Matemática numérica II

4 Problema de valor inicial 4.3 Métodos de Runge-Kutta 4.5 Métodos de Passo Múltiplo

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4.4 Método de Euler implícito

Seja o PVI

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% y^{\prime}=f(t,y),t_{0}<t\leq t_{f},$		(4.206)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% y(t_{0})=y_{0},$		(4.207)

com dados $t_{0},t_{f}\in\mathbb{R}$ e $y_{0}\in\mathbb{R}$ , sendo a função $y=y(t)$ a incógnita.

Consideramos a discretização no tempo $t^{(k)}:=t_{0}+hk$ , $k=0,1,2,\dotsc,n$ , com passo $h:=(t_{f}-t_{0})/n$ . De (4.206)-(4.207) e do teorema fundamental do cálculo temos

y\left(t^{(k+1)}\right)=y\left(t^{(k)}\right)+\int_{t^{(k)}}^{t^{(k+1)}}f(t,y)% \,dt.

(4.208)

A integral pode ser aproximada por

\int_{t^{(k)}}^{t^{(k+1)}}f(t,y)\,dt\approx hf\left(t^{(k+1)},y^{(k+1)}\right)

(4.209)

donde obtemos

y\left(t^{(k+1)}\right)\approx y\left(t^{(k)}\right)+hf\left(t^{(k+1)},y^{(k+1% )}\right).

(4.210)

Isto nos motiva a iteração do método de Euler implícito⁹⁹9Leonhard Paul Euler, 1707-1783, matemático e físico suíço. Fonte: Wikipédia: Leonhard Euler.

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% y^{(0)}=y_{0},$		(4.211)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% y^{(k+1)}=y^{(k)}+hf\left(t^{(k+1)},y^{(k+1)}\right),$		(4.212)

sendo $y^{(k)}\approx y\left(t^{(k)}\right)$ , $k=0,1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 4.4.1.

Consideremos o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),t>0$		(4.213)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.214)

Na Tabela 4.6, temos as aproximações $\tilde{y}(1)\approx y(1)$ computadas pelo Método de Euler Implícito com diferentes passos $h$ .

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.23660$	$2.1\mathrm{e}\!-\!1$
$10^{-2}$	$2.04660$	$1.9\mathrm{e}\!-\!2$
$10^{-3}$	$2.02930$	$1.9\mathrm{e}\!-\!3$
$10^{-4}$	$2.02759$	$1.9\mathrm{e}\!-\!4$
$10^{-5}$	$2.02741$	$1.9\mathrm{e}\!-\!5$
$10^{-6}$	$2.02740$	$1.9\mathrm{e}\!-\!6$

Tabela 4.6: Resultados referentes ao Exemplo 4.4.1

Código 12: eulerImp.py

⬇

1import numpy as np

2from scipy.optimize import fsolve

4def eulerimp(f, t0, y0, h, n):

5 t = t0

6 y = y0

7 for k in range(n):

8 y = fsolve(lambda x:

9 x - y - h*f(t+h, x),

10 x0 = y, xtol=1e-14)[0]

11 t += h

12 return t, y

14def f(t, y):

15 return y + np.sin(t)

17# analítica

18def exata(t):

19 return np.exp(t) - 0.5*np.sin(t) - 0.5*np.cos(t)

21h = 1e-1

22n = round(1./h)

23t,y = eulerimp(f, 0., 0.5, h, n)

24print(f'{h:.1e}: {y:.5e} {np.abs(y-exata(1)):.1e}')

4.4.1 Análise Numérica

O Método de Euler Implícito é $O(h)$ . De fato, tomando o polinômio de Taylor

y(t)=y(t+h)-hf\left(t+h,y(t+h)\right)+O(h^{2}),

(4.215)

temos

	$\displaystyle\tau(t,y;h):=\Delta(t,y;h)-\Phi(t,y;h)$		(4.216)
	$\displaystyle\text{}\quad=\underbrace{\frac{y(t+h)-y(t)}{h}}_{:=\Delta}-% \underbrace{f(t+h,y(t+h);h)}_{:=\Phi}$		(4.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=O(h).$		(4.218)

Estabilidade

Um método é dito ser estável quando pequenas perturbações na condição inicial produzem pequenas alterações nas aproximações subsequentes, i.e. os resultados dependem continuamente dos dados iniciais.

Exemplo 4.4.2.

Consideramos o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}=-40y,0<t\leq 1,$		(4.219)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{3}.$		(4.220)

A solução exata é $y(t)=\frac{1}{5}e^{-40t}$ . Na tabela abaixo, temos os resultados obtidos por computações com o Método de Euler (Explícito, $\tilde{y}_{e}$ ) e o Método de Euler Implícito ( $\tilde{y}_{i}$ ) para $h=10^{-1}$ e $10^{-2}$ .

h	$\left\|\tilde{y}_{e}(1)-y(1)\right\|$	$\left\|\tilde{y}_{i}(1)-y(1)\right\|$
$10^{-1}$	$2.0\mathrm{e}\!+\!04$	$3.8\mathrm{e}\!-\!08$
$10^{-2}$	$1.4\mathrm{e}\!-\!18$	$8.1\mathrm{e}\!-\!16$

Estabilidade do Euler Explícito

Consideramos o PVI

	$\displaystyle y^{\prime}=\lambda y,t>0,$		(4.221)
	$\displaystyle y(0)=y_{0},$		(4.222)

para dados $\lambda<0$ e $y_{0}\in\mathbb{R}$ .

A iteração do Método de Euler Explícito para este PVI consiste em

	$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.223)
	$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+h\lambda y^{(k)},$		(4.224)

donde temos

y^{(k+1)}=(1+h\lambda)^{k+1}y_{0}.

(4.225)

Tendo em vista a solução exata $y(t)=y_{0}e^{\lambda t}$ , temos que o erro global é

	$\displaystyle\left\|y\left(t^{(k)}\right)-y^{(k)}\right\|=\left\|y_{0}e^{\lambda hk% }-y_{0}(1+h\lambda)^{k}\right\|$		(4.226)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left\|\left(e^{\lambda h}\right)^{k}-(1+h\lambda)^{k% }\right\|\|y_{0}\|$		(4.227)

e, portanto, a exatidão é determinada por quão bem $1+h\lambda$ aproxima $e^{\lambda h}$ . Observamos que, para qualquer $\lambda<0$ , $\left(e^{\lambda h}\right)^{k}\to 0$ quando $t\to\infty$ . Por outro lado, para $y^{(k)}\to 0$ , quando $t\to 0$ , é necessário que $|1+h\lambda|<1$ , i.e. o passo do Método de Euler fica restrito

h<\frac{2}{|\lambda|}

(4.228)

Supondo um erro de arredondamento $\delta_{0}$ (apenas) na condição inicial, as aproximações subsequentes do Método de Euler Explícito ficariam

y^{(k+1)}=(1+h\lambda)^{k+1}\left(y_{0}+\delta_{0}\right),

(4.229)

donde temos que

\delta^{(k)}=(1+h\lambda)^{k}\delta_{0}

(4.230)

é o valor propagado de $\delta_{0}$ na $k$ -ésima iteração. Ou seja, quando $|1+h\lambda|>1$ , temos que $\delta^{(k)}\to\infty$ quando $k\to\infty$ e o método é instável. Concluímos que o Método de Euler Explícito é estável para

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}h<\frac{2}{|% \lambda|}.

(4.231)

Estabilidade do Euler Implícito

O Método de Euler Implícito é incondicionalmente estável. Para o PVI (4.221)-(4.222), o método produz as aproximações

y^{(k)}=\left(1-h\lambda\right)^{-k}y_{0}.

(4.232)

Aqui, para qualquer $\lambda<0$ , temos que

\left(1-h\lambda\right)^{-k}\to 0,\quad k\to\infty,

(4.233)

para qualquer escolha do passo $h>0$ . Isto mostra a estabilidade incondicional do método. Também, o E.4.4.7 mostra que o método é convergente para o PVI (4.221)-(4.222).

4.4.2 Exercícios

E. 4.4.1.

Considere o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}=y+1,\leavevmode\nobreak\ 0<t\leq 1,$		(4.234)
	$\displaystyle y(0)=0,$		(4.235)

com solução exata $y(t)=e^{t}-1$ . Use o Método de Euler Implícito com $h=10^{-1}$ para computar uma aproximação de $y(1)$ . Então, verifique a ordem de convergência para diferentes passos $h=10^{-1},10^{-2},10^{-3}$ e $10^{-4}$ .

Dica.

	$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+hf\left(t^{(k+1)},y^{(k+1)}\right)$		(4.236)
	$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+h\left(y^{(k+1)}+1\right)$		(4.237)
	$\displaystyle y^{(k+1)}=\frac{y^{(k)}+h}{1-h}.$		(4.238)

E. 4.4.2.

Considere o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}=-50y+50,0<t\leq 1,$		(4.239)
	$\displaystyle y(0)=2,$		(4.240)

com solução exata $y(t)=1+e^{-50t}$ . Com $h=10^{-1}$ , compute a aproximação de $y(1)$ dada pelo

a)

Método de Euler Explícito.
b)

Método de Euler Implícito.

Por que os resultados são tão diferentes entre os métodos? Escolha um passo $h$ em que ambos produzam resultados satisfatórios e justifique sua escolha.

Dica: consulte a condição de estabilidade (4.231).

E. 4.4.3.

Use o Método de Euler Implícito, com $h=10^{-1}$ , para computar aproximações para a solução do PVI discutido no Exemplo 4.1.1. Compare os resultados com aqueles apresentados com o Método de Euler Explícito.

E. 4.4.4.

O problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}=\pi\left[\cos^{2}(\pi t)-\operatorname{sen}^{2}(\pi t% )\right],\leavevmode\nobreak\ t>0,$		(4.241)
	$\displaystyle y(0)=0.$		(4.242)

tem solução analítica $y(t)=\operatorname{sen}(\pi t)\cos(\pi t)$ . Compute a aproximação $\tilde{y}(1.5)\approx y(1.5)$ pelo Método de Euler Implícito com passo $h=10^{-1}$ e forneça o erro $\varepsilon:=\left|\tilde{y}(1.5,h)-y(1.5)\right|$ .

$\tilde{y}(1.5)=6.65400\mathrm{e}\!-\!1$ , $\varepsilon=6.7E-01$

E. 4.4.5.

Use o Método de Euler Implícito para computar a solução de

	$\displaystyle y^{\prime}=e^{2t}-2y,\quad 0<t\leq 1,$		(4.243)
	$\displaystyle y(0)=0.$		(4.244)

Escolha um passo $h$ adequado de forma que $y(1)$ seja computado com precisão de $5$ dígitos significativos.

E. 4.4.6.

Considere o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}+e^{-y^{2}+1}=2,\quad t>1,$		(4.245)
	$\displaystyle y(1)=-1.$		(4.246)

Use o Método de Euler Implícito para computar o valor aproximado de $y(2)$ com precisão de $6$ dígitos significativos.

Análise Numérica

E. 4.4.7.

Mostre que o Método de Euler Implícito é convergente para a solução exata do PVI (4.221)-(4.222) para qualquer $\lambda<0$ .

	$\displaystyle y\left(t^{(k)}\right)=y_{0}e^{\lambda t^{(k)}}$		(4.247)
	$\displaystyle\text{}\quad=y_{0}\lim_{h\to 0^{+}}\left(1-h\lambda\right)^{-t^{(% k)}/h}$		(4.248)
	$\displaystyle\text{}\quad=y_{0}\lim_{h\to 0^{+}}\left(1-h\lambda\right)^{-k}$		(4.249)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{h\to 0^{+}}y^{(k)}.$		(4.250)

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4.4 Método de Euler implícito

Exemplo 4.4.1.

4.4.1 Análise Numérica

Estabilidade

Exemplo 4.4.2.

Estabilidade do Euler Explícito

Estabilidade do Euler Implícito

4.4.2 Exercícios

E. 4.4.1.

E. 4.4.2.

E. 4.4.3.

E. 4.4.4.

E. 4.4.5.

E. 4.4.6.

Análise Numérica

E. 4.4.7.

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