Cálculo I

2 Límites 2.4 Límites en el infinito 2.6 Continuidad

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2.5 Límites infinitos

El límite de una función no siempre existe. Sin embargo, en muchos de estos casos, podemos concluir algo más sobre la tendencia de la función. Por ejemplo, decimos que el límite de una función dada $f(x)$ es infinito cuando $x$ tiende a un número $x_{0}$ , si $f(x)$ es arbitrariamente grande para todos los valores de $x\neq x_{0}$ suficientemente próximos de $x_{0}$ . En este caso, escribimos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)=\infty.

(2.226)

La Figura 2.19 es una ilustración de $f(x)\to\infty$ cuando $x\to x_{0}$ .

Refer to caption — Figura 2.19: $f(x)\to\infty$ cuando $x\to x_{0}$ .

Ejemplo 2.5.1.

Estudiemos el caso de

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}.

(2.227)

Al tomar $x$ próximo de $x_{0}=0$ , obtenemos los siguientes valores de $f(x)$ :

$x$	$f(x)$
$-10^{-1}$	$10^{2}$
$-10^{-2}$	$10^{4}$
$-10^{-3}$	$10^{6}$
$\downarrow$	$\downarrow$
$0$	$\infty$
$\uparrow$	$\uparrow$
$10^{-3}$	$10^{6}$
$10^{-2}$	$10^{4}$
$10^{-1}$	$10^{2}$

Consultemos el gráfico de $f(x)$ en la Figura 2.20.

Podemos concluir que los valores de $f(x)$ pueden tomarse arbitrariamente grandes al elegir cualquier $x$ suficientemente próximo de $0$ , con $x\neq 0$ . Es decir,

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=\infty.

(2.228)

Código 25: Python

⬇

1from sympy import x, Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(1/x**2, x, 0)

Definimos los límites laterales infinitos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\infty

(2.229)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\infty.

(2.230)

En el primer caso, los valores de $f(x)$ son arbitrariamente grandes conforme los valores de $x\to x_{0}$ y $x<x_{0}$ . En el segundo caso, los valores de $f(x)$ son arbitrariamente grandes conforme los valores de $x\to x_{0}$ y $x>x_{0}$ .

Ejemplo 2.5.2.

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{+}}\frac{1}{x-1}=\infty.

(2.231)

En efecto, conforme tomamos valores de $x$ próximos de $1$ , con $x>1$ , los valores de $f(x)=1/(x-1)$ se vuelven cada vez mayores. Consultemos el gráfico de $f(x)$ en la Figura 2.21.

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(1/(x-1), x, 1, '+')

Análogamente a la definición de límite infinito, decimos que el límite de una función dada $f(x)$ es menos infinito cuando $x$ tiende a $x_{0}$ , cuando $f(x)$ se vuelve arbitrariamente pequeño para valores de $x\neq x_{0}$ suficientemente próximos de $x_{0}$ . En este caso, escribimos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}}f(x)=-\infty.

(2.232)

De forma similar, definimos los límites laterales $f(x)\to-\infty$ cuando $x\to x_{0}^{\pm}$ .

Ejemplo 2.5.3.

Observemos que

\nexists\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{1}{x}

(2.233)

y que no podemos concluir que este límite sea $\infty$ o $-\infty$ . Esto ocurre, pues

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty

(2.234)

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty.

(2.235)

Ejemplo 2.5.4.

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{-1}{(x+1)^{2}}=-\infty.

(2.236)

En efecto, podemos inferir este límite a partir del gráfico de la función $f(x)=1/(x+1)^{2}$ . Esta es una traslación de una unidad hacia la izquierda del gráfico de $y=1/x^{2}$ , seguida de una reflexión respecto del eje $x$ . Consultemos la Figura 2.22.

Código 26: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(-1/(x+1)**2, x, -1)

-oo

2.5.1 Asíntotas verticales

Una recta $x=x_{0}$ es una asíntota vertical del gráfico de una función $y=f(x)$ , si

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{-}}f(x)=\pm\infty

(2.237)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\mathop{% \operator@font lim}_{x\to x_{0}^{+}}f(x)=\pm\infty.

(2.238)

Ejemplo 2.5.5.

El gráfico de la función $f(x)=-1/|x|$ tiene una asíntota vertical en $x=0$ , pues

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0}\frac{-1}{|x|}=-\infty.

(2.239)

Consultemos su gráfico en la Figura 2.23.

Ejemplo 2.5.6.

La función $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}+2x^{2}-4x-8}{x^{2}-1}$ no está definida para valores de $x$ tales que su denominador se anule, es decir,

	$\displaystyle x^{2}-1=0$		(2.240)
	$\displaystyle x_{0}=-1\quad\text{ou}\quad x_{1}=1$		(2.241)

En estos puntos el gráfico de $f$ puede tener asíntotas verticales. En efecto, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1^{+}}\frac{\cancelto{-3}{x^{3}% +2x^{2}-4x-8}}{\cancelto{0^{-}}{x^{2}-1}}$		(2.242)
	$\displaystyle\text{}\quad=+\infty,$		(2.243)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1^{-}}\frac{\cancelto{-3}{x^{3}% +2x^{2}-4x-8}}{\cancelto{0^{+}}{x^{2}-1}}$		(2.244)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\infty,$		(2.245)

y, además, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{+}}\frac{\cancelto{-9}{x^{3}% +2x^{2}-4x-8}}{\cancelto{0^{+}}{x^{2}-1}}$		(2.246)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\infty,$		(2.247)
	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}\frac{\cancelto{-9}{x^{3}% +2x^{2}-4x-8}}{\cancelto{0^{-}}{x^{2}-1}}$		(2.248)
	$\displaystyle\text{}\quad=+\infty.$		(2.249)

Con ello, tenemos que las rectas $x=-1$ y $x=1$ son asíntotas verticales del gráfico de la función $f$ . Consultemos la Figura 2.24 para el esbozo del gráfico de esta función.

Ejemplo 2.5.7.(Función logarítmica)

La función logarítmica natural $y=\ln x$ satisface que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty

(2.250)

es decir, $x=0$ es una asíntota vertical del gráfico de $\ln x$ . Esto se debe al hecho de que $y=\ln x$ es la función inversa de $y=e^{x}$ y esta tiene una asíntota horizontal $y=0$ . La Figura 2.25 es un esbozo del gráfico de la función $\ln x$ .

Ejemplo 2.5.8.

Las funciones trigonométricas $y=\mathop{\operator@font tg}\nolimits x$ y $y=\sec x$ tienen asíntotas verticales $x=(2k+1)\frac{\pi}{2}$ para $k$ entero. Asimismo, las funciones trigonométricas $y=\mathop{\operator@font cotg}\nolimits x$ y $y=\operatorname{cossec}x$ tienen asíntotas verticales $x=k\pi$ para $k$ entero. Véase más en Notas de clase: Precálculo: Funciones trigonométricas.

2.5.2 Asíntotas oblicuas

Además de asíntotas horizontales y verticales, los gráficos de funciones pueden tener asíntotas oblicuas. Esto ocurre, en particular, para funciones racionales cuyo grado del numerador es mayor que el del denominador.

Ejemplo 2.5.9.

Consideremos la función racional

f(x)=\frac{x^{2}-1}{5x-4}.

(2.251)

Para determinar la asíntota oblicua de esta función, dividimos el numerador por el denominador, de manera que obtenemos

f(x)=\underbrace{\left(\frac{x}{5}+\frac{4}{25}\right)}_{\text{cociente}}+% \underbrace{\frac{-\frac{9}{25}}{5x-4}}_{\text{resto}}.

(2.252)

Observamos ahora que el resto tiende a cero cuando $x\to\pm\infty$ , es decir, $\displaystyle f(x)\to\frac{x}{5}+\frac{4}{25}$ cuando $x\to\pm\infty$ . Con ello, concluimos que $\displaystyle y=\frac{x}{5}+\frac{4}{25}$ es una asíntota oblicua del gráfico de $f(x)$ . Consultemos la Figura 2.26.

Observación 2.5.1.

Análogamente a las asíntotas oblicuas, podemos tener otros tipos de asíntotas determinadas por funciones de diversos tipos, por ejemplo, asíntotas cuadráticas.

2.5.3 Límites infinitos en el infinito

Escribimos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}f(x)=\infty,

(2.253)

cuando los valores de la función $f$ son arbitrariamente grandes para todos los valores de $x$ suficientemente grandes. De forma análoga, definimos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-\infty}f(x)=\infty,

(2.254)

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}f(x)=-\infty

(2.255)

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.

(2.256)

Ejemplo 2.5.10.

Estudiemos los siguientes casos:

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}x^{2}=\infty$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-\infty}x^{2}=\infty$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-\infty}x^{3}=-\infty$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}e^{x}=\infty$
e)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\ln x=\infty$
f)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-\infty}e^{-x}=\infty$

Ejemplo 2.5.11.

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}x^{3}-10x^{2}+300=\mathop% {\operator@font lim}_{x\to\infty}\left(x^{3}-10x^{2}+300\right)\cdot\frac{x^{3% }}{x^{3}}$		(2.257)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\left(1-% \cancelto{\scriptstyle 0^{+}}{\frac{10}{x}}+\cancelto{0^{+}}{\frac{300}{x^{3}}% }\right)x^{3}=\infty.$		(2.258)

Proposición 2.5.1.(Límites en el infinito de polinomios)

Dado un polinomio

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},

(2.259)

con $a_{n}\neq 0$ , tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\pm\infty}p(x)=\mathop{\operator@font lim}_{x% \to\pm}a_{n}x^{n}.

(2.260)

Demostración.

En efecto, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\pm\infty}p(x)=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to\pm\infty}\left(a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0% }\right)\frac{x^{n}}{x^{n}}$		(2.261)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\pm\infty}(a_{n}+% \cancelto{0}{\frac{a_{n-1}}{x}}+\cdots+\cancelto{0}{\frac{a_{0}}{x^{n}}})x^{n}$		(2.262)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\pm\infty}a_{n}x^{n}.$		(2.263)

∎

Ejemplo 2.5.12.

Retomando el ejemplo anterior (Ejemplo 2.5.11), tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}x^{3}-10x^{2}+300=\mathop% {\operator@font lim}_{x\to\infty}x^{3}$		(2.264)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty.$		(2.265)

2.5.4 Ejercicios resueltos

ER 2.5.1.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}\frac{x-2}{1-x}.

(2.266)

Resolución.

Tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}\frac{\cancelto{-1}{x-2}}{\cancelto{0^% {+}}{1-x}}=-\infty.

(2.267)

Otra forma de calcular este límite es observar que $y=1-x\to 0^{+}$ cuando $x\to 1^{-}$ . Así, haciendo el cambio de variable $y=x-1$ , tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}\frac{x-2}{1-x}=\mathop{% \operator@font lim}_{y\to 0^{+}}\frac{y+1-2}{y}$		(2.268)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{y\to 0^{+}}\frac{y-1}{y}$		(2.269)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\infty.$		(2.270)

Código 27: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit((x-2)/(1-x), x, 1, '-')

-oo

ER 2.5.2.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\ln|x-1|.

(2.271)

Resolución.

Comenzamos observando que

\ln|x-1|=\left\{\begin{array}[]{ll}\ln(1-x)&,x<1,\\ \ln(x-1)&,x>1.\end{array}\right.

(2.272)

Entonces, calculando el límite lateral por la izquierda, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}\ln\|x-1\|=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 1^{-}}\ln(1-x)$		(2.273)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{y\to 0^{+}}\ln y=-\infty.$		(2.274)

Por otro lado, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{+}}\ln\|x-1\|=\mathop{% \operator@font lim}_{x\to 1^{+}}\ln(x-1)$		(2.275)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{y\to 0^{+}}\ln y=-\infty.$		(2.276)

Por lo tanto, concluimos que

\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1}\ln|x-1|=-\infty.

(2.277)

⬇

1from sympy import Symbol, limit, log, abs

2x = Symbol("x")

3limit(log(abs(x-1)), x, 1, '-')

-oo

Código 28: Python

⬇

1limit(log(abs(x-1)), x, 1, '+')

-oo

ER 2.5.3.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}-4x-8}{x^{2}-1}.

(2.278)

Resolución.

Tratándose de una función racional, tenemos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}-4x-8}{% x^{2}-1}=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{x^{2}}$		(2.279)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}x$		(2.280)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty.$		(2.281)

ER 2.5.4.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}e^{1-x^{2}}.

(2.282)

Resolución.

Observamos que $1-x^{2}\to-\infty$ cuando $x\to\infty$ . De esta manera, haciendo el cambio de variable $y=1-x^{2}$ , tenemos

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}e^{1-x^{2}}=\mathop{\operator@font lim% }_{y\to-\infty}e^{y}=0.

(2.283)

ER 2.5.5.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}.

(2.284)

Resolución.

Podemos verificar que se trata de una indeterminación del tipo $\infty/\infty$ . En este caso, podemos calcular el límite multiplicando (arriba y abajo) por el inverso del factor dominante en el radical, es decir, $1/\sqrt{x^{2}}$ . Es decir, calculamos

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}% =\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{x}\cdot\frac{% \frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}$		(2.285)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{\sqrt{% \frac{1}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{2\frac{x}{\sqrt{x^{2}}}}.$		(2.286)

Recordemos que $\sqrt{x^{2}}=|x|$ . Como $x\to\infty$ , tenemos $\sqrt{x^{2}}=|x|=x$ . Luego,

	$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{x^{2% }}+\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{2\frac{x}{\sqrt{x^{2}}}}=\mathop{\operator@font lim}_% {x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}}}}{2\frac{x}{\|x\|}}$		(2.287)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{\sqrt{% \frac{1}{x^{2}}+1}}{2\frac{x}{x}}$		(2.288)
	$\displaystyle\text{}\quad=\mathop{\operator@font lim}_{x\to\infty}\frac{1}{2}% \sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}$		(2.289)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\sqrt{\mathop{\operator@font lim}_{x\to% \infty}\frac{1}{x^{2}}+1}$		(2.290)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$		(2.291)

2.5.5 Ejercicios

E. 2.5.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}x^{-1}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}-x^{-3}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}x^{-5}$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{\pm}}x^{-n},\quad n>0~{}% \text{\'{\i}mpar}$

a) $\infty$ ; b) $\infty$ ; c) $\infty$ ; d) $\pm\infty$

E. 2.5.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}x^{-2}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{-}}x^{-4}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{+}}-x^{-6}$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 0^{\pm}}x^{-n},\quad n>0~{}% \text{par}$

a) $\infty$ ; b) $\infty$ ; c) $-\infty$ ; d) $\infty$

E. 2.5.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{+}}\frac{1}{x-1}$
b)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to 1^{-}}\frac{-2}{x-1}$
c)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1^{-}}\frac{-2}{1+x}$
d)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{-2}{(x+1)^{2}}$
e)

$\displaystyle\mathop{\operator@font lim}_{x\to-1}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+2x+1}$

a) $\infty$ ; b) $\infty$ ; c) $-\infty$ ; d) $-\infty$ ; e) $\infty$

E. 2.5.4.

Determine las asíntotas verticales del gráfico de la función

f(x)=\frac{8}{x^{2}-4}.

(2.292)

$x=2$ ; $x=-2$

E. 2.5.5.

Determine las asíntotas verticales del gráfico de la función

f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-1}.

(2.293)

$x=1$

E. 2.5.6.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-\infty}e^{x^{2}-1}.

(2.294)

$\infty$

E. 2.5.7.

Calcule

\mathop{\operator@font lim}_{x\to-\infty}x^{3}+10x^{2}-300.

(2.295)

$-\infty$

E. 2.5.8.

Muestre que $y=x^{2}$ es una asíntota del gráfico de

f(x)=\frac{x^{3}+1}{x}.

(2.296)

Sugerencia: observe que $f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}$ y analice el límite de $f(x)$ cuando $x\to\pm\infty$ .

E. 2.5.9.

(Aplicación) En fisicoquímica, la ecuación de Arrhenius²²2Svante August Arrhenius, 1859 - 1927, químico sueco. Fuente: Wikipedia: Svante Arrhenius. proporciona la tasa de reacción $k$ (entre especies químicas) en función de la temperatura $T$ [K]

k=Ae^{-\frac{E_{a}}{RT}},

(2.297)

donde $A>0$ es el factor constante preexponencial, $E_{a}>0$ es la energía de activación y $R>0$ es la constante universal de los gases. Para temperatura constante, la ecuación anterior define la función $k=k(E_{a})$ . ¿Cuál es la tendencia de la tasa de reacción $k$ cuando $T\to 0^{+}$ ?

$k\to 0$ cuando $T\to 0^{+}$

E. 2.5.10.

(Aplicación.) La función logística tiene aplicaciones en varias áreas del conocimiento, como por ejemplo en la inteligencia artificial y en el modelado del crecimiento poblacional. Tiene la forma

\varphi(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}

(2.298)

Encuentre la(s) asíntota(s) horizontal(es) de esta función logística.

$y=0$ y $y=1$

E. 2.5.11.

E. 2.5.12.

El fenómeno de desintegración espontánea del núcleo de un átomo con emisión de ciertas radiaciones se llama radiactividad. La ley fundamental del decaimiento radiactivo establece que la tasa de decaimiento es proporcional al número de átomos que aún no han decaído. Esto nos proporciona la ecuación de la ley básica de la radiactividad

N=N_{0}e^{-\lambda t}

(2.299)

donde $N=N(t)$ es el número de átomos en el tiempo $t$ , $N_{0}\geq 0$ es el número de átomos presentes en el tiempo inicial $t=0$ y $\lambda>0$ es la constante de decaimiento. ¿Cuál es la tendencia de $N$ cuando $t\to\infty$ ?

$N(t)\to 0$ cuando $t\to\infty$

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Cálculo I

2.5 Límites infinitos

Ejemplo 2.5.1.

Ejemplo 2.5.2.

Ejemplo 2.5.3.

Ejemplo 2.5.4.

2.5.1 Asíntotas verticales

Ejemplo 2.5.5.

Ejemplo 2.5.6.

Ejemplo 2.5.7.(Función logarítmica)

Ejemplo 2.5.8.

2.5.2 Asíntotas oblicuas

Ejemplo 2.5.9.

Observación 2.5.1.

2.5.3 Límites infinitos en el infinito

Ejemplo 2.5.10.

Ejemplo 2.5.11.

Proposición 2.5.1.(Límites en el infinito de polinomios)

Demostración.

Ejemplo 2.5.12.

2.5.4 Ejercicios resueltos

ER 2.5.1.

Resolución.

ER 2.5.2.

Resolución.

ER 2.5.3.

Resolución.

ER 2.5.4.

Resolución.

ER 2.5.5.

Resolución.

2.5.5 Ejercicios

E. 2.5.1.

E. 2.5.2.

E. 2.5.3.

E. 2.5.4.

E. 2.5.5.

E. 2.5.6.

E. 2.5.7.

E. 2.5.8.

E. 2.5.9.

E. 2.5.10.

E. 2.5.11.

E. 2.5.12.

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