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3 Aplicações da derivada 3.3 Teorema do valor médio 3.5 Concavidade e o Teste da segunda derivada

3.4 Teste da primeira derivada

Na Seção 3.2, vimos que os extremos de uma função ocorrem nos extremos de seu domínio ou em um ponto crítico. Aliado a isso, o Corolário 3.3.3 nos fornece condições suficientes para classificar os pontos críticos como extremos locais.

Mais precisamente, seja $c$ um ponto crítico de uma função contínua $f$ e diferenciável em todos os pontos de um intervalo aberto $(a,b)$ contendo $c$ , exceto possivelmente no ponto $c$ . Movendo-se no sentido positivo em $x$ :

•

se $f^{\prime}(x)$ muda de negativa para positiva em $c$ , então $f$ possui um mínimo local em $c$ ;
•

se $f^{\prime}(x)$ muda de positiva para negativa em $c$ , então $f$ possui um máximo local em $c$ ;
•

se $f^{\prime}$ não muda de sinal em $c$ , então $c$ não é um extremo local de $f$ .

Veja a Figura 3.14.

Refer to caption — Figura 3.14: Ilustração do teste da primeira derivada com $c$ ponto de máximo local e $d$ ponto de mínimo local.

Exemplo 3.4.1.

Consideremos a função $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-2x^{2}+3x+3$ . Como $f$ é diferenciável em toda parte, seus pontos críticos são aqueles tais que

f^{\prime}(x)=0.

(3.72)

Temos $f^{\prime}(x)=x^{2}-4x+3$ . Segue, que os pontos críticos são

	$\displaystyle x^{2}-4x+3=0$	$\displaystyle\Rightarrow x=\frac{4\pm\cancelto{2}{\sqrt{16-12}}}{2}$		(3.73)
		$\displaystyle\Rightarrow x_{1}=1,\quad x_{2}=3.$		(3.74)

Com isso, temos

Intervalo	$x<1$	$1<x<3$	$3<x$
$f^{\prime}$	+	-	+
$f$	crescente	decrescente	crescente

Então, do teste da primeira derivada, concluímos que $x_{1}=1$ é ponto de máximo local e que $x_{2}=3$ é ponto de mínimo local.

Podemos usar o SymPy para computarmos a derivada de $f$ com o comando³⁰³⁰endnote: ³⁰Veja a Observação 3.0.1.

fl = diff(x**3/3-2*x**2+3*x+3)

Então, podemos resolver $f^{\prime}(x)=0$ com o comando

solve(fl)

e, por fim, podemos fazer o estudo de sinal da $f^{\prime}$ com os comandos

reduce_inequalities(fl<0)
reduce_inequalities(fl>0)

3.4.1 Exercícios resolvidos

ER 3.4.1.

Determine e classifique os extremos da função

f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}.

(3.75)

Solução.

Como o domínio da $f$ é $(-\infty,\infty)$ e $f$ é diferenciável em toda parte, temos que seus extremos ocorrem em pontos críticos tais que

f^{\prime}(x)=0.

(3.76)

Resolvendo, obtemos

\displaystyle 4x^{3}-12x^{2}+8x=0

\displaystyle\Rightarrow 4x(x^{2}-3x+2)=0

(3.77)

Logo,

$\displaystyle 4x=0\quad\text{ou}\quad$	$\displaystyle x^{2}-3x+2=0$	(3.78)
$\displaystyle x_{1}=0$	$\displaystyle x=\frac{3\pm 1}{2}.$	(3.79)
	$\displaystyle x_{2}=1,\quad x_{3}=2$	(3.80)

Portanto, os ponto críticos são $x_{1}=0$ , $x_{2}=1$ e $x_{3}=2$ . Fazendo o estudo de sinal da $f^{\prime}$ , temos

	$x<0$	$0<x<1$	$1<x<2$	$2<x$
$4x$	-	+	+	+
$x^{2}-3x+2$	+	+	-	+
$f^{\prime}(x)$	-	+	-	+
$f$	decrescente	crescente	decrescente	crescente

Então, do teste da primeira derivada, concluímos que $x_{1}=0$ é ponto de mínimo local, $x_{2}=-2$ é ponto de máximo local e $x_{3}=-1$ é ponto de mínimo local.

Podemos usar os seguintes comandos do SymPy³¹³¹endnote: ³¹Veja a Observação 3.0.1. para resolvermos este exercício:

# f’
fl = Lambda(x, diff(x**4 - 4*x**3 + 4*x**2,x))
# f’(x) = 0
solve(fl(x))
# fl(x) < 0
reduce_inequalities(fl(x)<0)
# fl(x) > 0
reduce_inequalities(fl(x)>0)

ER 3.4.2.

Encontre o valor máximo global de $f(x)=(x-1)e^{-x}$ .

Solução.

Como $f$ é diferenciável em toda parte, temos que seu máximo ocorre em ponto crítico tal que

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$	$\displaystyle\Rightarrow(2-x)e^{-x}=0$	(3.81)
	$\displaystyle\Rightarrow 2-x=0$	(3.82)
	$\displaystyle\Rightarrow x=2.$	(3.83)

Fazendo o estudo de sinal da derivada, obtemos

	x<0	0<x
f’	+	-
f	crescente	decrescente

Portanto, do teste da primeira derivada, podemos concluir que $x=2$ é ponto de máximo local. O favor da função neste ponto é $f(2)=e^{-2}$ . Ainda, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x-1)e^{-x}=-\infty,$		(3.84)
	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(x-1)e^{-x}=0.$		(3.85)

Por tudo isso, concluímos que o valor máximo global de $f$ é $f(2)=e^{-2}$ .

Podemos usar os seguintes comandos do SymPy³²³²endnote: ³²Veja a Observação 3.0.1. para resolvermos este exercício:

# f(x)
f = Lambda(x, (x-1)*exp(-x))
# f’(x)
fl = Lambda(x, diff(f(x),x))
# pontos críticos
xc = solve(fl(x))
# f’(x) < 0
reduce_inequalities(fl(x)<0)
# f’(x) > 0
reduce_inequalities(fl(x)>0)
# lim f(x), x->-oo
limit(f(x),x,-oo)
# lim f(x), x->oo
limit(f(x),x,oo)
# f(2)
f(xc[0])

3.4.2 Exercícios

E. 3.4.1.

Use o teste da primeira derivada para encontrar e classificar o(s) ponto(s) extremo(s) de $f(x)=x^{2}-2x$ .

Resposta.

$x=1$ ponto de mínimo global

E. 3.4.2.

Use o teste da primeira derivada para encontrar e classificar o(s) ponto(s) extremo(s) de $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x$ .

Resposta.

$x_{1}=-1$ ponto de máximo local; $x_{2}=1$ ponto de mínimo local;

E. 3.4.3.

Use o teste da primeira derivada para encontrar e classificar o(s) ponto(s) extremo(s) de $\displaystyle f(x)=x^{2/3}(x-1)$ .

Resposta.

$x_{1}=0$ ponto de máximo local; $x_{2}=2/5$ ponto de mínimo local;

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