Política de uso de dados

Ao navegar por este site, você concorda com a política de uso de dados.

Política de uso de dados

Ao navegar por este site, você concorda com a política de uso de dados.

| | | |

Cálculo I

2 Limites 2.3 Limites laterais 2.5 Limites infinitos

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

2.4 Limites no infinito

Limites no infinito descrevem a tendência de uma dada função $f(x)$ quando $x\to-\infty$ ou $x\to\infty$ . Dizemos que o limite de $f(x)$ é $L$ quando $x$ tende a $-\infty$ , se os valores de $f(x)$ são arbitrariamente próximos de $L$ para todos os valores de $x$ suficientemente pequenos (consultemos a Figura 2.11). Neste caso, escrevemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to-% \infty}f(x)=L.

(2.151)

Refer to caption — Figura 2.11: Limite de uma função $y=f(x)$ quando $x\to-\infty$ .

Analogamente, dizemos que o limite de $f(x)$ é $L$ quando $x$ tende $\infty$ , se os valores de $f(x)$ são arbitrariamente próximos de $L$ para todos os valores de $x$ suficientemente grandes (consultemos a Figura 2.12). Neste caso, escrevemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to% \infty}f(x)=L.

(2.152)

Exemplo 2.4.1.(Hipérbole)

Vamos inferir os limites de $f(x)=1/x$ para $x\to-\infty$ e $x\to\infty$ . A Figura Figura 2.13 é um esboço do gráfico desta função.

Observamos que quanto menores os valores de $x$ , mais próximos de $0$ são os valores de $f(x)=1/x$ . Daí, inferimos que

\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0.

(2.153)

Também, quanto maiores os valores de $x$ , mais próximos de $0$ são os valores de $f(x)=1/x$ . Com isso, podemos concluir que

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.

(2.154)

Código 22: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo

2x = Symbol("x")

3limit(1/x, x, -oo)

Código 23: Python

⬇

1limit(1/x, x, oo)

Observação 2.4.1.(Regras para o cálculo de limites no infinito)

Supondo que $L$ , $M$ e $k$ são números reais e

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L

(2.155)

\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=M.

(2.156)

Então, temos as seguintes regras para limites no infinito:

•

Multiplicação por escalar

$\lim_{x\to\pm\infty}kf(x)=kL$ (2.157)
•

Soma/diferença

$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)\pm g(x))=L\pm M$ (2.158)
•

Produto

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)g(x)=LM$ (2.159)
•

Quociente

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M},\quad M\neq 0.$ (2.160)
•

Potenciação

$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x))^{k}=L^{k},\text{ se }L^{k}\in\mathbb{R}.$ (2.161)

Exemplo 2.4.2.

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+1$		(2.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+\lim_{x\to\infty}1$		(2.163)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\right)^{2}+1$		(2.164)
	$\displaystyle\text{}\quad=0^{2}+1=1.$		(2.165)

Exemplo 2.4.3.(Funções racionais)

Consideramos o seguinte caso

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}.

(2.166)

Observamos que não podemos usar a regra do quociente diretamente, pois, por exemplo, não existe o limite do numerador. A alternativa é multiplicar e dividir por $1/x^{3}$ (grau dominante), obtendo

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.167)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}\cdot{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\frac{1% }{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}}$		(2.168)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}-\frac{2x}% {x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}}{\frac{2}{x^{3}}-\frac{3x^{3}}{x^{3}}}$		(2.169)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^% {3}}}{\frac{2}{x^{3}}-3}$		(2.170)

Então, aplicando as regras do quociente, da soma/subtração e da multiplicação por escalar, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.171)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cancelto{0}{\frac{2}{x^{2}% }}+\cancelto{0}{\frac{1}{x^{3}}}}{\cancelto{0}{\frac{2}{x^{3}}}-3}$		(2.172)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(2.173)

Proposição 2.4.1.(Limite no infinito de funções racionais)

Dados dois polinômios

	$\displaystyle p(x)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}a_{n}x^{n}}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$		(2.174)
	$\displaystyle q(x)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}b_{m}x^{m}}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0},$		(2.175)

com $a_{n},b_{m}\neq 0$ , temos

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a_{n}x^{n}}{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}b_{m}x^{m}}.

(2.176)

Demonstração.

Consulte o Exercício 2.4.8. ∎

Exemplo 2.4.4.

Usando a Proposição 2.4.1 no Exemplo 2.4.3, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}-2x+1}{2{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named% ]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3x^{3}}}$		(2.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3x^{3}}$		(2.178)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(2.179)

A ideia utilizada no Exemplo 2.4.3, também pode ser útil em limites no infinito de quocientes envolvendo raiz.

Exemplo 2.4.5.(Quociente envolvendo raiz)

Vamos calcular

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}.

(2.180)

A ideia é multiplicar em cima e em baixo por $1/\sqrt{x^{2}}$ . Seguimos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{2}}-x}}{x+1}\frac{\frac{1}{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\sqrt{x^{2}}}}{\frac{1}{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\sqrt{x^{2}}}}$		(2.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}}}% {\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}}}}$		(2.182)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x% +1}{\|x\|}}$		(2.183)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x% +1}{x}}$		(2.184)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{1}% {x}}}}{1+\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}$		(2.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{1}}{1}=1$		(2.186)

2.4.1 Assíntotas horizontais

A reta $y=L$ é dita assíntota horizontal ao gráfico da função $y=f(x)$ se

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to-% \infty}f(x)=L

(2.187)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to% \infty}f(x)=L.

(2.188)

Exemplo 2.4.6.

No Exemplo 2.4.3, vimos que

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}=-\frac{1}{3}.

(2.189)

Logo, temos que $y=-1/3$ é uma assíntota horizontal do gráfico da função

f(x)=\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}.

(2.190)

Consultemos a Figura 2.14 para seu gráfico.

Também, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.191)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{-3x^{3}}$		(2.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(2.193)

O que reforça que $y=-1/3$ é uma assíntota horizontal desta função.

Exemplo 2.4.7.(Função exponencial natural)

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(2.194)

donde temos que $y=0$ é uma assíntota horizontal da função exponencial natural. Consultemos a Figura 2.15 para o gráfico de $y=e^{x}$ .

Exemplo 2.4.8.(Função logística)

Na ecologia, a função logística²²endnote: ²Consultemos mais sobre a função logística em Wikipédia: Função logística.

P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_{0}}{P_{0}}e^{-rt}\right)}

(2.195)

é um modelo de crescimento populacional de espécies, sendo $P(t)$ o número de indivíduos da população no tempo $t$ . O parâmetro $P_{0}$ é o número de indíviduos na população no tempo inicial $t=0$ , $r>0$ é a proporção de novos indivíduos na população devido a reprodução e $K$ é o limite de saturação do crescimento populacional (devido aos recursos escassos como alimentos, território e tratamento a doenças). Observamos que

	$\displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{K}{1+\left(\frac{K-P% _{0}}{P_{0}}\cancelto{0}{e^{-rt}}\right)}$		(2.196)
	$\displaystyle\text{}\quad=K$		(2.197)

Ou seja, $P(t)=K$ é uma assíntota horizontal ao gráfico de $P=P(t)$ e é o limite de saturação do crescimento populacional. Na Figura 2.16, temos o gráfico da função logística para $t\geq 0$ .

2.4.2 Limite no infinito de função periódica

Uma função $f$ é periódica quando existe um número $T$ tal que

f(x)=f(x+T),

(2.198)

para todo $x\in\mathbb{R}$ no domínio de $f$ . O número $T$ é chamado de período da função. As funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas.

À exceção de funções constantes, o limite no infinito de funções periódicas não existe. De fato, se $f$ não é constante, então existem números $x_{1}\neq x_{2}$ tal que $y_{1}=f(x_{1})\neq f(x_{2})=y_{2}$ . Se $f$ é uma função é periódica com período $T$ , temos $f(x_{1}+kT)=y_{1}$ e $f(x_{2}+kT)=y_{2}$ para todo número inteiro $k$ . Desta forma, não existe número $L$ que possamos tomar $f(x)$ arbitrariamente próxima, para todos os valores de $x$ suficientemente grandes (ou pequenos).

Exemplo 2.4.9.(Limite no infinito da função seno)

A função seno é periódica com período $2\pi$ , pois

	$\displaystyle\operatorname{sen}(x+2k\pi)=\operatorname{sen}(x)\cos(2k\pi)+\cos% (x)\operatorname{sen}(2k\pi)$		(2.199)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(x)\cdot 1+\cos(x)\cdot 0$		(2.200)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(x).$		(2.201)

Observemos que não existe

\lim_{x\to\infty}\operatorname{sen}(x),

(2.202)

pois os valores de $\operatorname{sen}x$ oscilam periodicamente no intervalo $[-1,1]$ . A Figura 2.17 mostra o gráfico de $y=\operatorname{sen}(x)$ .

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, sin

2x = Symbol("x")

3limit(sin(x), x, oo)

AccumBounds(-1, 1)

2.4.3 Exercícios resolvidos

ER 2.4.1.

Calcule

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1.

(2.203)

Solução 0.

Utilizando a regra da soma para limites no infinito, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+% \lim_{x\to 1}1$		(2.204)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x-1}\right)+1,$		(2.205)

observando que $\lim_{x\to\infty}1/(x-1)$ existe. De fato, o gráfico de $g(x)=1/(x-1)$ é uma translação de uma unidade à esquerda da função $f(x)=1/x$ . Uma translação horizontal finita não altera o comportamento da função para $x\to\infty$ . Portanto, como $f(x)=1/x\to\infty$ quando $x\to\infty$ , temos que $g(x)=f(x-1)=1/(x-1)\to\infty$ quando $x\to\infty$ , i.e.

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0.

(2.206)

Portanto, concluímos que

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=1.

(2.207)

Código 24: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo

2x = Symbol("x")

3limit(1/(x-1)+1, x, oo)

ER 2.4.2.

Determine a(s) assíntota(s) horizontal(ais) do gráfico da função

f(x)=\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{x^{2}+2x^{4}-x}.

(2.208)

Solução 0.

Uma reta $y=L$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$ , quando

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L.

(2.209)

Começamos com $x\to-\infty$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}% }{x^{2}+2x^{4}-x}$		(2.210)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^{4}}{2x^{4}}=2.$		(2.211)

Logo, $y=2$ é assíntota horizontal ao gráfico de $f(x)$ .

Agora, vamos ver a tendência da função para $x\to\infty$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{% x^{2}+2x^{4}-x}$		(2.212)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{2}=2.$		(2.213)

Portanto, concluímos que $y=2$ é a única assíntota horizontal ao gráfico da função $f$ .

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, plot

2x = Symbol("x")

3f = lambda x: (3-x+4*x**4-10*x**3)/(x**2+2*x**4-x)

4L = limit(f(x), x, oo)

5p = plot(f(x), (x, -15, 15), ylim = [-4, 6],\

6 line_color = "blue", show = False)

7q = plot(L, (x, -15, 15), line_color = "red", show = False)

8p.extend(q)

9p.show()

ER 2.4.3.

Calcule

\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}.

(2.214)

Solução 0.

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}$		(2.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}\cdot% \frac{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}$		(2.216)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}}% }{\frac{x+1}{\|x\|}}$		(2.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{% x+1}{-x}}$		(2.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{1% }{x}}}}{-1-\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}=-1.$		(2.219)

ER 2.4.4.

Calcule

\lim_{x\to\infty}e^{-x}.

(2.220)

Solução 0.

Observamos que o gráfico de $f(x)=e^{-x}$ é uma reflexão em torno do eixo $y$ do gráfico da função $g(x)=e^{x}$ . No Exemplo 2.4.7, vimos que

\lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(2.221)

logo

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}=\lim_{x\to\infty}g(-x)$		(2.222)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}g(x)=0.$		(2.223)

Veja o esboço do gráfico de $f(x)=e^{-x}$ na Figura 2.18.

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, exp

2x = Symbol("x")

3limit(exp(-x), x, oo)

2.4.4 Exercícios

E. 2.4.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{10}{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-10x^{-1}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-\frac{10}{x^{2}}$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-\sqrt{2}}$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2-(x+1)^{-1}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $0$ ; e) $2$ ;

E. 2.4.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{-\frac{1}{2}}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{(x+1)^{3}}}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{-s},\quad s>0$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 2.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2^{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+1$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2\cdot 3^{x}+\sqrt{2}$

a) $0$ ; b) $1$ ; c) $\sqrt{2}$ ;

E. 2.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}+1$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}3+e^{-x}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}2e^{-x}-1$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e-e^{x}$

a) $1$ ; b) $3$ ; c) $-1$ ; d) $e$

E. 2.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}$

a) $\frac{1}{2}$ ; b) $-\frac{1}{2}$

E. 2.4.6.

Calcule

\lim_{x\to-\infty}\cos x.

(2.224)

não existe.

E. 2.4.7.

Calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+e^{-x}}$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1-2x}{x+3}-e^{x}-1$ .

a) $1$ ; b) $-3$

E. 2.4.8.

Dados dois polinômios $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ e $q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0}$ , mostre que

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}}{b_% {m}x^{m}}.

(2.225)

Dica: use as regras para o cálculo de limites.

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Cálculo I

2 Limites 2.3 Limites laterais 2.5 Limites infinitos

Ajude a manter o site livre, gratuito e sem propagandas. Colabore!

2.4 Limites no infinito

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to-% \infty}f(x)=L.

(2.151)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to% \infty}f(x)=L.

(2.152)

Exemplo 2.4.1.(Hipérbole)

Vamos inferir os limites de $f(x)=1/x$ para $x\to-\infty$ e $x\to\infty$ . A Figura Figura 2.13 é um esboço do gráfico desta função.

Observamos que quanto menores os valores de $x$ , mais próximos de $0$ são os valores de $f(x)=1/x$ . Daí, inferimos que

\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0.

(2.153)

Também, quanto maiores os valores de $x$ , mais próximos de $0$ são os valores de $f(x)=1/x$ . Com isso, podemos concluir que

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.

(2.154)

Código 22: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo

2x = Symbol("x")

3limit(1/x, x, -oo)

Código 23: Python

⬇

1limit(1/x, x, oo)

Observação 2.4.1.(Regras para o cálculo de limites no infinito)

Supondo que $L$ , $M$ e $k$ são números reais e

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L

(2.155)

\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=M.

(2.156)

Então, temos as seguintes regras para limites no infinito:

•

Multiplicação por escalar

$\lim_{x\to\pm\infty}kf(x)=kL$ (2.157)
•

Soma/diferença

$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)\pm g(x))=L\pm M$ (2.158)
•

Produto

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)g(x)=LM$ (2.159)
•

Quociente

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M},\quad M\neq 0.$ (2.160)
•

Potenciação

$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x))^{k}=L^{k},\text{ se }L^{k}\in\mathbb{R}.$ (2.161)

Exemplo 2.4.2.

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+1$		(2.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+\lim_{x\to\infty}1$		(2.163)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\right)^{2}+1$		(2.164)
	$\displaystyle\text{}\quad=0^{2}+1=1.$		(2.165)

Exemplo 2.4.3.(Funções racionais)

Consideramos o seguinte caso

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}.

(2.166)

Observamos que não podemos usar a regra do quociente diretamente, pois, por exemplo, não existe o limite do numerador. A alternativa é multiplicar e dividir por $1/x^{3}$ (grau dominante), obtendo

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.167)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}\cdot{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\frac{1% }{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}}$		(2.168)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}-\frac{2x}% {x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}}{\frac{2}{x^{3}}-\frac{3x^{3}}{x^{3}}}$		(2.169)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^% {3}}}{\frac{2}{x^{3}}-3}$		(2.170)

Então, aplicando as regras do quociente, da soma/subtração e da multiplicação por escalar, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.171)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cancelto{0}{\frac{2}{x^{2}% }}+\cancelto{0}{\frac{1}{x^{3}}}}{\cancelto{0}{\frac{2}{x^{3}}}-3}$		(2.172)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(2.173)

Proposição 2.4.1.(Limite no infinito de funções racionais)

Dados dois polinômios

	$\displaystyle p(x)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}a_{n}x^{n}}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$		(2.174)
	$\displaystyle q(x)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}b_{m}x^{m}}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0},$		(2.175)

com $a_{n},b_{m}\neq 0$ , temos

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a_{n}x^{n}}{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}b_{m}x^{m}}.

(2.176)

Demonstração.

Consulte o Exercício 2.4.8. ∎

Exemplo 2.4.4.

Usando a Proposição 2.4.1 no Exemplo 2.4.3, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}-2x+1}{2{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named% ]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3x^{3}}}$		(2.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3x^{3}}$		(2.178)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(2.179)

A ideia utilizada no Exemplo 2.4.3, também pode ser útil em limites no infinito de quocientes envolvendo raiz.

Exemplo 2.4.5.(Quociente envolvendo raiz)

Vamos calcular

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}.

(2.180)

A ideia é multiplicar em cima e em baixo por $1/\sqrt{x^{2}}$ . Seguimos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{2}}-x}}{x+1}\frac{\frac{1}{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\sqrt{x^{2}}}}{\frac{1}{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\sqrt{x^{2}}}}$		(2.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}}}% {\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}}}}$		(2.182)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x% +1}{\|x\|}}$		(2.183)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x% +1}{x}}$		(2.184)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{1}% {x}}}}{1+\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}$		(2.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{1}}{1}=1$		(2.186)

2.4.1 Assíntotas horizontais

A reta $y=L$ é dita assíntota horizontal ao gráfico da função $y=f(x)$ se

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to-% \infty}f(x)=L

(2.187)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to% \infty}f(x)=L.

(2.188)

Exemplo 2.4.6.

No Exemplo 2.4.3, vimos que

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}=-\frac{1}{3}.

(2.189)

Logo, temos que $y=-1/3$ é uma assíntota horizontal do gráfico da função

f(x)=\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}.

(2.190)

Consultemos a Figura 2.14 para seu gráfico.

Também, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.191)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{-3x^{3}}$		(2.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(2.193)

O que reforça que $y=-1/3$ é uma assíntota horizontal desta função.

Exemplo 2.4.7.(Função exponencial natural)

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(2.194)

donde temos que $y=0$ é uma assíntota horizontal da função exponencial natural. Consultemos a Figura 2.15 para o gráfico de $y=e^{x}$ .

Exemplo 2.4.8.(Função logística)

Na ecologia, a função logística²²endnote: ²Consultemos mais sobre a função logística em Wikipédia: Função logística.

P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_{0}}{P_{0}}e^{-rt}\right)}

(2.195)

	$\displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{K}{1+\left(\frac{K-P% _{0}}{P_{0}}\cancelto{0}{e^{-rt}}\right)}$		(2.196)
	$\displaystyle\text{}\quad=K$		(2.197)

2.4.2 Limite no infinito de função periódica

Uma função $f$ é periódica quando existe um número $T$ tal que

f(x)=f(x+T),

(2.198)

para todo $x\in\mathbb{R}$ no domínio de $f$ . O número $T$ é chamado de período da função. As funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas.

Exemplo 2.4.9.(Limite no infinito da função seno)

A função seno é periódica com período $2\pi$ , pois

	$\displaystyle\operatorname{sen}(x+2k\pi)=\operatorname{sen}(x)\cos(2k\pi)+\cos% (x)\operatorname{sen}(2k\pi)$		(2.199)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(x)\cdot 1+\cos(x)\cdot 0$		(2.200)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(x).$		(2.201)

Observemos que não existe

\lim_{x\to\infty}\operatorname{sen}(x),

(2.202)

pois os valores de $\operatorname{sen}x$ oscilam periodicamente no intervalo $[-1,1]$ . A Figura 2.17 mostra o gráfico de $y=\operatorname{sen}(x)$ .

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, sin

2x = Symbol("x")

3limit(sin(x), x, oo)

AccumBounds(-1, 1)

2.4.3 Exercícios resolvidos

ER 2.4.1.

Calcule

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1.

(2.203)

Solução 0.

Utilizando a regra da soma para limites no infinito, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+% \lim_{x\to 1}1$		(2.204)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x-1}\right)+1,$		(2.205)

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0.

(2.206)

Portanto, concluímos que

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=1.

(2.207)

Código 24: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo

2x = Symbol("x")

3limit(1/(x-1)+1, x, oo)

ER 2.4.2.

Determine a(s) assíntota(s) horizontal(ais) do gráfico da função

f(x)=\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{x^{2}+2x^{4}-x}.

(2.208)

Solução 0.

Uma reta $y=L$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$ , quando

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L.

(2.209)

Começamos com $x\to-\infty$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}% }{x^{2}+2x^{4}-x}$		(2.210)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^{4}}{2x^{4}}=2.$		(2.211)

Logo, $y=2$ é assíntota horizontal ao gráfico de $f(x)$ .

Agora, vamos ver a tendência da função para $x\to\infty$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{% x^{2}+2x^{4}-x}$		(2.212)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{2}=2.$		(2.213)

Portanto, concluímos que $y=2$ é a única assíntota horizontal ao gráfico da função $f$ .

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, plot

2x = Symbol("x")

3f = lambda x: (3-x+4*x**4-10*x**3)/(x**2+2*x**4-x)

4L = limit(f(x), x, oo)

5p = plot(f(x), (x, -15, 15), ylim = [-4, 6],\

6 line_color = "blue", show = False)

7q = plot(L, (x, -15, 15), line_color = "red", show = False)

8p.extend(q)

9p.show()

ER 2.4.3.

Calcule

\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}.

(2.214)

Solução 0.

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}$		(2.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}\cdot% \frac{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}$		(2.216)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}}% }{\frac{x+1}{\|x\|}}$		(2.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{% x+1}{-x}}$		(2.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{1% }{x}}}}{-1-\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}=-1.$		(2.219)

ER 2.4.4.

Calcule

\lim_{x\to\infty}e^{-x}.

(2.220)

Solução 0.

Observamos que o gráfico de $f(x)=e^{-x}$ é uma reflexão em torno do eixo $y$ do gráfico da função $g(x)=e^{x}$ . No Exemplo 2.4.7, vimos que

\lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(2.221)

logo

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}=\lim_{x\to\infty}g(-x)$		(2.222)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}g(x)=0.$		(2.223)

Veja o esboço do gráfico de $f(x)=e^{-x}$ na Figura 2.18.

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, exp

2x = Symbol("x")

3limit(exp(-x), x, oo)

2.4.4 Exercícios

E. 2.4.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{10}{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-10x^{-1}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-\frac{10}{x^{2}}$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-\sqrt{2}}$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2-(x+1)^{-1}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $0$ ; e) $2$ ;

E. 2.4.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{-\frac{1}{2}}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{(x+1)^{3}}}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{-s},\quad s>0$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 2.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2^{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+1$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2\cdot 3^{x}+\sqrt{2}$

a) $0$ ; b) $1$ ; c) $\sqrt{2}$ ;

E. 2.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}+1$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}3+e^{-x}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}2e^{-x}-1$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e-e^{x}$

a) $1$ ; b) $3$ ; c) $-1$ ; d) $e$

E. 2.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}$

a) $\frac{1}{2}$ ; b) $-\frac{1}{2}$

E. 2.4.6.

Calcule

\lim_{x\to-\infty}\cos x.

(2.224)

não existe.

E. 2.4.7.

Calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+e^{-x}}$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1-2x}{x+3}-e^{x}-1$ .

a) $1$ ; b) $-3$

E. 2.4.8.

Dados dois polinômios $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ e $q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0}$ , mostre que

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}}{b_% {m}x^{m}}.

(2.225)

Dica: use as regras para o cálculo de limites.

Envie seu comentário

Aproveito para agradecer a todas/os que de forma assídua ou esporádica contribuem enviando correções, sugestões e críticas!

Este texto é disponibilizado nos termos da Licença Creative Commons Atribuição-CompartilhaIgual 4.0 Internacional. Ícones e elementos gráficos podem estar sujeitos a condições adicionais.

Pedro H A Konzen

| | | |