Cálculo I

2 Limites 2.1 Noção de limites 2.3 Limites laterais

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2.2 Regras para o cálculo de limites

2.2.1 Regras de cálculo

Sejam dados os seguintes limites

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)=L_{1}$		(2.10)
	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}g(x)=L_{2}$		(2.11)

com $x_{0},L_{1},L_{2}$ números reais. Então, valem as seguintes regras:

•

Regra da multiplicação por um escalar

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}k\cdot f(x)=k\cdot\lim_{x\to x_{0}}f(x)$ (2.12)

$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot L_{1},$ (2.13)

para qualquer número real $k$ .
•

Regra da soma/subtração

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\pm g(x)=\lim_{x\to x_{0}}f(x)\pm\lim_{x\to x% _{0}}g(x)$ (2.14)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\pm L_{2}$ (2.15)
•

Regra do produto

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to x_{0}}f(x)\cdot\lim_{x% \to x_{0}}g(x)$ (2.16)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$ (2.17)
•

Regra do quociente

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to x_{0}}f(x)}{% \lim_{x\to x_{0}}g(x)}$ (2.18)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$ (2.19)

quando $L_{2}\neq 0$ .
•

Regra da potenciação

$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}(f(x))^{s}=\left(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{s}$ (2.20)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$ (2.21)

quando $L_{1}^{s}\in\mathbb{R}$ .

Podemos usar essas regras para calcularmos limites.

Exemplo 2.2.1.

Consideremos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}2x$

$\displaystyle\lim_{x\to-1}2x=2\lim_{x\to-1}x$ (2.22)

$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-1)=-2$ (2.23)

Código 7: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit(2*x, x, -1)

⬇

-2
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}x^{2}-1$

$\displaystyle\lim_{x\to 2}x^{2}-1=\lim_{x\to 2}x^{2}-\lim_{x\to 2}1$ (2.24)

$\displaystyle\text{}\quad=\left(\lim_{x\to 2}x\right)^{2}-1$ (2.25)

$\displaystyle\text{}\quad=2^{2}-1=3.$ (2.26)

Código 8: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit(x**2-1, x, 2)

⬇

3
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}$ .

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{\lim_{x\to 0}1-x^{2}}$ (2.27)

$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{\lim_{x\to 0}1-\left(\lim_{x\to 0}x\right)^{2}}$ (2.28)

$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{1-(0)^{2}}$ (2.29)

$\displaystyle\text{}\quad=1.$ (2.30)

Código 9: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit(sqrt(1-x**2), x, 0)

⬇

1

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}$

	$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{% \displaystyle\lim_{x\to 0}\left[(x^{2}-1)\cdot(x-2)\right]}{\displaystyle\lim_% {x\to 0}\left[(x-1)\cdot(x-2)\right]}$		(2.31)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\displaystyle\lim_{x\to 0}(x^{2}-1)\cdot\lim_{% x\to 0}(x-2)}{\displaystyle\lim_{x\to 0}(x-1)\cdot\lim_{x\to 0}(x-2)}$		(2.32)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{2}=1.$		(2.33)

Código 10: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit

3limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)), x, 0)

Proposição 2.2.1.(Limites de polinômios)

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},

(2.34)

então

	$\displaystyle\lim_{x\to b}p(x)=p(b)$		(2.35)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{0},$		(2.36)

para qualquer dado número real $b$ .

Demonstração.

Seguem das regras da soma, da multiplicação por escalar e da potenciação.

	$\displaystyle\lim_{x\to b}p(x)=\lim_{x\to b}a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a% _{0}$		(2.37)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to b}a_{n}x^{n}+\lim_{x\to b}a_{n-1}x^{n-1}+% \cdots+\lim_{x\to b}a_{0}$		(2.38)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}\left(\lim_{x\to b}x\right)^{n}+a_{n-1}\left(% \lim_{x\to b}x\right)^{n-1}+\cdots+a_{0}$		(2.39)
	$\displaystyle\text{}\quad=a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots+a_{0}=p(b).$		(2.40)

∎

Exemplo 2.2.2.

	$\displaystyle\lim_{x\to\sqrt{2}}2x^{4}-2x^{2}+x=2(\sqrt{2})^{4}-2(\sqrt{2})^{2% }+\sqrt{2}$		(2.41)
	$\displaystyle\text{}\quad=4+\sqrt{2}.$		(2.42)

Código 11: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit(2*x**4 - 2*x**2 + x, x, sqrt(2))

sqrt(2) + 4

Proposição 2.2.2.(Limite de funções racionais)

Sejam $r(x)=p(x)/q(x)$ uma função racional e $b$ um número real tal que $q(b)\neq 0$ . Então,

\lim_{x\to b}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{p(b)}{q(b)}.

(2.43)

Demonstração.

Segue da regra do limite do quociente e da Proposição 2.2.1.

	$\displaystyle\lim_{x\to b}\frac{p(x)}{q(x)}=\frac{\displaystyle\lim_{x\to b}p(% x)}{\displaystyle\lim_{x\to b}q(x)}$		(2.44)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{p(b)}{q(b)}.$		(2.45)

∎

Exemplo 2.2.3.

	$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}=\frac{(0^{2}-1)(0-% 2)}{(0-1)(0-2)}$		(2.46)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2}{2}=1.$		(2.47)

2.2.2 Indeterminação $0/0$

Quando $\displaystyle\lim_{x\to a}f(a)=0$ e $\displaystyle\lim_{x\to a}g(a)=0$ , dizemos que

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to a}% \frac{f(x)}{g(x)}

(2.48)

é uma indeterminação do tipo $0/0$ . Em vários destes casos, podemos calcular o limite eliminando o fator em comum $(x-a)$ .

Exemplo 2.2.4.

	$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{(x^{2}-1)\cancel{(x-2)}}{(x-1)\cancel{(x-2)}}=% \lim_{x\to 2}\frac{x^{2}-1}{x-1}$		(2.49)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{2^{2}-1}{2-1}=3.$		(2.50)

Código 12: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)), x, 2)

Quando o fator em comum não aparece explicitamente, podemos tentar trabalhar algebricamente de forma a explicitá-lo.

Exemplo 2.2.5.

No caso do limite

\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x^{2}+x-2}

(2.51)

temos que o denominador $p(x)=x^{3}-3x^{2}-x+3$ se anula em $x=1$ , assim como o denominador $q(x)=x^{2}+x-2$ . Assim sendo, $(x-1)$ é um fator comum entre $p(x)$ e $q(x)$ . Para explicitá-lo, calculamos

	$\displaystyle\frac{p(x)}{x-1}=\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x-1}$		(2.52)
	$\displaystyle\text{}\quad=x^{2}-2x-3$		(2.53)

	$\displaystyle\frac{q(x)}{x-1}=\frac{x^{2}+x-2}{x-1}$		(2.54)
	$\displaystyle\text{}\quad=x+2.$		(2.55)

Realizadas as divisões, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{3}-3x^{2}-x+3}{x^{2}+x-2}=\lim_{x\to 1}% \frac{(x^{2}-2x-3)(x-1)}{(x+2)(x-1)}$		(2.56)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-2x-3}{x+2}=-\frac{4}{3}.$		(2.57)

Código 13: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, simplify

2x = Symbol('x')

3p = simplify((x**3 - 3*x**2 - x + 3)/(x-1))

4print('p(x) =', p)

5q = simplify((x**2 + x - 2)/(x-1))

6print('q(x) =', q)

7l = limit(p/q, x, 1)

8print('limit =', l)

9\end{minipage}

10%

11\begin{lstlisting}[style=output]

12p(x) = x**2 - 2*x - 3

13q(x) = x + 2

14limit = -4/3

Exemplo 2.2.6.

No caso de

\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}

(2.58)

temos uma indeterminação do tipo $0/0$ envolvendo uma raiz. Neste caso, podemos calcular o limite usando de racionalização.

	$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}-1}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1-x}% -1}{x}\frac{\sqrt{1-x}+1}{\sqrt{1-x}+1}$		(2.59)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{1-x-1}{x(\sqrt{1-x}+1)}$		(2.60)
	$\displaystyle\text{}\quad-\lim_{x\to 0}\frac{-x}{x(\sqrt{1-x}+1)}$		(2.61)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to 0}\frac{-1}{\sqrt{1-x}+1}=-\frac{1}{2}.$		(2.62)

Código 14: Python

⬇

1from sympy import Symbol, sqrt, limit

2x = Symbol('x')

3limit((sqrt(1-x)-1)/x, x, 0)

-1/2

2.2.3 Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Calcule

\lim_{x\to-1}\frac{x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}}.

(2.63)

Resolução.

Usando das propriedades de limites, calculamos

	$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x-x^{2}}{\sqrt{x^{2}+3}}=\frac{\displaystyle% \lim_{x\to-1}x-x^{2}}{\displaystyle\lim_{x\to-1}\sqrt{x^{2}+3}}$		(2.64)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-1-(-1)^{2}}{\displaystyle\sqrt{\lim_{x\to-1}x% ^{2}+3}}$		(2.65)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{-2}{\sqrt{4}}=-1.$		(2.66)

Código 15: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit((x - x**2)/sqrt(x**2 + 3), x, -1)

-1

ER 2.2.2.

Assumindo que o $\lim_{x\to 2}f(x)=L$ e que

\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-2}{x+2}=1,

(2.67)

forneça o valor de $L$ .

Resolução.

Das propriedades de limites, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{f(x)-2}{x+2}=1$		(2.68)
	$\displaystyle\frac{\displaystyle\lim_{x\to 2}f(x)-2}{\displaystyle\lim_{x\to 2% }x+2}=1$		(2.69)
	$\displaystyle\frac{\lim_{x\to 2}f(x)-\lim_{x\to 2}2}{2+2}=1$		(2.70)
	$\displaystyle\frac{L-2}{4}=1$		(2.71)
	$\displaystyle L-2=4$		(2.72)
	$\displaystyle L=6.$		(2.73)

Código 16: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, Function, Eq, solve

3f = Function('f')

4L = limit(f(x), x, 2)

5eq = Eq(limit((f(x)-2)/(x+2), x, 2), 1)

6solve(eq, L)

[6]

ER 2.2.3.

Calcule

\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{2-\sqrt{x^{2}+3}}.

(2.74)

Resolução.

Neste caso, não podemos usar a regra do quociente, pois

\lim_{x\to-1}2-\sqrt{x^{2}+3}=0.

(2.75)

Agora, como também temos

\lim_{x\to-1}x+1=0,

(2.76)

concluímos se tratar de uma indeterminação $0/0$ . Por racionalização, obtemos

	$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x+1}{2-\sqrt{x^{2}+3}}=\lim_{x\to-1}\frac{x+1}% {2-\sqrt{x^{2}+3}}\frac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{2+\sqrt{x^{2}+3}}$		(2.77)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{4-(x^{2}% +3)}$		(2.78)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{1-x^{2}}$		(2.79)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-1}\frac{(x+1)(2+\sqrt{x^{2}+3})}{(1+x)(1-% x)}$		(2.80)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-1}\frac{2+\sqrt{x^{2}+3}}{1-x}$		(2.81)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{2}=2.$		(2.82)

Código 17: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, sqrt

3limit((x+1)/(2-sqrt(x**2+3)), x, -1)

2.2.4 Exercícios

E. 2.2.1.

Sabendo que

\lim_{x\to-2}f(x)=2,

(2.83)

calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}2\cdot f(x)$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}\pi\cdot f(x)$ .
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}-e^{\sqrt{2}}\cdot f(x)$ .

a) $4$ ; b) $2\pi$ ; c) $-2e^{\sqrt{2}}$

E. 2.2.2.

Considerando que

\lim_{x\to 3}f(x)=-2

(2.84)

\lim_{x\to 3}g(x)=\frac{1}{2},

(2.85)

calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)+g(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 3}g(x)-f(x)$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 3}f(x)-2g(x)$

a) $-3/2$ ; b) $5/2$ ; c) $-3$

E. 2.2.3.

Considerando que

\lim_{x\to 0}f(x)=3

(2.86)

\lim_{x\to 0}g(x)=-2,

(2.87)

calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}f(x)\cdot g(x)$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}g(x)\cdot(\frac{1}{2}\cdot f(x))$

a) $-6$ ; b) $-3$ ;

E. 2.2.4.

Considerando que

\lim_{x\to 0}f(x)=-2

(2.88)

\lim_{x\to 0}g(x)=-3,

(2.89)

calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{g(x)}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{g(x)}{2f(x)}$

a) $2/3$ ; b) $3/4$ ;

E. 2.2.5.

Considerando que

\lim_{x\to-1}f(x)=-1

(2.90)

\lim_{x\to-1}g(x)=4,

(2.91)

calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\sqrt{g(x)}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\sqrt[3]{f(x)}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}(f(x))^{\frac{4}{3}}$

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $1$

E. 2.2.6.

Calcule os limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}-3x$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}x^{2}-3x$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-2}x^{2}-3x+\sqrt{x^{2}}$

a) $6$ ; b) $10$ ; c) $12$

E. 2.2.7.

Calcule os limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x}{x-1}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2}$

a) $1/2$ ; b) $-1/3$ ;

E. 2.2.8.

Calcule os limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{x-1}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}-1}{2x+2}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}+x-2}{x^{2}-3x+2}$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 2}\frac{x^{4}+4x^{3}+3x^{2}-4x-4}{x^{3}+5x^{2}+8x+4}$

a) $2$ ; b) $-1$ ; c) $-3$ ; d) $1$

E. 2.2.9.

Calcule os limites:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{4-x}-2}{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 6}\frac{2-\sqrt{x-2}}{x-6}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 4}\frac{x-4}{\sqrt{4-x}}$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 1}\frac{x^{2}-1}{1-\sqrt{2-x}}$

a) $-1/4$ ; b) $-1/4$ ; c) $0$ ; d) $4$

E. 2.2.10.

Diga se é verdadeira ou falsa a seguinte afirmação. Se existem

	$\displaystyle\lim_{x\to 1}f(x)=L$		(2.92)
	$\displaystyle\lim_{x\to-1}g(x)=M$		(2.93)

então

\lim_{x\to 1}f(x)+g(x)=L+M.

(2.94)

Justifique sua resposta.

Falso. Construa um contraexemplo para mostrar que a afirmação não é verdadeira.

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Cálculo I

2.2 Regras para o cálculo de limites

2.2.1 Regras de cálculo

Exemplo 2.2.1.

Proposição 2.2.1.(Limites de polinômios)

Demonstração.

Exemplo 2.2.2.

Proposição 2.2.2.(Limite de funções racionais)

Demonstração.

Exemplo 2.2.3.

2.2.2 Indeterminação $0/0$

Exemplo 2.2.4.

Exemplo 2.2.5.

Exemplo 2.2.6.

2.2.3 Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Resolução.

ER 2.2.2.

Resolução.

ER 2.2.3.

Resolução.

2.2.4 Exercícios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

E. 2.2.6.

E. 2.2.7.

E. 2.2.8.

E. 2.2.9.

E. 2.2.10.

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	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}k\cdot f(x)=k\cdot\lim_{x\to x_{0}}f(x)$		(2.12)
	$\displaystyle\text{}\quad=k\cdot L_{1},$		(2.13)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\pm g(x)=\lim_{x\to x_{0}}f(x)\pm\lim_{x\to x% _{0}}g(x)$		(2.14)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\pm L_{2}$		(2.15)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}f(x)\cdot g(x)=\lim_{x\to x_{0}}f(x)\cdot\lim_{x% \to x_{0}}g(x)$		(2.16)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$		(2.17)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\lim_{x\to x_{0}}f(x)}{% \lim_{x\to x_{0}}g(x)}$		(2.18)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$		(2.19)

	$\displaystyle\lim_{x\to x_{0}}(f(x))^{s}=\left(\lim_{x\to x_{0}}f(x)\right)^{s}$		(2.20)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$		(2.21)

	$\displaystyle\lim_{x\to-1}2x=2\lim_{x\to-1}x$		(2.22)
	$\displaystyle\text{}\quad=2\cdot(-1)=-2$		(2.23)

	$\displaystyle\lim_{x\to 2}x^{2}-1=\lim_{x\to 2}x^{2}-\lim_{x\to 2}1$		(2.24)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\lim_{x\to 2}x\right)^{2}-1$		(2.25)
	$\displaystyle\text{}\quad=2^{2}-1=3.$		(2.26)

	$\displaystyle\lim_{x\to 0}\sqrt{1-x^{2}}=\sqrt{\lim_{x\to 0}1-x^{2}}$		(2.27)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{\lim_{x\to 0}1-\left(\lim_{x\to 0}x\right)^{2}}$		(2.28)
	$\displaystyle\text{}\quad=\sqrt{1-(0)^{2}}$		(2.29)
	$\displaystyle\text{}\quad=1.$		(2.30)

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2.2 Regras para o cálculo de limites

2.2.1 Regras de cálculo

Exemplo 2.2.1.

Proposição 2.2.1.(Limites de polinômios)

Demonstração.

Exemplo 2.2.2.

Proposição 2.2.2.(Limite de funções racionais)

Demonstração.

Exemplo 2.2.3.

2.2.2 Indeterminação 0/0

Exemplo 2.2.4.

Exemplo 2.2.5.

Exemplo 2.2.6.

2.2.3 Exercícios resolvidos

ER 2.2.1.

Resolução.

ER 2.2.2.

Resolução.

ER 2.2.3.

Resolução.

2.2.4 Exercícios

E. 2.2.1.

E. 2.2.2.

E. 2.2.3.

E. 2.2.4.

E. 2.2.5.

E. 2.2.6.

E. 2.2.7.

E. 2.2.8.

E. 2.2.9.

E. 2.2.10.

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2.2.2 Indeterminação $0/0$