Cálculo I

2 Límites 2.1 Noción de límite 2.3 Límites laterales

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2.2 Reglas para el cálculo de límites

2.2.1 Reglas de cálculo

Sean los siguientes límites

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)=L_{1}$		(2.10)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)=L_{2}$		(2.11)

con $x_{0},L_{1},L_{2}$ números reales. Entonces, valen las siguientes reglas:

Regla de la multiplicación por un escalar

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}k\cdot f(x% )=k\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)$ (2.12)

$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot L_{1},$ (2.13)

para cualquier número real $k$ .
Regla de la suma/resta

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\pm g(% x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\pm\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)$ (2.14)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\pm L_{2}$ (2.15)
Regla del producto

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g% (x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)$ (2.16)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$ (2.17)
Regla del cociente

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}\frac{f(x)% }{g(x)}=\frac{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)}{% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)}$ (2.18)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$ (2.19)

cuando $L_{2}\neq 0$ .
Regla de la potenciación

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}(f(x))^{s}% =\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{s}$ (2.20)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$ (2.21)

cuando $L_{1}^{s}\in\mathbb{R}$ .

Podemos usar estas reglas para calcular límites.

Ejemplo 2.2.1.

Consideremos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}2x$

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}2x=2\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}x$ (2.22)

$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-1)=-2$ (2.23)

Código 7: Python

⬇

1fromsympyimportSymbol,limit

2x=Symbol('x')

3limit(2*x,x,-1)

⬇

-2
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x^{2}-1$

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x^{2}-1=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x^{2}-\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}1$ (2.24)

$\displaystyle\text{}\quad=\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 2}x\right)^{2}-1$ (2.25)

$\displaystyle\text{}\quad=2^{2}-1=3$ (2.26)

Código 8: Python

⬇

1fromsympyimportSymbol,limit

2x=Symbol('x')

3limit(x**2-1,x,2)

⬇

3
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}$ .

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}% =\sqrt{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}1-x^{2}}$ (2.27)

$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 0}1-\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}x\right)^{2}}$ (2.28)

$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{1-(0)^{2}}$ (2.29)

$\displaystyle\text{}\quad=1$ (2.30)

Código 9: Python

⬇

1fromsympy.abcimportx

2fromsympyimportlimit,sqrt

3limit(sqrt(1-x**2),x,0)

⬇

1

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1% )(x-2)}{(x-1)(x-2)}$

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1% )(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}% }m}_{x\to 0}\left[(x^{2}-1)\cdot(x-2)\right]}{\displaystyle\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\left[(x-1)\cdot(x-2)\right]}$		(2.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{% \imath}}m}_{x\to 0}(x^{2}-1)\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 0}(x-2)}{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}(% x-1)\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}(x-2)}$		(2.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{2}=1$		(2.33)

Código 10: Python

⬇

1fromsympy.abcimportx

2fromsympyimportlimit

3limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)),x,0)

Proposición 2.2.1.(Límites de polinomios)

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},

(2.34)

entonces

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}p(x)=p(b)$		(2.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{0},$		(2.36)

para cualquier número real dado $b$ .

Demostración.

Se sigue de las reglas de la suma, de la multiplicación por un escalar y de la potenciación.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}p(x)=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_% {0}$		(2.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}a% _{n}x^{n}+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}a_{n-1}x^{n-1}+% \cdots+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}a_{0}$		(2.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m% }_{x\to b}x\right)^{n}+a_{n-1}\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% _{x\to b}x\right)^{n-1}+\cdots+a_{0}$		(2.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{0}=p(b)$		(2.40)

∎

Ejemplo 2.2.2.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\sqrt{2}}2x^{4}-2% x^{2}+x=2(\sqrt{2})^{4}-2(\sqrt{2})^{2}+\sqrt{2}$		(2.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=4+\sqrt{2}$		(2.42)

Código 11: Python

⬇

1fromsympy.abcimportx

2fromsympyimportlimit,sqrt

3limit(2*x**4-2*x**2+x,x,sqrt(2))

sqrt(2)+4

Proposición 2.2.2.(Límite de funciones racionales)

Sean $r(x)=p(x)/q(x)$ una función racional y $b$ un número real tal que $q(b)\neq 0$ . Entonces,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(b% )}{q(b)}

(2.43)

Demostración.

Se sigue de la regla del límite del cociente y de la Proposición2.2.1.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}\frac{p(x)}{q(% x)}=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}p(x)% }{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to b}q(x)}$		(2.44)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{p(b)}{q(b)}$		(2.45)

∎

Ejemplo 2.2.3.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1% )(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(0^{2}-1)(0-2)}{(0-1)(0-2)}$		(2.46)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{2}=1$		(2.47)

2.2.2 Indeterminación 0/0

Cuando $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}f(a)=0$ y $\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}g(a)=0$ , decimos que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% \pgfsys@color@rgb@stroke{0}{0}{1}\pgfsys@color@rgb@fill{0}{0}{1}\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to a}\frac{f(x)}{g(x)}

(2.48)

es una indeterminación del tipo $0/0$ . En varios de estos casos, podemos calcular el límite eliminando el factor común $(x-a)$ .

Ejemplo 2.2.4.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}\frac{(x^{2}-1% )\cancel{(x-2)}}{(x-1)\cancel{(x-2)}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}% m}_{x\to 2}\frac{x^{2}-1}{x-1}$		(2.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2^{2}-1}{2-1}=3$		(2.50)

Código 12: Python

⬇

1fromsympyimportSymbol,limit

2x=Symbol('x')

3limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)),x,2)

Cuando el factor común no aparece explícitamente, podemos intentar trabajar algebraicamente para hacerlo explícito.

Ejemplo 2.2.5.

En el caso del límite

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x^{% 2}+x-2}

(2.51)

tenemos que el numerador $p(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3$ se anula en $x=1$ , así como el denominador $q(x)=x^{2}+x-2$ . Por lo tanto, $(x-1)$ es un factor común entre $p(x)$ y $q(x)$ . Para hacerlo explícito, calculamos

	$\displaystyle\frac{p(x)}{x-1}=\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x-1}$		(2.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}-2x-3$		(2.53)

	$\displaystyle\frac{q(x)}{x-1}=\frac{x^{2}+x-2}{x-1}$		(2.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=x+2$		(2.55)

Realizadas las divisiones, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{x^{3}-3x% ^{2}-x+3}{x^{2}+x-2}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{% (x^{2}-2x-3)(x-1)}{(x+2)(x-1)}$		(2.56)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}% \frac{x^{2}-2x-3}{x+2}=-\frac{4}{3}$		(2.57)

Código 13: Python

⬇

1fromsympyimportSymbol,limit,simplify

2x=Symbol('x')

3p=simplify((x**3-3*x**2-x+3)/(x-1))

4print('p(x)=',p)

5q=simplify((x**2+x-2)/(x-1))

6print('q(x)=',q)

7l=limit(p/q,x,1)

8print('limit=',l)

9\end{minipage}

10 %

11\begin{lstlisting}[style=output]

12p(x)=x**2-2*x-3

13q(x)=x+2

14limit=-4/3

Ejemplo 2.2.6.

En el caso de

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}

(2.58)

tenemos una indeterminación del tipo $0/0$ que involucra una raíz. En este caso, podemos calcular el límite usando racionalización.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-% x}-1}{x}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1% }{x}\frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1}$		(2.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}% \frac{1-x-1}{x(\sqrt{1-x}+1)}$		(2.60)
	$\displaystyle\text{}\quad-\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}% \frac{-x}{x(\sqrt{1-x}+1)}$		(2.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}% \frac{-1}{\sqrt{1-x}+1}=-\frac{1}{2}$		(2.62)

Código 14: Python

⬇

1fromsympyimportSymbol,sqrt,limit

2x=Symbol('x')

3limit((sqrt(1-x)-1)/x,x,0)

-1/2

2.2.3 Ejercicios resueltos

ER 2.2.1.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+% 3}}

(2.63)

Resolución.

Usando las propiedades de los límites, calculamos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x-x^{2}}% {\sqrt{x^{2}+3}}=\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}% _{x\to-1}x-x^{2}}{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to-1}\sqrt{x^{2}+3}}$		(2.64)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-1-(-1)^{2}}{\displaystyle\sqrt{\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}x^{2}+3}}$		(2.65)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-2}{\sqrt{4}}=-1$		(2.66)

Código 15: Python

⬇

1fromsympy.abcimportx

2fromsympyimportlimit,sqrt

3limit((x-x**2)/sqrt(x**2+3),x,-1)

-1

ER 2.2.2.

Suponiendo que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}f(x)=L$ y que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}\frac{f(x)-2}{x+2}=1,

(2.67)

proporcione el valor de $L$ .

Resolución.

De las propiedades de los límites, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}\frac{f(x)-2}{% x+2}=1$		(2.68)
	$\displaystyle\frac{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 2}f(x)-2}{\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}% x+2}=1$		(2.69)
	$\displaystyle\frac{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}f(x)-% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}2}{2+2}=1$		(2.70)
	$\displaystyle\frac{L-2}{4}=1$		(2.71)
	$\displaystyle L-2=4$		(2.72)
	$\displaystyle L=6$		(2.73)

Código 16: Python

⬇

1fromsympy.abcimportx

2fromsympyimportlimit,Function,Eq,solve

3f=Function('f')

4L=limit(f(x),x,2)

5eq=Eq(limit((f(x)-2)/(x+2),x,2),1)

6solve(eq,L)

[6]

ER 2.2.3.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x+1}{2-\sqrt{x^{2}+3}}

(2.74)

Resolución.

En este caso, no podemos usar la regla del cociente, pues

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}2-\sqrt{x^{2}+3}=0

(2.75)

Ahora, como también tenemos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}x+1=0,

(2.76)

concluimos que se trata de una indeterminación $0/0$ . Por racionalización, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x+1}{2-% \sqrt{x^{2}+3}}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x+1}{% 2-\sqrt{x^{2}+3}}\frac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{2+\sqrt{x^{2}+3}}$		(2.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}% \frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{4-(x^{2}+3)}$		(2.78)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}% \frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{1-x^{2}}$		(2.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}% \frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{(1+x)(1-x)}$		(2.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}% \frac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{1-x}$		(2.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{2}=2$		(2.82)

Código 17: Python

⬇

1fromsympy.abcimportx

2fromsympyimportlimit,sqrt

3limit((x+1)/(2-sqrt(x**2+3)),x,-1)

2.2.4 Ejercicios

E. 2.2.1.

Sabiendo que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}f(x)=2,

(2.83)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}2\cdot f(x)$ .
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}\pi\cdot f(x)$ .
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}-e^{\sqrt{2}}% \cdot f(x)$ .

a) $4$ ; b) $2\pi$ ; c) $-2e^{\sqrt{2}}$

E. 2.2.2.

Considerando que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}f(x)=-2

(2.84)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}g(x)=\frac{1}{2},

(2.85)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}f(x)+g(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}g(x)-f(x)$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}f(x)-2g(x)$

a) $-3/2$ ; b) $5/2$ ; c) $-3$

E. 2.2.3.

Considerando que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}f(x)=3

(2.86)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}g(x)=-2,

(2.87)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}g(x)\cdot(% \frac{1}{2}\cdot f(x))$

a) $-6$ ; b) $-3$ ;

E. 2.2.4.

Considerando que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}f(x)=-2

(2.88)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}g(x)=-3,

(2.89)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(% x)}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{g(x)}{2f% (x)}$

a) $2/3$ ; b) $3/4$ ;

E. 2.2.5.

Considerando que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}f(x)=-1

(2.90)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}g(x)=4,

(2.91)

calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\sqrt{g(x)}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\sqrt[3]{f(x)}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}(f(x))^{\frac{% 4}{3}}$

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $1$

E. 2.2.6.

Calcule los límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}-3x$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}x^{2}-3x$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}x^{2}-3x+\sqrt% {x^{2}}$

a) $6$ ; b) $10$ ; c) $12$

E. 2.2.7.

Calcule los límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x}{x-1}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x^{2}+x-% 2}{x^{2}-3x+2}$

a) $1/2$ ; b) $-1/3$ ;

E. 2.2.8.

Calcule los límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}% {x-1}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}\frac{x^{2}-1}% {2x+2}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{x^{2}+x-% 2}{x^{2}-3x+2}$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}\frac{x^{4}+4x% ^{3}+3x^{2}-4x-4}{x^{3}+5x^{2}+8x+4}$

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $-3$ ; d) $1$

E. 2.2.9.

Calcule os limites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{\sqrt{4-% x}-2}{x}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 6}\frac{2-\sqrt{% x-2}}{x-6}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 4}\frac{x-4}{% \sqrt{4-x}}$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}% {1-\sqrt{2-x}}$

a) $-1/4$ ; b) $-1/4$ ; c) $0$ ; d) $4$

E. 2.2.10.

Diga si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. Si existen

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)=L$		(2.92)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}g(x)=M$		(2.93)

entonces

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)+g(x)=L+M

(2.94)

Justifique su respuesta.

Falso. Construya un contraejemplo para mostrar que la afirmación no es verdadera.

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Cálculo I

2.2 Reglas para el cálculo de límites

2.2.1 Reglas de cálculo

Ejemplo 2.2.1.

Proposición 2.2.1.(Límites de polinomios)

Demostración.

Ejemplo 2.2.2.

Proposición 2.2.2.(Límite de funciones racionales)

Demostración.

Ejemplo 2.2.3.

2.2.2 Indeterminación 0/0

Ejemplo 2.2.4.

Ejemplo 2.2.5.

Ejemplo 2.2.6.

2.2.3 Ejercicios resueltos

ER 2.2.1.

Resolución.

ER 2.2.2.

Resolución.

ER 2.2.3.

Resolución.

2.2.4 Ejercicios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

E. 2.2.6.

E. 2.2.7.

E. 2.2.8.

E. 2.2.9.

E. 2.2.10.

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	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}k\cdot f(x% )=k\cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)$		(2.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot L_{1},$		(2.13)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\pm g(% x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\pm\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)$		(2.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\pm L_{2}$		(2.15)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g% (x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\cdot\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)$		(2.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$		(2.17)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}\frac{f(x)% }{g(x)}=\frac{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)}{% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}g(x)}$		(2.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$		(2.19)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}(f(x))^{s}% =\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{s}$		(2.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$		(2.21)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}2x=2\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}x$		(2.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-1)=-2$		(2.23)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x^{2}-1=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x^{2}-\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}1$		(2.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 2}x\right)^{2}-1$		(2.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=2^{2}-1=3$		(2.26)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}% =\sqrt{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}1-x^{2}}$		(2.27)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to 0}1-\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}x\right)^{2}}$		(2.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{1-(0)^{2}}$		(2.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=1$		(2.30)