Cálculo I

2 Límites 2.3 Límites laterales 2.5 Límites infinitos

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2.4 Límites en el infinito

Límites en el infinito describen la tendencia de una función dada $f(x)$ cuando $x\to-\infty$ o $x\to\infty$ . Decimos que el límite de $f(x)$ es $L$ cuando $x$ tiende a $-\infty$ , si los valores de $f(x)$ son arbitrariamente próximos de $L$ para todos los valores de $x$ suficientemente pequeños (consultemos la Figura 2.11). En este caso, escribimos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}f(x)=L\mathchar 46\relax

(2.151)

Refer to caption — Figura 2.11: Límite de una función $y=f(x)$ cuando $x\to-\infty$ .

Análogamente, decimos que el límite de $f(x)$ es $L$ cuando $x$ tiende a $\infty$ , si los valores de $f(x)$ son arbitrariamente próximos de $L$ para todos los valores de $x$ suficientemente grandes (consultemos la Figura 2.12). En este caso, escribimos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}f(x)=L\mathchar 46\relax

(2.152)

Ejemplo 2.4.1.(Hipérbole)

Vamos a inferir los límites de $f(x)=1/x$ para $x\to-\infty$ y $x\to\infty$ . La Figura Figura 2.13 es un esbozo del gráfico de esta función.

Observamos que cuanto menores son los valores de $x$ , más próximos de $0$ son los valores de $f(x)=1/x$ . De ahí, inferimos que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0\mathchar 46\relax

(2.153)

Asimismo, cuanto mayores son los valores de $x$ , más próximos de $0$ son los valores de $f(x)=1/x$ . Con ello, podemos concluir que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0\mathchar 46\relax

(2.154)

Código 22: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo

2x = Symbol("x")

3limit(1/x, x, -oo)

Código 23: Python

⬇

1limit(1/x, x, oo)

Observación 2.4.1.(Reglas para el cálculo de límites en el infinito)

Suponiendo que $L$ , $M$ y $k$ son números reales y

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}f(x)=L

(2.155)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}g(x)=M\mathchar 46\relax

(2.156)

Entonces, tenemos las siguientes reglas para límites en el infinito:

Multiplicación por un escalar

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}kf(x)=kL$ (2.157)
Suma/diferencia

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}(f(x)\pm g(x))=L\pm M$ (2.158)
Producto

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}f(x)g(x)=LM$ (2.159)
Cociente

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=% \frac{L}{M},\quad M\neq 0\mathchar 46\relax$ (2.160)
Potenciación

$\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}(f(x))^{k}=L^{k},% \text{ se }L^{k}\in\mathbb{R}\mathchar 46\relax$ (2.161)

Ejemplo 2.4.2.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{1}{x% ^{2}}+1$		(2.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{1}{x^{2}}+\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}1$		(2.163)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x% \to\infty}\frac{1}{x}\right)^{2}+1$		(2.164)
	$\displaystyle\text{}\quad=0^{2}+1=1\mathchar 46\relax$		(2.165)

Ejemplo 2.4.3.(Funciones racionales)

Consideramos el siguiente caso

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^% {3}}\mathchar 46\relax

(2.166)

Observamos que no podemos usar la regla del cociente directamente, pues, por ejemplo, no existe el límite del numerador. La alternativa es multiplicar y dividir por $1/x^{3}$ (grado dominante), obteniendo

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}-2x+1}{% 2-3x^{3}}$		(2.167)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}\cdot{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\frac{1}{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}}$		(2.168)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}-\frac{2x}{x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}}{\frac{2}{x^% {3}}-\frac{3x^{3}}{x^{3}}}$		(2.169)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}}{\frac{2}{x^{3}}-3}$		(2.170)

Entonces, aplicando las reglas del cociente, de la suma/resta y de la multiplicación por un escalar, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{x^{3% }-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.171)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{1-\cancelto{0}{\frac{2}{x^{2}}}+\cancelto{0}{\frac{1}{x^{3}}}}{% \cancelto{0}{\frac{2}{x^{3}}}-3}$		(2.172)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\mathchar 46\relax$		(2.173)

Proposición 2.4.1.(Límite en el infinito de funciones racionales)

Sean dos polinomios

	$\displaystyle p(x)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}a_{n}x^{n}}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$		(2.174)
	$\displaystyle q(x)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}b_{m}x^{m}}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0},$		(2.175)

con $a_{n},b_{m}\neq 0$ , tenemos

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}\frac{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a_{n}x^{n}}{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}b_{m}x^{m}}\mathchar 46\relax

(2.176)

Demostración.

Consulte el E.2.4.8. ∎

Ejemplo 2.4.4.

Usando la Proposición 2.4.1 en el Ejemplo 2.4.3, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}-2x+1}{% 2{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3x^{3}}}$		(2.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}% x^{3}}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3x^{3}}$		(2.178)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\mathchar 46\relax$		(2.179)

La idea utilizada en el Ejemplo 2.4.3 también puede ser útil en límites en el infinito de cocientes que involucran raíces.

Ejemplo 2.4.5.(Cociente que involucra raíz)

Vamos a calcular

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x% +1}\mathchar 46\relax

(2.180)

La idea es multiplicar arriba y abajo por $1/\sqrt{x^{2}}$ . Seguimos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{% \sqrt{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{2}}% -x}}{x+1}\frac{\frac{1}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{% rgb}{0,0,1}\sqrt{x^{2}}}}{\frac{1}{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\sqrt{x^{2}}}}$		(2.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}}}{\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}}}}$		(2.182)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x+1}{\|x\|}}$		(2.183)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x+1}{x}}$		(2.184)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}}{1+\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}$		(2.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{1}}{1}=1$		(2.186)

2.4.1 Asíntotas horizontales

La recta $y=L$ se denomina asíntota horizontal del gráfico de la función $y=f(x)$ si

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}f(x)=L

(2.187)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}f(x)=L\mathchar 46\relax

(2.188)

Ejemplo 2.4.6.

En el Ejemplo 2.4.3, vimos que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^% {3}}=-\frac{1}{3}\mathchar 46\relax

(2.189)

Luego, tenemos que $y=-1/3$ es una asíntota horizontal del gráfico de la función

f(x)=\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}\mathchar 46\relax

(2.190)

Consultemos la Figura 2.14 para su gráfico.

Asimismo, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}\frac{x^{% 3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.191)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\frac{x^{3}}{-3x^{3}}$		(2.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}\mathchar 46\relax$		(2.193)

Lo que refuerza que $y=-1/3$ es una asíntota horizontal de esta función.

Ejemplo 2.4.7.(Función exponencial natural)

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(2.194)

de donde tenemos que $y=0$ es una asíntota horizontal de la función exponencial natural. Consultemos la Figura 2.15 para el gráfico de $y=e^{x}$ .

Ejemplo 2.4.8.(Función logística)

En ecología, la función logística¹¹1Consultemos más sobre la función logística en Wikipedia: Función logística.

P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_{0}}{P_{0}}e^{-rt}\right)}

(2.195)

es un modelo de crecimiento poblacional de especies, donde $P(t)$ es el número de individuos de la población en el tiempo $t$ . El parámetro $P_{0}$ es el número de individuos en la población en el tiempo inicial $t=0$ , $r>0$ es la proporción de nuevos individuos en la población debida a la reproducción y $K$ es el límite de saturación del crecimiento poblacional (debido a recursos escasos como alimentos, territorio y tratamiento de enfermedades). Observamos que

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{t\to\infty}P(t)=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{t\to\infty}\frac{K}{1+\left(\frac{% K-P_{0}}{P_{0}}\cancelto{0}{e^{-rt}}\right)}$		(2.196)
	$\displaystyle\text{}\quad=K$		(2.197)

Es decir, $P(t)=K$ es una asíntota horizontal del gráfico de $P=P(t)$ y es el límite de saturación del crecimiento poblacional. En la Figura 2.16, tenemos el gráfico de la función logística para $t\geq 0$ .

2.4.2 Límite en el infinito de una función periódica

Una función $f$ es periódica cuando existe un número $T$ tal que

f(x)=f(x+T),

(2.198)

para todo $x\in\mathbb{R}$ en el dominio de $f$ . El número $T$ se llama período de la función. Las funciones trigonométricas son ejemplos de funciones periódicas.

Con excepción de las funciones constantes, el límite en el infinito de funciones periódicas no existe. En efecto, si $f$ no es constante, entonces existen números $x_{1}\neq x_{2}$ tales que $y_{1}=f(x_{1})\neq f(x_{2})=y_{2}$ . Si $f$ es periódica con período $T$ , tenemos $f(x_{1}+kT)=y_{1}$ y $f(x_{2}+kT)=y_{2}$ para todo número entero $k$ . De esta manera, no existe un número $L$ al cual podamos tomar $f(x)$ arbitrariamente próxima para todos los valores de $x$ suficientemente grandes (o pequeños).

Ejemplo 2.4.9.(Límite en el infinito de la función seno)

La función seno es periódica con período $2\pi$ , pues

	$\displaystyle\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x+2k\pi)=\mathop{% \operator@font sen}\nolimits(x)\cos(2k\pi)+\cos(x)\mathop{\operator@font sen}% \nolimits(2k\pi)$		(2.199)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\cdot 1+\cos(% x)\cdot 0$		(2.200)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)\mathchar 46\relax$		(2.201)

Observemos que no existe

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\mathop{\operator@font sen% }\nolimits(x),

(2.202)

pues los valores de $\mathop{\operator@font sen}\nolimits x$ oscilan periódicamente en el intervalo $[-1,1]$ . La Figura 2.17 muestra el gráfico de $y=\mathop{\operator@font sen}\nolimits(x)$ .

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, sin

2x = Symbol("x")

3limit(sin(x), x, oo)

AccumBounds(-1, 1)

2.4.3 Ejercicios resueltos

ER 2.4.1.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1% \mathchar 46\relax

(2.203)

Resolución.

Utilizando la regla de la suma para límites en el infinito, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{1}{x% -1}+1=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to 1}1$		(2.204)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to% \infty}\left(\frac{1}{x-1}\right)+1,$		(2.205)

observando que $\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}1/(x-1)$ existe. En efecto, el gráfico de $g(x)=1/(x-1)$ es una traslación de una unidad hacia la izquierda de la función $f(x)=1/x$ . Una traslación horizontal finita no altera el comportamiento de la función para $x\to\infty$ . Por lo tanto, como $f(x)=1/x\to 0$ cuando $x\to\infty$ , tenemos que $g(x)=f(x-1)=1/(x-1)\to 0$ cuando $x\to\infty$ , es decir,

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0% \mathchar 46\relax

(2.206)

Por lo tanto, concluimos que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=1% \mathchar 46\relax

(2.207)

Código 24: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo

2x = Symbol("x")

3limit(1/(x-1)+1, x, oo)

ER 2.4.2.

Determine la(s) asíntota(s) horizontal(es) del gráfico de la función

f(x)=\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{x^{2}+2x^{4}-x}\mathchar 46\relax

(2.208)

Resolución.

Una recta $y=L$ es una asíntota horizontal del gráfico de $f$ , cuando

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}f(x)=L\mathchar 46\relax

(2.209)

Comenzamos con $x\to-\infty$ , tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}f(x)=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{% 3}}{x^{2}+2x^{4}-x}$		(2.210)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-% \infty}\frac{4x^{4}}{2x^{4}}=2\mathchar 46\relax$		(2.211)

Luego, $y=2$ es una asíntota horizontal del gráfico de $f(x)$ .

Ahora, veamos la tendencia de la función para $x\to\infty$ :

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}f(x)=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3% }}{x^{2}+2x^{4}-x}$		(2.212)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{2}=2\mathchar 46\relax$		(2.213)

Por lo tanto, concluimos que $y=2$ es la única asíntota horizontal del gráfico de la función $f$ .

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, plot

2x = Symbol("x")

3f = lambda x: (3-x+4*x**4-10*x**3)/(x**2+2*x**4-x)

4L = limit(f(x), x, oo)

5p = plot(f(x), (x, -15, 15), ylim = [-4, 6],\

6 line_color = "blue", show = False)

7q = plot(L, (x, -15, 15), line_color = "red", show = False)

8p.extend(q)

9p.show()

ER 2.4.3.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{% x+1}\mathchar 46\relax

(2.214)

Resolución.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}\frac{% \sqrt{x^{2}-x}}{x+1}$		(2.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-% \infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}\cdot\frac{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}{\frac{1}{% \sqrt{x^{2}}}}$		(2.216)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-% \infty}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}}}{\frac{x+1}{\|x\|}}$		(2.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-% \infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x+1}{-x}}$		(2.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-% \infty}\frac{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}}{-1-\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}% =-1\mathchar 46\relax$		(2.219)

ER 2.4.4.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}e^{-x}\mathchar 46\relax

(2.220)

Resolución.

Observamos que el gráfico de $f(x)=e^{-x}$ es una reflexión respecto del eje $y$ del gráfico de la función $g(x)=e^{x}$ . En el Ejemplo 2.4.7, vimos que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}g(x)=\mathop{% \operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(2.221)

luego

	$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}e^{-x}=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}g(-x)$		(2.222)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-% \infty}g(x)=0\mathchar 46\relax$		(2.223)

Consultemos el gráfico de $f(x)=e^{-x}$ en la Figura 2.18.

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, exp

2x = Symbol("x")

3limit(exp(-x), x, oo)

2.4.4 Ejercicios

E. 2.4.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{10}{x}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}-10x^{-1}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}-\frac{10% }{x^{2}}$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{1}{x% -\sqrt{2}}$
e)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}2-(x+1)^{% -1}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $0$ ; e) $2$ ;

E. 2.4.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}x^{-\frac{% 1}{2}}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}\frac{1}{% \sqrt{(x+1)^{3}}}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}x^{-s},% \quad s>0$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 2.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}2^{x}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\left(% \frac{1}{2}\right)^{x}+1$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}2\cdot 3^% {x}+\sqrt{2}$

a) $0$ ; b) $1$ ; c) $\sqrt{2}$ ;

E. 2.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}e^{x}+1$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}3+e^{-x}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}2e^{-x}-1$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}e-e^{x}$

a) $1$ ; b) $3$ ; c) $-1$ ; d) $e$

E. 2.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\frac{% \sqrt{1+x^{2}}}{2x}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}\frac{% \sqrt{1+x^{2}}}{2x}$

a) $\frac{1}{2}$ ; b) $-\frac{1}{2}$

E. 2.4.6.

Calcule

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}\cos x\mathchar 46\relax

(2.224)

no existe.

E. 2.4.7.

Calcule:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\infty}\sqrt{1+e^% {-x}}$ .
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to-\infty}\frac{1-2% x}{x+3}-e^{x}-1$ .

a) $1$ ; b) $-3$

E. 2.4.8.

Sean dos polinomios $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ y $q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0}$ . Muestre que

\mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=% \mathop{\operator@font l\acute{{\imath}}m}_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}}{b_% {m}x^{m}}\mathchar 46\relax

(2.225)

Sugerencia: use las reglas para el cálculo de límites.

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Cálculo I

2.4 Límites en el infinito

Ejemplo 2.4.1.(Hipérbole)

Observación 2.4.1.(Reglas para el cálculo de límites en el infinito)

Ejemplo 2.4.2.

Ejemplo 2.4.3.(Funciones racionales)

Proposición 2.4.1.(Límite en el infinito de funciones racionales)

Demostración.

Ejemplo 2.4.4.

Ejemplo 2.4.5.(Cociente que involucra raíz)

2.4.1 Asíntotas horizontales

Ejemplo 2.4.6.

Ejemplo 2.4.7.(Función exponencial natural)

Ejemplo 2.4.8.(Función logística)

2.4.2 Límite en el infinito de una función periódica

Ejemplo 2.4.9.(Límite en el infinito de la función seno)

2.4.3 Ejercicios resueltos

ER 2.4.1.

Resolución.

ER 2.4.2.

Resolución.

ER 2.4.3.

Resolución.

ER 2.4.4.

Resolución.

2.4.4 Ejercicios

E. 2.4.1.

E. 2.4.2.

E. 2.4.3.

E. 2.4.4.

E. 2.4.5.

E. 2.4.6.

E. 2.4.7.

E. 2.4.8.

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