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2 Derivadas 2.5 Regas Básicas de Derivação 2.7 Regra da cadeia

2.6 Derivadas de funções trigonométricas

Começamos pela derivada da função seno. Pela definição da derivada, temos

$\displaystyle\operatorname{sen}^{\prime}x$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x+h)-\operatorname{sen}x}{h}$	(2.311)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}(x)\cos(h)+\cos(x)% \operatorname{sen}(h)-\operatorname{sen}x}{h}$	(2.312)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\operatorname{sen}(x)\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)% \frac{\operatorname{sen}h}{h}$	(2.313)
	$\displaystyle=\operatorname{sen}(x)\lim_{h\to 0}\frac{\cos(h)-1}{h}+\cos(x)% \lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}.$	(2.314)

Usando do Teorema do confronto para limites de funções, podemos mostrar que¹⁸¹⁸endnote: ¹⁸Veja a Seção 1.7.3.

\lim_{h\to 0}\frac{\operatorname{sen}h}{h}=1\quad\text{e}\quad\lim_{h\to 0}% \frac{\cos(h)-1}{h}=0.

(2.315)

Logo, temos

\boldsymbol{\operatorname{sen}^{\prime}x=\cos x}.

(2.316)

De forma similar, temos

$\displaystyle\cos^{\prime}x$	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x+h)-\cos x}{h}$	(2.317)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\frac{\cos(x)\cos(h)-\operatorname{sen}(x)% \operatorname{sen}(h)-\cos x}{h}$	(2.318)
	$\displaystyle=\lim_{h\to 0}\cos(x)\frac{\cos(h)-1}{h}-\operatorname{sen}(x)% \frac{\operatorname{sen}h}{h}$	(2.319)
	$\displaystyle=\cos(x)\lim_{h\to 0}\cancelto{0}{\frac{\cos(h)-1}{h}}-% \operatorname{sen}(x)\lim_{h\to 0}\cancelto{0}{\frac{\operatorname{sen}h}{h}}.$	(2.320)

Ou seja,

\boldsymbol{\cos^{\prime}x=-\operatorname{sen}x}.

(2.321)

Exemplo 2.6.1.

A derivada de $f(x)=\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x$ é

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=(\operatorname{sen}^{2}x+\cos^{2}x)^{\prime}$	(2.322)
	$\displaystyle=(\operatorname{sen}^{2}x)^{\prime}+(\cos^{2}x)^{\prime}$	(2.323)
	$\displaystyle=(\operatorname{sen}x\cdot\operatorname{sen}x)^{\prime}+(\cos x% \cdot\cos x)^{\prime}$	(2.324)
	$\displaystyle=\cos x\cdot\operatorname{sen}x+\operatorname{sen}x\cdot\cos x-% \operatorname{sen}x\cdot\cos x-\cos x\cdot\operatorname{sen}x$	(2.325)
	$\displaystyle=0,$	(2.326)

conforme esperado.

Com o SymPy, podemos computar esta derivada com o seguinte comando:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff(sin(x)**2+cos(x)**2,x)

Conhecidas as derivadas da função seno e cosseno, podemos obter as derivadas das demais funções trigonométricas pela regra do quociente. Temos:

•

$\boldsymbol{\operatorname{tg}^{\prime}x=\sec^{2}x}$

Dem.:

$\displaystyle\operatorname{tg}^{\prime}x$	$\displaystyle=\left(\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\right)^{\prime}$	(2.327)
	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sen}^{\prime}x\cos x-\operatorname{sen}x\cos% ^{\prime}x}{\cos^{2}x}$	(2.328)
	$\displaystyle=\frac{\cos x\cos x+\operatorname{sen}x\operatorname{sen}x}{\cos^% {2}x}$	(2.329)
	$\displaystyle=\frac{1}{\cos^{2}x}=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{2}$	(2.330)
	$\displaystyle=\sec^{2}x.$	(2.331)

•

$\boldsymbol{\operatorname{cotg}^{\prime}x=-\operatorname{cossec}^{2}x}$

Dem.:

$\displaystyle\operatorname{cotg}^{\prime}x$	$\displaystyle=\left(\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}\right)^{\prime}$	(2.332)
	$\displaystyle=\frac{\cos^{\prime}x\operatorname{sen}x-\cos x\operatorname{sen}% ^{\prime}x}{\operatorname{sen}^{2}x}$	(2.333)
	$\displaystyle=\frac{-\operatorname{sen}x\operatorname{sen}x-\cos x\cos x}{% \operatorname{sen}^{2}x}$	(2.334)
	$\displaystyle=\frac{-1}{\operatorname{sen}^{2}x}=-\left(\frac{1}{\operatorname% {sen}x}\right)^{2}$	(2.335)
	$\displaystyle=\operatorname{cossec}^{2}x.$	(2.336)

•

$\boldsymbol{\sec^{\prime}x=\sec x\operatorname{tg}x}$

Dem.:

$\displaystyle\sec^{\prime}x$ $\displaystyle=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\prime}$ (2.337)

$\displaystyle=\frac{-\cos^{\prime}x}{\cos^{2}x}$ (2.338)

$\displaystyle=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}$ (2.339)

$\displaystyle=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x}$ (2.340)

$\displaystyle=\operatorname{tg}x\sec x.$ (2.341)
•

$\boldsymbol{\operatorname{cossec}^{\prime}x=-\operatorname{cossec}x% \operatorname{cotg}x}$

Dem.:

$\displaystyle\operatorname{cossec}^{\prime}x$ $\displaystyle=\left(\frac{1}{\operatorname{sen}x}\right)^{\prime}$ (2.342)

$\displaystyle=\frac{-\operatorname{sen}^{\prime}x}{\operatorname{sen}^{2}x}$ (2.343)

$\displaystyle=\frac{-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}$ (2.344)

$\displaystyle=-\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}\cdot\frac{1}{\operatorname{% sen}x}$ (2.345)

$\displaystyle=-\operatorname{cotg}x\operatorname{cossec}x.$ (2.346)

Observação 2.6.1.

Os cálculos acima, mostram que as funções trigonométricas são deriváveis em todos os pontos de seus domínios.

Exemplo 2.6.2.

A derivada em relação a $x$ de

f(x)=\frac{x+\operatorname{tg}x}{\sec x}

(2.347)

pode ser calculada como segue

$\displaystyle f^{\prime}(x)$	$\displaystyle=\left(\frac{x+\operatorname{tg}x}{\sec x}\right)^{\prime}$	(2.348)
	$\displaystyle=\frac{(x+\operatorname{tg}x)^{\prime}\sec x-(x+\operatorname{tg}% x)\sec^{\prime}x}{\sec^{2}x}$	(2.349)
	$\displaystyle=\frac{(1+\sec^{2}x)\sec x-(x+\operatorname{tg}x)\sec x% \operatorname{tg}x}{\sec^{2}x}$	(2.350)
	$\displaystyle=\frac{1+\sec^{2}x-(x+\operatorname{tg}x)\operatorname{tg}x}{\sec x}.$	(2.351)

Com o SymPy, podemos computar esta derivada com o seguinte comando:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 diff((x+tan(x))/sec(x),x)

2.6.1 Lista de derivadas

	$\displaystyle(ku)^{\prime}=ku^{\prime}$		(2.352)
	$\displaystyle(u\pm v)^{\prime}=u^{\prime}\pm v^{\prime}$		(2.353)
	$\displaystyle(uv)^{\prime}=u^{\prime}v+uv^{\prime}$		(2.354)
	$\displaystyle\left(\frac{u}{v}\right)^{\prime}=\frac{u^{\prime}v-uv^{\prime}}{% v^{2}}$		(2.355)
	$\displaystyle(k)^{\prime}=0$		(2.356)
	$\displaystyle(x)^{\prime}=1$		(2.357)
	$\displaystyle(x^{n})^{\prime}=nx^{n-1}$		(2.358)
	$\displaystyle(a^{x})^{\prime}=a^{x}\ln a$		(2.359)
	$\displaystyle(e^{x})^{\prime}=e^{x}$		(2.360)
	$\displaystyle(\log_{a}x)^{\prime}=\frac{1}{x\ln a}$		(2.361)
	$\displaystyle(\ln x)^{\prime}=\frac{1}{x}$		(2.362)
	$\displaystyle\operatorname{sen}^{\prime}x=\cos x$		(2.363)
	$\displaystyle\cos^{\prime}x=-\operatorname{sen}x$		(2.364)
	$\displaystyle\operatorname{tg}^{\prime}x=\sec^{2}x$		(2.365)
	$\displaystyle\operatorname{cotg}^{\prime}x=-\operatorname{cossec}^{2}x$		(2.366)
	$\displaystyle\sec^{\prime}x=\sec x\operatorname{tg}x$		(2.367)
	$\displaystyle\operatorname{cossec}^{\prime}x=-\operatorname{cossec}x% \operatorname{cotg}x$		(2.368)

2.6.2 Exercícios resolvidos

ER 2.6.1.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função $y=\operatorname{sen}x$ no ponto $x=0$ . Então, faça os esboços desta função e da reta tangente, em uma mesma figura.

Solução.

A equação da reta tangente ao gráfico de uma função $y=f(x)$ no ponto $x=x+0$ é

y=f^{\prime}(x_{0})(x-x_{0})+f(x_{0}).

(2.369)

No caso deste exercício, temos $f(x)=\operatorname{sen}x$ e $x_{0}=0$ . Assim sendo, calculamos a derivada em relação a $x$ de $f(x)$ , i.e.

f^{\prime}(x)=\operatorname{sen}^{\prime}x=\cos x.

(2.370)

Segue que a equação da reta tangente é

	$\displaystyle y=f^{\prime}(0)(x-0)+f(0)$		(2.371)
	$\displaystyle y=\cos(0)(x-0)+\operatorname{sen}(0)$		(2.372)
	$\displaystyle y=x.$		(2.373)

Na Figura 2.8, temos os esboços dos gráficos da função seno e da reta tangente encontrada.

Refer to caption — Figura 2.8: Esboços dos gráfico da função seno e de sua reta tangente no ponto $x=0$ .

Com o SymPy, podemos resolver este exercício com os seguintes comandos:

⬇

1 from sympy import *

2 x = Symbol('x')

3 f = sin(x)

4 x0 = 0

6 # reta tangente

7 rt = diff(f,x).subs(x,x0)*(x-x0)+f.subs(x,x0)

8 print("Reta tangente: y = %s" % rt)

10 # graficos

11 plot(f,rt,(x,-pi,pi))

ER 2.6.2.

Resolva a equação

\sec^{\prime}(x)=0,

(2.374)

para $x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$ .

Solução.

Temos

$\displaystyle 0$	$\displaystyle=\sec^{\prime}(x)$	(2.375)
	$\displaystyle=\sec(x)\operatorname{tg}(x)$	(2.376)
	$\displaystyle=\frac{1}{\cos(x)}\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos(x)}$	(2.377)
	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sen}(x)}{\cos^{2}(x)}$	(2.378)

donde segue que

\operatorname{sen}(x)=0.

(2.379)

Por fim, observamos que para $x\in\left(\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2}\right)$ , a função seno se anula somente em $x=\pi$ , a qual é a solução da equação.

2.6.3 Exercícios

E. 2.6.1.

Calcule a derivada em relação a $x$ de

a)

$\displaystyle f(x)=\operatorname{sen}(x)-\cos^{2}(x)$
b)

$\displaystyle g(x)=\operatorname{sen}^{2}(x)\cos(x)$
c)

$\displaystyle h(x)=\frac{2\operatorname{tg}(x)}{\sec(x)}$

Resposta.

a) $f^{\prime}(x)=\operatorname{sen}(2x)+\cos(x)$ ; b) $g^{\prime}(x)=\operatorname{sen}(x)\cdot(2-3\sin^{2}(x)))$ ; c) $h^{\prime}(x)=2\cos(x)$

E. 2.6.2.

Encontre a equação da reta tangente ao gráfico da função $y=\cos x$ no ponto $x=0$ . Então, faça os esboços desta função e da reta tangente, em uma mesma figura.

Resposta.

$y=1$ . Dica: use um pacote de matemática simbólica para verificar os esboços dos gráficos.

E. 2.6.3.

Calcule a derivada em relação a $x$ de

a)

$\displaystyle f(x)=\operatorname{tg}(x)-\operatorname{cotg}(x)$
b)

$\displaystyle g(x)=\sec(x)-\operatorname{cossec}(x)$
c)

$\displaystyle g(x)=\sec(x)-\operatorname{cossec}(x)$

Resposta.

a) $f^{\prime}(x)=\sec^{2}(x)+\operatorname{cossec}^{2}(x)$ ; b) $g^{\prime}(x)=\sec(x)\operatorname{tg}(x)+\operatorname{cossec}(x)% \operatorname{cotg}(x)$ ; c) $h^{\prime}(x)=\frac{1}{2}\sec^{2}(x)$

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$\displaystyle\sec^{\prime}x$	$\displaystyle=\left(\frac{1}{\cos x}\right)^{\prime}$	(2.337)
	$\displaystyle=\frac{-\cos^{\prime}x}{\cos^{2}x}$	(2.338)
	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos^{2}x}$	(2.339)
	$\displaystyle=\frac{\operatorname{sen}x}{\cos x}\cdot\frac{1}{\cos x}$	(2.340)
	$\displaystyle=\operatorname{tg}x\sec x.$	(2.341)

$\displaystyle\operatorname{cossec}^{\prime}x$	$\displaystyle=\left(\frac{1}{\operatorname{sen}x}\right)^{\prime}$	(2.342)
	$\displaystyle=\frac{-\operatorname{sen}^{\prime}x}{\operatorname{sen}^{2}x}$	(2.343)
	$\displaystyle=\frac{-\cos x}{\operatorname{sen}^{2}x}$	(2.344)
	$\displaystyle=-\frac{\cos x}{\operatorname{sen}x}\cdot\frac{1}{\operatorname{% sen}x}$	(2.345)
	$\displaystyle=-\operatorname{cotg}x\operatorname{cossec}x.$	(2.346)