Matemática numérica II

4 Problema de valor inicial 4.2 Métodos de Taylor de Alta Ordem 4.4 Método de Euler implícito

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4.3 Métodos de Runge-Kutta

Seja um PVI da forma

	$\displaystyle y^{\prime}=f(t,y),\quad t_{0}<t\leq t_{f},$		(4.150)
	$\displaystyle y(t_{0})=y_{0},$		(4.151)

onde $y:[t_{0},t_{f}]\mapsto\mathbb{R}$ é a função incógnita, dada $f:[t_{0},t_{f}]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ e dado valor inicial $y_{0}\in\mathbb{R}$ . Seguimos usando a notação $y^{(k)}\approx y\left(t^{(k)}\right)$ , $t^{(k)}=t_{0}+kh$ , $k=0,1,2,\dotsc,n$ , $h=(t_{f}-t_{0})/n$ .

Os métodos de Runge⁶⁶6Carl David Tolmé Runge, 1856 - 1927, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Carl Runge.-Kutta⁷⁷7Martin Wilhelm Kutta, 1867 - 1944, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Martin Wilhelm Kutta. de $s$ -estágios são métodos de passo simples da seguinte forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y^{(k+1)}=y^{% (k)}+h\underbrace{\sum_{i=1}^{s}c_{i}\phi_{i}\left(t^{(k)},y^{(k)}\right)}_{:=% \Phi\left(t^{(k)},y^{(k)}\right)},

(4.152)

onde

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \phi_{1}:=f\left(t^{(k)},y^{(k)}\right),$		(4.153)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \phi_{2}:=f\left(t^{(k)}+\alpha_{2}h,y^{(k)}+h\beta_{2,1}\phi_{1}\right),$		(4.154)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \phi_{3}:=f\left(t^{(k)}+\alpha_{3}h,y^{(k)}+h(\beta_{3,1}\phi_{1}+\beta_{3,2}% \phi_{2})\right),$		(4.155)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \phi_{s}:=f\left(t^{(i)}+\alpha_{s}h,y^{(i)}+h\sum_{j=1}^{s-1}\beta_{s,j}\phi_% {j}\right),$		(4.156)

com os coeficientes $c_{i},\alpha_{i}$ , $i=1,2,\dotsc,s$ e $\beta_{i,j}$ , $j=1,2,\dotsc,s-1$ , escolhidos de forma a obtermos um método de passo simples com erro local da ordem desejada.

Na sequência, discutimos alguns dos métodos de Runge-Kutta usualmente utilizados. Pode-se encontrar uma lista mais completa em [3, Cap. 8, Seção 3.2].

4.3.1 Métodos de Runge-Kutta de ordem 2

Precisamos apenas de $2$ estágios para obtermos métodos de Runge-Kutta de ordem 2. Tomamos a forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y^{(k+1)}=y^{% (k)}+h\underbrace{\left(c_{1}\phi_{1}+c_{2}\phi_{2}\right)}_{:=\Phi\left(t^{(k% )},y^{(k)}\right)}

(4.157)

com

	$\displaystyle\phi_{1}\left(t^{(k)},y^{(k)}\right):=f\left(t^{(k)},y^{(k)}% \right),$		(4.158)
	$\displaystyle\phi_{2}\left(t^{(k)},y^{(k)}\right):=f\left(t^{(k)}+\alpha_{2}h,% y^{(k)}+h\beta_{2,1}f(t^{(k)},y^{(k)})\right).$		(4.159)

Nosso objetivo é de determinar os coeficientes $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\alpha_{2}$ , $\beta_{2,1}$ tais que o método (4.157) tenha erro de discretização local de $O(h^{2})$ . Da definição do erro local (4.110)

\tau(t,y;h):=\Delta(t,y;h)-\Phi(t,y;h),

(4.160)

e por polinômio de Taylor de $y(t)$ ⁸⁸8Consulte (4.115) para mais detalhes sobre a expansão em polinômio de Taylor de $\Delta(t,y;h)$ .

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \Delta(t,y;h)=f(t,y(t))+\frac{h}{2}\frac{d}{dt}f(t,y)+O(h^{2})$		(4.161)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=f(t,y(t))+\frac{h}{2}\left[f_{t}(t,y)\right.$
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}\left.+f_{y}(t,y)f(t,y)\right]+O(h^{2}).$		(4.162)

De (4.157), temos

\Phi(t,y;h)=c_{1}f(t,y)+c_{2}f\left(t+\alpha_{2}h,y+h\beta_{2,1}f(t,y)\right)

(4.163)

Agora, tomando a expansão por série de Taylor de $\Phi(t,y;h)$ , temos

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \Phi(t,y;h)=(c_{1}+c_{2})f(t,y)+c_{2}h[\alpha_{2}f_{t}(t,y)$
	$\displaystyle\text{}\qquad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}+\beta_{2,1}f_{y}(t,y)f(t,y))+O(h^{2}).$		(4.164)

Então, por comparação de (4.162) e (4.164), temos

	$\displaystyle c_{1}+c_{2}=1$		(4.165)
	$\displaystyle c_{2}\alpha_{2}=\frac{1}{2}$		(4.166)
	$\displaystyle c_{2}\beta_{21}=\frac{1}{2}.$		(4.167)

Este sistema tem mais de uma solução possível.

Método do Ponto Médio

O Método do Ponto Médio é um método de Runge-Kutta de ordem $2$ proveniente da escolha de coeficientes

	$\displaystyle c_{1}=0,$		(4.168)
	$\displaystyle c_{2}=1,$		(4.169)
	$\displaystyle\alpha_{2}=\frac{1}{2},$		(4.170)
	$\displaystyle\beta_{2,1}=\frac{1}{2}.$		(4.171)

Logo, a iteração do Método do Ponto Médio é

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% y^{(0)}=y_{0}$		(4.172)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% y^{(k+1)}=y^{(k)}+hf\left(t^{(k)}+\frac{h}{2},y^{(k)}+\frac{h}{2}f(t^{(k)},y^{% (k)})\right),$		(4.173)

com $k=0,1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 4.3.1.

Consideramos o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),0<t\leq 1,$		(4.174)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.175)

Na Tabela 4.3, temos as aproximações $\tilde{y}(1)\approx y(1)$ computadas pelo Método do Ponto Médio com diferentes passos $h$ .

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.02175$	$5.6\mathrm{e}\!-\!03$
$10^{-2}$	$2.02733$	$6.0\mathrm{e}\!-\!05$
$10^{-3}$	$2.02739$	$6.1\mathrm{e}\!-\!07$
$10^{-4}$	$2.02740$	$6.1\mathrm{e}\!-\!09$
$10^{-5}$	$2.02740$	$6.1\mathrm{e}\!-\!11$
$10^{-6}$	$2.02740$	$1.9\mathrm{e}\!-\!12$

Tabela 4.3: Resultados referentes ao Exemplo 4.3.1.

Código 10: pm.py

⬇

1import numpy as np

3def pm(f, t0, y0, h, n):

4 t = t0

5 y = y0

6 for k in range(n):

7 ya = y + h/2*f(t, y)

8 y += h*f(t+h/2, ya)

9 t += h

10 return t, y

12def f(t, y):

13 return y + np.sin(t)

15# analítica

16def exata(t):

17 return np.exp(t) - 0.5*np.sin(t) - 0.5*np.cos(t)

19h = 1e-1

20n = round(1./h)

21t,y = pm(f, 0., 0.5, h, n)

22print(f'{h:.1e}: {y:.5e} {np.abs(y-exata(1)):.1e}')

Método de Euler Modificado

O Método de Euler Modificado é um método de Runge-Kutta de ordem $2$ proveniente da escolha de coeficientes

	$\displaystyle c_{1}=\frac{1}{2},$		(4.176)
	$\displaystyle c_{2}=\frac{1}{2},$		(4.177)
	$\displaystyle\alpha_{2}=1,$		(4.178)
	$\displaystyle\beta_{21}=1.$		(4.179)

Logo, a iteração do Método de Euler Modificado é

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% y^{(0)}=y_{0}$		(4.180)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{2}\left[f\left(t^{(k)},y^{(k)}\right)\right.$		(4.181)
	$\displaystyle\text{}\qquad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor% }{rgb}{0,0,1}\left.+f\left(t^{(k)}+h,y^{(k)}+hf\left(t^{(k)},y^{(k)}\right)% \right)\right].$		(4.182)

Exemplo 4.3.2.

Consideremos o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),t>0$		(4.183)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.184)

Na Tabela 4.4, temos as aproximações $\tilde{y}(1)$ de $y(1)$ computadas pelo Método de Euler modificado com diferentes passos $h$ .

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.02096$	$6.4\mathrm{e}\!-\!03$
$10^{-2}$	$2.02733$	$6.9\mathrm{e}\!-\!05$
$10^{-3}$	$2.02739$	$6.9\mathrm{e}\!-\!07$
$10^{-4}$	$2.02740$	$6.9\mathrm{e}\!-\!09$
$10^{-5}$	$2.02740$	$6.9\mathrm{e}\!-\!11$
$10^{-6}$	$2.02740$	$2.0\mathrm{e}\!-\!12$

Tabela 4.4: Resultados referentes ao Exemplo 4.3.2

Código 11: eulerm.py

⬇

1import numpy as np

3def eulerm(f, t0, y0, h, n):

4 t = t0

5 y = y0

6 for k in range(n):

7 ya = y + h*f(t, y)

8 y += h/2 * (f(t, y) \

9 + f(t+h, ya))

10 t += h

11 return t, y

13def f(t, y):

14 return y + np.sin(t)

16# analítica

17def exata(t):

18 return np.exp(t) - 0.5*np.sin(t) - 0.5*np.cos(t)

20h = 1e-1

21n = round(1./h)

22t,y = eulerm(f, 0., 0.5, h, n)

23print(f'{h:.1e}: {y:.5e} {np.abs(y-exata(1)):.1e}')

4.3.2 Método de Runge-Kutta de ordem $4$

Um dos métodos de Runge-Kutta mais empregados é o seguinte método de ordem $4$ :

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% y^{(0)}=y_{0},$		(4.185)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{6}(\phi_{1}+2\phi_{2}+2\phi_{3}+\phi_{4}),$		(4.186)

com

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \phi_{1}:=f\left(t^{(k)},y^{(k)}\right),$		(4.187)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \phi_{2}:=f\left(t^{(k)}+h/2,y^{(k)}+h\phi_{1}/2\right),$		(4.188)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \phi_{3}:=f\left(t^{(k)}+h/2,y^{(k)}+h\phi_{2}/2\right),$		(4.189)
	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \phi_{4}:=f\left(t^{(k)}+h,y^{(k)}+h\phi_{3}\right),$		(4.190)

Exemplo 4.3.3.

Consideremos o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),t>0$		(4.191)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.192)

Na Tabela 4.5, temos as aproximações $\tilde{y}(1)\approx y(1)$ computadas pelo Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem com diferentes passos $h$ .

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.02739$	$2.8\mathrm{e}\!-\!06$
$10^{-2}$	$2.02740$	$3.1\mathrm{e}\!-\!10$
$10^{-3}$	$2.02740$	$3.0\mathrm{e}\!-\!14$
$10^{-4}$	$2.02740$	$4.4\mathrm{e}\!-\!14$

Tabela 4.5: Resultados referentes ao Exemplo 4.3.3

4.3.3 Exercícios

E. 4.3.1.

Considere o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}+e^{-y^{2}+1}=2,1<t\leq 2,$		(4.193)
	$\displaystyle y(1)=-1.$		(4.194)

Use os seguintes métodos de Runge-Kutta com passo $h=0,1$ para computar o valor aproximado de $y(2)$ :

a)

Método do Ponto Médio.
b)

Método de Euler Modificado.
c)

Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem.

a) $-6.00654\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $-6.00703\mathrm{e}\!-\!1$ ; c) $-5.99608\mathrm{e}\!-\!1$

E. 4.3.2.

(4.144)-(4.145) Considere o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}+\cos(t)=y,\quad 0<t\leq 1,$		(4.195)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.196)

A solução analítica é $y(t)=\frac{1}{2}\cos(t)-\frac{1}{2}\sin(t)$ . Faça testes numéricos com $h=10^{-1}$ , $10^{-2}$ , $10^{-3}$ e $10^{-4}$ , observe os resultados obtidos e o erro $\varepsilon:=|\tilde{y}(1)-y(1)|$ , onde $\tilde{y}$ corresponde a solução numérica. Faça testes para:

a)

Método do Ponto Médio.
b)

Método de Euler Modificado.
c)

Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem.

O erro tem o comportamento esperado? Justifique sua resposta.

E. 4.3.3.

Considere os métodos de Runge-Kutta aplicados para computar a solução do PVI (4.144)-(4.145). Para cada um, faça um esboço do gráfico do erro $e\left(t;h=10^{-1}\right)=\left|\tilde{y}(t)-y(t)\right|$ e verifique se ele tem a forma esperada conforme a estimativa do erro global (4.125).

Dica: o gráfico de $e\left(t;h=10^{-1}\right)$ tem a forma de uma função exponencial crescente para todos os métodos de R-K.

E. 4.3.4.

Mostre que o Método de Kutta é $O(h^{3})$ . Sua iteração é definida por

	$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.197)
	$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{6}\left(\phi_{1}+4\phi_{2}+\phi_{3}% \right),$		(4.198)

com $k=0,1,2,\dotsc,n$ , onde

	$\displaystyle\phi_{1}=f(t,y)$		(4.199)
	$\displaystyle\phi_{2}=f(t+h/2,y+h\phi_{1}/2)$		(4.200)
	$\displaystyle\phi_{3}=f(t+h,y-h\phi_{1}+2h\phi_{2}).$		(4.201)

Aplique-o para o PVI dado no Exercício (4.144)-(4.145) e verifique se o erro global satisfaz a ordem esperada.

E. 4.3.5.

Considere o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}=y^{2}-ty,\quad 1<t\leq 2,$		(4.202)
	$\displaystyle y(1)=-2.$		(4.203)

Use os seguintes métodos de Runge-Kutta com passo $h=0.1$ para computar o valor aproximado de $y(2)$ :

a)

Método do Ponto Médio.
b)

Método de Euler Modificado.
c)

Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem.

Dica: $y(2)=-2.10171\mathrm{e}\!-\!1$ .

E. 4.3.6.

Considere o seguinte PVI

	$\displaystyle y^{\prime}-t^{2}y=0,\quad 1<t\leq 3,$		(4.204)
	$\displaystyle y(1)=\frac{1}{2}.$		(4.205)

Use os seguintes métodos de Runge-Kutta com passo $h=10^{-2}$ para computar o valor aproximado de $y(3)$ :

a)

Método do Ponto Médio.
b)

Método de Euler Modificado.
c)

Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem.

Dica: $y(3)=2.90306\mathrm{e}\!+\!3$ .

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Matemática numérica II

4.3 Métodos de Runge-Kutta

4.3.1 Métodos de Runge-Kutta de ordem 2

Método do Ponto Médio

Exemplo 4.3.1.

Método de Euler Modificado

Exemplo 4.3.2.

4.3.2 Método de Runge-Kutta de ordem $4$

Exemplo 4.3.3.

4.3.3 Exercícios

E. 4.3.1.

E. 4.3.2.

E. 4.3.3.

E. 4.3.4.

E. 4.3.5.

E. 4.3.6.

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4.3 Métodos de Runge-Kutta

4.3.1 Métodos de Runge-Kutta de ordem 2

Método do Ponto Médio

Exemplo 4.3.1.

Método de Euler Modificado

Exemplo 4.3.2.

4.3.2 Método de Runge-Kutta de ordem 4

Exemplo 4.3.3.

4.3.3 Exercícios

E. 4.3.1.

E. 4.3.2.

E. 4.3.3.

E. 4.3.4.

E. 4.3.5.

E. 4.3.6.

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