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2 Derivadas 2.6 Derivadas de funções trigonométricas 2.8 Diferenciabilidade da função inversa

2.7 Regra da cadeia

Regra da cadeia é nome dado a técnica de derivação de uma função composta. Sejam $f$ e $g$ , com $g$ derivável em $x$ e $f$ derivável em $g(x)$ , então $(f\circ g)$ é derivável em $x$ , sendo

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}(f\circ g)^{% \prime}(x)=[f(g(x))]^{\prime}=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)},

(2.380)

chamada de regra da cadeia.

Exemplo 2.7.1.

A derivada em relação a $x$ de $h(x)=(x+1)^{2}$ pode ser calculada das seguintes formas:

a)

pela regra da cadeia.

A função $h$ é a composição da função $f(x)=x^{2}$ com a função $g(x)=x+1$ , i.e. $h(x)=f(g(x))$ . Temos $f^{\prime}(x)=2x$ e $g^{\prime}(x)=1$ . Então, segue pela regra da cadeia

$\displaystyle h^{\prime}(x)$ $\displaystyle=[f(g(x))]^{\prime}$ (2.381)

$\displaystyle=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)$ (2.382)

$\displaystyle=2(x+1)\cdot 1$ (2.383)

$\displaystyle=2x+2.$ (2.384)
b)

por cálculo direto.

Observando que $h(x)=(x+1)^{2}=x^{2}+2x+1$ , temos

$\displaystyle h^{\prime}(x)$ $\displaystyle=(x^{2}+2x+1)^{\prime}$ (2.385)

$\displaystyle=(x^{2})^{\prime}+(2x)^{\prime}+(1)^{\prime}$ (2.386)

$\displaystyle=2x+2.$ (2.387)

Com o SymPy, temos:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff((x+1)**2,x)

4 2*x + 2

Usualmente, a regra da cadeia também é apresentada da seguinte forma

{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\frac{\mathrm{% d}}{\mathrm{d}x}f(u)=f^{\prime}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}},

(2.388)

onde $u$ é uma função derivável em $x$ e $f$ é derivável em $u(x)$ .

Observação 2.7.1.

(Derivada de função potência) Em seções anteriores, já vimos que

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{n}=nx^{n-1},

(2.389)

para qualquer $n$ inteiro¹⁹¹⁹endnote: ¹⁹Mais precisamente, para $n\neq 0$ e $n\neq 1$ .. Agora, se $r\neq 0$ e $r\neq 1$ é um número real, temos

	$\displaystyle y=x^{r}$		(2.390)
	$\displaystyle\ln y=\ln x^{r}=r\ln x.$		(2.391)

Daí, derivando ambos os lados desta última equação e observando que $y=y(x)$ , obtemos

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\ln y=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x% }r\ln x$		(2.392)
	$\displaystyle\frac{1}{y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{r}{x}$		(2.393)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{r}{x}y$		(2.394)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=rx^{r-1}.$		(2.395)

Ou seja, a regra da potência

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}x^{r}=rx^{r-1},

(2.396)

vale para todo $r$ real, com $r\neq 0$ e $r\neq 1$ .

Exemplo 2.7.2.

Vejamos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}$ $\displaystyle=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}$ (2.397)

$\displaystyle=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$ (2.398)

$\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$ (2.399)
b)

$\displaystyle\left(x^{\sqrt{2}}\right)^{\prime}=\sqrt{2}x^{\sqrt{2}-1}.$ (2.400)

Observação 2.7.2.

A regra da cadeia aplicada a derivada de função potência é

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}u^{r}=ru^{r-1}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(2.401)

Exemplo 2.7.3.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ de

f(x)=\sqrt{x^{2}+1}

(2.402)

Vamos usar (2.401), com

u=x^{2}+1

(2.403)

e $r=1/2$ . Segue que

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{u}}\cdot\frac{du}{dx}$	(2.404)
	$\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{x^{2}+1}}\cdot 2x$	(2.405)
	$\displaystyle=\frac{2x}{\sqrt{x^{2}+1}}$	(2.406)

No SymPy, temos:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff(sqrt(x**2+1),x)

4 x/sqrt(x**2 + 1)

A regra da cadeia pode ser estendida para calcular a derivada de uma composição encadeada de três ou mais funções. Por exemplo,

	$\displaystyle[f(g(h(x)))]^{\prime}$	$\displaystyle=f^{\prime}(g(h(x)))\cdot[g(h(x))]^{\prime}$		(2.407)
		$\displaystyle=f^{\prime}(g(h(x)))\cdot g^{\prime}(h(x))\cdot h^{\prime}(x).$		(2.408)

Neste caso, a regra é válida para todo ponto tal que $h$ é derivável em $x$ com $g$ derivável em $h(x)$ e $f$ derivável em $f(g(h(x)))$ .

Exemplo 2.7.4.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ de $f(x)=\operatorname{sen}(\cos(x^{2}))$ . Pela regra da cadeia, temos

$\displaystyle[\operatorname{sen}(\cos(x^{2}))]$	$\displaystyle=\cos(\cos(x^{2}))\cdot[\cos(x^{2})]^{\prime}$	(2.409)
	$\displaystyle=\cos(\cos(x^{2}))\cdot[-\operatorname{sen}(x^{2})\cdot(x^{2})^{% \prime}]$	(2.410)
	$\displaystyle=-\cos(\cos(x^{2}))\cdot\operatorname{sen}(x^{2})\cdot 2x.$	(2.411)

No SymPy, temos:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff(sin(cos(x**2)))

4 -2*x*sin(x**2)*cos(cos(x**2))

2.7.1 Lista de derivadas

	$\displaystyle(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$		(2.412)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(2.413)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(2.414)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(2.415)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(2.416)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(2.417)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}u^{n}}{\mathrm{d}x}=nu^{n-1}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(2.418)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}a^{u}}{\mathrm{d}x}=a^{u}\ln a\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(2.419)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}e^{u}}{\mathrm{d}x}=e^{u}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x}$		(2.420)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\log_{a}u=\frac{1}{u}\frac{\mathrm{% d}u}{\mathrm{d}x}$		(2.421)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{sen}u=\cos(u)\frac{% \mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(2.422)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\cos u=-\operatorname{sen}(u)\frac{% \mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(2.423)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{tg}u=\sec^{2}(u)\frac% {\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(2.424)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{cotg}u=-\operatorname% {cossec}^{2}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(2.425)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sec u=\sec(u)\operatorname{tg}(u)% \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(2.426)
	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\operatorname{cossec}u=-% \operatorname{cossec}(u)\operatorname{cotg}(u)\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$		(2.427)

2.7.2 Exercícios resolvidos

ER 2.7.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ de

f(x)=e^{\sqrt{x+1}}.

(2.428)

Solução.

Da regra da cadeia aplicada à função exponencial, temos

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{u}=e^{u}\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}.

(2.429)

Então, com $u=\sqrt{x+1}$ , segue

	$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}e^{\sqrt{x+1}}$		(2.430)
		$\displaystyle=e^{\sqrt{x+1}}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\sqrt{x+1}% \right).$		(2.431)

Agora, aplicamos a regra da cadeia para a função raiz quadrada, i.e.

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{u}=\frac{1}{2\sqrt{u}}\frac{\mathrm{d}u}{% \mathrm{d}x},

(2.432)

com $u=x+1$ . Segue, então

	$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x+1}$	$\displaystyle=\frac{1}{2}(x+1)^{\frac{1}{2}-1}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x% +1)$		(2.433)
		$\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}.$		(2.434)

Portanto, concluímos que

f^{\prime}(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}e^{\sqrt{x+1}}.

(2.435)

No SymPy, temos:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff(exp(sqrt(x+1)),x)

4 exp(sqrt(x + 1))/(2*sqrt(x + 1))

ER 2.7.2.

Mostre que a função logística

f(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}

(2.436)

satisfaz a equação diferencial

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=f(x)(1-f(x)).

(2.437)

Solução.

Vamos calcular a derivada em relação a $x$ da função logística, i.e.

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)$	$\displaystyle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{1}{1+e^{-x}}\right)$	(2.438)
	$\displaystyle=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[\left(1+e^{-x}\right)^{-1}\right]$	(2.439)
	$\displaystyle=-1\cdot\left(1+e^{-x}\right)^{-2}\cdot\underbrace{\left(1+e^{-x}% \right)^{\prime}}_{=-e^{-x}}$	(2.440)
	$\displaystyle=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}.$	(2.441)

Por outro lado, temos

$\displaystyle f(x)(1-f(x))$	$\displaystyle=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\left(1-\frac{1}{1+e^{-x}}\right)$	(2.442)
	$\displaystyle=\frac{1}{1+e^{-x}}\cdot\left(\frac{1+e^{-x}-1}{1+e^{-x}}\right)$	(2.443)
	$\displaystyle=\frac{e^{-x}}{\left(1+e^{-x}\right)^{2}}.$	(2.444)

Ou seja, de fato temos

\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}f(x)=f(x)(1-f(x)).

(2.445)

ER 2.7.3.

Assuma que o custo de produção de uma unidade empresarial seja modelada pela função

c(x)=\sqrt{x-1}+e^{x-7},

(2.446)

onde $c$ é o custo em função da produção $x$ . Determine o custo marginal quando $x=3$ .

Solução.

O custo marginal é a função derivada do custo em relação à produção. Calculando, temos

$\displaystyle c^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\left(\sqrt{x-1}+e^{x-7}\right)$	(2.447)
	$\displaystyle=\underbrace{\left(\sqrt{x-1}\right)^{\prime}}_{(u^{n})^{\prime}=% nu^{n-1}u^{\prime}}+\underbrace{\left(e^{x-7}\right)^{\prime}}_{(e^{u})^{% \prime}=e^{u}u^{\prime}}$	(2.448)
	$\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}+e^{x-7}.$	(2.449)

Logo, o custo marginal quando $x=3$ é

c^{\prime}(3)=\frac{1}{2\sqrt{3-1}}+e^{3-7}=\sqrt{2}+e^{-4}.

(2.450)

2.7.3 Exercícios

E. 2.7.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções

a)

$\displaystyle f(x)=(2x-3)^{9}$
b)

$\displaystyle g(x)=\frac{1}{(2x-3)^{51}}$
c)

$\displaystyle h(x)=\sqrt{x^{2}+1}$

Resposta.

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=18(2x-3)^{8}$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=-\frac{102}{(2x-3)^{52}}$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=\frac{x}{\sqrt{x^{2}+1}}$

E. 2.7.2.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções

a)

$\displaystyle f(x)=2^{3x-1}$
b)

$\displaystyle g(x)=e^{-x^{2}}$

Resposta.

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=3\cdot 2^{3x-1}\ln 2$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=-2xe^{-x^{2}}$ .

E. 2.7.3.

Calcule as seguintes derivadas

a)

$\displaystyle\left[\ln\left(x^{2}-1\right)\right]^{\prime}$
b)

$\displaystyle\frac{d}{dx}\left[\log_{2}(x-1)+\log_{2}(x+1)\right]$

Resposta.

a) $\displaystyle\frac{2x}{x^{2}-1}$ ; b) $\displaystyle\frac{2x}{(x^{2}-1)\ln 2}$

E. 2.7.4.

Calcule a derivada em relação a $x$ das seguintes funções

a)

$\displaystyle f(x)=\operatorname{sen}(\pi x)$
b)

$\displaystyle g(x)=\cos(\sqrt{x})$
c)

$\displaystyle h(x)=\operatorname{tg}(2x)$
d)

$\displaystyle u(x)=\operatorname{cotg}(3-x)$
e)

$\displaystyle v(x)=\sec\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$
f)

$\displaystyle z(x)=\operatorname{cossec}\left(5x+x^{2}\right)$

Resposta.

a) $\displaystyle f^{\prime}(x)=\pi\cos(\pi x)$ ; b) $\displaystyle g^{\prime}(x)=-\frac{1}{2\sqrt{x}}\operatorname{sen}(\sqrt{x})$ ; c) $\displaystyle h^{\prime}(x)=2\sec^{2}(2x)$ ; d) $\displaystyle u^{\prime}(x)=\operatorname{cossec}^{2}(3-x)$ ; e) $\displaystyle v^{\prime}(x)=-\frac{2}{x^{2}}\sec\left(\frac{1}{x^{2}}\right)% \operatorname{tg}\left(\frac{1}{x^{2}}\right)$ ; f) $\displaystyle z^{\prime}(x)=-(5+2x)\operatorname{cossec}\left(5x+x^{2}\right)% \operatorname{cotg}\left(5x+x^{2}\right)$

E. 2.7.5.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função

f(x)=e^{\sqrt{x+1}}

(2.451)

no ponto $x=3$ .

Resposta.

$y=\frac{e^{2}}{4}x+\frac{e^{2}}{4}$

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$\displaystyle h^{\prime}(x)$	$\displaystyle=[f(g(x))]^{\prime}$	(2.381)
	$\displaystyle=f^{\prime}(g(x))\cdot g^{\prime}(x)$	(2.382)
	$\displaystyle=2(x+1)\cdot 1$	(2.383)
	$\displaystyle=2x+2.$	(2.384)

$\displaystyle h^{\prime}(x)$	$\displaystyle=(x^{2}+2x+1)^{\prime}$	(2.385)
	$\displaystyle=(x^{2})^{\prime}+(2x)^{\prime}+(1)^{\prime}$	(2.386)
	$\displaystyle=2x+2.$	(2.387)

$\displaystyle\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\sqrt{x}$	$\displaystyle=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)^{\prime}$	(2.397)
	$\displaystyle=\frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1}$	(2.398)
	$\displaystyle=\frac{1}{2\sqrt{x}}.$	(2.399)