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Cálculo I

2 Límites

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2.4 Límites en el infinito

Límites en el infinito describen la tendencia de una función dada f⁢(x) cuando x→−∞ o x→∞. Decimos que el límite de f⁢(x) es L cuando x tiende a −∞, si los valores de f⁢(x) son arbitrariamente próximos de L para todos los valores de x suficientemente pequeños (consultemos la Figura 2.11). En este caso, escribimos

limx→−∞f⁢(x)=L. (2.151)
Refer to caption
Figura 2.11: Límite de una función y=f⁢(x) cuando x→−∞.

Análogamente, decimos que el límite de f⁢(x) es L cuando x tiende a ∞, si los valores de f⁢(x) son arbitrariamente próximos de L para todos los valores de x suficientemente grandes (consultemos la Figura 2.12). En este caso, escribimos

limx→∞f⁢(x)=L. (2.152)
Refer to caption
Figura 2.12: Límite de una función y=f⁢(x) cuando x→∞.
Ejemplo 2.4.1.(Hipérbole)

Vamos a inferir los límites de f⁢(x)=1/x para x→−∞ y x→∞. La Figura Figura 2.13 es un esbozo del gráfico de esta función.

Refer to caption
Figura 2.13: Gráfico de f⁢(x)=1/x.

Observamos que cuanto menores son los valores de x, más próximos de 0 son los valores de f⁢(x)=1/x. De ahí, inferimos que

limx→−∞1x=0. (2.153)

Asimismo, cuanto mayores son los valores de x, más próximos de 0 son los valores de f⁢(x)=1/x. Con ello, podemos concluir que

limx→∞1x=0. (2.154)
Código 22: Python
⬇
1from sympy import Symbol, limit, oo
2x = Symbol("x")
3limit(1/x, x, -oo)
0
Código 23: Python
⬇
1limit(1/x, x, oo)
0
Observación 2.4.1.(Reglas para el cálculo de límites en el infinito)

Suponiendo que L, M y k son números reales y

limx→±∞f⁢(x)=L (2.155)

e

limx→±∞g⁢(x)=M. (2.156)

Entonces, tenemos las siguientes reglas para límites en el infinito:

  •  

    Multiplicación por un escalar

    limx→±∞k⁢f⁢(x)=k⁢L (2.157)
  •  

    Suma/diferencia

    limx→±∞(f⁢(x)±g⁢(x))=L±M (2.158)
  •  

    Producto

    limx→±∞f⁢(x)⁢g⁢(x)=L⁢M (2.159)
  •  

    Cociente

    limx→±∞f⁢(x)g⁢(x)=LM,M≠0. (2.160)
  •  

    Potenciación

    limx→±∞(f⁢(x))k=Lk, se ⁢Lk∈ℝ. (2.161)
Ejemplo 2.4.2.
limx→∞1x2+1 (2.162)
=limx→∞1x2+limx→∞1 (2.163)
=(limx→∞1x)2+1 (2.164)
=02+1=1. (2.165)
Ejemplo 2.4.3.(Funciones racionales)

Consideramos el siguiente caso

limx→∞x3−2⁢x+12−3⁢x3. (2.166)

Observamos que no podemos usar la regla del cociente directamente, pues, por ejemplo, no existe el límite del numerador. La alternativa es multiplicar y dividir por 1/x3 (grado dominante), obteniendo

limx→∞x3−2⁢x+12−3⁢x3 (2.167)
=limx→∞x3−2⁢x+12−3⁢x3⋅1x31x3 (2.168)
=limx→∞x3x3−2⁢xx3+1x32x3−3⁢x3x3 (2.169)
=limx→∞1−2x2+1x32x3−3 (2.170)

Entonces, aplicando las reglas del cociente, de la suma/resta y de la multiplicación por un escalar, tenemos

limx→∞x3−2⁢x+12−3⁢x3 (2.171)
=limx→∞1−2x20+1x302x30−3 (2.172)
=−13. (2.173)
Proposición 2.4.1.(Límite en el infinito de funciones racionales)

Sean dos polinomios

p⁢(x)=an⁢xn+an−1⁢xn−1+⋯+a0 (2.174)
q⁢(x)=bm⁢xm+bm−1⁢xm−1+⋯+b0, (2.175)

con an,bm≠0, tenemos

limx→±∞p⁢(x)q⁢(x)=limx→±∞an⁢xnbm⁢xm. (2.176)
Demostración.

Consulte el E.2.4.8. ∎

Ejemplo 2.4.4.

Usando la Proposición 2.4.1 en el Ejemplo 2.4.3, tenemos

limx→∞x3−2⁢x+12−3⁢x3 (2.177)
=limx→∞x3−3⁢x3 (2.178)
=−13. (2.179)

La idea utilizada en el Ejemplo 2.4.3 también puede ser útil en límites en el infinito de cocientes que involucran raíces.

Ejemplo 2.4.5.(Cociente que involucra raíz)

Vamos a calcular

limx→∞x2−xx+1. (2.180)

La idea es multiplicar arriba y abajo por 1/x2. Seguimos

limx→∞x2−xx+1⁢1x21x2 (2.181)
=limx→∞x2−xx2x+1x2 (2.182)
=limx→∞1−1xx+1|x| (2.183)
=limx→∞1−1xx+1x (2.184)
=limx→∞1−1x01+1x0 (2.185)
=11=1 (2.186)

2.4.1 Asíntotas horizontales

La recta y=L se denomina asíntota horizontal del gráfico de la función y=f⁢(x) si

limx→−∞f⁢(x)=L (2.187)

ou

limx→∞f⁢(x)=L. (2.188)
Ejemplo 2.4.6.

En el Ejemplo 2.4.3, vimos que

limx→∞x3−2⁢x+12−3⁢x3=−13. (2.189)

Luego, tenemos que y=−1/3 es una asíntota horizontal del gráfico de la función

f⁢(x)=x3−2⁢x+12−3⁢x3. (2.190)

Consultemos la Figura 2.14 para su gráfico.

Refer to caption
Figura 2.14: Gráfico de la función f⁢(x)=x3−2⁢x+12−3⁢x3.

Asimismo, tenemos

limx→−∞x3−2⁢x+12−3⁢x3 (2.191)
=limx→∞x3−3⁢x3 (2.192)
=−13. (2.193)

Lo que refuerza que y=−1/3 es una asíntota horizontal de esta función.

Ejemplo 2.4.7.(Función exponencial natural)
limx→−∞ex=0, (2.194)

de donde tenemos que y=0 es una asíntota horizontal de la función exponencial natural. Consultemos la Figura 2.15 para el gráfico de y=ex.

Refer to caption
Figura 2.15: Gráfico de f⁢(x)=ex.
Ejemplo 2.4.8.(Función logística)

En ecología, la función logística111Consultemos más sobre la función logística en Wikipedia: Función logística.

P⁢(t)=K1+(K−P0P0⁢e−r⁢t) (2.195)

es un modelo de crecimiento poblacional de especies, donde P⁢(t) es el número de individuos de la población en el tiempo t. El parámetro P0 es el número de individuos en la población en el tiempo inicial t=0, r>0 es la proporción de nuevos individuos en la población debida a la reproducción y K es el límite de saturación del crecimiento poblacional (debido a recursos escasos como alimentos, territorio y tratamiento de enfermedades). Observamos que

limt→∞P⁢(t)=limt→∞K1+(K−P0P0⁢e−r⁢t0) (2.196)
=K (2.197)

Es decir, P⁢(t)=K es una asíntota horizontal del gráfico de P=P⁢(t) y es el límite de saturación del crecimiento poblacional. En la Figura 2.16, tenemos el gráfico de la función logística para t≥0.

Refer to caption
Figura 2.16: Gráfico de la función logística.

2.4.2 Límite en el infinito de una función periódica

Una función f es periódica cuando existe un número T tal que

f⁢(x)=f⁢(x+T), (2.198)

para todo x∈ℝ en el dominio de f. El número T se llama período de la función. Las funciones trigonométricas son ejemplos de funciones periódicas.

Con excepción de las funciones constantes, el límite en el infinito de funciones periódicas no existe. En efecto, si f no es constante, entonces existen números x1≠x2 tales que y1=f⁢(x1)≠f⁢(x2)=y2. Si f es periódica con período T, tenemos f⁢(x1+k⁢T)=y1 y f⁢(x2+k⁢T)=y2 para todo número entero k. De esta manera, no existe un número L al cual podamos tomar f⁢(x) arbitrariamente próxima para todos los valores de x suficientemente grandes (o pequeños).

Ejemplo 2.4.9.(Límite en el infinito de la función seno)

La función seno es periódica con período 2⁢π, pues

sen(x+2⁢k⁢π)=sen(x)⁢cos⁡(2⁢k⁢π)+cos⁡(x)⁢sen(2⁢k⁢π) (2.199)
=sen(x)⋅1+cos(x)⋅0 (2.200)
=sen(x). (2.201)

Observemos que no existe

limx→∞sen(x), (2.202)

pues los valores de senx oscilan periódicamente en el intervalo [−1,1]. La Figura 2.17 muestra el gráfico de y=sen(x).

Refer to caption
Figura 2.17: Gráfico de f⁢(x)=senx.
⬇
1from sympy import Symbol, limit, oo, sin
2x = Symbol("x")
3limit(sin(x), x, oo)
AccumBounds(-1, 1)

2.4.3 Ejercicios resueltos

ER 2.4.1.

Calcule

limx→∞1x−1+1. (2.203)
Resolución.

Utilizando la regla de la suma para límites en el infinito, tenemos

limx→∞1x−1+1=limx→∞1x−1+limx→11 (2.204)
=limx→∞(1x−1)+1, (2.205)

observando que limx→∞1/(x−1) existe. En efecto, el gráfico de g⁢(x)=1/(x−1) es una traslación de una unidad hacia la izquierda de la función f⁢(x)=1/x. Una traslación horizontal finita no altera el comportamiento de la función para x→∞. Por lo tanto, como f⁢(x)=1/x→0 cuando x→∞, tenemos que g⁢(x)=f⁢(x−1)=1/(x−1)→0 cuando x→∞, es decir,

limx→∞1x−1=0. (2.206)

Por lo tanto, concluimos que

limx→∞1x−1+1=1. (2.207)
Código 24: Python
⬇
1from sympy import Symbol, limit, oo
2x = Symbol("x")
3limit(1/(x-1)+1, x, oo)
1
ER 2.4.2.

Determine la(s) asíntota(s) horizontal(es) del gráfico de la función

f⁢(x)=3−x+4⁢x4−10⁢x3x2+2⁢x4−x. (2.208)
Resolución.

Una recta y=L es una asíntota horizontal del gráfico de f, cuando

limx→±∞f⁢(x)=L. (2.209)

Comenzamos con x→−∞, tenemos

limx→−∞f⁢(x)=limx→−∞3−x+4⁢x4−10⁢x3x2+2⁢x4−x (2.210)
=limx→−∞4⁢x42⁢x4=2. (2.211)

Luego, y=2 es una asíntota horizontal del gráfico de f⁢(x).

Ahora, veamos la tendencia de la función para x→∞:

limx→∞f⁢(x)=limx→∞3−x+4⁢x4−10⁢x3x2+2⁢x4−x (2.212)
=42=2. (2.213)

Por lo tanto, concluimos que y=2 es la única asíntota horizontal del gráfico de la función f.

⬇
1from sympy import Symbol, limit, oo, plot
2x = Symbol("x")
3f = lambda x: (3-x+4*x**4-10*x**3)/(x**2+2*x**4-x)
4L = limit(f(x), x, oo)
5p = plot(f(x), (x, -15, 15), ylim = [-4, 6],\
6 line_color = "blue", show = False)
7q = plot(L, (x, -15, 15), line_color = "red", show = False)
8p.extend(q)
9p.show()
ER 2.4.3.

Calcule

limx→−∞x2−xx+1. (2.214)
Resolución.
limx→−∞x2−xx+1 (2.215)
=limx→−∞x2−xx+1⋅1x21x2 (2.216)
=limx→−∞x2−xx2x+1|x| (2.217)
=limx→−∞1−1xx+1−x (2.218)
=limx→−∞1−1x0−1−1x0=−1. (2.219)
ER 2.4.4.

Calcule

limx→∞e−x. (2.220)
Resolución.

Observamos que el gráfico de f⁢(x)=e−x es una reflexión respecto del eje y del gráfico de la función g⁢(x)=ex. En el Ejemplo 2.4.7, vimos que

limx→−∞g⁢(x)=limx→−∞ex=0, (2.221)

luego

limx→∞e−x=limx→∞g⁢(−x) (2.222)
=limx→−∞g(x)=0. (2.223)

Consultemos el gráfico de f⁢(x)=e−x en la Figura 2.18.

Refer to caption
Figura 2.18: Gráfico de f⁢(x)=e−x.
⬇
1from sympy import Symbol, limit, oo, exp
2x = Symbol("x")
3limit(exp(-x), x, oo)
0

2.4.4 Ejercicios

E. 2.4.1.

Calcule

  1. a)

    limx→∞10x

  2. b)

    limx→−∞−10⁢x−1

  3. c)

    limx→−∞−10x2

  4. d)

    limx→∞1x−2

  5. e)

    limx→−∞2−(x+1)−1


a) 0; b) 0; c) 0; d) 0; e) 2;

E. 2.4.2.

Calcule

  1. a)

    limx→∞x−12

  2. b)

    limx→−∞1(x+1)3

  3. c)

    limx→∞x−s,s>0


a) 0; b) 0; c) 0

E. 2.4.3.

Calcule

  1. a)

    limx→−∞2x

  2. b)

    limx→∞(12)x+1

  3. c)

    limx→−∞2⋅3x+2


a) 0; b) 1; c) 2;

E. 2.4.4.

Calcule

  1. a)

    limx→−∞ex+1

  2. b)

    limx→∞3+e−x

  3. c)

    limx→∞2⁢e−x−1

  4. d)

    limx→−∞e−ex


a) 1; b) 3; c) −1; d) e

E. 2.4.5.

Calcule

  1. a)

    limx→∞1+x22⁢x

  2. b)

    limx→−∞1+x22⁢x


a) 12; b) −12

E. 2.4.6.

Calcule

limx→−∞cos⁡x. (2.224)

no existe.

E. 2.4.7.

Calcule:

  1. a)

    limx→∞1+e−x.

  2. b)

    limx→−∞1−2⁢xx+3−ex−1.


a) 1; b) −3

E. 2.4.8.

Sean dos polinomios p⁢(x)=an⁢xn+an−1⁢xn−1+⋯+a0 y q⁢(x)=bm⁢xm+bm−1⁢xm−1+⋯+b0. Muestre que

limx→±∞p⁢(x)q⁢(x)=limx→±∞an⁢xnbm⁢xm. (2.225)

Sugerencia: use las reglas para el cálculo de límites.

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Pedro H A Konzen
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