Cálculo I

2 Limites 2.4 Limites no infinito 2.6 Continuidade

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2.5 Limites infinitos

O limite de uma função nem sempre existe. Entretanto, em muitos destes casos, podemos concluir mais sobre a tendência da função. Por exemplo, dizemos que o limite de uma dada função $f(x)$ é infinito quando $x$ tende a um número $x_{0}$ , se $f(x)$ é arbitrariamente grande para todos os valores de $x\neq x_{0}$ suficientemente próximos de $x_{0}$ . Neste caso, escrevemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}}f(x)=\infty.

(2.226)

A Figura 2.19, é uma ilustração de $f(x)\to\infty$ quando $x\to x_{0}$ .

Refer to caption — Figura 2.19: $f(x)\to\infty$ quando $x\to x_{0}$ .

Exemplo 2.5.1.

Estudemos o caso de

\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}.

(2.227)

Ao tomarmos $x$ próximo de $x_{0}=0$ , obtemos os seguintes valores de $f(x)$ :

$x$	$f(x)$
$-10^{-1}$	$10^{2}$
$-10^{-2}$	$10^{4}$
$-10^{-3}$	$10^{6}$
$\downarrow$	$\downarrow$
$0$	$\infty$
$\uparrow$	$\uparrow$
$10^{-3}$	$10^{6}$
$10^{-2}$	$10^{4}$
$10^{-1}$	$10^{2}$

Consultemos o gráfico de $f(x)$ na Figura 2.20.

Podemos concluir que os valores de $f(x)$ podem ser tomados arbitrariamente grandes ao escolhermos qualquer $x$ suficientemente próximo de $0$ , com $x\neq 0$ . I.e.,

\lim_{x\to 0}\frac{1}{x^{2}}=\infty.

(2.228)

Código 25: Python

⬇

1from sympy import x, Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(1/x**2, x, 0)

Definimos os limites laterais infinitos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{-}}f(x)=\infty

(2.229)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{+}}f(x)=\infty.

(2.230)

No primeiro caso, os valores de $f(x)$ são arbitrariamente grandes conforme os valores de $x\to x_{0}$ e $x<x_{0}$ . No segundo caso, os valores de $f(x)$ são arbitrariamente grandes conforme os valores de $x\to x_{0}$ e $x>x_{0}$ .

Exemplo 2.5.2.

\lim_{x\to 1^{+}}\frac{1}{x-1}=\infty.

(2.231)

De fato, conforme tomamos valores de $x$ próximos de $1$ , com $x>1$ , os valores de $f(x)=1/(x-1)$ tornam-se cada vez maiores. Consultemos o gráfico de $f(x)$ na Figura 2.21.

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(1/(x-1), x, 1, '+')

Analogamente à definição de limite infinito, dizemos que o limite de uma dada função $f(x)$ é menos infinito quando $x$ tende a $x_{0}$ , quando $f(x)$ torna-se arbitrariamente pequeno para valores de $x\neq x_{0}$ suficientemente próximos de $x_{0}$ . Neste caso, escrevemos

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}}f(x)=-\infty.

(2.232)

De forma similar, definimos os limites laterais $f(x)\to-\infty$ quando $x\to x_{0}^{\pm}$ .

Exemplo 2.5.3.

Observemos que

\nexists\lim_{x\to 0}\frac{1}{x}

(2.233)

e que não podemos concluir que este limite é $\infty$ ou $-\infty$ . Isto ocorre, pois

\lim_{x\to 0^{-}}\frac{1}{x}=-\infty

(2.234)

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{x}=+\infty.

(2.235)

Exemplo 2.5.4.

\lim_{x\to-1}\frac{-1}{(x+1)^{2}}=-\infty.

(2.236)

De fato, podemos inferir este limite a partir do gráfico da função $f(x)=1/(x+1)^{2}$ . Esta é uma translação de uma unidade à esquerda do gráfico de $y=1/x^{2}$ , seguida de uma reflexão em torno de eixo $x$ . Consultemos a Figura 2.22.

Código 26: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit(-1/(x+1)**2, x, -1)

-oo

2.5.1 Assíntotas verticais

Uma reta $x=x_{0}$ é uma assíntota vertical do gráfico de uma função $y=f(x)$ , se

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{-}}f(x)=\pm\infty

(2.237)

\color[rgb]{0,0,1}\definecolor[named]{pgfstrokecolor}{rgb}{0,0,1}\lim_{x\to x_% {0}^{+}}f(x)=\pm\infty.

(2.238)

Exemplo 2.5.5.

O gráfico da função $f(x)=-1/|x|$ tem uma assíntota vertical em $x=0$ , pois

\lim_{x\to 0}\frac{-1}{|x|}=-\infty.

(2.239)

Consultemos seu gráfico na Figura 2.23.

Exemplo 2.5.6.

A função $\displaystyle f(x)=\frac{x^{3}+2x^{2}-4x-8}{x^{2}-1}$ não está definida para valores de $x$ tais que seu denominador se anule, i.e.

	$\displaystyle x^{2}-1=0$		(2.240)
	$\displaystyle x_{0}=-1\quad\text{ou}\quad x_{1}=1$		(2.241)

Nestes pontos o gráfico de $f$ pode ter assíntotas verticais. De fato, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to-1^{+}}\frac{\cancelto{-3}{x^{3}+2x^{2}-4x-8}}{% \cancelto{0^{-}}{x^{2}-1}}$		(2.242)
	$\displaystyle\text{}\quad=+\infty,$		(2.243)
	$\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}\frac{\cancelto{-3}{x^{3}+2x^{2}-4x-8}}{% \cancelto{0^{+}}{x^{2}-1}}$		(2.244)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\infty,$		(2.245)

e, também, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\frac{\cancelto{-9}{x^{3}+2x^{2}-4x-8}}{% \cancelto{0^{+}}{x^{2}-1}}$		(2.246)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\infty,$		(2.247)
	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\frac{\cancelto{-9}{x^{3}+2x^{2}-4x-8}}{% \cancelto{0^{-}}{x^{2}-1}}$		(2.248)
	$\displaystyle\text{}\quad=+\infty.$		(2.249)

Com isso, temos que as retas $x=-1$ e $x=1$ são assíntotas verticais ao gráfico da função $f$ . Consultemos a Figura 2.24 para o esboço do gráfico desta função.

Exemplo 2.5.7.(Função logarítmica)

A função logarítmica natural $y=\ln x$ é tal que

\lim_{x\to 0^{+}}\ln x=-\infty

(2.250)

i.e., $x=0$ é uma assíntota vertical ao gráfico de $\ln x$ . Isto decorre do fato de $y=\ln x$ ser a função inversa de $y=e^{x}$ e, esta, ter uma assíntota horizontal $y=0$ . A Figura 2.25 é um esboço do gráfico da função $\ln x$ .

Exemplo 2.5.8.

As funções trigonométricas $y=\operatorname{tg}x$ e $y=\sec x$ têm assíntotas verticais $x=(2k+1)\frac{\pi}{2}$ para $k$ inteiro. Já, as funções trigonométricas $y=\operatorname{cotg}x$ e $y=\operatorname{cossec}x$ têm assíntotas verticais $x=k\pi$ para $k$ inteiro. Consulte mais em Notas de aula: Pré-cálculo: Funções Trigonométricas.

2.5.2 Assíntotas oblíquas

Além de assíntotas horizontais e verticais, gráficos de funções podem ter assintota oblíquas. Isto ocorre, particularmente, para funções racionais cujo grau do numerador é maior que o do denominador.

Exemplo 2.5.9.

Consideremos a função racional

f(x)=\frac{x^{2}-1}{5x-4}.

(2.251)

Para buscarmos determinar a assíntota oblíqua desta função, dividimos o numerador pelo denominador, de forma a obtermos

f(x)=\underbrace{\left(\frac{x}{5}+\frac{4}{25}\right)}_{\text{quociente}}+% \underbrace{\frac{-\frac{9}{25}}{5x-4}}_{\text{resto}}.

(2.252)

Observamos, agora, que o resto tende a zero quando $x\to\pm\infty$ , i.e. $\displaystyle f(x)\to\frac{x}{5}+\frac{4}{25}$ quando $x\to\pm\infty$ . Com isso, concluímos que $\displaystyle y=\frac{x}{5}+\frac{4}{25}$ é uma assíntota oblíqua ao gráfico de $f(x)$ . Consultemos a Figura 2.26.

Observação 2.5.1.

Analogamente à assintotas oblíquas, podemos ter outros tipos de assíntotas determinadas por funções de diversos tipos, por exemplo, assíntotas quadráticas.

2.5.3 Limites infinitos no infinito

Escrevemos

\lim_{x\to\infty}f(x)=\infty,

(2.253)

quando os valores da função $f$ são arbitrariamente grandes para todos os valores de $x$ suficientemente grandes. De forma análoga, definimos

\lim_{x\to-\infty}f(x)=\infty,

(2.254)

\lim_{x\to\infty}f(x)=-\infty

(2.255)

\lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty.

(2.256)

Exemplo 2.5.10.

Estudemos os seguintes casos:

a)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{2}=\infty$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{2}=\infty$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}x^{3}=-\infty$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}e^{x}=\infty$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\ln x=\infty$
f)

$\displaystyle\lim_{x\to-\infty}e^{-x}=\infty$

Exemplo 2.5.11.

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{3}-10x^{2}+300=\lim_{x\to\infty}\left(x^{3}-1% 0x^{2}+300\right)\cdot\frac{x^{3}}{x^{3}}$		(2.257)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\left(1-\cancelto{\small 0^{+}}{% \frac{10}{x}}+\cancelto{0^{+}}{\frac{300}{x^{3}}}\right)x^{3}=\infty.$		(2.258)

Proposição 2.5.1.(Limites no infinito de polinômios)

Dado um polinômio

p(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0},

(2.259)

com $a_{n}\neq 0$ , temos

\lim_{x\to\pm\infty}p(x)=\lim_{x\to\pm}a_{n}x^{n}.

(2.260)

Demonstração.

De fato, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\pm\infty}p(x)=\lim_{x\to\pm\infty}\left(a_{n}x^{n}+a_{% n-1}x^{n-1}+\cdots+a_{0}\right)\frac{x^{n}}{x^{n}}$		(2.261)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\pm\infty}(a_{n}+\cancelto{0}{\frac{a_{n-1% }}{x}}+\cdots+\cancelto{0}{\frac{a_{0}}{x^{n}}})x^{n}$		(2.262)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\pm\infty}a_{n}x^{n}.$		(2.263)

∎

Exemplo 2.5.12.

Retornando ao exemplo anterior (Exemplo 2.5.11, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}x^{3}-10x^{2}+300=\lim_{x\to\infty}x^{3}$		(2.264)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty.$		(2.265)

2.5.4 Exercícios resolvidos

ER 2.5.1.

Calcule

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x-2}{1-x}.

(2.266)

Resolução.

Temos

\lim_{x\to 1^{-}}\frac{\cancelto{-1}{x-2}}{\cancelto{0^{+}}{1-x}}=-\infty.

(2.267)

Outra forma de calcular este limite é observar que $y=1-x\to 0^{+}$ quando $x\to 1^{-}$ . Assim, fazendo a mudança de variável $y=x-1$ , temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\frac{x-2}{1-x}=\lim_{y\to 0^{+}}\frac{y+1-2}{y}$		(2.268)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{y\to 0^{+}}\frac{y-1}{y}$		(2.269)
	$\displaystyle\text{}\quad=-\infty.$		(2.270)

Código 27: Python

⬇

1from sympy import Symbol, limit

2x = Symbol("x")

3limit((x-2)/(1-x), x, 1, '-')

-oo

ER 2.5.2.

Calcule

\lim_{x\to 1}\ln|x-1|.

(2.271)

Resolução.

Começamos observando que

\ln|x-1|=\left\{\begin{array}[]{ll}\ln(1-x)&,x<1,\\ \ln(x-1)&,x>1.\end{array}\right.

(2.272)

Então, calculando o limite lateral à esquerda, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\ln\|x-1\|=\lim_{x\to 1^{-}}\ln(1-x)$		(2.273)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{y\to 0^{+}}\ln y=-\infty.$		(2.274)

Por outro lado, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\ln\|x-1\|=\lim_{x\to 1^{+}}\ln(x-1)$		(2.275)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{y\to 0^{+}}\ln y=-\infty.$		(2.276)

Portanto, concluímos que

\lim_{x\to 1}\ln|x-1|=-\infty.

(2.277)

⬇

1from sympy import Symbol, limit, log, abs

2x = Symbol("x")

3limit(log(abs(x-1)), x, 1, '-')

-oo

Código 28: Python

⬇

1limit(log(abs(x-1)), x, 1, '+')

-oo

ER 2.5.3.

Calcule

\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}-4x-8}{x^{2}-1}.

(2.278)

Resolução.

Tratando-se de uma função racional, temos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{x^{3}+2x^{2}-4x-8}{x^{2}-1}=\lim_{x\to% \infty}\frac{x^{3}}{x^{2}}$		(2.279)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}x$		(2.280)
	$\displaystyle\text{}\quad=\infty.$		(2.281)

ER 2.5.4.

Calcule

\lim_{x\to\infty}e^{1-x^{2}}.

(2.282)

Resolução.

Observamos que $1-x^{2}\to-\infty$ quando $x\to\infty$ . Desta forma, fazendo a mudança de variáveis $y=1-x^{2}$ , temos

\lim_{x\to\infty}e^{1-x^{2}}=\lim_{y\to-\infty}e^{y}=0.

(2.283)

ER 2.5.5.

Calcule

\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}.

(2.284)

Resolução.

Podemos verificar que trata-se de uma indeterminação do tipo $\infty/\infty$ . Neste caso, podemos calcular o limite pela multiplicação (em cima e em baixo) pelo inverso do fator dominante no radical, i.e. $1/\sqrt{x^{2}}$ . Ou seja, calculamos

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{1+x^{2}}}{2x}=\lim_{x\to\infty}\frac% {\sqrt{1+x^{2}}}{x}\cdot\frac{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}{\frac{1}{\sqrt{x^{2}}}}$		(2.285)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{x% ^{2}}{x^{2}}}}{2\frac{x}{\sqrt{x^{2}}}}.$		(2.286)

Lembramos que $\sqrt{x^{2}}=|x|$ . Como $x\to\infty$ , temos $\sqrt{x^{2}}=|x|=x$ . Logo,

	$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{x^{2}}{x^{2}}}% }{2\frac{x}{\sqrt{x^{2}}}}=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+\frac{% x^{2}}{x^{2}}}}{2\frac{x}{\|x\|}}$		(2.287)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}}{2% \frac{x}{x}}$		(2.288)
	$\displaystyle\text{}\quad=\lim_{x\to\infty}\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{x^{2}}+1}$		(2.289)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}\sqrt{\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x^{2}}+1}$		(2.290)
	$\displaystyle\text{}\quad=\frac{1}{2}.$		(2.291)

2.5.5 Exercícios

E. 2.5.1.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x^{-1}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}-x^{-3}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x^{-5}$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{\pm}}x^{-n},\quad n>0\leavevmode\nobreak\ \text{\'{% \i}mpar}$

a) $\infty$ ; b) $\infty$ ; c) $\infty$ ; d) $\pm\infty$

E. 2.5.2.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}x^{-2}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{-}}x^{-4}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{+}}-x^{-6}$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to 0^{\pm}}x^{-n},\quad n>0\leavevmode\nobreak\ \text{par}$

a) $\infty$ ; b) $\infty$ ; c) $-\infty$ ; d) $\infty$

E. 2.5.3.

Calcule

a)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{+}}\frac{1}{x-1}$
b)

$\displaystyle\lim_{x\to 1^{-}}\frac{-2}{x-1}$
c)

$\displaystyle\lim_{x\to-1^{-}}\frac{-2}{1+x}$
d)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{-2}{(x+1)^{2}}$
e)

$\displaystyle\lim_{x\to-1}\frac{x^{2}-3x+2}{x^{2}+2x+1}$

a) $\infty$ ; b) $\infty$ ; c) $\infty$ ; d) $-\infty$ ; e) $\infty$

E. 2.5.4.

Determine as assíntotas verticais ao gráfico da função

f(x)=\frac{8}{x^{2}-4}.

(2.292)

$x=2$ ; $x=-2$

E. 2.5.5.

Determine as assíntotas verticais ao gráfico da função

f(x)=\frac{x+1}{x^{2}-1}.

(2.293)

$x=1$

E. 2.5.6.

Calcule

\lim_{x\to-\infty}e^{x^{2}-1}.

(2.294)

$\infty$

E. 2.5.7.

Calcule

\lim_{x\to-\infty}x^{3}+10x^{2}-300.

(2.295)

$-\infty$

E. 2.5.8.

Mostre que $y=x^{2}$ é assíntota ao gráfico de

f(x)=\frac{x^{3}+1}{x}.

(2.296)

Dica: Observe que $f(x)=x^{2}+\frac{1}{x}$ e analise o limite de $f(x)$ quando $x\to\pm\infty$ .

E. 2.5.9.

(Aplicação) Na física química, a equação de Arrhenius³³3Svante August Arrhenius, 1859 - 1927, químico sueco. Fonte: Wikipédia: Svante Arrhenius. fornece a taxa de reação $k$ (entre espécies químicas) em função da temperatura $T$ [K]

k=Ae^{-\frac{E_{a}}{RT}},

(2.297)

onde $A>0$ é o fator constante pré-exponencial, $E_{a}>0$ é a energia de ativação e $R>0$ é a constante universal dos gases. Para temperatura constante, a equação acima define a função $k=k(E_{a})$ . Qual é a tendência da taxa de reação $k$ quando $T\to 0^{+}$ .

$k\to 0$ quando $T\to 0^{+}$

E. 2.5.10.

(Aplicação.) A função logística tem aplicações em várias áreas do conhecimento como, por exemplo, na inteligência artificial e na modelagem de crescimento populacional. Ela tem a forma

\varphi(x)=\frac{1}{1+e^{-x}}

(2.298)

Encontre a(s) assíntota(s) horizontal(ais) dessa função logística.

$y=0$ e $y=1$

E. 2.5.11.

E. 2.5.12.

O fenômeno de desintegração espontânea do núcleo de um átomo com a emissão de algumas radiações é chamado de radioatividade. A lei fundamental do decaimento radiativo estabelece que a taxa de decaimento é proporcional ao número de átomos que ainda não decaíram. Isto nos fornece a equação da lei básica da radioatividade

N=N_{0}e^{-\lambda t}

(2.299)

onde, $N=N(t)$ é o número de átomos no tempo $t$ , $N_{0}\geq 0$ é o número de átomos presentes no tempo inicial $t=0$ e $\lambda>0$ é a constante de decaimento. Qual a tendência de $N$ quando $t\to\infty$ .

$N(t)\to 0$ quando $t\to\infty$

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Cálculo I

2.5 Limites infinitos

Exemplo 2.5.1.

Exemplo 2.5.2.

Exemplo 2.5.3.

Exemplo 2.5.4.

2.5.1 Assíntotas verticais

Exemplo 2.5.5.

Exemplo 2.5.6.

Exemplo 2.5.7.(Função logarítmica)

Exemplo 2.5.8.

2.5.2 Assíntotas oblíquas

Exemplo 2.5.9.

Observação 2.5.1.

2.5.3 Limites infinitos no infinito

Exemplo 2.5.10.

Exemplo 2.5.11.

Proposição 2.5.1.(Limites no infinito de polinômios)

Demonstração.

Exemplo 2.5.12.

2.5.4 Exercícios resolvidos

ER 2.5.1.

Resolução.

ER 2.5.2.

Resolução.

ER 2.5.3.

Resolução.

ER 2.5.4.

Resolução.

ER 2.5.5.

Resolução.

2.5.5 Exercícios

E. 2.5.1.

E. 2.5.2.

E. 2.5.3.

E. 2.5.4.

E. 2.5.5.

E. 2.5.6.

E. 2.5.7.

E. 2.5.8.

E. 2.5.9.

E. 2.5.10.

E. 2.5.11.

E. 2.5.12.

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