Cálculo I

2 Límites 2 Límites 2.2 Reglas para el cálculo de límites

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2.1 Noción de límite

Sea $f$ una función definida en un intervalo abierto alrededor de un punto dado $a$ , excepto quizá en $x=a$ . Cuando el valor de $f(x)$ es arbitrariamente próximo de un número $L$ para $x$ suficientemente próximo de $a$ , escribimos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x\to a}f(x)={\color[rgb]{1,0,0}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}L}

(2.1)

y decimos que el límite de la función $f$ es $L$ cuando $x$ tiende a $a$ . Consultemos la Figura 2.1.

Refer to caption — Figura 2.1: Noción de límite de una función.

Ejemplo 2.1.1.

Consideremos la función

f(x)=\frac{(x^{2}-1)(x-2)}{(x-1)(x-2)}\mathchar 46\relax

(2.2)

En la Figura 2.2, tenemos un esbozo del gráfico de esta función.

Estudiemos los siguientes casos:

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}f(x)=1=f(0)$ .

$x$ $y=f(x)$

$-0,01$ $0,99$

$-0,001$ $0,999$

$-0,0001$ $0,9999$

$\downarrow$ $\downarrow$

$0$ $1$

$\uparrow$ $\uparrow$

$0,0001$ $1,0001$

$0,001$ $1,001$

$0,01$ $1,01$

Código 1: Python

⬇

1from sympy import limit, Symbol

2x = Symbol('x')

3limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)), x, 0)

⬇

1
$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)=2$ , aunque $f(1)$ no está definida.

$x$ $f(x)$

$0,9$ $1,9$

$0,99$ $1,99$

$0,999$ $1,999$

$\downarrow$ $\downarrow$

$1$ $2$

$\uparrow$ $\uparrow$

$1,0001$ $2,0001$

$1,001$ $2,001$

$1,01$ $2,01$

Código 2: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit((x**2-1)*(x-2)/((x-1)*(x-2)), x, 1)

⬇

2
$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}f(x)=3$ , aunque $f(2)$ tampoco está definida. Verifíquelo.

$x$	$y=f(x)$
$-0,01$	$0,99$
$-0,001$	$0,999$
$-0,0001$	$0,9999$
$\downarrow$	$\downarrow$
$0$	$1$
$\uparrow$	$\uparrow$
$0,0001$	$1,0001$
$0,001$	$1,001$
$0,01$	$1,01$

$x$	$f(x)$
$0,9$	$1,9$
$0,99$	$1,99$
$0,999$	$1,999$
$\downarrow$	$\downarrow$
$1$	$2$
$\uparrow$	$\uparrow$
$1,0001$	$2,0001$
$1,001$	$2,001$
$1,01$	$2,01$

2.1.1 Límites de funciones constantes y de la identidad

De la noción de límite, podemos inferir que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a}}{\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}k}={\color[rgb]{1,0,0}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{1,0,0}k},

(2.3)

cualquiera que sea la constante $k$ . Consultemos la Figura 2.3.

Ejemplo 2.1.2.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}1=1$

Código 3: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit

3limit(1, x, -1)

⬇

1
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}-3=-3$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pi}\left(\sqrt{2% }-e\right)=\sqrt{2}-e$

También de la noción de límite, podemos inferir que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a}}x={\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a},

(2.4)

cualquiera que sea el punto $a$ . Consultemos la Figura 2.4.

Código 4: Python

⬇

1from sympy import symbols, limit

2x, a = symbols('x, a')

3limit(x, x, a)

Ejemplo 2.1.3.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}x=-1$

Código 5: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol('x')

3limit(x, x, -1)

⬇

-1
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x=2$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pi}x=\pi$

2.1.2 Ejercicios resueltos

ER 2.1.1.

Estime el valor del límite

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}e^{x}\mathchar 46\relax

(2.5)

Resolución.

A partir de la noción de límite, podemos intentar inferir el límite de una función en un punto $x_{0}$ , calculando sus valores próximos a dicho punto. Por ejemplo, construimos la siguiente tabla:

$x$	f(x)
$0,9$	$2,460$
$0,99$	$2,691$
$0,999$	$2,716$
$\downarrow$	$\downarrow$
$1$	$2,72$
$\uparrow$	$\uparrow$
$1,0001$	$2,719$
$1,001$	$2,721$
$1,01$	$2,746$

Con ello, inferimos que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}e^{x}\approx 2,72\mathchar 46\relax

(2.6)

Más adelante, mostraremos que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}e^{x}=e\approx 2,7182818284% 59045\mathchar 46\relax\mathchar 46\relax\mathchar 46\relax$ .

Código 6: Python

⬇

1from sympy.abc import x

2from sympy import limit, exp

3L = limit(exp(x), x, 1)

4print(f'{L} =', L.evalf())

E = 2.71828182845905

ER 2.1.2.

Considere que una función dada $f$ tenga el siguiente esbozo de gráfico:

Entonces, infiera los valores de

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}f(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}f(x)$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)$

Resolución.

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}f(x)$

Para valores suficientemente próximos de $-2$ y a la derecha de $-2$ (es decir, $x>-2$ ), podemos observar que $f(x)=1$ . Para tales valores de $x$ a la izquierda de $-2$ (es decir, $x<-2$ ), vemos que los valores de $f(x)$ se vuelven próximos de $1$ . Es decir, los valores de $f(x)$ pueden tomarse arbitrariamente próximos de $L=1$ , si tomamos $x$ suficientemente próximo de $-2$ . Concluimos que

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}f(x)=1\mathchar 46\relax$ (2.7)
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}f(x)$

Aunque $f(-1)=2$ , observamos que los valores de $f(x)$ pueden tomarse arbitrariamente próximos de $1$ , si elegimos valores de $x$ suficientemente próximos de $-1$ . Luego,

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}f(x)=1\mathchar 46\relax$ (2.8)
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)$

Aquí, para valores de $x$ suficientemente próximos de $x_{0}=1$ y a la izquierda ( $x<1$ ), vemos que los valores de $f(x)$ son próximos de $L=2$ . Sin embargo, para valores de $x$ suficientemente próximos de $x_{0}=1$ y a la derecha ( $x>1$ ), tenemos que los valores de $f(x)$ son próximos de $L=1$ . Es decir, no es posible elegir un valor $L$ tal que $f(x)$ sea arbitrariamente próxima al tomar $x$ suficientemente próximo de $x_{0}=1$ , pues $L$ dependerá de si $x$ está a la izquierda o a la derecha del punto $x_{0}=1$ . Concluimos que este límite no existe, y escribimos

$\not\exists\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)\mathchar 46\relax$ (2.9)

2.1.3 Ejercicios

E. 2.1.1.

Considere que una función dada $f$ tenga el siguiente esbozo de gráfico:

Proporcione el valor de los siguientes límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}f(x)$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}f(x)$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}f(x)$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 3}f(x)$

a) $-1$ ; b) $-1$ ; c) $2$ ; d) $\nexists$

E. 2.1.2.

Considerando la misma función del ejercicio anterior (E.2.1.1), proporcione

1.

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\frac{3}{2}}f(x)$
2.

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 0}f(x)$
3.

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\frac{3}{4}}f(x)$

a) $-\frac{3}{2}$ ; b) $-1$ ; c) $-1$

E. 2.1.3.

Proporcione el valor de los siguientes límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}2$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}2$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}-3$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to e}\pi$

a) 2; b) 2; c)-3; d) $\pi$

E. 2.1.4.

Proporcione el valor de los siguientes límites:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 2}x$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-2}x$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-3}x$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to e}x$

a) 2; b)-2; c)-3; d) $e$

E. 2.1.5.

Con base en la noción de límite, calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}|x|$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-1}|x|$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 10^{-10}}|x|$

a) $1$ ; b) $1$ ; c) $10^{-10}$

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Cálculo I

2.1 Noción de límite

Ejemplo 2.1.1.

2.1.1 Límites de funciones constantes y de la identidad

Ejemplo 2.1.2.

Ejemplo 2.1.3.

2.1.2 Ejercicios resueltos

ER 2.1.1.

Resolución.

ER 2.1.2.

Resolución.

2.1.3 Ejercicios

E. 2.1.1.

E. 2.1.2.

E. 2.1.3.

E. 2.1.4.

E. 2.1.5.

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