Cálculo I

2 Límites 2.1 Noción de límite 2.3 Límites laterales

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2.2 Reglas para el cálculo de límites

2.2.1 Reglas de cálculo

Sean los siguientes límites

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)=L_{1}$		(2.10)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)=L_{2}$		(2.11)

con $x_{0},L_{1},L_{2}$ números reales. Entonces, valen las siguientes reglas:

Regla de la multiplicación por un escalar

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}k\cdot f(x% )=k\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)$ (2.12)

$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot L_{1},$ (2.13)

para cualquier número real $k$ .
Regla de la suma/resta

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\pm g(% x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\pm\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)$ (2.14)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\pm L_{2}$ (2.15)
Regla del producto

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g% (x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)$ (2.16)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$ (2.17)
Regla del cociente

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}\frac{f(x)% }{g(x)}=\frac{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)}{% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)}$ (2.18)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$ (2.19)

cuando $L_{2}\neq 0$ .
Regla de la potenciación

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}(f(x))^{s}% =\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{s}$ (2.20)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$ (2.21)

cuando $L_{1}^{s}\in\mathbb{R}$ .

Podemos usar estas reglas para calcular límites.

Ejemplo 2.2.1.

Consideremos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}2x$

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}2x=2\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}x$ (2.22)

$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-1)=-2$ (2.23)

Código 7: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit(2*x, x, -1)

⬇

-2
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x^{2}-1$

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x^{2}-1=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x^{2}-\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}1$ (2.24)

$\displaystyle\text{}\quad=\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 2}x\right)^{2}-1$ (2.25)

$\displaystyle\text{}\quad=2^{2}-1=3\mathchar 46\relax$ (2.26)

Código 8: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit(x**2-1, x, 2)

⬇

3
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}$ .

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}% =\sqrt{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}1-x^{2}}$ (2.27)

$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 0}1-\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}x\right)^{2}}$ (2.28)

$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{1-(0)^{2}}$ (2.29)

$\displaystyle\text{}\quad=1\mathchar 46\relax$ (2.30)

Código 9: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit(sqrt(1-x**2), x, 0)

⬇

1

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1% )(x-2)}{(x-1)(x-2)}$

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1% )(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}% }m}_{x\to 0}\left[(x^{2}-1)\cdot(x-2)\right]}{\displaystyle\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\left[(x-1)\cdot(x-2)\right]}$		(2.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}_{x\to 0}(x^{2}-1)\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 0}(x-2)}{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}(% x-1)\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}(x-2)}$		(2.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{2}=1\mathchar 46\relax$		(2.33)

Código 10: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit

3limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)), x, 0)

Proposición 2.2.1.(Límites de polinomios)

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},

(2.34)

entonces

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}p(x)=p(b)$		(2.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{0},$		(2.36)

para cualquier número real dado $b$ .

Demostración.

Se sigue de las reglas de la suma, de la multiplicación por un escalar y de la potenciación.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}p(x)=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_% {0}$		(2.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}a% _{n}x^{n}+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}a_{n-1}x^{n-1}+% \cdots+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}a_{0}$		(2.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m% }_{x\to b}x\right)^{n}+a_{n-1}\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% _{x\to b}x\right)^{n-1}+\cdots+a_{0}$		(2.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{0}=p(b)\mathchar 46\relax$		(2.40)

∎

Ejemplo 2.2.2.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\sqrt{2}}2x^{4}-2% x^{2}+x=2(\sqrt{2})^{4}-2(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}$		(2.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=4+\sqrt{2}\mathchar 46\relax$		(2.42)

Código 11: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit(2*x**4 - 2*x**2 + x, x, sqrt(2))

sqrt(2) + 4

Proposición 2.2.2.(Límite de funciones racionales)

Sean $r(x)=p(x)/q(x)$ una función racional y $b$ un número real tal que $q(b)\neq 0$ . Entonces,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(b% )}{q(b)}\mathchar 46\relax

(2.43)

Demostración.

Se sigue de la regla del límite del cociente y de la Proposición 2.2.1.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}\frac{p(x)}{q(% x)}=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}p(x)% }{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}q(x)}$		(2.44)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{p(b)}{q(b)}\mathchar 46\relax$		(2.45)

∎

Ejemplo 2.2.3.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1% )(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(0^{2}-1)(0-2)}{(0-1)(0-2)}$		(2.46)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{2}=1\mathchar 46\relax$		(2.47)

2.2.2 Indeterminación 0/0

Cuando $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}f(a)=0$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}g(a)=0$ , decimos que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}

(2.48)

es una indeterminación del tipo $0/0$ . En varios de estos casos, podemos calcular el límite eliminando el factor común $(x-a)$ .

Ejemplo 2.2.4.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}\frac{(x^{2}-1% )\cancel{(x-2)}}{(x-1)\cancel{(x-2)}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}% m}_{x\to 2}\frac{x^{2}-1}{x-1}$		(2.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2^{2}-1}{2-1}=3\mathchar 46\relax$		(2.50)

Código 12: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)), x, 2)

Cuando el factor común no aparece explícitamente, podemos intentar trabajar algebraicamente para hacerlo explícito.

Ejemplo 2.2.5.

En el caso del límite

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x^{% 2}+x-2}

(2.51)

tenemos que el numerador $p(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3$ se anula en $x=1$ , así como el denominador $q(x)=x^{2}+x-2$ . Por lo tanto, $(x-1)$ es un factor común entre $p(x)$ y $q(x)$ . Para hacerlo explícito, calculamos

	$\displaystyle\frac{p(x)}{x-1}=\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x-1}$		(2.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}-2x-3$		(2.53)

	$\displaystyle\frac{q(x)}{x-1}=\frac{x^{2}+x-2}{x-1}$		(2.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=x+2\mathchar 46\relax$		(2.55)

Realizadas las divisiones, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{x^{3}-3x% ^{2}-x+3}{x^{2}+x-2}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{% (x^{2}-2x-3)(x-1)}{(x+2)(x-1)}$		(2.56)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}% \frac{x^{2}-2x-3}{x+2}=-\frac{4}{3}\mathchar 46\relax$		(2.57)

Código 13: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, simplify

2x = Symbol('x')

3p = simplify((x**3 - 3*x**2 - x + 3)/(x-1))

4print('p(x) =', p)

5q = simplify((x**2 + x - 2)/(x-1))

6print('q(x) =', q)

7l = limit(p/q, x, 1)

8print('limit =', l)

9\end{minipage}

10 %

11\begin{lstlisting}[style=output]

12p(x) = x**2 - 2*x - 3

13q(x) = x + 2

14limit = -4/3

Ejemplo 2.2.6.

En el caso de

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}

(2.58)

tenemos una indeterminación del tipo $0/0$ que involucra una raíz. En este caso, podemos calcular el límite usando racionalización.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-% x}-1}{x}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1% }{x}\frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1}$		(2.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}% \frac{1-x-1}{x(\sqrt{1-x}+1)}$		(2.60)
	$\displaystyle\text{}\quad-\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}% \frac{-x}{x(\sqrt{1-x}+1)}$		(2.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}% \frac{-1}{\sqrt{1-x}+1}=-\frac{1}{2}\mathchar 46\relax$		(2.62)

Código 14: Python

⬇

1from sympy import Symbol, sqrt, limit

2x = Symbol('x')

3limit((sqrt(1-x)-1)/x, x, 0)

-1/2

2.2.3 Ejercicios resueltos

ER 2.2.1.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+% 3}}\mathchar 46\relax

(2.63)

Resolución.

Usando las propiedades de los límites, calculamos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x-x^{2}}% {\sqrt{x^{2}+3}}=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% _{x\to-1}x-x^{2}}{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to-1}\sqrt{x^{2}+3}}$		(2.64)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-1-(-1)^{2}}{\displaystyle\sqrt{\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}x^{2}+3}}$		(2.65)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-2}{\sqrt{4}}=-1\mathchar 46\relax$		(2.66)

Código 15: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit((x - x**2)/sqrt(x**2 + 3), x, -1)

-1

ER 2.2.2.

Suponiendo que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}f(x)=L$ y que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}\frac{f(x)-2}{x+2}=1,

(2.67)

proporcione el valor de $L$ .

Resolución.

De las propiedades de los límites, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}\frac{f(x)-2}{% x+2}=1$		(2.68)
	$\displaystyle\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 2}f(x)-2}{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}% x+2}=1$		(2.69)
	$\displaystyle\frac{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}f(x)-% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}2}{2+2}=1$		(2.70)
	$\displaystyle\frac{L-2}{4}=1$		(2.71)
	$\displaystyle L-2=4$		(2.72)
	$\displaystyle L=6\mathchar 46\relax$		(2.73)

Código 16: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, Function, Eq, solve

3f = Function('f')

4L = limit(f(x), x, 2)

5eq = Eq(limit((f(x)-2)/(x+2), x, 2), 1)

6solve(eq, L)

[6]

ER 2.2.3.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x+1}{2-\sqrt{x^{2}+3}% }\mathchar 46\relax

(2.74)

Resolución.

En este caso, no podemos usar la regla del cociente, pues

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}2-\sqrt{x^{2}+3}=0\mathchar 46\relax

(2.75)

Ahora, como también tenemos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}x+1=0,

(2.76)

concluimos que se trata de una indeterminación $0/0$ . Por racionalización, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x+1}{2-% \sqrt{x^{2}+3}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x+1}{% 2-\sqrt{x^{2}+3}}\frac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{2+\sqrt{x^{2}+3}}$		(2.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}% \frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{4-(x^{2}+3)}$		(2.78)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}% \frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{1-x^{2}}$		(2.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}% \frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{(1+x)(1-x)}$		(2.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}% \frac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{1-x}$		(2.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{2}=2\mathchar 46\relax$		(2.82)

Código 17: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit((x+1)/(2-sqrt(x**2+3)), x, -1)

2.2.4 Ejercicios

E. 2.2.1.

Sabiendo que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}f(x)=2,

(2.83)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}2\cdot f(x)$ .
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}\pi\cdot f(x)$ .
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}-e^{\sqrt{2}}% \cdot f(x)$ .

a) $4$ ; b) $2\pi$ ; c) $-2e^{\sqrt{2}}$

E. 2.2.2.

Considerando que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}f(x)=-2

(2.84)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}g(x)=\frac{1}{2},

(2.85)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}f(x)+g(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}g(x)-f(x)$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}f(x)-2g(x)$

a) $-3/2$ ; b) $5/2$ ; c) $-3$

E. 2.2.3.

Considerando que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}f(x)=3

(2.86)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}g(x)=-2,

(2.87)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}g(x)\cdot(% \frac{1}{2}\cdot f(x))$

a) $-6$ ; b) $-3$ ;

E. 2.2.4.

Considerando que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}f(x)=-2

(2.88)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}g(x)=-3,

(2.89)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(% x)}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{g(x)}{2f% (x)}$

a) $2/3$ ; b) $3/4$ ;

E. 2.2.5.

Considerando que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}f(x)=-1

(2.90)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}g(x)=4,

(2.91)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\sqrt{g(x)}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\sqrt[3]{f(x)}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}(f(x))^{\frac{% 4}{3}}$

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $1$

E. 2.2.6.

Calcule los límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}-3x$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}x^{2}-3x$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}x^{2}-3x+\sqrt% {x^{2}}$

a) $6$ ; b) $10$ ; c) $12$

E. 2.2.7.

Calcule los límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x}{x-1}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x^{2}+x-% 2}{x^{2}-3x+2}$

a) $1/2$ ; b) $-1/3$ ;

E. 2.2.8.

Calcule los límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}% {x-1}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x^{2}-1}% {2x+2}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{x^{2}+x-% 2}{x^{2}-3x+2}$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}\frac{x^{4}+4x% ^{3}+3x^{2}-4x-4}{x^{3}+5x^{2}+8x+4}$

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $-3$ ; d) $1$

E. 2.2.9.

Calcule os limites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\sqrt{4-% x}-2}{x}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 6}\frac{2-\sqrt{% x-2}}{x-6}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 4}\frac{x-4}{% \sqrt{4-x}}$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}% {1-\sqrt{2-x}}$

a) $-1/4$ ; b) $-1/4$ ; c) $0$ ; d) $4$

E. 2.2.10.

Diga si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. Si existen

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)=L$		(2.92)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}g(x)=M$		(2.93)

entonces

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)+g(x)=L+M\mathchar 46\relax

(2.94)

Justifique su respuesta.

Falso. Construya un contraejemplo para mostrar que la afirmación no es verdadera.

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2.2 Reglas para el cálculo de límites

2.2.1 Reglas de cálculo

Ejemplo 2.2.1.

Proposición 2.2.1.(Límites de polinomios)

Demostración.

Ejemplo 2.2.2.

Proposición 2.2.2.(Límite de funciones racionales)

Demostración.

Ejemplo 2.2.3.

2.2.2 Indeterminación 0/0

Ejemplo 2.2.4.

Ejemplo 2.2.5.

Ejemplo 2.2.6.

2.2.3 Ejercicios resueltos

ER 2.2.1.

Resolución.

ER 2.2.2.

Resolución.

ER 2.2.3.

Resolución.

2.2.4 Ejercicios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

E. 2.2.6.

E. 2.2.7.

E. 2.2.8.

E. 2.2.9.

E. 2.2.10.

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	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}k\cdot f(x% )=k\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)$		(2.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot L_{1},$		(2.13)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\pm g(% x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\pm\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)$		(2.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\pm L_{2}$		(2.15)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g% (x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)$		(2.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$		(2.17)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}\frac{f(x)% }{g(x)}=\frac{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)}{% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)}$		(2.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$		(2.19)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}(f(x))^{s}% =\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{s}$		(2.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$		(2.21)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}2x=2\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}x$		(2.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-1)=-2$		(2.23)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x^{2}-1=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x^{2}-\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}1$		(2.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 2}x\right)^{2}-1$		(2.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=2^{2}-1=3\mathchar 46\relax$		(2.26)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}% =\sqrt{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}1-x^{2}}$		(2.27)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 0}1-\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}x\right)^{2}}$		(2.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{1-(0)^{2}}$		(2.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=1\mathchar 46\relax$		(2.30)