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3 Aplicações da derivada 3.4 Teste da primeira derivada 4 Integração

3.5 Concavidade e o Teste da segunda derivada

O gráfico de uma função diferenciável $f$ é

a)

côncavo para cima em um intervalo aberto $I$ , se $f^{\prime}$ é crescente em $I$ ;
b)

côncavo para baixo em um intervalo aberto $I$ , se $f^{\prime}$ é decrescente em $I$ .

Assumindo que $f$ é duas vezes diferenciável, temos que a monotonicidade de $f^{\prime}$ está relacionada ao sinal de $f^{\prime\prime}$ (a segunda derivada de $f$ ). Logo, o gráfico de $f$ é

a)

côncavo para cima em um intervalo aberto $I$ , se $f^{\prime\prime}>0$ em $I$ ;
b)

côncavo para baixo em um intervalo aberto $I$ , se $f^{\prime\prime}<0$ em $I$ .

Exemplo 3.5.1.

Vejamos os seguintes casos:

a)

o gráfico de $f(x)=x^{2}$ é uma parábola côncava para cima em toda parte. De fato, temos

$f^{\prime}(x)=2x,$ (3.86)

uma função crescente em toda parte. Também, temos

$f^{\prime\prime}(x)=2>0,$ (3.87)

em toda parte.
b)

o gráfico de $g(x)=-x^{2}$ é uma parábola côncava para baixo em toda parte. De fato, temos

$g^{\prime}(x)=-2x,$ (3.88)

uma função decrescente em toda parte. Também, temos

$g^{\prime\prime}(x)=-2<0,$ (3.89)

em toda parte.
c)

o gráfico da função $h(x)=x^{3}$ é côncavo para baixo em $(-\infty,0)$ e côncavo para cima em $(0,\infty)$ . De fato, temos

$h^{\prime}(x)=x^{2},$ (3.90)

que é uma função decrescente em $(-\infty,0]$ e crescente em $[0,\infty)$ . Também, temos

$h^{\prime\prime}(x)=2x$ (3.91)

que assume valores negativos em $(-\infty,0)$ e valores positivos em $(0,\infty)$ .

Um ponto em que o gráfico de uma função $f$ muda de concavidade é chamado de ponto de inflexão. Em tais pontos temos

f^{\prime\prime}=0\quad\text{ou}\quad\nexists f^{\prime\prime}.

(3.92)

Exemplo 3.5.2.

Vejamos os seguintes casos:

a)

O gráfico da função $f(x)=x^{3}$ tem $x=0$ como único ponto de inflexão. De fato, temos

$f^{\prime}(x)=3x^{2}$ (3.93)

que é diferenciável em toda parte com

$f^{\prime\prime}(x)=6x.$ (3.94)

Logo, os pontos de inflexão ocorrem quando

$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$ $\displaystyle\Rightarrow 6x=0$ (3.95)

$\displaystyle\Rightarrow x=0.$ (3.96)
b)

O gráfico da função $g(x)=\sqrt[3]{x}$ tem $x=0$ como único ponto de inflexão. De fato, temos

$g^{\prime}(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}},\quad x\neq 0.$ (3.97)

Segue que

$g^{\prime\prime}(x)=-\frac{2}{9}x^{-\frac{5}{3}},\quad x\neq 0,$ (3.98)

donde $g^{\prime\prime}>0$ em $(-\infty,0)$ e $g^{\prime\prime}<0$ em $(0,\infty)$ . Isto é, o gráfico de $g$ muda de concavidade em $x=0$ , $\nexists g^{\prime\prime}(0)$ , sendo $g$ côncava para cima em $(-\infty,0)$ e côncava para baixo em $(0,\infty)$ .

3.5.1 Teste da segunda derivada

Seja $x=x_{0}$ um ponto crítico de uma dada função $f$ duas vezes diferenciável e $f^{\prime\prime}$ contínua em um intervalo aberto contendo $x=x_{0}$ . Temos

a)

se $f^{\prime}(x_{0})=0$ e $f^{\prime\prime}(x_{0})>0$ , então $x=x_{0}$ é um ponto de mínimo local de $f$ ;
b)

se $f^{\prime}(x_{0})=0$ e $f^{\prime\prime}(x_{0})<0$ , então $x=x_{0}$ é um ponto de máximo local de $f$ .

Exemplo 3.5.3.

A função $f(x)=2x^{3}-9x^{2}+12x-2$ tem pontos críticos

$\displaystyle f^{\prime}(x)=6x^{2}-18x+12=0$	$\displaystyle\Rightarrow x^{2}-3x+2=0$	(3.99)
	$\displaystyle\Rightarrow x=\frac{3\pm\sqrt{1}}{2}$	(3.100)
	$\displaystyle\Rightarrow x_{1}=1,\quad x_{2}=2.$	(3.101)

A segunda derivada de $f$ é

f^{\prime\prime}(x)=12x-18.

(3.102)

Logo, como $f^{\prime\prime}(x_{1})=f^{\prime\prime}(1)=-6<0$ , temos que $x_{1}=1$ é ponto de máximo local de $f$ . E, como $f^{\prime\prime}(x_{2})=f^{\prime\prime}(2)=6>0$ , temos que $x_{2}=2$ é ponto de mínimo local de $f$ .

Observação 3.5.1.

Se $f^{\prime}(x_{0})=0$ e $f^{\prime\prime}(x_{0})=0$ , então $x=x_{0}$ pode ser ponto extremo local de $f$ ou não. Ou seja, o teste é inconclusivo.

Exemplo 3.5.4.

Vejamos os seguintes casos:

a)

A função $f(x)=x^{3}$ tem ponto crítico

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ $\displaystyle\Rightarrow 3x^{2}=0$ (3.103)

$\displaystyle\Rightarrow x=0.$ (3.104)

Neste ponto, temos

$f^{\prime\prime}(x)=6x\Rightarrow f^{\prime\prime}(0)=0.$ (3.105)

Neste caso, $x=0$ não é ponto de extremo local e temos $f^{\prime}(0)=0$ e $f^{\prime\prime}(0)=0$ .
b)

A função $f(x)=x^{4}$ tem um ponto crítico

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$ $\displaystyle\Rightarrow 4x^{3}=0$ (3.106)

$\displaystyle\Rightarrow x=0.$ (3.107)

Neste ponto, temos

$f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}\Rightarrow f^{\prime\prime}(0)=0.$ (3.108)

Neste caso, $x=0$ é ponto de mínimo local e temos $f^{\prime}(0)=0$ e $f^{\prime\prime}(0)=0$ .

3.5.2 Exercícios resolvidos

ER 3.5.1.

Encontre o valor máximo global de $f(x)=(x-1)e^{-x}$ .

Solução.

Como $f$ é diferenciável em toda parte, temos que seu valor máximo (se existir) ocorre em ponto crítico tal que

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$	$\displaystyle\Rightarrow(2-x)e^{-x}=0$	(3.109)
	$\displaystyle\Rightarrow 2-x=0$	(3.110)
	$\displaystyle\Rightarrow x=2.$	(3.111)

Agora, usando o teste da segunda derivada, temos

\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=(x-3)e^{-x}\Rightarrow f^{\prime\prime}(2)=-% e^{-2}<0.

(3.112)

Logo, $x=2$ é ponto de máximo local. O favor da função neste ponto é $f(2)=e^{-2}$ . Ainda, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}(x-1)e^{-x}=-\infty,$		(3.113)
	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}(x-1)e^{-x}=0.$		(3.114)

Por tudo isso, concluímos que o valor máximo global de $f$ é $f(2)=e^{-2}$ .

Podemos usar os seguintes comandos do SymPy³³³³endnote: ³³Veja a Observação 3.0.1. para resolvermos este exercício:

>>> f = (x-1)*exp(-x)
>>> fl = diff(f,x)
>>> f = Lambda(x, (x-1)*exp(-x))
>>> fl = Lambda(x, diff(f(x),x))
>>> solve(fl(x))
[2]
>>> fll = Lambda(x, diff(f(x),x,2))
>>> fll(2)
  -2
-e
>>> f(2), fl(2), fll(2)
 -2       -2
e  , 0, -e
>>> limit(f(x),x,oo)
0
>>> limit(f(x),x,-oo)
-oo

ER 3.5.2.

Determine e classifique os extremos da função

f(x)=x^{4}-4x^{3}+4x^{2}

(3.115)

restrita ao intervalo de $[-1,3]$ .

Solução.

Como $f$ é diferenciável em $(-1,3)$ , temos que seus extremos locais ocorrem nos seguintes pontos críticos

$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$	$\displaystyle\Rightarrow 4x^{3}-12x^{2}+8x=0$	(3.116)
	$\displaystyle\Rightarrow 4x(x^{2}-3x+2)=0$	(3.117)
	$\displaystyle\Rightarrow x_{1}=0,x_{2}=1,x_{3}=2.$	(3.118)

Calculando a segunda derivada de $f$ , temos

f^{\prime\prime}(x)=12x^{2}-24x+8.

(3.119)

Do teste da segunda derivada, temos

	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x_{1})=f^{\prime\prime}(0)=8>0\Rightarrow x_{1}% =0\leavevmode\nobreak\ \text{pto. m\'{\i}n. local}$		(3.120)
	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x_{2})=f^{\prime\prime}(1)=-4<0\Rightarrow x_{2% }=1\leavevmode\nobreak\ \text{pto. m\'{a}x. local}$		(3.121)
	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x_{3})=f^{\prime\prime}(2)=8>0\Rightarrow x_{3}% =2\leavevmode\nobreak\ \text{pto. m\'{\i}n. local}$		(3.122)

Agora, vejamos os valores de $f$ em cada ponto de interesse.

$x$	$-1$	$0$	$1$	$2$	$3$
$f(x)$	$9$	$0$	$1$	$0$	$9$

Então, podemos concluir que $x=-1$ e $x=3$ são pontos de máximo global (o valor máximo global é $f(-1)=f(3)=9$ ), $x=1$ é ponto de máximo local, $x=0$ e $x=2$ são pontos de mínimo global (o valor mínimo global é $f(0)=f(2)=0$ ).

Podemos usar os seguintes comandos do SymPy³⁴³⁴endnote: ³⁴Veja a Observação 3.0.1. para resolvermos este exercício:

>>> f = Lambda(x, x**4 - 4*x**3 + 4*x**2)
>>> fl = Lambda(x, diff(f(x),x))
>>> solve(fl(x))
[0, 1, 2]
>>> fll = Lambda(x, diff(fl(x),x))
>>> fll(0), fll(1), fll(2)
(8, -4, 8)
>>> f(-1), f(0), f(1), f(2), f(3)
(9, 0, 1, 0, 9)

3.5.3 Exercícios

E. 3.5.1.

Use o teste da segunda derivada para encontrar e classificar o(s) ponto(s) extremo(s) de $f(x)=x^{2}-2x$ .

Resposta.

$x=1$ ponto de mínimo global

E. 3.5.2.

Use o teste da segunda derivada para encontrar e classificar o(s) ponto(s) extremo(s) de $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}}{3}-x$ .

Resposta.

$x_{1}=-1$ ponto de máximo local; $x_{2}=1$ ponto de mínimo local;

E. 3.5.3.

Use o teste da segunda derivada para encontrar e classificar o(s) ponto(s) extremo(s) de $\displaystyle f(x)=x^{2/3}(x-1)$ .

Resposta.

$x_{1}=0$ ponto de máximo local; $x_{2}=2/5$ ponto de mínimo local;

E. 3.5.4.

Seja $f(x)=-x^{4}$ . Mostre que $x=0$ é ponto de máximo local de $f$ e que $f^{\prime}(0)=f^{\prime\prime}(0)=0$ .

Resposta.

$f^{\prime}(x)=-4x^{3}$ , $f^{\prime}(0)=0$ . Pelo teste da 1. derivada, temos que $x=0$ é ponto de máximo local. $f^{\prime\prime}(x)=-12x^{2}$ , $f^{\prime\prime}(0)=0$ .

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	$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=0$	$\displaystyle\Rightarrow 6x=0$		(3.95)
		$\displaystyle\Rightarrow x=0.$		(3.96)

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$	$\displaystyle\Rightarrow 3x^{2}=0$		(3.103)
		$\displaystyle\Rightarrow x=0.$		(3.104)

	$\displaystyle f^{\prime}(x)=0$	$\displaystyle\Rightarrow 4x^{3}=0$		(3.106)
		$\displaystyle\Rightarrow x=0.$		(3.107)