Matemática Numérica II

4 Problema de Valor Inicial 4.2 Métodos de Taylor de Alta Ordem 4.4 Método de Euler Implícito

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

4.3 Métodos de Runge-Kutta

Seja um Problema de Valor Inicial (PVI) da forma


	$\displaystyle y^{\prime}=f(t,y),\quad t_{0}<t\leq t_{f},$		(4.114a)
	$\displaystyle y(t_{0})=y_{0},$		(4.114b)

onde $y:[t_{0},t_{f}]\mapsto\mathbb{R}$ é a função incógnita, dada $f:[t_{0},t_{f}]\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ e dado valor inicial $y_{0}\in\mathbb{R}$ . Seguimos usando a notação $y^{(k)}\approx y\left(t^{(k)}\right)$ , $t^{(k)}=t_{0}+kh$ , $k=0,1,2,\dotsc,n$ , $h=(t_{f}-t_{0})/n$ .

Os métodos de Runge¹³¹³endnote: ¹³Carl David Tolmé Runge, 1856 - 1927, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Carl Runge.-Kutta¹⁴¹⁴endnote: ¹⁴Martin Wilhelm Kutta, 1867 - 1944, matemático alemão. Fonte: Wikipédia: Martin Wilhelm Kutta. de $s$ -estágios são métodos de passo simples da seguinte forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y^{(k+1)}=y^{% (k)}+h\underbrace{\sum_{i=1}^{s}c_{i}\phi_{i}\left(t^{(k)},y^{(k)}\right)}_{:=% \Phi\left(t^{(k)},y^{(k)}\right)},

(4.115)

onde


	$\displaystyle\phi_{1}:=f\left(t^{(k)},y^{(k)}\right),$		(4.116a)
	$\displaystyle\phi_{2}:=f\left(t^{(k)}+\alpha_{2}h,y^{(k)}+h\beta_{2,1}\phi_{1}% \right),$		(4.116b)
	$\displaystyle\phi_{3}:=f\left(t^{(k)}+\alpha_{3}h,y^{(k)}+h(\beta_{3,1}\phi_{1% }+\beta_{3,2}\phi_{2})\right),$		(4.116c)
	$\displaystyle\text{}\quad\vdots$
	$\displaystyle\phi_{s}:=f\left(t^{(i)}+\alpha_{s}h,y^{(i)}+h\sum_{j=1}^{s-1}% \beta_{s,j}\phi_{j}\right),$		(4.116d)

com os coeficientes $c_{i},\alpha_{i}$ , $i=1,2,\dotsc,s$ e $\beta_{i,j}$ , $j=1,2,\dotsc,s-1$ , escolhidos de forma a obtermos um método de passo simples com erro local da ordem desejada.

Na sequência, discutimos alguns dos métodos de Runge-Kutta usualmente utilizados. Pode-se encontrar uma lista mais completa em [3, Cap. 8, Seção 3.2].

4.3.1 Métodos de Runge-Kutta de ordem 2

Precisamos apenas de $2$ estágios para obtermos métodos de Runge-Kutta de ordem 2. Tomamos a forma

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}y^{(k+1)}=y^{% (k)}+h\underbrace{\left(c_{1}\phi_{1}+c_{2}\phi_{2}\right)}_{:=\Phi\left(t^{(k% )},y^{(k)}\right)}

(4.117)

com


	$\displaystyle\phi_{1}\left(t^{(k)},y^{(k)}\right):=f\left(t^{(k)},y^{(k)}% \right),$		(4.118a)
	$\displaystyle\phi_{2}\left(t^{(k)},y^{(k)}\right):=f\left(t^{(k)}+\alpha_{2}h,% y^{(k)}+h\beta_{2,1}f(t^{(k)},y^{(k)})\right).$		(4.118b)

Nosso objetivo é de determinar os coeficientes $c_{1}$ , $c_{2}$ , $\alpha_{2}$ , $\beta_{2,1}$ tais que o método (4.117) tenha erro de discretização local de $O(h^{2})$ . Da definição do erro local (4.79)

\tau(t,y;h):=\Delta(t,y;h)-\Phi(t,y;h),

(4.119)

e por polinômio de Taylor de $y(t)$ ¹⁵¹⁵endnote: ¹⁵Consulte (4.84) para mais detalhes sobre a expansão em polinômio de Taylor de $\Delta(t,y;h)$ .

	$\displaystyle\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \Delta(t,y;h)=f(t,y(t))+\frac{h}{2}\frac{d}{dt}f(t,y)+O(h^{2})$		(4.120)
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}=f(t,y(t))+\frac{h}{2}\left[f_{t}(t,y)\right.$
	$\displaystyle\text{}\quad\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}% {rgb}{0,0,1}\left.+f_{y}(t,y)f(t,y)\right]+O(h^{2}).$		(4.121)

De (4.117), temos

\Phi(t,y;h)=c_{1}f(t,y)+c_{2}f\left(t+\alpha_{2}h,y+h\beta_{2,1}f(t,y)\right)

(4.122)

Agora, tomando a expansão por série de Taylor de $\Phi(t,y;h)$ , temos

		$\displaystyle\Phi(t,y;h)=(c_{1}+c_{2})f(t,y)+c_{2}h[\alpha_{2}f_{t}(t,y)$		(4.123)
		$\displaystyle\text{}\quad+\beta_{2,1}f_{y}(t,y)f(t,y))+O(h^{2}).$		(4.123)

Então, por comparação de (4.121) e (4.123), temos

	$\displaystyle c_{1}+c_{2}=1$		(4.124)
	$\displaystyle c_{2}\alpha_{2}=\frac{1}{2}$		(4.125)
	$\displaystyle c_{2}\beta_{21}=\frac{1}{2}.$		(4.126)

Este sistema tem mais de uma solução possível.

Método do Ponto Médio

O Método do Ponto Médio é um método de Runge-Kutta de ordem $2$ proveniente da escolha de coeficientes

		$\displaystyle c_{1}=0,$		(4.127)
		$\displaystyle c_{2}=1,$
		$\displaystyle\alpha_{2}=\frac{1}{2},$
		$\displaystyle\beta_{2,1}=\frac{1}{2}.$

Logo, a iteração do Método do Ponto Médio é

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0}$		(4.128)
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+hf\left(t^{(k)}+\frac{h}{2},y^{(k)}+\frac{h}{2% }f(t^{(k)},y^{(k)})\right),$		(4.128)

com $k=0,1,2,\dotsc,n$ .

Exemplo 4.3.1.

Consideramos o seguinte PVI


	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),0<t\leq 1,$		(4.129a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.129b)

Na Tabela 4.3, temos as aproximações $\tilde{y}(1)\approx y(1)$ computadas pelo Método do Ponto Médio com diferentes passos $h$ .

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.02175$	$5.6\mathrm{e}\!-\!03$
$10^{-2}$	$2.02733$	$6.0\mathrm{e}\!-\!05$
$10^{-3}$	$2.02739$	$6.1\mathrm{e}\!-\!07$
$10^{-4}$	$2.02740$	$6.1\mathrm{e}\!-\!09$
$10^{-5}$	$2.02740$	$6.1\mathrm{e}\!-\!11$
$10^{-6}$	$2.02740$	$1.9\mathrm{e}\!-\!12$

Tabela 4.3: Resultados referentes ao Exemplo 4.3.1.

Código 10: pm.py

⬇

1import numpy as np

3def pm(f, t0, y0, h, n):

4 t = t0

5 y = y0

6 for k in range(n):

7 ya = y + h/2*f(t, y)

8 y += h*f(t+h/2, ya)

9 t += h

10 return t, y

12def f(t, y):

13 return y + np.sin(t)

15# analítica

16def exata(t):

17 return np.exp(t) - 0.5*np.sin(t) - 0.5*np.cos(t)

19h = 1e-1

20n = round(1./h)

21t,y = pm(f, 0., 0.5, h, n)

22print(f'{h:.1e}: {y:.5e} {np.abs(y-exata(1)):.1e}')

Método de Euler Modificado

O Método de Euler Modificado é um método de Runge-Kutta de ordem $2$ proveniente da escolha de coeficientes

		$\displaystyle c_{1}=\frac{1}{2},$		(4.130)
		$\displaystyle c_{2}=\frac{1}{2},$
		$\displaystyle\alpha_{2}=1,$
		$\displaystyle\beta_{21}=1.$

Logo, a iteração do Método de Euler Modificado é

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0}$		(4.131)
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{2}\left[f\left(t^{(k)},y^{(k)}\right)\right.$
		$\displaystyle\text{}\quad\left.+f\left(t^{(k)}+h,y^{(k)}+hf\left(t^{(k)},y^{(k% )}\right)\right)\right].$

Exemplo 4.3.2.

Consideremos o seguinte problema de valor inicial


	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),t>0$		(4.132a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.132b)

Na Tabela 4.4, temos as aproximações $\tilde{y}(1)$ de $y(1)$ computadas pelo Método de Euler modificado com diferentes passos $h$ .

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.02096$	$6.4\mathrm{e}\!-\!03$
$10^{-2}$	$2.02733$	$6.9\mathrm{e}\!-\!05$
$10^{-3}$	$2.02739$	$6.9\mathrm{e}\!-\!07$
$10^{-4}$	$2.02740$	$6.9\mathrm{e}\!-\!09$
$10^{-5}$	$2.02740$	$6.9\mathrm{e}\!-\!11$
$10^{-6}$	$2.02740$	$2.0\mathrm{e}\!-\!12$

Tabela 4.4: Resultados referentes ao Exemplo 4.3.2

Código 11: eulerm.py

⬇

1import numpy as np

3def eulerm(f, t0, y0, h, n):

4 t = t0

5 y = y0

6 for k in range(n):

7 ya = y + h*f(t, y)

8 y += h/2 * (f(t, y) \

9 + f(t+h, ya))

10 t += h

11 return t, y

13def f(t, y):

14 return y + np.sin(t)

16# analítica

17def exata(t):

18 return np.exp(t) - 0.5*np.sin(t) - 0.5*np.cos(t)

20h = 1e-1

21n = round(1./h)

22t,y = eulerm(f, 0., 0.5, h, n)

23print(f'{h:.1e}: {y:.5e} {np.abs(y-exata(1)):.1e}')

4.3.2 Método de Runge-Kutta de ordem $4$

Um dos métodos de Runge-Kutta mais empregados é o seguinte método de ordem $4$ :

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.133)
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{6}(\phi_{1}+2\phi_{2}+2\phi_{3}+\phi_% {4}),$		(4.133)

com


	$\displaystyle\phi_{1}:=f\left(t^{(k)},y^{(k)}\right),$		(4.134a)
	$\displaystyle\phi_{2}:=f\left(t^{(k)}+h/2,y^{(k)}+h\phi_{1}/2\right),$		(4.134b)
	$\displaystyle\phi_{3}:=f\left(t^{(k)}+h/2,y^{(k)}+h\phi_{2}/2\right),$		(4.134c)
	$\displaystyle\phi_{4}:=f\left(t^{(k)}+h,y^{(k)}+h\phi_{3}\right),$		(4.134d)

Exemplo 4.3.3.

Consideremos o seguinte PVI


	$\displaystyle y^{\prime}-y=\operatorname{sen}(t),t>0$		(4.135a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.135b)

Na Tabela 4.5, temos as aproximações $\tilde{y}(1)\approx y(1)$ computadas pelo Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem com diferentes passos $h$ .

$h$	$\tilde{y}(1)$	$\|\tilde{y}(1)-y(1)\|$
$10^{-1}$	$2.02739$	$2.8\mathrm{e}\!-\!06$
$10^{-2}$	$2.02740$	$3.1\mathrm{e}\!-\!10$
$10^{-3}$	$2.02740$	$3.0\mathrm{e}\!-\!14$
$10^{-4}$	$2.02740$	$4.4\mathrm{e}\!-\!14$

Tabela 4.5: Resultados referentes ao Exemplo 4.3.3

4.3.3 Exercícios

E. 4.3.1.

Considere o seguinte problema de valor inicial

	$\displaystyle y^{\prime}+e^{-y^{2}+1}=2,1<t\leq 2,$		(4.136)
	$\displaystyle y(1)=-1.$		(4.137)

Use os seguintes métodos de Runge-Kutta com passo $h=0,1$ para computar o valor aproximado de $y(2)$ :

a)

Método do Ponto Médio.
b)

Método de Euler Modificado.
c)

Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem.

a) $-6.00654\mathrm{e}\!-\!1$ ; b) $-6.00703\mathrm{e}\!-\!1$ ; c) $-5.99608\mathrm{e}\!-\!1$

E. 4.3.2.

(4.111) Considere o seguinte problema de valor inicial


	$\displaystyle y^{\prime}+\cos(t)=y,\quad 0<t\leq 1,$		(4.138a)
	$\displaystyle y(0)=\frac{1}{2}.$		(4.138b)

A solução analítica é $y(t)=\frac{1}{2}\cos(t)-\frac{1}{2}\sin(t)$ . Faça testes numéricos com $h=10^{-1}$ , $10^{-2}$ , $10^{-3}$ e $10^{-4}$ , observe os resultados obtidos e o erro $\varepsilon:=|\tilde{y}(1)-y(1)|$ , onde $\tilde{y}$ corresponde a solução numérica. Faça testes para:

a)

Método do Ponto Médio.
b)

Método de Euler Modificado.
c)

Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem.

O erro tem o comportamento esperado? Justifique sua resposta.

E. 4.3.3.

Considere os métodos de Runge-Kutta aplicados para computar a solução do PVI (4.111). Para cada um, faça um esboço do gráfico do erro $e\left(t;h=10^{-1}\right)=\left|\tilde{y}(t)-y(t)\right|$ e verifique se ele tem a forma esperada conforme a estimativa do erro global (4.92).

Dica: o gráfico de $e\left(t;h=10^{-1}\right)$ tem a forma de uma função exponencial crescente para todos os métodos de R-K.

E. 4.3.4.

Mostre que o Método de Kutta é $O(h^{3})$ . Sua iteração é definida por

		$\displaystyle y^{(0)}=y_{0},$		(4.139)
		$\displaystyle y^{(k+1)}=y^{(k)}+\frac{h}{6}\left(\phi_{1}+4\phi_{2}+\phi_{3}% \right),$		(4.139)

com $k=0,1,2,\dotsc,n$ , onde

		$\displaystyle\phi_{1}=f(t,y)$		(4.140)
		$\displaystyle\phi_{2}=f(t+h/2,y+h\phi_{1}/2)$
		$\displaystyle\phi_{3}=f(t+h,y-h\phi_{1}+2h\phi_{2}).$

Aplique-o para o PVI dado no Exercício (4.111) e verifique se o erro global satisfaz a ordem esperada.

E. 4.3.5.

Considere o seguinte PVI


	$\displaystyle y^{\prime}=y^{2}-ty,\quad 1<t\leq 2,$		(4.141a)
	$\displaystyle y(1)=-2.$		(4.141b)

Use os seguintes métodos de Runge-Kutta com passo $h=0.1$ para computar o valor aproximado de $y(2)$ :

a)

Método do Ponto Médio.
b)

Método de Euler Modificado.
c)

Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem.

Dica: $y(2)=-2.10171\mathrm{e}\!-\!1$ .

E. 4.3.6.

Considere o seguinte PVI


	$\displaystyle y^{\prime}-t^{2}y=0,\quad 1<t\leq 3,$		(4.142a)
	$\displaystyle y(1)=\frac{1}{2}.$		(4.142b)

Use os seguintes métodos de Runge-Kutta com passo $h=10^{-2}$ para computar o valor aproximado de $y(3)$ :

a)

Método do Ponto Médio.
b)

Método de Euler Modificado.
c)

Método de Runge-Kutta de Quarta Ordem.

Dica: $y(3)=2.90306\mathrm{e}\!+\!3$ .

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Matemática Numérica II

4.3 Métodos de Runge-Kutta

4.3.1 Métodos de Runge-Kutta de ordem 2

Método do Ponto Médio

Exemplo 4.3.1.

Método de Euler Modificado

Exemplo 4.3.2.

4.3.2 Método de Runge-Kutta de ordem $4$

Exemplo 4.3.3.

4.3.3 Exercícios

E. 4.3.1.

E. 4.3.2.

E. 4.3.3.

E. 4.3.4.

E. 4.3.5.

E. 4.3.6.

Envie seu comentário

Política de uso de dados

Política de uso de dados

Matemática Numérica II

4.3 Métodos de Runge-Kutta

4.3.1 Métodos de Runge-Kutta de ordem 2

Método do Ponto Médio

Exemplo 4.3.1.

Método de Euler Modificado

Exemplo 4.3.2.

4.3.2 Método de Runge-Kutta de ordem 4

Exemplo 4.3.3.

4.3.3 Exercícios

E. 4.3.1.

E. 4.3.2.

E. 4.3.3.

E. 4.3.4.

E. 4.3.5.

E. 4.3.6.

Envie seu comentário

4.3.2 Método de Runge-Kutta de ordem $4$