Cálculo I

2 Límites 2.2 Reglas para el cálculo de límites 2.4 Límites en el infinito

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2.3 Límites laterales

Sea dada una función $f$ definida para todo $x$ en un intervalo abierto $(a,x_{0})$ . El límite lateral por la izquierda de $f$ en el punto $x_{0}$ se denota por

\mathop{\operator@font lim}_{x\to{\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x_{0}^{-}}}f(x)

(2.95)

y es la tendencia de la función solo para puntos $x<x_{0}$ (consultemos la Figura 2.5). Más precisamente, tenemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L

(2.96)

cuando $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ .

Refer to caption — Figura 2.5: Límite lateral por la izquierda.

Para una función $f$ definida para todo $x$ en un intervalo abierto $(x_{0},b)$ , el límite lateral por la derecha de $f$ en el punto $x_{0}$ se denota por

\mathop{\operator@font lim}_{x\to{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}^{+}}}f(x)

(2.97)

y es la tendencia de la función solo para puntos $x>x_{0}$ (consultemos la Figura 2.6). Más precisamente, tenemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L,

(2.98)

cuando $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ .

Observación 2.3.1.(Funciones constantes y función identidad)

Por inferencia directa, tenemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}k=k

(2.99)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}x=x_{0},

(2.100)

donde $x_{0}$ y $k$ son cualesquiera números reales dados.

Ejemplo 2.3.1.(Límite del valor absoluto)

Vamos a calcular

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}|x|.

(2.101)

Por definición (consultemos la Figura 2.7), tenemos

|x|:=\left\{\begin{array}[]{ll}x&,x\geq 0,\\ -x&,x<0.\end{array}\right.

(2.102)

Como estamos interesados en el límite lateral por la izquierda de $x=0$ , trabajamos con $x<0$ y, entonces,

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\|x\|=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0^{-}}(-x)$		(2.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}x=0.$		(2.104)

Análogamente, calculamos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}|x|=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0% ^{+}}x=0.

(2.105)

Código 18: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(abs(x), x, 0, '-')

⬇

1limit(abs(x), x, 0, '+')

Teorema 2.3.1.(Existencia y límites laterales)

Existe el límite de una función dada $f$ en el punto $x=x_{0}$ y

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)=L

(2.106)

si, y solo si, existen y son iguales a $L$ los límites laterales por la izquierda y por la derecha de $f$ en el punto $x=x_{0}$ . Escribimos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)=L\in\mathbb{R}$		(2.107)
	$\displaystyle\text{}\quad\Leftrightarrow$		(2.108)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L\in\mathbb{R}.$		(2.109)

Demostración.

La demostración queda fuera de los objetivos de estas notas de clase y puede encontrarse en libros de Análisis Matemático. Sin embargo, el resultado es intuitivo y puede comprenderse a partir de la noción de límite. Comencemos por la implicación “ $\Rightarrow$ ”. Suponga que existe el límite de $f$ en el punto $x_{0}$ , es decir,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)=L.

(2.110)

Entonces, por definición, $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x\neq x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ (consultemos la Figura 2.8). Esto implica que $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ y también para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ . Luego, existen y son iguales a $L$ los límites laterales por la izquierda y por la derecha de $f$ en el punto $x=x_{0}$ , es decir,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\mathop{\operator@font lim}_{% x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.

(2.111)

Ahora, vamos a probar la recíproca, es decir, la implicación “ $\Leftarrow$ ”. Suponga que existen y son iguales a $L$ los límites laterales por la izquierda y por la derecha de $f$ en el punto $x=x_{0}$ , es decir,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\mathop{\operator@font lim}_{% x\to x_{0}^{+}}f(x)=L.

(2.112)

Entonces, por definición, $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ , es decir, para todo $x$ en el intervalo $(x_{0}-\delta^{-},x_{0})$ , para un $\delta^{-}$ suficientemente pequeño. Análogamente, $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ , es decir, para todo $x$ en el intervalo $(x_{0},x_{0}+\delta^{+})$ , con $\delta^{+}$ suficientemente pequeño (consultemos la Figura 2.9). Entonces, tomando $\delta=\mathop{\operator@font min}\{\delta^{-},\delta^{+}\}$ , tenemos que $f(x)$ es igualmente próximo de $L$ , para todo $x$ en el intervalo $(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$ , con $x\neq x_{0}$ . Luego, existe el límite de $f$ en el punto $x_{0}$ y

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)=L.

(2.113)

∎

Ejemplo 2.3.2.(Límite de la función valor absoluto – continuación)

En el ejemplo anterior (Ejemplo 2.3.1), vimos que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}|x|=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0% ^{+}}|x|=0.

(2.114)

Luego, por el teorema anterior (Teorema 2.3.1), podemos concluir que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}|x|=0.

(2.115)

Ejemplo 2.3.3.

Vamos a verificar la existencia de

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{|x|}{x}.

(2.116)

Comenzamos por el límite lateral por la izquierda, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\frac{\|x\|}{x}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\frac{-x}{x}$		(2.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}-1=-1.$		(2.118)

Ahora, calculando el límite lateral por la derecha, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{\|x\|}{x}=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{x}{x}$		(2.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}1=1.$		(2.120)

Como los límites laterales por la izquierda y por la derecha son diferentes, concluimos que no existe el límite de $|x|/x$ en el punto $x=0$ . Consultemos la Figura 2.10.

Código 19: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(abs(x)/x, x, 0)

Observemos que, por defecto, SymPy calcula el límite lateral por la derecha.

Código 20: Python

⬇

1limit(abs(x)/x, x, 0, '-')

-1

Código 21: Python

⬇

1limit(abs(x)/x, x, 0, '+')

Observación 2.3.2.(Reglas de cálculo de límites laterales)

Las reglas básicas para el cálculo de límites bilaterales se extienden a los límites laterales. Es decir, si

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)=L_{1}

(2.121)

\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)=L_{2},

(2.122)

entonces valen las siguientes:

regla de la multiplicación por un escalar

$\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}kf(x)=k\mathop{\operator@font lim% }_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)=kL_{1},$ (2.123)

para cualquier número real $k$ .
regla de la suma/resta

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm g(x)=% \mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm\mathop{\operator@font lim% }_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$ (2.124)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}+L_{2}$ (2.125)
regla del producto

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\cdot g(x)=% \mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\cdot\mathop{\operator@font lim% }_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$ (2.126)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$ (2.127)
regla del cociente

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}\frac{f(x)}{g(x)}=% \frac{\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)}{\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)}$ (2.128)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$ (2.129)

siempre que $L_{2}\neq 0$ .
regla de la potenciación

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}(f(x))^{s}=\left(% \mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\right)^{s}$ (2.130)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$ (2.131)

si, adicionalmente, $L_{1}^{s}$ es un número real.

2.3.1 Ejercicios resueltos

ER 2.3.1.

Considere que una función dada $f$ tenga el siguiente esbozo de gráfico:

Entonces, infiera los valores de

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2^{-}}f(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1^{+}}f(x)$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}f(x)$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{+}}f(x)$
e)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}f(x)$

Resolución.

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2^{-}}f(x)$

Para valores $x<-2$ y suficientemente próximos de $-2$ , podemos observar que $f(x)$ queda arbitrariamente próxima de $1$ . Concluimos que

$\mathop{\operator@font lim}_{x\to-2^{-}}=1.$ (2.132)
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1^{+}}f(x)$

Aunque $f(-1)=2$ , observamos que los valores de $f(x)$ pueden tomarse arbitrariamente próximos de $1$ , si elegimos valores de $x>-1$ y suficientemente próximos de $-1$ . Luego,

$\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1^{+}}f(x)=1.$ (2.133)
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}f(x)$

Observamos que los valores de $f(x)$ pueden tomarse arbitrariamente próximos de $2$ , si elegimos valores de $x<1$ y suficientemente próximos de $1$ . Luego,

$\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}f(x)=2.$ (2.134)

Notamos también que, en este caso, $f(x)$ no tiende a $f(1)=1$ cuando $x$ tiende a $1$ por la izquierda.
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{+}}f(x)$

Observamos que los valores de $f(x)$ pueden tomarse arbitrariamente próximos de $1$ , si elegimos valores de $x>1$ y suficientemente próximos de $1$ . Luego,

$\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{+}}f(x)=1.$ (2.135)

Aquí, $f(x)\to f(1)=1$ cuando $x\to 1^{+}$ .
e)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}f(x)$

En los ítems anteriores, vimos que

$2=\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}f(x)\neq\mathop{\operator@font lim}_% {x\to 1^{+}}f(x)=1.$ (2.136)

Luego, concluimos que este límite no existe, y escribimos

$\not\exists\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}f(x).$ (2.137)

ER 2.3.2.

Calcule $\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}f(x)$ para

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}(x+1)^{2}-1&,x<-1,\\ x&,x>-1.\end{array}\right.

(2.138)

Resolución.

La función $f$ tiene comportamientos distintos para valores a la izquierda y a la derecha de $x_{0}=-1$ . Por lo tanto, para calcular $\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}f(x)$ necesitamos calcular los límites laterales. Tenemos:

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1^{-}}f(x)=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to-1^{-}}(x+1)^{2}-1$		(2.139)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-1+1)^{2}-1=-1,$		(2.140)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1^{+}}f(x)=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to-1^{+}}x$		(2.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1.$		(2.142)

Como ambos límites laterales son iguales a $-1$ , concluimos que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}f(x)=-1.

(2.143)

2.3.2 Ejercicios

E. 2.3.1.

Considere que una función dada $f$ tenga el siguiente esbozo de gráfico:

Proporcione el valor de los siguientes límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2^{+}}f(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2^{-}}f(x)$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 2}f(x)$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 3^{+}}f(x)$
e)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 3^{-}}f(x)$
f)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 3}f(x)$

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $2$ ; d) $2$ ; e) $1$ ; f) $\nexists$

E. 2.3.2.

Sendo

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x^{2}+1&,x\leq 1,\\ 2x&,x>1.\end{array}\right.

(2.144)

calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}f(x)$ .
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{+}}f(x)$ .
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}f(x)$ .

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $2$

E. 2.3.3.

Sendo

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x^{2}+1&,x\leq 1,\\ 2x+1&,x>1,\end{array}\right.

(2.145)

calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}f(x)$ .
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{+}}f(x)$ .
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}f(x)$ .

a) $2$ ; b) $3$ ; c) $\nexists$

E. 2.3.4.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\frac{x}{2|x|}.

(2.146)

$-\frac{1}{2}$

E. 2.3.5.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1^{+}}\sqrt{1-x^{2}}.

(2.147)

¿Qué puede decirse sobre el límite por la izquierda?

$0$ ; No está definido, pues el dominio de $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ es $[-1,1]$ .

E. 2.3.6.

Diga si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. Si existen

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}f(x)=L$		(2.148)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{+}}g(x)=M$		(2.149)

entonces

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}f(x)+g(x)=L+M.

(2.150)

Justifique su respuesta.

Falso. Sugerencia: construya un contraejemplo para mostrar que la afirmación no es verdadera.

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Cálculo I

2.3 Límites laterales

Observación 2.3.1.(Funciones constantes y función identidad)

Ejemplo 2.3.1.(Límite del valor absoluto)

Teorema 2.3.1.(Existencia y límites laterales)

Demostración.

Ejemplo 2.3.2.(Límite de la función valor absoluto – continuación)

Ejemplo 2.3.3.

Observación 2.3.2.(Reglas de cálculo de límites laterales)

2.3.1 Ejercicios resueltos

ER 2.3.1.

Resolución.

ER 2.3.2.

Resolución.

2.3.2 Ejercicios

E. 2.3.1.

E. 2.3.2.

E. 2.3.3.

E. 2.3.4.

E. 2.3.5.

E. 2.3.6.

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	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm g(x)=% \mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm\mathop{\operator@font lim% }_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$		(2.124)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}+L_{2}$		(2.125)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\cdot g(x)=% \mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\cdot\mathop{\operator@font lim% }_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$		(2.126)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$		(2.127)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}\frac{f(x)}{g(x)}=% \frac{\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)}{\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)}$		(2.128)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$		(2.129)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}(f(x))^{s}=\left(% \mathop{\operator@font lim}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\right)^{s}$		(2.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$		(2.131)