Cálculo I

2 Límites 2.2 Reglas para el cálculo de límites 2.4 Límites en el infinito

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2.3 Límites laterales

Sea dada una función $f$ definida para todo $x$ en un intervalo abierto $(a,x_{0})$ . El límite lateral por la izquierda de $f$ en el punto $x_{0}$ se denota por

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}x_{0}^{-}}}f(x)

(2.95)

y es la tendencia de la función solo para puntos $x<x_{0}$ (consultemos la Figura 2.5). Más precisamente, tenemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=L

(2.96)

cuando $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ .

Refer to caption — Figura 2.5: Límite lateral por la izquierda.

Para una función $f$ definida para todo $x$ en un intervalo abierto $(x_{0},b)$ , el límite lateral por la derecha de $f$ en el punto $x_{0}$ se denota por

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x_{0}^{+}}}f(x)

(2.97)

y es la tendencia de la función solo para puntos $x>x_{0}$ (consultemos la Figura 2.6). Más precisamente, tenemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L,

(2.98)

cuando $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ .

Observación 2.3.1.(Funciones constantes y función identidad)

Por inferencia directa, tenemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}k=k

(2.99)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}x=x_{0},

(2.100)

donde $x_{0}$ y $k$ son cualesquiera números reales dados.

Ejemplo 2.3.1.(Límite del valor absoluto)

Vamos a calcular

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{-}}|x|\mathchar 46\relax

(2.101)

Por definición (consultemos la Figura 2.7), tenemos

|x|:=\left\{\begin{array}[]{ll}x&,x\geq 0,\\ -x&,x<0\mathchar 46\relax\end{array}\right\mathchar 46\relax

(2.102)

Como estamos interesados en el límite lateral por la izquierda de $x=0$ , trabajamos con $x<0$ y, entonces,

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{-}}\|x\|=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{-}}(-x)$		(2.103)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^% {-}}x=0\mathchar 46\relax$		(2.104)

Análogamente, calculamos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}|x|=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}x=0\mathchar 46\relax

(2.105)

Código 18: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(abs(x), x, 0, '-')

⬇

1limit(abs(x), x, 0, '+')

Teorema 2.3.1.(Existencia y límites laterales)

Existe el límite de una función dada $f$ en el punto $x=x_{0}$ y

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)=L

(2.106)

si, y solo si, existen y son iguales a $L$ los límites laterales por la izquierda y por la derecha de $f$ en el punto $x=x_{0}$ . Escribimos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)=L\in% \mathbb{R}$		(2.107)
	$\displaystyle\text{}\quad\Leftrightarrow$		(2.108)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L\in\mathbb{R}% \mathchar 46\relax$		(2.109)

Demostración.

La demostración queda fuera de los objetivos de estas notas de clase y puede encontrarse en libros de Análisis Matemático. Sin embargo, el resultado es intuitivo y puede comprenderse a partir de la noción de límite. Comencemos por la implicación “ $\Rightarrow$ ”. Suponga que existe el límite de $f$ en el punto $x_{0}$ , es decir,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)=L\mathchar 46\relax

(2.110)

Entonces, por definición, $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x\neq x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ (consultemos la Figura 2.8). Esto implica que $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ y también para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ . Luego, existen y son iguales a $L$ los límites laterales por la izquierda y por la derecha de $f$ en el punto $x=x_{0}$ , es decir,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L\mathchar 46\relax

(2.111)

Ahora, vamos a probar la recíproca, es decir, la implicación “ $\Leftarrow$ ”. Suponga que existen y son iguales a $L$ los límites laterales por la izquierda y por la derecha de $f$ en el punto $x=x_{0}$ , es decir,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=L\mathchar 46\relax

(2.112)

Entonces, por definición, $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x<x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ , es decir, para todo $x$ en el intervalo $(x_{0}-\delta^{-},x_{0})$ , para un $\delta^{-}$ suficientemente pequeño. Análogamente, $f(x)$ es arbitrariamente próximo de $L$ , para todo $x>x_{0}$ suficientemente próximo de $x_{0}$ , es decir, para todo $x$ en el intervalo $(x_{0},x_{0}+\delta^{+})$ , con $\delta^{+}$ suficientemente pequeño (consultemos la Figura 2.9). Entonces, tomando $\delta=\mathop{\operator@font m\acute{{\imath}}n}\{\delta^{-},\delta^{+}\}$ , tenemos que $f(x)$ es igualmente próximo de $L$ , para todo $x$ en el intervalo $(x_{0}-\delta,x_{0}+\delta)$ , con $x\neq x_{0}$ . Luego, existe el límite de $f$ en el punto $x_{0}$ y

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}}f(x)=L\mathchar 46\relax

(2.113)

∎

Ejemplo 2.3.2.(Límite de la función valor absoluto – continuación)

En el ejemplo anterior (Ejemplo 2.3.1), vimos que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{-}}|x|=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}|x|=0\mathchar 46\relax

(2.114)

Luego, por el teorema anterior (Teorema 2.3.1), podemos concluir que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}|x|=0\mathchar 46\relax

(2.115)

Ejemplo 2.3.3.

Vamos a verificar la existencia de

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}\frac{|x|}{x}\mathchar 46\relax

(2.116)

Comenzamos por el límite lateral por la izquierda, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{-}}\frac{\|x\|}% {x}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{-}}\frac{-x}{x}$		(2.117)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{% -}}-1=-1\mathchar 46\relax$		(2.118)

Ahora, calculando el límite lateral por la derecha, obtenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}\frac{\|x\|}% {x}=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{+}}\frac{x}{x}$		(2.119)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{% +}}1=1\mathchar 46\relax$		(2.120)

Como los límites laterales por la izquierda y por la derecha son diferentes, concluimos que no existe el límite de $|x|/x$ en el punto $x=0$ . Consultemos la Figura 2.10.

Código 19: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(abs(x)/x, x, 0)

Observemos que, por defecto, SymPy calcula el límite lateral por la derecha.

Código 20: Python

⬇

1limit(abs(x)/x, x, 0, '-')

-1

Código 21: Python

⬇

1limit(abs(x)/x, x, 0, '+')

Observación 2.3.2.(Reglas de cálculo de límites laterales)

Las reglas básicas para el cálculo de límites bilaterales se extienden a los límites laterales. Es decir, si

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)=L_{1}

(2.121)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)=L_{2},

(2.122)

entonces valen las siguientes:

regla de la multiplicación por un escalar

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}kf(x)=k\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)=kL_{1},$ (2.123)

para cualquier número real $k$ .
regla de la suma/resta

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \pm g(x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$ (2.124)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}+L_{2}$ (2.125)
regla del producto

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \cdot g(x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$ (2.126)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$ (2.127)
regla del cociente

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}% \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}% ^{\pm}}f(x)}{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)}$ (2.128)

$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$ (2.129)

siempre que $L_{2}\neq 0$ .
regla de la potenciación

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}(f(x% ))^{s}=\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \right)^{s}$ (2.130)

$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$ (2.131)

si, adicionalmente, $L_{1}^{s}$ es un número real.

2.3.1 Ejercicios resueltos

ER 2.3.1.

Considere que una función dada $f$ tenga el siguiente esbozo de gráfico:

Entonces, infiera los valores de

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2^{-}}f(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1^{+}}f(x)$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{-}}f(x)$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{+}}f(x)$
e)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)$

Resolución.

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2^{-}}f(x)$

Para valores $x<-2$ y suficientemente próximos de $-2$ , podemos observar que $f(x)$ queda arbitrariamente próxima de $1$ . Concluimos que

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2^{-}}=1\mathchar 46\relax$ (2.132)
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1^{+}}f(x)$

Aunque $f(-1)=2$ , observamos que los valores de $f(x)$ pueden tomarse arbitrariamente próximos de $1$ , si elegimos valores de $x>-1$ y suficientemente próximos de $-1$ . Luego,

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1^{+}}f(x)=1\mathchar 46\relax$ (2.133)
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{-}}f(x)$

Observamos que los valores de $f(x)$ pueden tomarse arbitrariamente próximos de $2$ , si elegimos valores de $x<1$ y suficientemente próximos de $1$ . Luego,

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{-}}f(x)=2\mathchar 46\relax$ (2.134)

Notamos también que, en este caso, $f(x)$ no tiende a $f(1)=1$ cuando $x$ tiende a $1$ por la izquierda.
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{+}}f(x)$

Observamos que los valores de $f(x)$ pueden tomarse arbitrariamente próximos de $1$ , si elegimos valores de $x>1$ y suficientemente próximos de $1$ . Luego,

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{+}}f(x)=1\mathchar 46\relax$ (2.135)

Aquí, $f(x)\to f(1)=1$ cuando $x\to 1^{+}$ .
e)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)$

En los ítems anteriores, vimos que

$2=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{-}}f(x)\neq\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{+}}f(x)=1\mathchar 46\relax$ (2.136)

Luego, concluimos que este límite no existe, y escribimos

$\not\exists\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)\mathchar 46\relax$ (2.137)

ER 2.3.2.

Calcule $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}f(x)$ para

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}(x+1)^{2}-1&,x<-1,\\ x&,x>-1\mathchar 46\relax\end{array}\right\mathchar 46\relax

(2.138)

Resolución.

La función $f$ tiene comportamientos distintos para valores a la izquierda y a la derecha de $x_{0}=-1$ . Por lo tanto, para calcular $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}f(x)$ necesitamos calcular los límites laterales. Tenemos:

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1^{-}}f(x)=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1^{-}}(x+1)^{2}-1$		(2.139)
	$\displaystyle\text{}\quad=(-1+1)^{2}-1=-1,$		(2.140)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1^{+}}f(x)=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1^{+}}x$		(2.141)
	$\displaystyle\text{}\quad=-1\mathchar 46\relax$		(2.142)

Como ambos límites laterales son iguales a $-1$ , concluimos que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}f(x)=-1\mathchar 46\relax

(2.143)

2.3.2 Ejercicios

E. 2.3.1.

Considere que una función dada $f$ tenga el siguiente esbozo de gráfico:

Proporcione el valor de los siguientes límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2^{+}}f(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2^{-}}f(x)$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}f(x)$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3^{+}}f(x)$
e)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3^{-}}f(x)$
f)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}f(x)$

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $2$ ; d) $2$ ; e) $1$ ; f) $\nexists$

E. 2.3.2.

Sendo

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x^{2}+1&,x\leq 1,\\ 2x&,x>1\mathchar 46\relax\end{array}\right\mathchar 46\relax

(2.144)

calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{-}}f(x)$ .
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{+}}f(x)$ .
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)$ .

a) $2$ ; b) $2$ ; c) $2$

E. 2.3.3.

Sendo

f(x)=\left\{\begin{array}[]{ll}x^{2}+1&,x\leq 1,\\ 2x+1&,x>1,\end{array}\right\mathchar 46\relax

(2.145)

calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{-}}f(x)$ .
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{+}}f(x)$ .
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)$ .

a) $2$ ; b) $3$ ; c) $\nexists$

E. 2.3.4.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0^{-}}\frac{x}{2|x|}\mathchar 46\relax

(2.146)

$-\frac{1}{2}$

E. 2.3.5.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1^{+}}\sqrt{1-x^{2}}\mathchar 46\relax

(2.147)

¿Qué puede decirse sobre el límite por la izquierda?

$0$ ; No está definido, pues el dominio de $f(x)=\sqrt{1-x^{2}}$ es $[-1,1]$ .

E. 2.3.6.

Diga si es verdadera o falsa la siguiente afirmación. Si existen

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{-}}f(x)=L$		(2.148)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{+}}g(x)=M$		(2.149)

entonces

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1^{-}}f(x)+g(x)=L+M\mathchar 46\relax

(2.150)

Justifique su respuesta.

Falso. Sugerencia: construya un contraejemplo para mostrar que la afirmación no es verdadera.

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Cálculo I

2.3 Límites laterales

Observación 2.3.1.(Funciones constantes y función identidad)

Ejemplo 2.3.1.(Límite del valor absoluto)

Teorema 2.3.1.(Existencia y límites laterales)

Demostración.

Ejemplo 2.3.2.(Límite de la función valor absoluto – continuación)

Ejemplo 2.3.3.

Observación 2.3.2.(Reglas de cálculo de límites laterales)

2.3.1 Ejercicios resueltos

ER 2.3.1.

Resolución.

ER 2.3.2.

Resolución.

2.3.2 Ejercicios

E. 2.3.1.

E. 2.3.2.

E. 2.3.3.

E. 2.3.4.

E. 2.3.5.

E. 2.3.6.

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	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \pm g(x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)\pm% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$		(2.124)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}+L_{2}$		(2.125)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \cdot g(x)=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \cdot\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)$		(2.126)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}\cdot L_{2}$		(2.127)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}% \frac{f(x)}{g(x)}=\frac{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}% ^{\pm}}f(x)}{\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}g(x)}$		(2.128)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{L_{1}}{L_{2}},$		(2.129)

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}(f(x% ))^{s}=\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to x_{0}^{\pm}}f(x)% \right)^{s}$		(2.130)
	$\displaystyle\text{}\quad=L_{1}^{s},$		(2.131)