Cálculo I

2 Límites 2.1 Noción de límite 2.3 Límites laterales

Ayuda a mantener el sitio libre, gratuito y sin publicidad. ¡Colabora!

2.2 Reglas para el cálculo de límites

2.2.1 Reglas de cálculo

Sean los siguientes límites

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)=L_{1}$		(2.10)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}g(x)=L_{2}$		(2.11)

con $x_{0},L_{1},L_{2}$ números reales. Entonces, valen las siguientes reglas:

Regla de la multiplicación por un escalar

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}k\cdot f(x)=k\cdot\mathop% {\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)$ (2.12)

$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot L_{1},$ (2.13)

para cualquier número real $k$ .
Regla de la suma/resta

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\pm g(x)=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\pm\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}% }g(x)$ (2.14)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\pm L_{2}$ (2.15)
Regla del producto

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{% 0}}g(x)$ (2.16)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$ (2.17)
Regla del cociente

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{% \mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)}{\mathop{\operator@font lim}_{x% \to x_{0}}g(x)}$ (2.18)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$ (2.19)

cuando $L_{2}\neq 0$ .
Regla de la potenciación

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}(f(x))^{s}=\left(\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{s}$ (2.20)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$ (2.21)

cuando $L_{1}^{s}\in\mathbb{R}$ .

Podemos usar estas reglas para calcular límites.

Ejemplo 2.2.1.

Consideremos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}2x$

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}2x=2\mathop{\operator@font lim% }_{x\to-1}x$ (2.22)

$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-1)=-2$ (2.23)

Código 7: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit(2*x, x, -1)

⬇

-2
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}x^{2}-1$

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}x^{2}-1=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 2}x^{2}-\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}1$ (2.24)

$\displaystyle\text{}\quad=\left(\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}x\right)^{% 2}-1$ (2.25)

$\displaystyle\text{}\quad=2^{2}-1=3.$ (2.26)

Código 8: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit(x**2-1, x, 2)

⬇

3
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}$ .

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0}1-x^{2}}$ (2.27)

$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}1-\left(% \mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}x\right)^{2}}$ (2.28)

$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{1-(0)^{2}}$ (2.29)

$\displaystyle\text{}\quad=1.$ (2.30)

Código 9: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit(sqrt(1-x**2), x, 0)

⬇

1

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x% -2)}$

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x% -2)}=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\left[(x^{2}-1)% \cdot(x-2)\right]}{\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\left[(x-1% )\cdot(x-2)\right]}$		(2.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0% }(x^{2}-1)\cdot\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}(x-2)}{\displaystyle\mathop% {\operator@font lim}_{x\to 0}(x-1)\cdot\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}(x-% 2)}$		(2.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{2}=1.$		(2.33)

Código 10: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit

3limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)), x, 0)

Proposición 2.2.1.(Límites de polinomios)

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},

(2.34)

entonces

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to b}p(x)=p(b)$		(2.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{0},$		(2.36)

para cualquier número real dado $b$ .

Demostración.

Se sigue de las reglas de la suma, de la multiplicación por un escalar y de la potenciación.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to b}p(x)=\mathop{\operator@font lim% }_{x\to b}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$		(2.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to b}a_{n}x^{n}+% \mathop{\operator@font lim}_{x\to b}a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+\mathop{% \operator@font lim}_{x\to b}a_{0}$		(2.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}\left(\mathop{\operator@font lim}_{x\to b}x% \right)^{n}+a_{n-1}\left(\mathop{\operator@font lim}_{x\to b}x\right)^{n-1}+% \cdots+a_{0}$		(2.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{0}=p(b).$		(2.40)

∎

Ejemplo 2.2.2.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\sqrt{2}}2x^{4}-2x^{2}+x=2(\sqrt% {2})^{4}-2(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}$		(2.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=4+\sqrt{2}.$		(2.42)

Código 11: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit(2*x**4 - 2*x**2 + x, x, sqrt(2))

sqrt(2) + 4

Proposición 2.2.2.(Límite de funciones racionales)

Sean $r(x)=p(x)/q(x)$ una función racional y $b$ un número real tal que $q(b)\neq 0$ . Entonces,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to b}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(b)}{q(b)}.

(2.43)

Demostración.

Se sigue de la regla del límite del cociente y de la Proposición 2.2.1.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to b}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{% \displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to b}p(x)}{\displaystyle\mathop{% \operator@font lim}_{x\to b}q(x)}$		(2.44)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{p(b)}{q(b)}.$		(2.45)

∎

Ejemplo 2.2.3.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x% -2)}=\frac{(0^{2}-1)(0-2)}{(0-1)(0-2)}$		(2.46)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{2}=1.$		(2.47)

2.2.2 Indeterminación 0/0

Cuando $\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}f(a)=0$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to a}g(a)=0$ , decimos que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}

(2.48)

es una indeterminación del tipo $0/0$ . En varios de estos casos, podemos calcular el límite eliminando el factor común $(x-a)$ .

Ejemplo 2.2.4.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{(x^{2}-1)\cancel{(x-2)}% }{(x-1)\cancel{(x-2)}}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{x^{2}-1}{x-1}$		(2.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2^{2}-1}{2-1}=3.$		(2.50)

Código 12: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)), x, 2)

Cuando el factor común no aparece explícitamente, podemos intentar trabajar algebraicamente para hacerlo explícito.

Ejemplo 2.2.5.

En el caso del límite

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x^{2}+x-2}

(2.51)

tenemos que el numerador $p(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3$ se anula en $x=1$ , así como el denominador $q(x)=x^{2}+x-2$ . Por lo tanto, $(x-1)$ es un factor común entre $p(x)$ y $q(x)$ . Para hacerlo explícito, calculamos

	$\displaystyle\frac{p(x)}{x-1}=\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x-1}$		(2.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}-2x-3$		(2.53)

	$\displaystyle\frac{q(x)}{x-1}=\frac{x^{2}+x-2}{x-1}$		(2.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=x+2.$		(2.55)

Realizadas las divisiones, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x^{2}% +x-2}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{(x^{2}-2x-3)(x-1)}{(x+2)(x-1)}$		(2.56)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x^{2}-2x-3% }{x+2}=-\frac{4}{3}.$		(2.57)

Código 13: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, simplify

2x = Symbol('x')

3p = simplify((x**3 - 3*x**2 - x + 3)/(x-1))

4print('p(x) =', p)

5q = simplify((x**2 + x - 2)/(x-1))

6print('q(x) =', q)

7l = limit(p/q, x, 1)

8print('limit =', l)

9\end{minipage}

10 %

11\begin{lstlisting}[style=output]

12p(x) = x**2 - 2*x - 3

13q(x) = x + 2

14limit = -4/3

Ejemplo 2.2.6.

En el caso de

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}

(2.58)

tenemos una indeterminación del tipo $0/0$ que involucra una raíz. En este caso, podemos calcular el límite usando racionalización.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}=% \mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}\frac{\sqrt{1-x}+1}{% \sqrt{1-x}+1}$		(2.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{1-x-1}{x(% \sqrt{1-x}+1)}$		(2.60)
	$\displaystyle\text{}\quad-\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{-x}{x(% \sqrt{1-x}+1)}$		(2.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{-1}{\sqrt{% 1-x}+1}=-\frac{1}{2}.$		(2.62)

Código 14: Python

⬇

1from sympy import Symbol, sqrt, limit

2x = Symbol('x')

3limit((sqrt(1-x)-1)/x, x, 0)

-1/2

2.2.3 Ejercicios resueltos

ER 2.2.1.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}}.

(2.63)

Resolución.

Usando las propiedades de los límites, calculamos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}% }=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}x-x^{2}}{% \displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\sqrt{x^{2}+3}}$		(2.64)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-1-(-1)^{2}}{\displaystyle\sqrt{\mathop{% \operator@font lim}_{x\to-1}x^{2}+3}}$		(2.65)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-2}{\sqrt{4}}=-1.$		(2.66)

Código 15: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit((x - x**2)/sqrt(x**2 + 3), x, -1)

-1

ER 2.2.2.

Suponiendo que $\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}f(x)=L$ y que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{f(x)-2}{x+2}=1,

(2.67)

proporcione el valor de $L$ .

Resolución.

De las propiedades de los límites, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{f(x)-2}{x+2}=1$		(2.68)
	$\displaystyle\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}f(x)-2}{% \displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}x+2}=1$		(2.69)
	$\displaystyle\frac{\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}f(x)-\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 2}2}{2+2}=1$		(2.70)
	$\displaystyle\frac{L-2}{4}=1$		(2.71)
	$\displaystyle L-2=4$		(2.72)
	$\displaystyle L=6.$		(2.73)

Código 16: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, Function, Eq, solve

3f = Function('f')

4L = limit(f(x), x, 2)

5eq = Eq(limit((f(x)-2)/(x+2), x, 2), 1)

6solve(eq, L)

[6]

ER 2.2.3.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{x+1}{2-\sqrt{x^{2}+3}}.

(2.74)

Resolución.

En este caso, no podemos usar la regla del cociente, pues

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}2-\sqrt{x^{2}+3}=0.

(2.75)

Ahora, como también tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}x+1=0,

(2.76)

concluimos que se trata de una indeterminación $0/0$ . Por racionalización, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{x+1}{2-\sqrt{x^{2}+3}}=% \mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{x+1}{2-\sqrt{x^{2}+3}}\frac{2+\sqrt{% x^{2}+3}}{2+\sqrt{x^{2}+3}}$		(2.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{(x+1)(2+% \sqrt{x^{2}+3})}{4-(x^{2}+3)}$		(2.78)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{(x+1)(2+% \sqrt{x^{2}+3})}{1-x^{2}}$		(2.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{(x+1)(2+% \sqrt{x^{2}+3})}{(1+x)(1-x)}$		(2.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{2+\sqrt{x^% {2}+3}}{1-x}$		(2.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{2}=2.$		(2.82)

Código 17: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit((x+1)/(2-sqrt(x**2+3)), x, -1)

2.2.4 Ejercicios

E. 2.2.1.

Sabiendo que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2}f(x)=2,

(2.83)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2}2\cdot f(x)$ .
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2}\pi\cdot f(x)$ .
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2}-e^{\sqrt{2}}\cdot f(x)$ .

a) $4$ ; b) $2\pi$ ; c) $-2e^{\sqrt{2}}$

E. 2.2.2.

Considerando que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 3}f(x)=-2

(2.84)

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 3}g(x)=\frac{1}{2},

(2.85)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 3}f(x)+g(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 3}g(x)-f(x)$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 3}f(x)-2g(x)$

a) $-3/2$ ; b) $5/2$ ; c) $-3$

E. 2.2.3.

Considerando que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}f(x)=3

(2.86)

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}g(x)=-2,

(2.87)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}g(x)\cdot(\frac{1}{2}\cdot f(% x))$

a) $-6$ ; b) $-3$ ;

E. 2.2.4.

Considerando que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}f(x)=-2

(2.88)

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}g(x)=-3,

(2.89)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{g(x)}{2f(x)}$

a) $2/3$ ; b) $3/4$ ;

E. 2.2.5.

Considerando que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}f(x)=-1

(2.90)

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}g(x)=4,

(2.91)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\sqrt{g(x)}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\sqrt[3]{f(x)}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}(f(x))^{\frac{4}{3}}$

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $1$

E. 2.2.6.

Calcule los límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2}-3x$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2}x^{2}-3x$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2}x^{2}-3x+\sqrt{x^{2}}$

a) $6$ ; b) $10$ ; c) $12$

E. 2.2.7.

Calcule los límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{x}{x-1}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2}$

a) $1/2$ ; b) $-1/3$ ;

E. 2.2.8.

Calcule los límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{x^{2}-1}{2x+2}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2}$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}\frac{x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-4x-% 4}{x^{3}+5x^{2}+8x+4}$

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $-3$ ; d) $1$

E. 2.2.9.

Calcule os limites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{\sqrt{4-x}-2}{x}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 6}\frac{2-\sqrt{x-2}}{x-6}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 4}\frac{x-4}{\sqrt{4-x}}$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{1-\sqrt{2-x}}$

a) $-1/4$ ; b) $-1/4$ ; c) $0$ ; d) $4$

E. 2.2.10.

Diga si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. Si existen

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}f(x)=L$		(2.92)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}g(x)=M$		(2.93)

entonces

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}f(x)+g(x)=L+M.

(2.94)

Justifique su respuesta.

Falso. Construya un contraejemplo para mostrar que la afirmación no es verdadera.

Envía tu comentario

Aprovecho para agradecer a todas/os que de forma asidua o esporádica contribuyen enviando correcciones, sugerencias y críticas.

Este texto se publica bajo los términos de la Licencia Creative Commons Atribución-CompartirIgual 4.0 Internacional. Los íconos y elementos gráficos pueden estar sujetos a condiciones adicionales.

Política de uso de datos

Política de uso de datos

Cálculo I

2.2 Reglas para el cálculo de límites

2.2.1 Reglas de cálculo

Ejemplo 2.2.1.

Proposición 2.2.1.(Límites de polinomios)

Demostración.

Ejemplo 2.2.2.

Proposición 2.2.2.(Límite de funciones racionales)

Demostración.

Ejemplo 2.2.3.

2.2.2 Indeterminación 0/0

Ejemplo 2.2.4.

Ejemplo 2.2.5.

Ejemplo 2.2.6.

2.2.3 Ejercicios resueltos

ER 2.2.1.

Resolución.

ER 2.2.2.

Resolución.

ER 2.2.3.

Resolución.

2.2.4 Ejercicios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

E. 2.2.6.

E. 2.2.7.

E. 2.2.8.

E. 2.2.9.

E. 2.2.10.

Envía tu comentario

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}k\cdot f(x)=k\cdot\mathop% {\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)$		(2.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot L_{1},$		(2.13)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\pm g(x)=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\pm\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}% }g(x)$		(2.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\pm L_{2}$		(2.15)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{% 0}}g(x)$		(2.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$		(2.17)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{% \mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)}{\mathop{\operator@font lim}_{x% \to x_{0}}g(x)}$		(2.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$		(2.19)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}(f(x))^{s}=\left(\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{s}$		(2.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$		(2.21)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}2x=2\mathop{\operator@font lim% }_{x\to-1}x$		(2.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-1)=-2$		(2.23)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}x^{2}-1=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 2}x^{2}-\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}1$		(2.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}x\right)^{% 2}-1$		(2.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=2^{2}-1=3.$		(2.26)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0}1-x^{2}}$		(2.27)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}1-\left(% \mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}x\right)^{2}}$		(2.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{1-(0)^{2}}$		(2.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=1.$		(2.30)