplicação por constante

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int k\cdot f(% x)\,dx=k\cdot\int f(x)\,dx}

(4.130)

De fato, se $F$ é uma primitiva de $f$ , então pela regra da multiplicação por constante para derivadas³⁹³⁹endnote: ³⁹Consulte a Subseção 2.5.1 sobre a regra da multiplicação por constante para derivadas., temos

	$\displaystyle(k\cdot F)^{\prime}$	$\displaystyle=k\cdot F^{\prime}$		(4.131)
		$\displaystyle=k\cdot f,$		(4.132)

i.e. $k\cdot F$ é primitiva de $k\cdot f$ .

Exemplo 4.3.3.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int 2x\,dx$ $\displaystyle=2\int x\,dx$ (4.133)

$\displaystyle=2\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)$ (4.134)

$\displaystyle=x^{2}+2C$ (4.135)

$\displaystyle=x^{2}+C$ (4.136)

Aqui, fizemos um abuso de linguagem ao assumir $2C=C$ . Isso pode ser feito, pois $C$ denota uma constante indeterminada e, multiplicá-la por dois continua sendo indeterminada e constante. Vamos fazer este tipo de simplificação de notação várias vezes ao longo do texto.
b)

$\displaystyle\int\frac{1}{3}\sqrt{x}\,dx$ $\displaystyle=\frac{1}{3}\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$ (4.137)

$\displaystyle=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$ (4.138)

$\displaystyle=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$ (4.139)

$\displaystyle=\frac{2}{9}\sqrt{x^{3}}+C$ (4.140)
c)

$\displaystyle\int_{0}^{1}-x^{2}\,dx$ $\displaystyle=-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$ (4.141)

$\displaystyle=\int_{1}^{0}x^{2}\,dx$ (4.142)

$\displaystyle=\left.\frac{x^{3}}{3}\right|_{1}^{0}$ (4.143)

$\displaystyle=\frac{0^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}$ (4.144)

$\displaystyle=\frac{1}{3}$ (4.145)

Verifique com o Python+SymPy!

4.3.3 Regra da soma ou subtração

Se $f$ e $g$ são funções integráveis, então vale a seguinte regra da soma/subtração

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int\left[f(x)% \pm g(x)\right]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx.

(4.146)

De fato, sejam $F$ uma primitiva de $f$ e $G$ uma primitiva de $g$ . Temos

	$\displaystyle(F\pm G)^{\prime}$	$\displaystyle=F^{\prime}\pm G^{\prime}$		(4.147)
		$\displaystyle=f\pm g,$		(4.148)

i.e. $F\pm G$ é primitiva de $f\pm g$ .

Exemplo 4.3.4.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int x+1\,dx$ $\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int x\,% dx}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}\int dx}$ (4.149)

$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{x^% {2}}{2}+C_{1}}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}x+C_{2}}$ (4.150)

$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}+x+C$ (4.151)

Aqui, $C_{1}$ , $C_{2}$ e $C=C_{1}+C_{2}$ denotam constantes indeterminadas.
b)

$\displaystyle\int\sqrt{x}-x\,dx$ $\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int x^{% \frac{1}{2}}\,dx}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}\int x\,dx}$ (4.152)

$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{3}% {2}x^{\frac{3}{2}}}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb% }{1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}\frac{% x^{2}}{2}}+C$ (4.153)

$\displaystyle{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1% }\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int(2x^{2}+3% x-1)\,dx}$	$\displaystyle=\int\left[2x^{2}+(3x-1)\right]\,dx$	(4.154)
	$\displaystyle=\int 2x^{2}\,dx+\int 3x-1\,dx$	(4.155)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int 2x^% {2}\,dx-\int 3x\,dx-\int\,dx}$	(4.156)
	$\displaystyle=2\int x^{2}\,dx+3\int x\,dx-\int\,dx$	(4.157)
	$\displaystyle=\frac{2}{3}x^{3}+\frac{3}{2}x^{2}-x+C$	(4.158)

Exemplo 4.3.5.

Vamos calcular

\int_{0}^{1}x^{2}+1\,dx.

(4.159)

Temos

	$\displaystyle\int x^{2}+1\,dx$	$\displaystyle=\int x^{2}\,dx+\int\,dx$		(4.160)
		$\displaystyle=\frac{x^{3}}{3}+x+C.$		(4.161)

Agora, do Teorema Fundamental do Cálculo, temos

$\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}+1\,dx$	$\displaystyle=\left.\frac{x^{3}}{3}+x\right\|_{0}^{1}$	(4.162)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}+1-\left(\frac{0^{3}}{3}+0\right)$	(4.163)
	$\displaystyle=\frac{4}{3}.$	(4.164)

4.3.4 Integral de $x^{-1}$

Começamos lembrando que, para $x>0$ , temos⁴⁰⁴⁰endnote: ⁴⁰Consulte Subseção 2.4.3 sobre a derivada de função logarítmica.

\frac{d}{dx}\ln x=\frac{1}{x}

(4.165)

Agora, pela regra da cadeia⁴¹⁴¹endnote: ⁴¹Consulte Seção 2.7 sobre a regra da cadeia., para $x<0$ , temos

$\displaystyle\frac{d}{dx}\ln(-x)$	$\displaystyle=\frac{1}{-x}\cdot(-x)^{\prime}$	(4.166)
	$\displaystyle=-\frac{1}{x}\cdot(-1)$	(4.167)
	$\displaystyle=\frac{1}{x}$	(4.168)

Ou seja, temos que

\frac{d}{dx}\ln|x|=\frac{1}{x}

(4.169)

donde, concluímos que a integral de $x^{-1}$ é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int\frac{1}{x% }\,dx=\ln|x|+C

(4.170)

Exemplo 4.3.6.

Vamos calcular

\int_{1}^{e}x^{-1}\,dx.

(4.171)

Usando o Teorema Fundamental do Cálculo, temos

$\displaystyle\int_{1}^{e}x^{-1}\,dx$	$\displaystyle=\int_{1}^{e}\frac{1}{x}\,dx$	(4.172)
	$\displaystyle=\left.\ln\|x\|\right\|_{1}^{e}$	(4.173)
	$\displaystyle=\ln\|e\|-\ln\|1\|$	(4.174)
	$\displaystyle=1-0=1.$	(4.175)

Verifique computando com o Python+SymPy!

4.3.5 Integral da função exponencial natural

Da derivada da função exponencial natural⁴²⁴²endnote: ⁴²Consule Subseção 2.4.2 sobre a derivada da função exponencial., temos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int e^{x}\,dx% =e^{x}+C.

(4.176)

Exemplo 4.3.7.

Vamos estudar os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int e^{2+x}\,dx$ $\displaystyle=\int e^{2}e^{x}\,dx$ (4.177)

$\displaystyle=e^{2}\int e^{x}\,dx$ (4.178)

$\displaystyle=e^{2}e^{x}+C$ (4.179)

$\displaystyle=e^{2+x}+C$ (4.180)
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}e^{x}\,dx$ $\displaystyle=\left.e^{x}\right|_{0}^{\ln 2}$ (4.181)

$\displaystyle=e^{\ln 2}-e^{0}$ (4.182)

$\displaystyle=2-1$ (4.183)

$\displaystyle=1$ (4.184)

4.3.6 Integrais de funções trigonométricas

No que lembramos que⁴³⁴³endnote: ⁴³Consulte Seção 2.6 sobre a derivada de funções trigonométricas.

\frac{d}{dx}\cos(x)=-\operatorname{sen}(x)

(4.185)

temos que a integral da função seno é

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int% \operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C

(4.186)

Exemplo 4.3.8.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int 2\operatorname{sen}(x)\,dx$ $\displaystyle=2\int\operatorname{sen}(x)dx$ (4.187)

$\displaystyle=-2\cos(x)+C$ (4.188)
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx$ $\displaystyle=\left.-\cos(x)\right|_{-\pi}^{\pi}$ (4.189)

$\displaystyle=-\cos(\pi)-[-\cos(-\pi)]$ (4.190)

$\displaystyle=1-1=0$ (4.191)

Também, lembramos que

\frac{d}{dx}\operatorname{sen}(x)=\cos(x),

(4.192)

donde temos que a integral da função cosseno

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int\cos(x)\,% dx=\operatorname{sen}(x)+C

(4.193)

Exemplo 4.3.9.

Estudamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\int\frac{1}{2}\cos(x)\,dx$ $\displaystyle=\frac{1}{2}\int\cos(x)\,dx$ (4.194)

$\displaystyle=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(x)+C$ (4.195)
b)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x)\,dx$ $\displaystyle=\left.\operatorname{sen}(x)\right|_{-\pi}^{\pi}$ (4.197)

$\displaystyle=\operatorname{sen}(\pi)-\operatorname{sen}(-\pi)$ (4.198)

$\displaystyle=0$ (4.199)

4.3.7 Tabela de integrais

	$\displaystyle\int k\cdot f(x)\,dx=k\cdot\int f(x)\,dx$		(4.200)
	$\displaystyle\int\left[f(x)\pm g(x)\right]\,dx=\int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$		(4.201)
	$\displaystyle\int x^{r}\,dx=\frac{x^{r+1}}{r+1}+C,\quad r\neq-1$		(4.202)
	$\displaystyle\int\frac{1}{x}\,dx=\ln x+C$		(4.203)
	$\displaystyle\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$		(4.204)
	$\displaystyle\int\operatorname{sen}(x)\,dx=-\cos(x)+C$		(4.205)
	$\displaystyle\int\cos(x)\,dx=\operatorname{sen}(x)+C$		(4.206)

4.3.8 Exercícios resolvidos

ER 4.3.1.

Calcule

\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx

(4.207)

Solução.

$\displaystyle\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{x^{2}}{\sqrt{x}}+2\frac{x}{\sqrt{x}}\,dx$	(4.208)
	$\displaystyle=\int\frac{x^{2}}{x^{\frac{1}{2}}}+2\frac{x}{x^{\frac{1}{2}}}\,dx$	(4.209)
	$\displaystyle=\int x^{2-\frac{1}{2}}+2x^{1-\frac{1}{2}}\,dx$	(4.210)
	$\displaystyle=\int x^{\frac{3}{2}}\,dx+2\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$	(4.211)

Agora, usando a regra da função potência (4.117), obtemos

	$\displaystyle\int\frac{x^{2}+2x}{\sqrt{x}}\,dx$	$\displaystyle=\frac{x^{\frac{3}{2}+1}}{\frac{3}{2}+1}+2\frac{x^{\frac{1}{2}+1}% }{\frac{1}{2}+1}+C$		(4.212)
		$\displaystyle=\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}+\frac{4}{3}x^{\frac{3}{2}}+C$		(4.213)

Com o Python+SymPy, podemos computar a solução deste exercício

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate((x**2+2*x)/(sqrt(x)))

4 2*x**(5/2)/5 + 4*x**(3/2)/3

ER 4.3.2.

Calcule

\int_{1}^{e}\frac{1}{2x}\,dx.

(4.214)

Solução.

Das regras básicas de integração, temos

$\displaystyle\int\frac{1}{2x}\,dx$	$\displaystyle=\int\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx$	(4.215)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\frac{1}{x}\,dx$	(4.216)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}\ln(x)+C$	(4.217)
	$\displaystyle=\ln\sqrt{x}+C.$	(4.218)

Então, do Teorema fundamental do cálculo, temos

$\displaystyle\int_{1}^{e}\frac{1}{2x}\,dx$	$\displaystyle=\left.\ln\sqrt{x}\right\|_{1}^{e}$	(4.219)
	$\displaystyle=\ln(\sqrt{e})-\ln(1)$	(4.220)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}$	(4.221)

Com o Python+SymPy, computamos a solução como segue

⬇

1 >>> from sympy import *

2 >>> x = symbols('x')

3 >>> integrate(1/(2*x), (x, 1, E))

4 1/2

4.3.9 Exercícios

E. 4.3.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\int\,dx$
b)

$\displaystyle\int x^{-2}\,dx$
c)

$\displaystyle\int\sqrt{x}\,dx$
d)

$\displaystyle\int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle x+C$ ; b) $\displaystyle-\frac{1}{x}+C$ ; c) $\displaystyle\frac{2}{3}x^{3/2}+C$ ; d) $\displaystyle 2x^{1/2}+C$

E. 4.3.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 1+x^{-2}\,dx$
b)

$\displaystyle\int x-\frac{1}{x}\,dx$
c)

$\displaystyle\int 2x^{3}-3x^{2}+1\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle x-\frac{1}{x}+C$ ; b) $\displaystyle\frac{x^{2}}{2}-\ln|x|+C$ ; c) $\displaystyle\frac{1}{2}x^{4}-x^{3}+x+C$

E. 4.3.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\int 2\cos(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int 1-\operatorname{sen}(x)\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle 2\operatorname{sen}(x)+C$ ; b) $\displaystyle x+\cos(x)+C$

E. 4.3.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\int_{-1}^{1}x^{3}\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{e}^{2e}x^{-1}\,dx$

Resposta.

a) $0$ ; b) $\ln(2)$ ;

E. 4.3.5.

Calcule

1.

$\displaystyle\int_{0}^{1}x^{2}-2x^{3}\,dx$
2.

$\displaystyle\int_{1}^{2}\frac{x+1}{\sqrt{x}}\,dx$

Resposta.

a) $\displaystyle-\frac{1}{6}$ ; b) $\displaystyle\frac{10}{3}\sqrt{2}-\frac{8}{3}$ ;

E. 4.3.6.

Cálculo

a)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\operatorname{sen}(x)\,dx$
b)

$\displaystyle\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)\,dx$
c)

$\displaystyle\int_{0}^{\pi}\cos(x)-\operatorname{sen}(x)\,dx$

Resposta.

a) $1$ ; b) $1$ ; c) $-2$

Envie seu comentário

As informações preenchidas são enviadas por e-mail para o desenvolvedor do site e tratadas de forma privada. Consulte a Política de Use de Dados para mais informações. Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

| | | |

$\displaystyle\int\frac{1}{x^{2}}\,dx$	$\displaystyle=\int x^{-2}\,dx$	(4.122)
	$\displaystyle=-x^{-1}+C$	(4.123)
	$\displaystyle=-\frac{1}{x}+C.$	(4.124)

$\displaystyle\int 2x\,dx$	$\displaystyle=2\int x\,dx$	(4.133)
	$\displaystyle=2\left(\frac{x^{2}}{2}+C\right)$	(4.134)
	$\displaystyle=x^{2}+2C$	(4.135)
	$\displaystyle=x^{2}+C$	(4.136)

$\displaystyle\int\frac{1}{3}\sqrt{x}\,dx$	$\displaystyle=\frac{1}{3}\int x^{\frac{1}{2}}\,dx$	(4.137)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{1}{2}+1}}{\frac{1}{2}+1}+C$	(4.138)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}\frac{x^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}}+C$	(4.139)
	$\displaystyle=\frac{2}{9}\sqrt{x^{3}}+C$	(4.140)

$\displaystyle\int_{0}^{1}-x^{2}\,dx$	$\displaystyle=-\int_{0}^{1}x^{2}\,dx$	(4.141)
	$\displaystyle=\int_{1}^{0}x^{2}\,dx$	(4.142)
	$\displaystyle=\left.\frac{x^{3}}{3}\right\|_{1}^{0}$	(4.143)
	$\displaystyle=\frac{0^{3}}{3}-\frac{1^{3}}{3}$	(4.144)
	$\displaystyle=\frac{1}{3}$	(4.145)

$\displaystyle\int x+1\,dx$	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int x\,% dx}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}% \pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}\int dx}$	(4.149)
	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{x^% {2}}{2}+C_{1}}+{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}x+C_{2}}$	(4.150)
	$\displaystyle=\frac{x^{2}}{2}+x+C$	(4.151)

	$\displaystyle\int\sqrt{x}-x\,dx$	$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\int x^{% \frac{1}{2}}\,dx}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}\int x\,dx}$		(4.152)
		$\displaystyle={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{% 0,0,1}\pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{3}% {2}x^{\frac{3}{2}}}-{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb% }{1,0,0}\pgfsys@color@rgb@stroke{1}{0}{0}\pgfsys@color@rgb@fill{1}{0}{0}\frac{% x^{2}}{2}}+C$		(4.153)

$\displaystyle\int e^{2+x}\,dx$	$\displaystyle=\int e^{2}e^{x}\,dx$	(4.177)
	$\displaystyle=e^{2}\int e^{x}\,dx$	(4.178)
	$\displaystyle=e^{2}e^{x}+C$	(4.179)
	$\displaystyle=e^{2+x}+C$	(4.180)

$\displaystyle\int_{0}^{\ln 2}e^{x}\,dx$	$\displaystyle=\left.e^{x}\right\|_{0}^{\ln 2}$	(4.181)
	$\displaystyle=e^{\ln 2}-e^{0}$	(4.182)
	$\displaystyle=2-1$	(4.183)
	$\displaystyle=1$	(4.184)

	$\displaystyle\int 2\operatorname{sen}(x)\,dx$	$\displaystyle=2\int\operatorname{sen}(x)dx$		(4.187)
		$\displaystyle=-2\cos(x)+C$		(4.188)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\operatorname{sen}(x)\,dx$	$\displaystyle=\left.-\cos(x)\right\|_{-\pi}^{\pi}$	(4.189)
	$\displaystyle=-\cos(\pi)-[-\cos(-\pi)]$	(4.190)
	$\displaystyle=1-1=0$	(4.191)

	$\displaystyle\int\frac{1}{2}\cos(x)\,dx$	$\displaystyle=\frac{1}{2}\int\cos(x)\,dx$		(4.194)
		$\displaystyle=\frac{1}{2}\operatorname{sen}(x)+C$		(4.195)

$\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}\cos(x)\,dx$	$\displaystyle=\left.\operatorname{sen}(x)\right\|_{-\pi}^{\pi}$	(4.197)
	$\displaystyle=\operatorname{sen}(\pi)-\operatorname{sen}(-\pi)$	(4.198)
	$\displaystyle=0$	(4.199)

4.3 Regras básicas de integração

4.3.1 Integral de função potência

Exemplo 4.3.1.

Exemplo 4.3.2.

4.3.2 Regra da multiplicação por constante

Exemplo 4.3.3.

4.3.3 Regra da soma ou subtração

Exemplo 4.3.4.

Exemplo 4.3.5.

4.3.4 Integral de x−1

Exemplo 4.3.6.

4.3.5 Integral da função exponencial natural

Exemplo 4.3.7.

4.3.6 Integrais de funções trigonométricas

Exemplo 4.3.8.

Exemplo 4.3.9.

4.3.7 Tabela de integrais

4.3.8 Exercícios resolvidos

ER 4.3.1.

Solução.

ER 4.3.2.

Solução.

4.3.9 Exercícios

E. 4.3.1.

Resposta.

E. 4.3.2.

Resposta.

E. 4.3.3.

Resposta.

E. 4.3.4.

Resposta.

E. 4.3.5.

Resposta.

E. 4.3.6.

Resposta.

Envie seu comentário

4.3.4 Integral de $x^{-1}$