Cálculo I

2 Limites 2.3 Limites laterais 2.5 Limites infinitos

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2.4 Limites no infinito

Limites no infinito descrevem a tendência de uma dada função $f(x)$ quando $x\to-\infty$ ou $x\to\infty$ . Dizemos que o limite de $f(x)$ é $L$ quando $x$ tende a $-\infty$ , se os valores de $f(x)$ são arbitrariamente próximos de $L$ para todos os valores de $x$ suficientemente pequenos (consultemos a Figura 2.11). Neste caso, escrevemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to-% \infty}f(x)=L.

(2.151)

Refer to caption — Figura 2.11: Limite de uma função $y=f(x)$ quando $x\to-\infty$ .

Analogamente, dizemos que o limite de $f(x)$ é $L$ quando $x$ tende $\infty$ , se os valores de $f(x)$ são arbitrariamente próximos de $L$ para todos os valores de $x$ suficientemente grandes (consultemos a Figura 2.12). Neste caso, escrevemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to% \infty}f(x)=L.

(2.152)

Exemplo 2.4.1.(Hipérbole)

Vamos inferir os limites de $f(x)=1/x$ para $x\to-\infty$ e $x\to\infty$ . A Figura Figura 2.13 é um esboço do gráfico desta função.

Observamos que quanto menores os valores de $x$ , mais próximos de $0$ são os valores de $f(x)=1/x$ . Daí, inferimos que

\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{x}=0.

(2.153)

Também, quanto maiores os valores de $x$ , mais próximos de $0$ são os valores de $f(x)=1/x$ . Com isso, podemos concluir que

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}=0.

(2.154)

Código 22: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo

2x = Symbol("x")

3limit(1/x, x, -oo)

Código 23: Python

⬇

1limit(1/x, x, oo)

Observação 2.4.1.(Regras para o cálculo de limites no infinito)

Supondo que $L$ , $M$ e $k$ são números reais e

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L

(2.155)

\lim_{x\to\pm\infty}g(x)=M.

(2.156)

Então, temos as seguintes regras para limites no infinito:

•

Multiplicação por escalar

$\lim_{x\to\pm\infty}kf(x)=kL$ (2.157)
•

Soma/diferença

$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x)\pm g(x))=L\pm M$ (2.158)
•

Produto

$\lim_{x\to\pm\infty}f(x)g(x)=LM$ (2.159)
•

Quociente

$\lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{L}{M},\quad M\neq 0.$ (2.160)
•

Potenciação

$\lim_{x\to\pm\infty}(f(x))^{k}=L^{k},\text{ se }L^{k}\in\mathbb{R}.$ (2.161)

Exemplo 2.4.2.

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+1$		(2.162)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+\lim_{x\to\infty}1$		(2.163)
	$\displaystyle\text{}\quad=\left(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\right)^{2}+1$		(2.164)
	$\displaystyle\text{}\quad=0^{2}+1=1.$		(2.165)

Exemplo 2.4.3.(Funções racionais)

Consideramos o seguinte caso

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}.

(2.166)

Observamos que não podemos usar a regra do quociente diretamente, pois, por exemplo, não existe o limite do numerador. A alternativa é multiplicar e dividir por $1/x^{3}$ (grau dominante), obtendo

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.167)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}\cdot{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\frac{\frac{1% }{x^{3}}}{\frac{1}{x^{3}}}}$		(2.168)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\frac{x^{3}}{x^{3}}-\frac{2x}% {x^{3}}+\frac{1}{x^{3}}}{\frac{2}{x^{3}}-\frac{3x^{3}}{x^{3}}}$		(2.169)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{2}{x^{2}}+\frac{1}{x^% {3}}}{\frac{2}{x^{3}}-3}$		(2.170)

Então, aplicando as regras do quociente, da soma/subtração e da multiplicação por escalar, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.171)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\cancelto{0}{\frac{2}{x^{2}% }}+\cancelto{0}{\frac{1}{x^{3}}}}{\cancelto{0}{\frac{2}{x^{3}}}-3}$		(2.172)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(2.173)

Proposição 2.4.1.(Limite no infinito de funções racionais)

Dados dois polinômios

	$\displaystyle p(x)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}a_{n}x^{n}}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$		(2.174)
	$\displaystyle q(x)={\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}% {0,0,1}b_{m}x^{m}}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0},$		(2.175)

com $a_{n},b_{m}\neq 0$ , temos

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}a_{n}x^{n}}{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}b_{m}x^{m}}.

(2.176)

Demonstração.

Consulte o E.2.4.8. ∎

Exemplo 2.4.4.

Usando a Proposição 2.4.1 no Exemplo 2.4.3, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{% pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}-2x+1}{2{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named% ]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3x^{3}}}$		(2.177)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{3}}{\color[rgb]{0,0,1}% \definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}-3x^{3}}$		(2.178)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(2.179)

A ideia utilizada no Exemplo 2.4.3, também pode ser útil em limites no infinito de quocientes envolvendo raiz.

Exemplo 2.4.5.(Quociente envolvendo raiz)

Vamos calcular

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}.

(2.180)

A ideia é multiplicar em cima e em baixo por $1/\sqrt{x^{2}}$ . Seguimos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{{\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[% named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}x^{2}}-x}}{x+1}\frac{\frac{1}{\color[rgb]{% 0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\sqrt{x^{2}}}}{\frac{1}{% \color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\sqrt{x^{2}}}}$		(2.181)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}}}% {\frac{x+1}{\sqrt{x^{2}}}}$		(2.182)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x% +1}{\|x\|}}$		(2.183)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{x% +1}{x}}$		(2.184)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{1}% {x}}}}{1+\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}$		(2.185)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{\sqrt{1}}{1}=1$		(2.186)

2.4.1 Assíntotas horizontais

A reta $y=L$ é dita assíntota horizontal ao gráfico da função $y=f(x)$ se

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to-% \infty}f(x)=L

(2.187)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to% \infty}f(x)=L.

(2.188)

Exemplo 2.4.6.

No Exemplo 2.4.3, vimos que

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}=-\frac{1}{3}.

(2.189)

Logo, temos que $y=-1/3$ é uma assíntota horizontal do gráfico da função

f(x)=\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}.

(2.190)

Consultemos a Figura 2.14 para seu gráfico.

Também, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{x^{3}-2x+1}{2-3x^{3}}$		(2.191)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}}{-3x^{3}}$		(2.192)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\frac{1}{3}.$		(2.193)

O que reforça que $y=-1/3$ é uma assíntota horizontal desta função.

Exemplo 2.4.7.(Função exponencial natural)

\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(2.194)

donde temos que $y=0$ é uma assíntota horizontal da função exponencial natural. Consultemos a Figura 2.15 para o gráfico de $y=e^{x}$ .

Exemplo 2.4.8.(Função logística)

Na ecologia, a função logística²²2Consultemos mais sobre a função logística em Wikipédia: Função logística.

P(t)=\frac{K}{1+\left(\frac{K-P_{0}}{P_{0}}e^{-rt}\right)}

(2.195)

é um modelo de crescimento populacional de espécies, sendo $P(t)$ o número de indivíduos da população no tempo $t$ . O parâmetro $P_{0}$ é o número de indíviduos na população no tempo inicial $t=0$ , $r>0$ é a proporção de novos indivíduos na população devido a reprodução e $K$ é o limite de saturação do crescimento populacional (devido aos recursos escassos como alimentos, território e tratamento a doenças). Observamos que

	$\displaystyle\lim_{t\to\infty}P(t)=\lim_{t\to\infty}\frac{K}{1+\left(\frac{K-P% _{0}}{P_{0}}\cancelto{0}{e^{-rt}}\right)}$		(2.196)
	$\displaystyle\text{}\quad=K$		(2.197)

Ou seja, $P(t)=K$ é uma assíntota horizontal ao gráfico de $P=P(t)$ e é o limite de saturação do crescimento populacional. Na Figura 2.16, temos o gráfico da função logística para $t\geq 0$ .

2.4.2 Limite no infinito de função periódica

Uma função $f$ é periódica quando existe um número $T$ tal que

f(x)=f(x+T),

(2.198)

para todo $x\in\mathbb{R}$ no domínio de $f$ . O número $T$ é chamado de período da função. As funções trigonométricas são exemplos de funções periódicas.

À exceção de funções constantes, o limite no infinito de funções periódicas não existe. De fato, se $f$ não é constante, então existem números $x_{1}\neq x_{2}$ tal que $y_{1}=f(x_{1})\neq f(x_{2})=y_{2}$ . Se $f$ é uma função é periódica com período $T$ , temos $f(x_{1}+kT)=y_{1}$ e $f(x_{2}+kT)=y_{2}$ para todo número inteiro $k$ . Desta forma, não existe número $L$ que possamos tomar $f(x)$ arbitrariamente próxima, para todos os valores de $x$ suficientemente grandes (ou pequenos).

Exemplo 2.4.9.(Limite no infinito da função seno)

A função seno é periódica com período $2\pi$ , pois

	$\displaystyle\operatorname{sen}(x+2k\pi)=\operatorname{sen}(x)\cos(2k\pi)+\cos% (x)\operatorname{sen}(2k\pi)$		(2.199)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(x)\cdot 1+\cos(x)\cdot 0$		(2.200)
	$\displaystyle\text{}\quad=\operatorname{sen}(x).$		(2.201)

Observemos que não existe

\lim_{x\to\infty}\operatorname{sen}(x),

(2.202)

pois os valores de $\operatorname{sen}x$ oscilam periodicamente no intervalo $[-1,1]$ . A Figura 2.17 mostra o gráfico de $y=\operatorname{sen}(x)$ .

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, sin

2x = Symbol("x")

3limit(sin(x), x, oo)

AccumBounds(-1, 1)

2.4.3 Exercícios resolvidos

ER 2.4.1.

Calcule

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1.

(2.203)

Resolução.

Utilizando a regra da soma para limites no infinito, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+% \lim_{x\to 1}1$		(2.204)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{x-1}\right)+1,$		(2.205)

observando que $\lim_{x\to\infty}1/(x-1)$ existe. De fato, o gráfico de $g(x)=1/(x-1)$ é uma translação de uma unidade à esquerda da função $f(x)=1/x$ . Uma translação horizontal finita não altera o comportamento da função para $x\to\infty$ . Portanto, como $f(x)=1/x\to\infty$ quando $x\to\infty$ , temos que $g(x)=f(x-1)=1/(x-1)\to\infty$ quando $x\to\infty$ , i.e.

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}=0.

(2.206)

Portanto, concluímos que

\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-1}+1=1.

(2.207)

Código 24: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo

2x = Symbol("x")

3limit(1/(x-1)+1, x, oo)

ER 2.4.2.

Determine a(s) assíntota(s) horizontal(ais) do gráfico da função

f(x)=\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{x^{2}+2x^{4}-x}.

(2.208)

Resolução.

Uma reta $y=L$ é assíntota horizontal do gráfico de $f$ , quando

\lim_{x\to\pm\infty}f(x)=L.

(2.209)

Começamos com $x\to-\infty$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x)=\lim_{x\to-\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}% }{x^{2}+2x^{4}-x}$		(2.210)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{4x^{4}}{2x^{4}}=2.$		(2.211)

Logo, $y=2$ é assíntota horizontal ao gráfico de $f(x)$ .

Agora, vamos ver a tendência da função para $x\to\infty$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}\frac{3-x+4x^{4}-10x^{3}}{% x^{2}+2x^{4}-x}$		(2.212)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{4}{2}=2.$		(2.213)

Portanto, concluímos que $y=2$ é a única assíntota horizontal ao gráfico da função $f$ .

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, plot

2x = Symbol("x")

3f = lambda x: (3-x+4*x**4-10*x**3)/(x**2+2*x**4-x)

4L = limit(f(x), x, oo)

5p = plot(f(x), (x, -15, 15), ylim = [-4, 6],\

6 line_color = "blue", show = False)

7q = plot(L, (x, -15, 15), line_color = "red", show = False)

8p.extend(q)

9p.show()

ER 2.4.3.

Calcule

\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}.

(2.214)

Resolução.

	$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}$		(2.215)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{x^{2}-x}}{x+1}\cdot% \frac{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}$		(2.216)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{\frac{x^{2}-x}{x^{2}}}% }{\frac{x+1}{\|x\|}}$		(2.217)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1-\frac{1}{x}}}{\frac{% x+1}{-x}}$		(2.218)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1-\cancelto{0}{\frac{1% }{x}}}}{-1-\cancelto{0}{\frac{1}{x}}}=-1.$		(2.219)

ER 2.4.4.

Calcule

\lim_{x\to\infty}e^{-x}.

(2.220)

Resolução.

Observamos que o gráfico de $f(x)=e^{-x}$ é uma reflexão em torno do eixo $y$ do gráfico da função $g(x)=e^{x}$ . No Exemplo 2.4.7, vimos que

\lim_{x\to-\infty}g(x)=\lim_{x\to-\infty}e^{x}=0,

(2.221)

logo

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{-x}=\lim_{x\to\infty}g(-x)$		(2.222)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to-\infty}g(x)=0.$		(2.223)

Consultemos o gráfico de $f(x)=e^{-x}$ na Figura 2.18.

⬇

1from sympy import Symbol, limit, oo, exp

2x = Symbol("x")

3limit(exp(-x), x, oo)

2.4.4 Exercícios

E. 2.4.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{10}{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-10x^{-1}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}-\frac{10}{x^{2}}$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x-\sqrt{2}}$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2-(x+1)^{-1}$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$ ; d) $0$ ; e) $2$ ;

E. 2.4.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{-\frac{1}{2}}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1}{\sqrt{(x+1)^{3}}}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{-s},\quad s>0$

a) $0$ ; b) $0$ ; c) $0$

E. 2.4.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2^{x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\left(\frac{1}{2}\right)^{x}+1$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}2\cdot 3^{x}+\sqrt{2}$

a) $0$ ; b) $1$ ; c) $\sqrt{2}$ ;

E. 2.4.4.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{x}+1$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}3+e^{-x}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}2e^{-x}-1$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e-e^{x}$

a) $1$ ; b) $3$ ; c) $-1$ ; d) $e$

E. 2.4.5.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}$

a) $\frac{1}{2}$ ; b) $-\frac{1}{2}$

E. 2.4.6.

Calcule

\lim_{x\to-\infty}\cos x.

(2.224)

não existe.

E. 2.4.7.

Calcule:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\sqrt{1+e^{-x}}$ .
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}\frac{1-2x}{x+3}-e^{x}-1$ .

a) $1$ ; b) $-3$

E. 2.4.8.

Dados dois polinômios $p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}$ e $q(x)=b_{m}x^{m}+b_{m-1}x^{m-1}+\cdots+b_{0}$ , mostre que

\lim_{x\to\pm\infty}\frac{p(x)}{q(x)}=\lim_{x\to\pm\infty}\frac{a_{n}x^{n}}{b_% {m}x^{m}}.

(2.225)

Dica: use as regras para o cálculo de limites.

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Cálculo I

2.4 Limites no infinito

Exemplo 2.4.1.(Hipérbole)

Observação 2.4.1.(Regras para o cálculo de limites no infinito)

Exemplo 2.4.2.

Exemplo 2.4.3.(Funções racionais)

Proposição 2.4.1.(Limite no infinito de funções racionais)

Demonstração.

Exemplo 2.4.4.

Exemplo 2.4.5.(Quociente envolvendo raiz)

2.4.1 Assíntotas horizontais

Exemplo 2.4.6.

Exemplo 2.4.7.(Função exponencial natural)

Exemplo 2.4.8.(Função logística)

2.4.2 Limite no infinito de função periódica

Exemplo 2.4.9.(Limite no infinito da função seno)

2.4.3 Exercícios resolvidos

ER 2.4.1.

Resolução.

ER 2.4.2.

Resolução.

ER 2.4.3.

Resolução.

ER 2.4.4.

Resolução.

2.4.4 Exercícios

E. 2.4.1.

E. 2.4.2.

E. 2.4.3.

E. 2.4.4.

E. 2.4.5.

E. 2.4.6.

E. 2.4.7.

E. 2.4.8.

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